30.1.2 圆的切线（第2课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦切线长定理及应用，通过空竹、悠悠球旋转抽象数学图形导入，衔接上节课过圆上一点作切线的知识，引导学生探究过圆外一点作切线的方法，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过作切线步骤、折叠实验培养数学眼光（几何直观），推理验证和例题解析发展数学思维（推理能力），生活应用实例（如测量铁环半径）强化数学语言（模型意识）。小结提炼辅助线方法，助力学生系统掌握，教师可借此提升教学效率，学生能增强探究与应用能力。

30.1 直线与圆 30.1.2 圆的切线 （第2课时） 人教版 数学 九年级 上册 同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 导入新知 2. 初步学会运用切线长定理进行计算与证明. 1. 掌握切线长的定义及切线长定理. 素养目标 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A 探究新知 切线长定理及应用 知识点 用直尺和圆规作出圆外一点的圆的切线的步骤： （1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP 交于点C； （2）以点C为圆心，CO 为半径作圆，与⊙O 相交于A，B两点； （3）作直线PA，PB，即所求作的切线. 探究新知 O. P A B M N C P 1.切线长的定义： 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长． A O ①切线是直线，不能度量. ②切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 2.切线长与切线的区别在哪里？ 探究新知 问题2 PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B． OB是☉O的一条半径吗？ PB是☉O的切线吗？ （利用图形轴对称性解释） PA、PB有何关系？ ∠APO和∠BPO有何关系？ O. P A B 探究新知 B P O A 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. PA，PB分别切☉O于点A，B PA = PB ∠OPA=∠OPB 几何语言: 探究新知 O. P 已知，如图，PA，PB是☉O的两条切线，A，B为切点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 证明：∵PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得OB⊥PB. ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 推理验证 A B 探究新知 想一想：若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB. 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,A，B是切点, ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线, ∴OP垂直平分AB. O. P A B M 探究新知 想一想：若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明. 证明：∵PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点, ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB. 又∵PC=PC， ∴ △PCA ≌ △PCB（SAS）. ∴AC=BC. CA=CB O. P A B C 探究新知 例1 如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点，连接 AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB 的周长. · A B O P 切线长定理的应用 素养考点 1 探究新知 分析 根据切线长定理可证明△PAB 是等边三角形，根据切线的性质，可连接切点和圆心得垂直，即PA⊥AO，根据直角三角形的性质求边长，即可求解. 12 · A B O 解：如图 ，连接 OA. P 探究新知 ∵ PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点， ∴ PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA. 又 ∠APO=30°， ∴ ∠APB=60°. ∴ △PAB 是等边三角形. ∴ AB=PA=PB. 又 在 Rt△POA 中，∠APO=30°，OP=2， ∴ OA=1，PA==​． ∴ △PAB 的周长为 3​． 13 B P O A PA，PB是☉O的两条切线，A，B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= ; （2）若∠BPA=60 °,则OP= . 5 6 巩固练习 例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径． 分析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA、OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径． O 切线长定理在生活中的应用 素养考点 2 探究新知 B C 在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°， O Q 解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP，OA. ∵AP，AQ为⊙O的切线， ∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO. 又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°. 即铁环的半径为 探究新知 B C 如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D,E两点,经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为 cm(AD<BE). 解析：设圆心为O,连接OD,OE,x2-25x+150=0,(x-10)(x-15)=0, 解得x1=10,x2=15,∵AD<BE,∴AD=10,BE=15, 设半径为r,又AB=AD+BE=25,∴(AD+r)2+(BE+r)2=AB2, ∴(10+r)2+(15+r)2=252,解得r=5. 巩固练习 （黑龙江龙东地区中考）如图，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，AC是直径，∠BAC=35°，∠P= ． 解析：∵PA是切线，∴PA⊥AC，即∠PAC=90°. ∵∠BAC=35°，∴∠PAB=∠PAC-∠BAC=55°. ∵PA，PB是圆O的切线，∴PA=PB. ∴∠PBA=∠PAB=55°. ∴∠P=180°-∠PBA-∠PAB= 180°-55°-55°=70° ． 70° 链接中考 O . P A B C 1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A，B，如果AP=4，∠APB= 40 ° ，则∠APO= ，PB= . B P O A 20 ° 4 课堂检测 基础巩固题 20 课堂检测 2.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，PA=10，CD是⊙O的切线，交PA于点C，交PB于点D，则△PCD的周长是 ． O P A D C B 如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC. 证明：连接OD， ∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC， ∴∠ODC=∠B=90°. 在Rt△OCD和Rt△OCB中，OD＝OB ，OC＝OC , ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）， ∴∠DOC=∠BOC. ∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED， ∵∠DOB=∠ODE+∠OED， ∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC. 课堂检测 能力提升题 21 如图，PA，PB，CD是⊙O的切线，点A，B，E为切点． （1）如果△PCD的周长为10，求PA的长； （2）如果∠P=40°， ①求∠COD； ②连接AE，BE，求∠AEB． 课堂检测 拓广探索题 O E D C B A P （1）如果△PCD的周长为10，求PA的长； 解：∵PA，PB，CD是⊙O的切线，点A，B，E为切点， ∴PA=PB，AC=CE，ED=BD， ∵△PCD的周长为10， ∴PC+CD+PD=10， ∴PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+BD=PA+PB=2PA=10， ∴PA=5. 课堂检测 O E D C B A P （2）如果∠P=40°，①求∠COD； 证明：∵∠P=40°， ∴∠PCD+∠PDC=180°-40°=140°， ∴∠ACD+∠BDE=360°-140°=220°， ∵PA，PB，CD是⊙O的切线，点A，B，E为切点， ∴∠ACO=∠DCO= ∠ACD，∠BDO=∠EDO= ∠BDE. ∴∠OCD+∠ODC= ×220°=110°. ∴∠COD=180°-110°=70°. 课堂检测 O E D C B A P （2）如果∠P=40°， ②连接AE，BE，求∠AEB． 证明：∠AEB=180°-∠AEC-∠BED =180°- - =180°-90°+ ∠ACD-90°+ ∠BDE = ×220°=110°． 课堂检测 O E D C B A P 切线长 切线长定理 作用 图形的轴对称性 原理 提供了证线段和角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点 课堂小结 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 谢谢观看 $