专题01 因式分解五类训练（计算题专项训练）数学湘教版新教材八年级上册

**基本信息** 聚焦因式分解五类方法，构建“方法步骤-题型变式-综合应用”三阶训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |提公因式法|10题|四步提公因式（提系数、字母、合因式、提取）|从单项式公因式到多项式公因式，渗透符号变换（如(b-c)与(c-b)）| |公式法|10题|五步法（整理、判类型、凑形式、套公式、验彻底）|平方差与完全平方公式的直接应用及多项式整体代换| |综合分解|10题|先提后套再验的递进逻辑|提公因式与公式法结合，培养分步分解思维| |分组分解法|10题|分组造公因式再整体提取|通过分组转化为可提公因式或套公式的形式| |十字相乘法|10题|十字交叉分解系数与常数项|二次三项式的因式分解，强化代数变形能力|

专题01 因式分解五类训练（计算题专项训练） 【适用版本：湘教版新教材】 训练1 提公因式法分解因式 核心方法：先找多项式各项的公因式（系数最大公约数×相同字母最低次幂），再把每项拆成公因式与另一个因式的积，最后提取公因式，剩余部分组成新多项式。 1. 提系数：取各项系数的最大公约数。 2. 提字母：取各项都含有的相同字母，且取字母的最低次幂。 3. 合公因式：将系数和字母组合，得到公因式。 4. 提公因式：每项除以公因式，剩余部分写在括号内，公因式写在括号外。 方法指导 1．把下列多项式因式分解： （1）3xy﹣15y2+9y； （2）7x3y﹣4x2y3+18xy2； （3）12x4y2z3+4x3yz2﹣8x2yz4； （4）﹣6x3y2﹣4x2y3+10x2y2． 2．把下列各式因式分解： （1）2x（b﹣c）﹣4y（b﹣c）． （2）m（a﹣3）+2（3﹣a）． 3．因式分解： （1）5a2b3﹣20ab2+5ab； （2）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）2． 4．分解因式： （1）5a（x﹣y）﹣15b（y﹣x）； （2）x（x+2y﹣1）﹣2xy+2x． 5．将下列各式分解因式： （1）3a（a﹣2b）+6b（2b﹣a）； （2）5m（y﹣x）2﹣10（x﹣y）3． 6．把下列各式分解因式： （1）3a（x+y）﹣2b（x+y）； （2）12（m﹣n）3+18（n﹣m）2； （3）4p2（a+3）﹣3p2（a+3）2． 7．把下列各式分解因式： （1）（2x+y）（2x﹣3y）﹣3x（2x+y）； （2）4a（m﹣n）﹣2b（n﹣m）； （3）7m（x﹣5）3﹣2n（5﹣x）2． 8．把下列各式分解因式： （1）a（x+y）+b（x+y）﹣c（x+y）； （2）（m+n）（a﹣b﹣c）+（m﹣n）（b+c﹣a）； （3）（x+1）2（x+2）﹣（x+1）（x+2）2． 9．因式分解：2a（a﹣3）2﹣6a2（3﹣a）﹣10a（a﹣3）． 10．已知x2+3x＝﹣2，求5xn+2+15xn+1+10xn（n为正整数）的值． 训练2 公式法分解因式 核心方法：熟记平方差、完全平方这两类核心公式，将多项式转化为公式的标准形式，再逆向套用公式分解，本质是“凑形式、套公式”。 1. 先整理：多项式各项按字母降幂排列，提取各项公因式（优先提公因式，再套公式）。 2. 判类型：看剩余多项式是两项（试平方差）还是三项（试完全平方）。 3. 凑形式：把多项式拆成公式中“a²”“b²”“2ab”的形式（a、b可是单项式或多项式）。 4. 套公式：逆向代入对应公式，写出分解结果。 5. 验彻底：检查分解后的因式是否还能继续分解（如能，需分解到不能再分为止）。 方法指导 1．把下列各式分解因式： （1）a4﹣16； （2）81x4﹣72x2y2+16y4． 2．把下列各式分解因式： （1）25a4+10a2+1； （2）（m+n）2﹣4（m+n）+4． 3．在有理数范围内因式分解： （1）9（m+n）2﹣4（m﹣n）2； （2）x4﹣6x2+9． 4．因式分解： （1）（x2﹣12）2+6（x2﹣12）+9； （2）9（a﹣b）2﹣4（a+b）2． 5．因式分解： （1）4m2﹣n2﹣1+2n； （2）（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2． 6．把下列各式分解因式： （1）x2xy； （2）16n2（n﹣3）2+72n（n﹣3）+81． 7．分解因式： （1）4x2﹣25y2； （2）（a+2）2﹣1； （3）x4； （4）16（a﹣b）2﹣25（a+b）2． 8．把下列各式因式分解： （1）x2﹣12xy+36y2； （2）16a4+24a2b2+9b4； （3）﹣2xy﹣x2﹣y2； （4）4﹣12（x﹣y）+9（x﹣y）2． 9．下列多项式中，哪些可以用公式法因式分解？你是怎样分解的？ （1）； （2）9a2b2﹣3ab+1； （3）； （4）x6﹣10x3﹣25． 10．把下列多项式因式分解： （1）4x2﹣（y2﹣2y+1）； （2）（x4+4x2+4）﹣4y2； （3）（x+4）（x+1）+3x+12； （4）（x﹣y）2+6（x﹣y）+9． 训练3 提公因式法与公式法的综合分解因式 核心方法：分解因式遵循“先提公因式，再套公式，最后验彻底”的逻辑，先提取各项公因式简化多项式，再判断剩余部分是否符合平方差、完全平方公式，逐步分解至不能再分。 1. 优先提公因式：无论多项式结构如何，第一步先提取各项的公因式（系数最大公约数+相同字母最低次幂，首项为负可提负公因式），得到“公因式×新多项式”的形式。 2. 判断公式类型：观察提公因式后的新多项式——两项且异号、均为完全平方项，试平方差公式；三项、首末为平方项且同号、中间是首尾底数积的2倍，试完全平方公式。 3. 套用公式分解：将新多项式凑成公式标准形式（a²±b²或a²±2ab+b²），逆向代入公式分解。 4. 检验彻底性：检查最终所有因式是否还能继续分解（如仍有可分解的多项式，重复上述步骤）。 方法指导 1．把下列各式因式分解： （1）2a3﹣12a2+18a； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 2．因式分解： （1）2x2﹣12x+18． （2）a2（x﹣y）﹣16b2（x﹣y）． 3．因式分解： （1）3a（a+b）﹣（a+b）（2a﹣3b）； （2）a4﹣2a2b2+b4． 4．因式分解： （1）（a+b）﹣2a（a+b）+a2（a+b）； （2）2ax3y4+4ax4y2+2ax5． 5．分解因式： （1）x2（m﹣n）+（n﹣m）； （2）4﹣12（y﹣x）+9（x﹣y）2． 6．将下列各式因式分解： （1）a3﹣ab2； （2）a2（x﹣y）﹣2ab（y﹣x）+b2（x﹣y）． 7．因式分解： （1）27a2bc﹣9ab2c+3abc2； （2）9（a﹣b）（a+b）﹣3（a﹣b）2． 8．把下列各式分解因式： （1）6a2b﹣9ab2+15ab； （2）﹣4a4﹣6a3+2a2； （3）3a2y﹣3ay+6y； （4）﹣24x2y﹣12xy2+28y3． 9．因式分解： （1）5a3+10a2b+20ab2； （2）2ma﹣10mb+n（5b﹣a）； （3）8x2y2﹣4xy3﹣4x3y； （4）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）． 10．因式分解 （1）8a3﹣2a； （2）4xy2﹣4x2y﹣y3； （3）（5x+6）（x﹣6）+2x（6﹣x）； （4）9（2x﹣1）2﹣6（2x﹣1）+1． 训练4 分组分解法分解因式 核心方法：将多项式分组（通常分2组或3组），使每组能提公因式或套公式，再提取各组间的公因式，本质是“分组造公因式，再整体提公因式”。 方法指导 1．把下列各式分解因式： （1）x2﹣y2+ax+ay； （2）a2+2ab+b2﹣c2． 2．把下列多项式因式分解： （1）x2﹣4y2+x+2y； （2）ax﹣bx﹣ay+by； （3）xn+1﹣2xn+xn﹣1（n＞1）． 3．把下列各式分解因式： （1）4a2﹣b2+4a﹣2b； （2）x2﹣2xy+y2﹣1； （3）9x2+6x+2y﹣y2． 4．因式分解： （1）4x3﹣31x+15； （2）x4+x3﹣3x2﹣4x﹣4． 5．分解因式： （1）a2﹣ab+ac﹣bc； （2）x3+6x2﹣x﹣6． 6．把下列各式分解因式，并从中归纳出新的因式分解方法． （1）8ax+12ay﹣10bx﹣15by； （2）2ab﹣a2﹣b2+4． 7．因式分解 （1）﹣2x3+16x2﹣24x； （2）a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx． 8．因式分解： （1）a2﹣ab﹣2a+2b； （2）3a﹣9b+2ac﹣6bc； （3）x2+3y﹣xy﹣3x； （4）x3+2x2y﹣9x﹣18y． 9．因式分解： （1）x2+4y2﹣1﹣4xy； （2）a2﹣b2﹣c2+2bc； （3）x2﹣2x+6y﹣9y2； （4）a2+2a﹣b2﹣2b． 10．因式分解： （1）a3﹣a2b+4b﹣4a； （2）2x2y﹣6xy+2x2﹣6x； （3）m2n+mn2+2m2﹣4m； （4）a2﹣b（b+4）﹣4． 训练5 十字相乘法分解因式 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 方法指导 1．把下列各式分解因式： （1）x2﹣6x+8； （2）x2+3x﹣10． 2．分解因式： （1）3x2﹣2x﹣1 （2）3x2+11x+8． 3．因式分解： （1）x2+5x+6； （2）x2+7x+6． 4．用十字相乘法分解因式： （1）3x2+5x﹣2； （2）5m2+6mn﹣8n2． 5．用十字相乘法分解因式 （1）x2+9x+20 （2）x2﹣7x+12． 6．因式分解： （1）2x2+15x+7； （2）4m2+5m﹣6； （3）12y2﹣11y+2． 7．十字相乘法因式分解： （1）x2+5x+6 （2）x2﹣5x﹣6 （3）2x2﹣3x+1 （4）6x2+5x﹣6． 8．分解因式： （1）x2﹣14x+24 （2）x2﹣2x﹣15 （3）6x2﹣13x+6 （4）6x2﹣5x﹣6． 9．试利用乘法公式（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq将下列各式因式分解： （1）a2+5a+6； （2）y2﹣12y﹣28； （3）x2+4x﹣5； （4）y4﹣3y3﹣28y2． 10．利用十字相乘法分解因式． （1）x2﹣3x﹣4； （2）3x2+5x﹣2； （3）3x2+2ax﹣a2； （4）2x2+x﹣m（2m+1） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解五类训练（计算题专项训练） 【适用版本：湘教版新教材】 训练1 提公因式法分解因式 核心方法：先找多项式各项的公因式（系数最大公约数×相同字母最低次幂），再把每项拆成公因式与另一个因式的积，最后提取公因式，剩余部分组成新多项式。 1. 提系数：取各项系数的最大公约数。 2. 提字母：取各项都含有的相同字母，且取字母的最低次幂。 3. 合公因式：将系数和字母组合，得到公因式。 4. 提公因式：每项除以公因式，剩余部分写在括号内，公因式写在括号外。 方法指导 1．把下列多项式因式分解： （1）3xy﹣15y2+9y； （2）7x3y﹣4x2y3+18xy2； （3）12x4y2z3+4x3yz2﹣8x2yz4； （4）﹣6x3y2﹣4x2y3+10x2y2． 【解答】解：（1）3xy﹣15y2+9y＝3y（x﹣5y+3）； （2）7x3y﹣4x2y3+18xy2＝xy（7x2﹣4xy2+18y）； （3）12x4y2z3+4x3yz2﹣8x2yz4＝4x2yz2（3x2yz+x﹣2z2）； （4）﹣6x3y2﹣4x2y3+10x2y2＝﹣（6x3y2+4x2y3﹣10x2y2）＝﹣2x2y2（3x+2y﹣5）． 2．把下列各式因式分解： （1）2x（b﹣c）﹣4y（b﹣c）． （2）m（a﹣3）+2（3﹣a）． 【解答】解：（1）2x（b﹣c）﹣4y（b﹣c）＝2（b﹣c）（x﹣2y）； （2）m（a﹣3）+2（3﹣a） ＝m（a﹣3）﹣2（a﹣3） ＝（a﹣3）（m﹣2）． 3．因式分解： （1）5a2b3﹣20ab2+5ab； （2）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）2． 【解答】解：（1）5a2b3﹣20ab2+5ab＝5ab（ab2﹣4b+1）； （2）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）2 ＝mn（m﹣n）﹣m（m﹣n）2 ＝m（m﹣n）[n﹣（m﹣n）] ＝m（m﹣n）（2n﹣m）． 4．分解因式： （1）5a（x﹣y）﹣15b（y﹣x）； （2）x（x+2y﹣1）﹣2xy+2x． 【解答】解：（1）5a（x﹣y）﹣15b（y﹣x） ＝5a（x﹣y）+15b（x﹣y） ＝5（x﹣y）（a+3b）； （2）x（x+2y﹣1）﹣2xy+2x ＝x（x+2y﹣1﹣2y+2） ＝x（x+1）． 5．将下列各式分解因式： （1）3a（a﹣2b）+6b（2b﹣a）； （2）5m（y﹣x）2﹣10（x﹣y）3． 【解答】解：（1）3a（a﹣2b）+6b（2b﹣a） ＝3a（a﹣2b）﹣6b（a﹣2b） ＝（a﹣2b）（3a﹣6b） ＝3（2﹣2b）2； （2）5m（y﹣x）2﹣10（x﹣y）3 ＝5（x﹣y）2（m﹣2x+2y）． 6．把下列各式分解因式： （1）3a（x+y）﹣2b（x+y）； （2）12（m﹣n）3+18（n﹣m）2； （3）4p2（a+3）﹣3p2（a+3）2． 【解答】解：（1）3a（x+y）﹣2b（x+y）＝（x+y）（3a﹣2b）； （2）12（m﹣n）3+18（n﹣m）2 ＝12（m﹣n）3+18（m﹣n）2 ＝6（m﹣n）2[2（m﹣n）+3] ＝6（m﹣n）2（2m﹣2n+3）； （3）4p2（a+3）﹣3p2（a+3）2 ＝p2（a+3）[4﹣3（a+3）] ＝p2（a+3）（4﹣3a﹣9） ＝p2（a+3）（﹣3a﹣5） ＝﹣p2（a+3）（3a+5）． 7．把下列各式分解因式： （1）（2x+y）（2x﹣3y）﹣3x（2x+y）； （2）4a（m﹣n）﹣2b（n﹣m）； （3）7m（x﹣5）3﹣2n（5﹣x）2． 【解答】解：（1）（2x+y）（2x﹣3y）﹣3x（2x+y） ＝（2x+y）（2x﹣3y﹣3x） ＝（2x+y）（﹣x﹣3y） ＝﹣（2x+y）（x+3y）； （2）4a（m﹣n）﹣2b（n﹣m） ＝4a（m﹣n）+2b（m﹣n） ＝2（m﹣n）（2a+b）； （3）7m（x﹣5）3﹣2n（5﹣x）2 ＝7m（x﹣5）3﹣2n（x﹣5）2 ＝（x﹣5）2[7m（x﹣5）﹣2n] ＝（x﹣5）2（7mx﹣35m﹣2n）． 8．把下列各式分解因式： （1）a（x+y）+b（x+y）﹣c（x+y）； （2）（m+n）（a﹣b﹣c）+（m﹣n）（b+c﹣a）； （3）（x+1）2（x+2）﹣（x+1）（x+2）2． 【解答】解：（1）a（x+y）+b（x+y）﹣c（x+y）＝（x+y）（a+b﹣c）； （2）（m+n）（a﹣b﹣c）+（m﹣n）（b+c﹣a） ＝（m+n）（a﹣b﹣c）﹣（m﹣n）（a﹣b﹣c） ＝（a﹣b﹣c）[（m+n）﹣（m﹣n）] ＝2n（a﹣b﹣c）； （3）（x+1）2（x+2）﹣（x+1）（x+2）2 ＝（x+1）（x+2）[（x+1）﹣（x+2）] ＝﹣（x+1）（x+2）． 9．因式分解：2a（a﹣3）2﹣6a2（3﹣a）﹣10a（a﹣3）． 【解答】解：原式＝2a（a﹣3）（a﹣3）+2a•3a（a﹣3）﹣5•2a（a﹣3） ＝2a（a﹣3）[（a﹣3）+3a﹣5] ＝2a（a﹣3）（4a﹣8） ＝8a（a﹣3）（a﹣2）． 10．已知x2+3x＝﹣2，求5xn+2+15xn+1+10xn（n为正整数）的值． 【解答】解：5xn+2+15xn+1+10xn（n为正整数）＝5xn（x2+3x+2）， ∵x2+3x＝﹣2， ∴原式＝5xn（﹣2+2）＝0． 训练2 公式法分解因式 核心方法：熟记平方差、完全平方这两类核心公式，将多项式转化为公式的标准形式，再逆向套用公式分解，本质是“凑形式、套公式”。 1. 先整理：多项式各项按字母降幂排列，提取各项公因式（优先提公因式，再套公式）。 2. 判类型：看剩余多项式是两项（试平方差）还是三项（试完全平方）。 3. 凑形式：把多项式拆成公式中“a²”“b²”“2ab”的形式（a、b可是单项式或多项式）。 4. 套公式：逆向代入对应公式，写出分解结果。 5. 验彻底：检查分解后的因式是否还能继续分解（如能，需分解到不能再分为止）。 方法指导 1．把下列各式分解因式： （1）a4﹣16； （2）81x4﹣72x2y2+16y4． 【解答】解：（1）a4﹣16＝（a2+4）（a2﹣4）＝（a2+4）（a+2）（a﹣2）； （2）81x4﹣72x2y2+16y4＝（9x2﹣4y2）2＝（3x+2y）2（3x﹣2y）2． 2．把下列各式分解因式： （1）25a4+10a2+1； （2）（m+n）2﹣4（m+n）+4． 【解答】解：（1）25a4+10a2+1＝（5a2+1）2； （2）（m+n）2﹣4（m+n）+4＝（m+n﹣2）2． 3．在有理数范围内因式分解： （1）9（m+n）2﹣4（m﹣n）2； （2）x4﹣6x2+9． 【解答】解：（1）9（m+n）2﹣4（m﹣n）2 ＝[3（m+n）+2（m﹣n）][3（m+n）﹣2（m﹣n）] ＝（5m+n）（m+5n）； （2）x4﹣6x2+9 ＝（x2﹣3）2． 4．因式分解： （1）（x2﹣12）2+6（x2﹣12）+9； （2）9（a﹣b）2﹣4（a+b）2． 【解答】解：（1）原式＝（x2﹣12+3）2 ＝（x2﹣9）2 ＝[（x+3）（x﹣3）]2 ＝（x+3）2（x﹣3）2； （2）原式＝[3（a﹣b）+2（a+b）][3（a﹣b）﹣2（a+b）]＝（5a﹣b）（a﹣5b）． 5．因式分解： （1）4m2﹣n2﹣1+2n； （2）（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2． 【解答】解：（1）原式＝4m2﹣（n2﹣2n+1） ＝（2m）2﹣（n﹣1）2 ＝（2m+n﹣1）（2m﹣n+1）； （2）原式＝（a2+b2﹣c2）2﹣（2ab）2 ＝（a2+b2﹣c2+2ab）（a2+b2﹣c2﹣2ab） ＝[（a+b）2﹣c2][（a﹣b）2﹣c2] ＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）． 6．把下列各式分解因式： （1）x2xy； （2）16n2（n﹣3）2+72n（n﹣3）+81． 【解答】解：（1）x2xy＝（x）2； （2）16n2（n﹣3）2+72n（n﹣3）+81 ＝[4n（n﹣3）+9]2 ＝（4n2﹣12n+9）2 ＝（2n﹣3）4． 7．分解因式： （1）4x2﹣25y2； （2）（a+2）2﹣1； （3）x4； （4）16（a﹣b）2﹣25（a+b）2． 【解答】解：（1）原式＝（2x）2﹣（5y）2 ＝（2x+5y）（2x﹣5y）； （2）原式＝（a+2+1）（a+2﹣1） ＝（a+3）（a+1）； （3）原式＝x4 ＝（x2）（x）（x）； （4）原式＝[4（a﹣b）]2﹣[5（a+b）]2 ＝[4（a﹣b）+5（a+b）][4（a﹣b）﹣5（a+b）] ＝（4a﹣4b+5a+5b）（4a﹣4b﹣5a﹣5b） ＝（9a+b）（﹣a﹣9b） ＝﹣（9a+b）（a+9b） ＝﹣（9a+b）2． 8．把下列各式因式分解： （1）x2﹣12xy+36y2； （2）16a4+24a2b2+9b4； （3）﹣2xy﹣x2﹣y2； （4）4﹣12（x﹣y）+9（x﹣y）2． 【解答】解：（1）原式＝（x﹣6y）2； （2）原式＝（4a2+3b2）2； （3）原式＝﹣（x2+y2+2xy）＝﹣（x+y）2； （4）原式＝[2﹣3（x﹣y）]2＝（2﹣3x+3y）2． 9．下列多项式中，哪些可以用公式法因式分解？你是怎样分解的？ （1）； （2）9a2b2﹣3ab+1； （3）； （4）x6﹣10x3﹣25． 【解答】解：（1）可以用完全平方公式分解因式； ； （2）9a2b2﹣3ab+1不能用公式分解因式； （3）可以用完全平方公式分解因式： （4）x6﹣10x3﹣25不能用公式分解因式． 10．把下列多项式因式分解： （1）4x2﹣（y2﹣2y+1）； （2）（x4+4x2+4）﹣4y2； （3）（x+4）（x+1）+3x+12； （4）（x﹣y）2+6（x﹣y）+9． 【解答】解：（1）4x2﹣（y2﹣2y+1） ＝4x2﹣（y﹣1）2 ＝[2x+（y﹣1）][2x﹣（y﹣1）] ＝（2x+y﹣1）（2x﹣y+1）； （2）（x4+4x2+4）﹣4y2 ＝（x2+2）2﹣4y2 ＝（x2+2+2y）（x2+2﹣2y）； （3）（x+4）（x+1）+3x+12 ＝（x+4）（x+1）+3（x+4） ＝（x+4）（x+1+3） ＝（x+4）（x+4） ＝（x+4）2； （4）（x﹣y）2+6（x﹣y）+9＝（x﹣y+3）2． 训练3 提公因式法与公式法的综合分解因式 核心方法：分解因式遵循“先提公因式，再套公式，最后验彻底”的逻辑，先提取各项公因式简化多项式，再判断剩余部分是否符合平方差、完全平方公式，逐步分解至不能再分。 1. 优先提公因式：无论多项式结构如何，第一步先提取各项的公因式（系数最大公约数+相同字母最低次幂，首项为负可提负公因式），得到“公因式×新多项式”的形式。 2. 判断公式类型：观察提公因式后的新多项式——两项且异号、均为完全平方项，试平方差公式；三项、首末为平方项且同号、中间是首尾底数积的2倍，试完全平方公式。 3. 套用公式分解：将新多项式凑成公式标准形式（a²±b²或a²±2ab+b²），逆向代入公式分解。 4. 检验彻底性：检查最终所有因式是否还能继续分解（如仍有可分解的多项式，重复上述步骤）。 方法指导 1．把下列各式因式分解： （1）2a3﹣12a2+18a； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 【解答】解：（1）原式＝2a（a2﹣6a+9）＝2a（a﹣3）2； （2）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y） ＝（x﹣y）（9a2﹣4b2） ＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）． 2．因式分解： （1）2x2﹣12x+18． （2）a2（x﹣y）﹣16b2（x﹣y）． 【解答】解：（1）2x2﹣12x+18 ＝2（x2﹣6x+9） ＝2（x﹣3）2； （2）a2（x﹣y）﹣16b2（x﹣y） ＝（x﹣y）（a2﹣16b2） ＝（x﹣y）（a﹣4b）（a+4b）． 3．因式分解： （1）3a（a+b）﹣（a+b）（2a﹣3b）； （2）a4﹣2a2b2+b4． 【解答】解：（1）原式＝（a+b）（3a﹣2a+3b）＝（a+b）（a+3b）； （2）原式＝（a2）2﹣2a2b2+（b2）2 ＝（a2﹣b2）2 ＝（a﹣b）2（a+b）2． 4．因式分解： （1）（a+b）﹣2a（a+b）+a2（a+b）； （2）2ax3y4+4ax4y2+2ax5． 【解答】解：（1）原式＝（a+b）（1﹣2a+a2） ＝（a+b）（1﹣a）2； （2）原式＝2ax3（y4+2xy2+x2） ＝2ax3（y2+x）2． 5．分解因式： （1）x2（m﹣n）+（n﹣m）； （2）4﹣12（y﹣x）+9（x﹣y）2． 【解答】解：（1）x2（m﹣n）+（n﹣m） ＝（m﹣n）（x2﹣1） ＝（m﹣n）（x+1）（x﹣1）； （2）4﹣12（y﹣x）+9（x﹣y）2 ＝[2﹣3（y﹣x）]2 ＝（2﹣3y+3x）2． 6．将下列各式因式分解： （1）a3﹣ab2； （2）a2（x﹣y）﹣2ab（y﹣x）+b2（x﹣y）． 【解答】解：（1）a3﹣ab2 ＝a（a2﹣b2） ＝a（a+b）（a﹣b）； （2）a2（x﹣y）﹣2ab（y﹣x）+b2（x﹣y） ＝（x﹣y）（a2+2ab+b2） ＝（x﹣y）（a+b）2． 7．因式分解： （1）27a2bc﹣9ab2c+3abc2； （2）9（a﹣b）（a+b）﹣3（a﹣b）2． 【解答】（1）原式＝3abc（9a﹣3b+c）； （2）原式＝3（a﹣b）[3（a+b）﹣（a﹣b）] ＝3（a﹣b）（3a+3b﹣a+b） ＝3（a﹣b）（2a+4b） ＝6（a﹣b）（a+2b）． 8．把下列各式分解因式： （1）6a2b﹣9ab2+15ab； （2）﹣4a4﹣6a3+2a2； （3）3a2y﹣3ay+6y； （4）﹣24x2y﹣12xy2+28y3． 【解答】解：（1）原式＝3ab（2a﹣3b+5）； （2）原式＝﹣2a2（2a2+3a﹣1）； （3）原式＝3y（a2﹣a+2）； （4）原式＝﹣4y（6x2+3xy﹣7y2）． 9．因式分解： （1）5a3+10a2b+20ab2； （2）2ma﹣10mb+n（5b﹣a）； （3）8x2y2﹣4xy3﹣4x3y； （4）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）． 【解答】解：（1）原式＝5a（a2+2ab+4b2）； （2）原式＝2m（a﹣5b）﹣n（a﹣5b） ＝（a﹣5b）（2m﹣n）； （3）原式＝﹣4xy（﹣2xy+y2+x2）； ＝﹣4xy（x﹣y）2； （4）原式＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y） ＝（x﹣y）（x2﹣y2） ＝（x﹣y）（x+y）（x﹣y） ＝（x+y）（x﹣y）2． 10．因式分解 （1）8a3﹣2a； （2）4xy2﹣4x2y﹣y3； （3）（5x+6）（x﹣6）+2x（6﹣x）； （4）9（2x﹣1）2﹣6（2x﹣1）+1． 【解答】解：（1）原式＝2a（4a2﹣1） ＝2a（2a+1）（2a﹣1）； （2）原式＝﹣y（4x2﹣4xy+y2） ＝﹣y（2x﹣y）2； （3）原式＝（x﹣6）（5x+6﹣2x） ＝（x﹣6）（3x+6） ＝3（x﹣6）（x+2）； （4）原式＝[3（2x﹣1）﹣1]2 ＝（6x﹣4）2 ＝4（3x﹣2）2． 训练4 分组分解法分解因式 核心方法：将多项式分组（通常分2组或3组），使每组能提公因式或套公式，再提取各组间的公因式，本质是“分组造公因式，再整体提公因式”。 方法指导 1．把下列各式分解因式： （1）x2﹣y2+ax+ay； （2）a2+2ab+b2﹣c2． 【解答】解：（1）原式＝（x2﹣y2）+（ax+ay） ＝（x+y）（x﹣y）+a（x+y） ＝（x+y）（x﹣y+a）； （2）原式＝（a2+2ab+b2）﹣c2 ＝（a+b）2﹣c2 ＝（a+b+c）（a+b﹣c）． 2．把下列多项式因式分解： （1）x2﹣4y2+x+2y； （2）ax﹣bx﹣ay+by； （3）xn+1﹣2xn+xn﹣1（n＞1）． 【解答】解：（1）x2﹣4y2+x+2y ＝（x2﹣4y2）+（x+2y） ＝（x+2y）（x﹣2y）+（x+2y） ＝（x+2y）（x﹣2y+1）； （2）ax﹣bx﹣ay+by ＝（ax﹣bx）﹣（ay﹣by） ＝x（a﹣b）﹣y（a﹣b） ＝（a﹣b）（x﹣y）； （3）xn+1﹣2xn+xn﹣1 ＝xn﹣1（x2﹣2x+1） ＝xn﹣1（x﹣1）2． 3．把下列各式分解因式： （1）4a2﹣b2+4a﹣2b； （2）x2﹣2xy+y2﹣1； （3）9x2+6x+2y﹣y2． 【解答】解：（1）原式＝（4a2﹣b2）+（4a﹣2b） ＝（2a+b）（2a﹣b）+2（2a﹣b） ＝（2a﹣b）（2a+b+2）； （2）原式＝（x2﹣2xy+y2）﹣1 ＝（x﹣y）2﹣1 ＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）； （3）原式＝（9x2﹣y2）+（6x+2y） ＝（3x+y）（3x﹣y）+2（3x+y） ＝（3x+y）（3x﹣y+2）． 4．因式分解： （1）4x3﹣31x+15； （2）x4+x3﹣3x2﹣4x﹣4． 【解答】解：（1）4x3﹣31x+15 ＝（4x3﹣x）﹣（30x﹣15） ＝x（4x2﹣1）﹣15（2x﹣1） ＝x（2x+1）（2x﹣1）﹣15（2x﹣1） ＝（2x﹣1）（2x2+x﹣15） ＝（2x﹣1）（2x﹣5）（x+3）； （2）x4+x3﹣3x2﹣4x﹣4 ＝（x4+x3﹣2x2）﹣（x2+4x+4） ＝x2（x2+x﹣2）﹣（x+2）2 ＝x2（x+2）（x﹣1）﹣（x+2）2 ＝（x+2）[x2（x﹣1）﹣（x+2）] ＝（x+2）（x3﹣x2﹣x﹣2） ＝（x+2）（x﹣2）（x2+x+1）． 5．分解因式： （1）a2﹣ab+ac﹣bc； （2）x3+6x2﹣x﹣6． 【解答】解：（1）a2﹣ab+ac﹣bc ＝a（a﹣b）+c（a﹣b） ＝（a+c）（a﹣b）； （2）x3+6x2﹣x﹣6 ＝x2（x+6）﹣（x+6） ＝（x+6）（x2﹣1） ＝（x+6）（x+1）（x﹣1）． 6．把下列各式分解因式，并从中归纳出新的因式分解方法． （1）8ax+12ay﹣10bx﹣15by； （2）2ab﹣a2﹣b2+4． 【解答】解：（1）原式＝（8ax﹣10bx）+（12ay﹣15by） ＝2x（4a﹣5b）+3y（4a﹣5b） ＝（4a﹣5b）（2x+3y）； （2）原式＝（2ab﹣a2﹣b2）+4 ＝﹣[（a2﹣2ab+b2）﹣4] ＝﹣[（a﹣b）2﹣22] ＝﹣（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）． 归纳：本题运用了分组分解法，即将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解因式的方法． 7．因式分解 （1）﹣2x3+16x2﹣24x； （2）a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx． 【解答】解：（1）﹣2x3+16x2﹣24x ＝﹣2x（x2﹣8x+12） ＝﹣2x（x﹣2）（x﹣6）； （2）a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx ＝（a2﹣2ay+y2）﹣（b2﹣2bx+x2） ＝（a﹣y）2﹣（b﹣x）2 ＝（a﹣y+b﹣x）（a﹣y﹣b+x）． 8．因式分解： （1）a2﹣ab﹣2a+2b； （2）3a﹣9b+2ac﹣6bc； （3）x2+3y﹣xy﹣3x； （4）x3+2x2y﹣9x﹣18y． 【解答】解：（1）a2﹣ab﹣2a+2b ＝a（a﹣b）﹣2（a﹣b） ＝（a﹣b）（a﹣2）； （2）3a﹣9b+2ac﹣6bc ＝3（a﹣3b）+2c（a﹣3b） ＝（a﹣3b）（3+2c）； （3）x2+3y﹣xy﹣3x ＝x2﹣xy﹣3x+3y ＝x（x﹣y）﹣3（x﹣y） ＝（x﹣y）（x﹣3）； （4）x3+2x2y﹣9x﹣18y ＝x2（x+2y）﹣9（x+2y） ＝（x+2y）（x2﹣9） ＝（x+2y）（x+3）（x﹣3）． 9．因式分解： （1）x2+4y2﹣1﹣4xy； （2）a2﹣b2﹣c2+2bc； （3）x2﹣2x+6y﹣9y2； （4）a2+2a﹣b2﹣2b． 【解答】解：（1）x2+4y2﹣1﹣4xy ＝x2﹣4xy+4y2﹣1 ＝（x﹣2y）2﹣1 ＝（x﹣2y+1）（x﹣2y﹣1）； （2）a2﹣b2﹣c2+2bc ＝a2﹣（b2+c2﹣2bc） ＝a2﹣（b﹣c）2 ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）； （3）x2﹣2x+6y﹣9y2 ＝x2﹣9y2﹣2x+6y ＝（x+3y）（x﹣3y）﹣2（x﹣3y） ＝（x﹣3y）（x+3y﹣2）； （4）a2+2a﹣b2﹣2b ＝a2﹣b2+2a﹣2b ＝（a+b）（a﹣b）+2（a﹣b） ＝（a﹣b）（a+b+2）． 10．因式分解： （1）a3﹣a2b+4b﹣4a； （2）2x2y﹣6xy+2x2﹣6x； （3）m2n+mn2+2m2﹣4m； （4）a2﹣b（b+4）﹣4． 【解答】（1）a3﹣a2b+4b﹣4a ＝（a3﹣a2b）﹣（4a﹣4b） ＝a2（a﹣b）﹣4（a﹣b） ＝（a﹣b）（a2﹣4） ＝（a﹣b）（a+2）（a﹣2）； （2）2x2y﹣6xy+2x2﹣6x ＝（2x2y+2x2）﹣（6xy+6x） ＝2x2（y+1）+6x（y+1） ＝（y+1）（2x2+6x） ＝2x（y+1）（x+3）； （3）m2n+mn2+2m2﹣4m ＝（m2n+2m2）+（mn2﹣4m） ＝m2（n+2）+m（n2﹣4） ＝m2（n+2）+m（n+2）（n﹣2） ＝（n+2）（m2+mn﹣2m） ＝m（n+2）（m+n﹣2）； （4）a2﹣b（b+4）﹣4 ＝a2﹣b2﹣4b﹣4 ＝a2﹣（b2+4b+4） ＝a2﹣（b+2）2 ＝（a+b+2）（a﹣b﹣2）． 训练5 十字相乘法分解因式 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 方法指导 1．把下列各式分解因式： （1）x2﹣6x+8； （2）x2+3x﹣10． 【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）； （2）x2+3x﹣10＝（x+5）（x﹣2）． 2．分解因式： （1）3x2﹣2x﹣1 （2）3x2+11x+8． 【解答】解：（1）原式＝（3x+1）（x﹣1）； （2）原式＝（3x+8）（x+1）． 3．因式分解： （1）x2+5x+6； （2）x2+7x+6． 【解答】解：（1）x2+5x+6＝（x+2）（x+3）； （2）x2+7x+6＝（x+1）（x+6）． 4．用十字相乘法分解因式： （1）3x2+5x﹣2； （2）5m2+6mn﹣8n2． 【解答】解：（1）原式＝（3x﹣1）（x+2）； （2）原式＝（m+2n）（5m﹣4n）． 5．用十字相乘法分解因式 （1）x2+9x+20 （2）x2﹣7x+12． 【解答】解：（1）x2+9x+20＝（x+4）（x+5）； （2）x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）． 6．因式分解： （1）2x2+15x+7； （2）4m2+5m﹣6； （3）12y2﹣11y+2． 【解答】解：（1）原式＝（2x+1）（x+7）； （2）原式＝（4m﹣3）（m+2）； （3）原式＝（3y﹣2）（4y﹣1）． 7．十字相乘法因式分解： （1）x2+5x+6 （2）x2﹣5x﹣6 （3）2x2﹣3x+1 （4）6x2+5x﹣6． 【解答】解：（1）原式＝（x+2）（x+3）； （2）原式＝（x﹣6）（x+1）； （3）原式＝（2x﹣1）（x﹣1）； （4）原式＝（2x+3）（3x﹣2）． 8．分解因式： （1）x2﹣14x+24 （2）x2﹣2x﹣15 （3）6x2﹣13x+6 （4）6x2﹣5x﹣6． 【解答】解：（1）原式＝（x﹣2）（x﹣12）； （2）原式＝（x﹣5）（x+3）； （3）原式＝（2x﹣3）（3x﹣2）； （4）原式＝（2x﹣3）（3x+2）． 9．试利用乘法公式（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq将下列各式因式分解： （1）a2+5a+6； （2）y2﹣12y﹣28； （3）x2+4x﹣5； （4）y4﹣3y3﹣28y2． 【解答】解：（1）a2+5a+6＝（a+2）（a+3）； （2）y2﹣12y﹣28＝（y﹣14）（y+2）； （3）x2+4x﹣5＝（x+5）（x﹣1）； （4）y4﹣3y3﹣28y2 ＝y2（y2﹣3y﹣28） ＝y2（y+4）（y﹣7）． 10．利用十字相乘法分解因式． （1）x2﹣3x﹣4； （2）3x2+5x﹣2； （3）3x2+2ax﹣a2； （4）2x2+x﹣m（2m+1） 【解答】解：（1）原式＝（x﹣4）（x+1）； （2）原式＝（3x﹣1）（x+2）； （3）原式＝（3x﹣a）（x+a）； （4）原式＝（2x+2m+1）（x﹣m）． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $