第一章因式分解专题练习 2026-2027学年湘教版八年级数学上册

湘教版八年级上册第一章因式分解专题练习 【知识点梳理】 1．因式分解的定义 把一个多项式表示成若干个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 2．因式分解与整式乘法的关系（互逆运算） 整式乘法：整式的积 → 多项式（和差形式）。 因式分解：多项式（和差形式） → 整式的积。 注意： ① 因式分解结果必须是乘积形式，不能留有和差； ② 分解结果中每一个因式都必须是整式； ③ 分解要彻底，直到不能再分解为止。 3．因式分解的基本要求 （1）结果必须为整式乘积，禁止出现分式； （2）多项式首项系数一般化为正数； （3）相同因式统一写成幂的形式，格式规范。 2．提公因式法 1 公因式的概念：几个多项式的相同因式称为它们的公因式. 2 确定公因式的一般步骤 (1)定系数：当多项式各项系数都是整数时，公因式的系数是各项系数绝对值的最大公因数. (2)定字母：公因式中的字母是多项式中各项的相同字母. (3)定字母的指数：公因式中字母的指数是多项式中各项的相同字母的最低次数. 1 提公因式法的概念：如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法. 用提公因式法进行因式分解的一般步骤 (1)确定公因式. (2)提取公因式并确定另一个因式：逆向应用乘法对加法的分配律. 对应练习 1．（2026·广西·中考真题）因式分解：（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川凉山·中考真题）已知，，则的值为（     ） A．6 B．8 C．12 D．18 3．（2026·四川内江·中考真题）因式分解：_________． 4．（2026·甘肃天水·中考真题）因式分解：________________． 5．（2025·四川·中考真题）分解因式：_________． 6．（2025·湖南长沙·中考真题）分解因式：______． 7．（2025·江苏镇江·中考真题）分解因式：______． 8．（2024·四川自贡·中考真题）分解因式：______． 9．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是________． 10．（2014·青海西宁·中考真题）长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为_____． 11．（2023·山东·中考真题）已知实数满足，则_________． 12．（2021·湖南株洲·中考真题）因式分解：__________． 【知识点梳理】 3．公式法 1公式法的概念：把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. ⑴用平方差公式进行因式分解 平方差公式： 用平方差公式进行因式分解 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. ⑵ 用完全平方公式进行因式分解 完全平方公式： 用完全平方公式进行因式分解 即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 对应练习 选择题 13．（2026·苏州·中考真题）若，其中，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2026·云南·中考真题）分解因式：（     ） A． B． C． D． 15．（2020·浙江金华·中考真题）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 16．（2024·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（   ） A．被整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 17．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 18．（13-14八年级下·辽宁丹东·期中）把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（ ）． A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1) C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1) 19．（2016·吉林长春·中考真题）把多项式分解因式，结果正确的是（ ） A． B． C．（x+3）（x﹣3） D．（x+9）（x﹣9） 20．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 21．（2021·广西贺州·中考真题）多项式因式分解为（    ） A． B． C． D． 填空题 22．（2026·湖北武汉·中考真题）已知，，代数式的值是_________． 23．（2025·江苏常州·中考真题）分解因式：________． 24．（2022·湖北恩施·中考真题）因式分解： _______． 25．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是________（填一个即可）． 26．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是__________． 27．（2024·山东威海·中考真题）因式分解：________． 28．（2023·辽宁丹东·中考真题）因式分解：______． 29．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）分解因式________． 30．（2024·内蒙古通辽·中考真题）因式分解：______． 31．（2022·四川内江·中考真题）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝_____． 32．（2022·黑龙江绥化·中考真题）因式分解：________． 33．（2021·广东·中考真题）若且，则_____． 34．（2019·贵州毕节·中考真题）分解因式：x4﹣16＝______. 35．（2019·江苏南京·中考真题）分解因式的结果是____________． 36．（2018·河北·中考真题）若a，b互为相反数，则a2﹣b2=_____． 37．（2024·甘肃甘南·中考真题）分解因式：_____________． 38．（2019·四川内江·中考真题）分解因式：________． 39．（2024·山东东营·中考真题）因式分解：__________． 40．（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式：________． 41．（2022·贵州黔东南·中考真题）分解因式：_______． 42．（2022·四川巴中·中考真题）因式分解：______． 43．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【知识点梳理】 十字相乘法 1．适用对象：二次三项式，分为两类：① 二次项系数为1：x²＋px＋q；② 二次项系数不为1：ax²＋bx＋c(a≠1)。 2．核心解题原理：十字相乘法本质：拆常数、凑一次项，横向写因式，交叉相乘验中间项。 3．类型一：二次项系数为1（必考基础） 公式：x²＋(m＋n)x＋mn＝(x＋m)(x＋n)。 口诀：首尾拆开，交叉相乘，和为中间，横向书写。 拆分规则：常数项拆成两个数乘积，两数之和等于一次项系数；同号两数相加取相同符号，异号两数相加取绝对值大数符号。 4．类型二：二次项系数不为1（重难点） 公式：a₁a₂x²＋(a₁c₂＋a₂c₁)x＋c₁c₂＝(a₁x＋c₁)(a₂x＋c₂)。 拆分规则：二次项、常数项分别拆成两个因数，交叉相乘求和，结果匹配原式一次项系数。 注意：① 拆分后务必交叉验算，避免一次项系数匹配错误； ② 多项式首项为负，先提取负号再十字拆分； ③ 因式分解优先级不变：先提公因式，再十字相乘，禁止直接拆分。 对应练习 44．（2013·湖南怀化·中考真题）分解因式：_______. 45．（2012年初中毕业升学考试（四川南充卷）数学（带解析））分解因式：x2-4x-12=_____________ 46．（2012届湖北黄石初中毕业生学业考试数学试卷（带解析））分解因式：＝_____ 47.因式分解下列各式： x²＋5x＋6 x²－7x＋12 x²＋8x＋16 x²＋x－6 x²－2x－8 x²－3x－10 2x²＋7x＋3 3x²－10x＋3 2x²－2x－12 5x²－7x－6 【知识点梳理】 分组分解法 1．概念：当多项式有四项及以上，不能直接用提公因式、平方差、完全平方公式分解的时候，我们把多项式分成 2 组或者 3 组，先每组分别分解，组和组之间又产生新的公因式，或者可以用公式继续分解，这种方法叫做分组分解法。 一句话概括：先分组，组内分解，组间提公因式 / 套公式。 2．什么时候适合用分组分解（适用条件） 满足下面任意一种就优先考虑分组分解 ⑴.多项式一共4 项、5 项、6 项（四项最常考）； ⑵.整体没有公共因式，也不能直接套用乘法公式； ⑶分组之后： ① 类型 1（提公因式型）：每组分解完，两组出现相同公因式； ② 类型 2（公式型）：一组能用平方差、完全平方，再和另一组继续分解。 简单判断口诀：四项无公因，直接不能套公式 → 优先分组 三、两种最常用类型＋应用步骤（初中必考） 类型 1：四项二二分组（最基础） 例子：ax+ay+bx+by ①分组：(ax+ay)+(bx+by) ②组内提公因式：a(x+y)+b(x+y) ③组和组之间提取新公因式(x+y) 结果：(a+b)(x+y) 思路：1、2 一组，3、4 一组；或者 1、3 一组，2、4 一组，试两种分组，哪一组出现共同因式就用哪种。 类型 2：四项一三分组（公式类） 有三项可以凑完全平方，剩下一项和它做平方差。 例： ①分组：（前三项一组凑完全平方） ②组内分解： ③整体平方差分解：(x-y+1)(x-y-1)一三分组判断标志：四项里面有三个项可以构成完全平方式。 四、做题完整步骤（应用流程） 1. 先观察项数：4 项及以上； 2. 先检查整体能不能直接提公因式、套公式，不行再分组； 3. 尝试分组（二二分组 / 一三分组）； 4. 组内分解（提公因式或者公式）； 5. 组和组之间再因式分解； 6. 检查结果能不能继续分解，分解到不能再分解为止。 五、易错提醒（考试丢分点） 1. 分组的时候注意符号，带负号分组，括号里面要变号； 例：a-b+ax-bx=(a-b)+(ax-bx)；不要乱变符号。 2. 分组不是随便分，分组之后必须还能继续分解，分完之后不能继续分解＝分组失败，换一种分组方式。 3. 分解结束一定要检验：整式乘开，还原原式验算。 极简背诵版（试讲可以直接用） 分组分解法：对于项数较多多项式，通过合理分组，先组内因式分解，再利用组间公因式或乘法公式继续分解因式；多用于四项及以上、无法直接提公因式和套用公式的多项式；分为二二分组、一三分组两类。 对应练习 48．（2019·黑龙江·中考真题）分解因式：_________． 49．（2019·四川宜宾·中考真题）分解因式：_______． 50．（2020·山东东营·一模）分解因式：a3+a2﹣a﹣1=_______________ 51．（2023·黑龙江绥化·中考真题）因式分解：_______． 52．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 (1)请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 (2)请用分组分解法将因式分解； 【应用】 (3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 51．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【知识点梳理】 拆项添项法 1.概念：拆项：把多项式里面某一项拆成两项（多项）的和或者差； 添项：原式不变，添上互为相反数两项如(+a-a)。 核心目的：人为构造可以分组、可以用公式的结构，再用分组分解法完成因式分解。 一句话总结：不能直接分解，通过拆、添，创造条件分组或者凑乘法公式。 2.适用情况 (1).多项式项数偏少（常是三项），直接提公因式、平方差、完全平方都不能分解； (2).系数很接近完全平方，但是缺一项、多一点； (3).试十字相乘行不通； 通过拆 / 添之后，能够凑完全平方＋平方差，再用分组分解。 注意：拆项添项属于拓展方法，课本不作基础必考，大多培优、竞赛、拔高练习题使用。中考一般不做基础考点。 3.解题步骤 (1)观察多项式：先试提公因式、公式法、十字相乘，都行不通，考虑拆添项； （2）拆项 / 添项：把一项拆开，或者添加一对相反数（一加一减，原式大小不变）； （3）分组：对新得到多项式分组； （4）组内分解（凑完全平方）； （5）整体套用平方差 / 其他公式继续分解； 检查：分解到不能再分解，展开验算。 口诀：先观察，巧拆添，凑平方，再分解 4.典型例题（两类最经典，适合讲课举例） 例1添项法 (最经典)分解： 分析： 只有两项，不能直接分解；添 构造完全平方 解： 思路：添项凑完全平方，再平方差分解。 例2拆项法 (三项拆中间项) 把常数4拆成1+3,或者拆 (常用拆二次项) 解法 (拆 (×这个分组不行，换拆常数项) 正确拆法：拆4=-4+8不好用；换拆一次项思路，给一个更好讲的拆项例题： 例3 (拆中间项，三项式)分解： (十字可以做，换拓展例子) 换一个初中标准拆项例题： 解： 这里把 拆成 凑完全平方。 5.讲课要点+易错提醒(试讲重点) 1.拆项、添项没有固定套路，主要观察系数凑完全平方；不是随便拆； 2.添项一定成对添加：加一项同时减去同一项，保证原式的值不变； 3.拆添完之后一定要能继续分组、用公式·如果不能继续分解=折添失败·有三项可以凑完全平方，剩下一项和它做平方差。 对应练习 答案第2页，共11页 答案第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $