第11章 整式的乘除（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 华东师大版初中数学第11章整式的乘除拔尖卷，通过新定义（如“和谐数”“增项式”）、数形结合（长方形面积、日历结构）等创新题型，覆盖因式分解、幂运算等核心知识，适配单元复习，可量化学生综合能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/30|因式分解、幂运算比较、新定义（美丽数）|结合多地区期末真题，考查抽象能力| |填空|6/18|完全平方、连续整数乘积因式分解、新定义（最简平方差）|设置开放型问题，培养推理意识| |解答|7/72|幂运算应用、新定义证明（增项式）、数形结合（拼图割补）|综合题融入几何直观与模型意识，适配核心素养|

第11章 整式的乘除·拔尖卷 【新教材华东师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东聊城·期末）若，是正整数，且满足9个相加等于4个相乘，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东佛山·期末）有五个连续的整数，用其中最大两个数的乘积减去最小两个数的乘积，所得的差一定含有因数（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 4．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B． C． D．12 6．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·山东青岛·期末）我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（     ） A．36 B．40 C．44 D．48 8．（2024·安徽合肥·三模）已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 9．如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则， 其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如果代数式是一个完全平方式，则常数的值是_____________． 12．对进行因式分解，可得它等于三个连续整数的乘积，这三个整数是___________、___________、___________． 13．因式分解：_____． 14．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知实数a，b，c满足，则的值为_____． 15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____． 16．已知多项式和（m，n为常数），以下结论中正确的是_______（填写相应序号） ①当且时，无论y取何值，都有； ②当时，所得的结果中不含一次项； ③当时，一定有； ④若且，则； ⑤若，且x，y为整数，则． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·陕西西安·期末）根据幂的运算，完成下列问题． (1)已知，，求． (2)已知，求的值． 18．（8分）已知：设 (1)求的值 (2)试写出三者之间的关系 (3)根据以上得出的结论，求 19．（10分）（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）定义：把多项式化简后的项数记为，例如多项式，则．一个多项式乘以多项式，化简得到多项式（即），若，则称是的“增项式”；若，则称是的“恒项式”． (1)若，均为关于的多项式，求证：是的“增项式”； (2)若，均为关于的多项式，且是的“恒项式”，求的值． 20．（10分）（25-26八年级下·广东深圳·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 21．（12分）（25-26七年级上·上海杨浦·期中）如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 22．（12分）（25-26八年级下·浙江台州·期末）如下为年月份的日历，学校数学兴趣小组在日历上发现了一种结构运算：有四个正整数，，，在日历中的关系位置如图所示，将下图平移覆盖到日历上，使得，，，分别与日历上的四个数字重合，规定，则一定是某一个数的平方． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)特例研究： ①当时，（__________）； ②当时，； ③当时，； ④当时，． (2)观察归纳： 通过运算证明：一定是某一个数的平方． 以下是小组成员的部分证明过程： … 请把接下去的证明过程补充完整． (3)拓展应用：图的日历中是否存在，若存在，求出此时所对应的数字，若不存在，请说明理由． 23．（13分）（25-26八年级下·山东青岛·期末）数形结合是数学中一种重要的思想方法，利用它可以将一些复杂、抽象的问题简洁直观地解决． (1)用图1中的若干边长为a和b的正方形卡片，以及若干长为a、宽为b的小长方形卡片，可以拼成图2的大长方形，利用大长方形总面积和每张卡片的面积之间的关系，可以得到一个关于因式分解的等式为_________； (2)请你利用图1中的若干卡片拼出面积为的长方形，请画出图形，并写出你得到的关于因式分解的等式． (3)以上两个问题都是利用拼图的方法将一个多项式进行因式分解，除了拼图，我们也可以利用割补的方法来解决一些问题． ①要分解多项式，可以将图3的正方形裁去一部分（阴影部分），把剩下的图形割补成图4的长方形，请在图形中完成填空，则分解因式_________； ②类似的，请你利用割补的方法将多项式进行因式分解，画出图形表达割补的过程，并写出结论． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 整式的乘除·拔尖卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先对每个选项进行因式分解，然后再进行判断即可． 【详解】解：； ； ； ； 综上分析可知：整式中不含有这个因式的是，故B符合题意． 故选：B． 2．（25-26七年级下·山东聊城·期末）若，是正整数，且满足9个相加等于4个相乘，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，再根据，结合同底数幂乘法和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·广东佛山·期末）有五个连续的整数，用其中最大两个数的乘积减去最小两个数的乘积，所得的差一定含有因数（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】通过设未知数表示出五个连续的整数，再分别计算最大两个数的乘积和最小两个数的乘积，求出差后化简，即可判断差一定含有的因数． 【详解】解：设这五个连续的整数中最小的数为（为整数），则这五个连续的整数依次为， ∴最大两个数的乘积为， 最小两个数的乘积为， ， ∵为整数，也为整数， ∴一定是的倍数，即所得的差一定含有因数． 4．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】因为，，，， 因为， 所以， 所以， 故即； 同理可证 所以， 故选A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 5．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 6．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， ∵， ∴，即． 7．（25-26八年级下·山东青岛·期末）我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（     ） A．36 B．40 C．44 D．48 【答案】B 【分析】根据“美丽数”定义，设两个偶数表示出平方差，因式分解推导美丽数的性质，再结合性质判断各选项即可． 【详解】解：设两个偶数分别为,（，为整数，）， 根据定义，美丽数， 即， ，和为偶数， 与同奇偶， 对选项逐一判断： A选项：，，取，，均为奇数，符合同奇偶要求，存在整数解，因此36是美丽数． B选项：，，10的所有正因数分解为、，两组因数均为一奇一偶，不符合同奇偶要求，不存在整数解，因此40不是美丽数． C选项：，取，，均为奇数，符合同奇偶要求，存在整数解，因此44是美丽数． D选项：，取，，均为偶数，符合同奇偶要求，存在整数解，因此48是美丽数． 8．（2024·安徽合肥·三模）已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，因式分解等，将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解；掌握整式之间转化运算是解题的关键． 【详解】解：将代入， 得， ， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， A. ，结论错误，不符合题意； B. ，结论错误，不符合题意； C. ，结论错误，不符合题意； D. ，结论正确，符合题意． 故选：D． 9．如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积，根据，可整体求得的值，即长方形的面积，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积是解题的关键． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为， 故选：． 10．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则， 其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①根据 “和谐数”的定义，观察规律，即可得到的值； ②根据①中找出的规律进行计算即可判断此结论的正误； ③将整理为，把代入，求出原式的值0，然后根据“和谐数”的定义即可判断． 【详解】解：① 观察“和谐数”可知，设下标为，则被减数的底数为，减数的底数为， 即； ． 故①正确； ②根据①找出的规律知： ， 是8的倍数． 故②正确； ③ 若，则原式， 而0不是正整数，故不可能是“和谐数”． 故③错误. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如果代数式是一个完全平方式，则常数的值是_____________． 【答案】 【分析】先展开原式得到二次三项式，再根据完全平方式的结构特征列方程，求解方程即可得到常数的值． 【详解】解：∵， 又∵代数式是完全平方式， ∴一次项系数一半的平方等于常数项，可得：， 整理得：， 解得． 12．对进行因式分解，可得它等于三个连续整数的乘积，这三个整数是___________、___________、___________． 【答案】 【详解】解： ， ∴ 这三个整数是、、． 13．因式分解：_____． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用完全平方公式和平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 14．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知实数a，b，c满足，则的值为_____． 【答案】4053 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键． 根据题意，利用同底数幂的除法运算法则，由已知条件求出与的值，然后将原代数式变形，代入所求值即可得到结果． 【详解】解： ． ∵，，， ∴，， ∴， 原式． 故答案为：4053． 15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算及平方差公式，关键是对定义的理解；根据定义可得关于的表达式，再结合得到的关系式，最后根据为整数，求出的最小值． 【详解】解：∵“最简平方差”对应“最佳分解数”， ∴； 同理， ∵， ∴，即， ∴， ∵、均为整数，且由， ∴ 当时，； 当时，； 因此的最小值为， 故答案为：． 16．已知多项式和（m，n为常数），以下结论中正确的是_______（填写相应序号） ①当且时，无论y取何值，都有； ②当时，所得的结果中不含一次项； ③当时，一定有； ④若且，则； ⑤若，且x，y为整数，则． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，因式分解． ①当且时，，即可判断①； ②当时，，即可判断②； ③当时，，即可判断③； ④若且，可得，进而可得，，即可判断④； ⑤若，可得，进而判断，即可判断⑤． 【详解】解：①当且时， ， ， ∴， 故①正确； ②当时， ， ， ， ∴所得的结果中不含一次项， 故②正确； ③当时， ， ， ， 不确定的正负， 故③错误； ④若且， ∴ ， ∴，， 解得，， ∴， 故④错误； ⑤∵， ∴ ， ∵x，y为整数， ∴和均为整数， ∴或， 解得或， ∴， 故⑤正确． 综上所述，正确的有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·陕西西安·期末）根据幂的运算，完成下列问题． (1)已知，，求． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方运算法则，进行计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵， ∴ ． 18．（8分）已知：设 (1)求的值 (2)试写出三者之间的关系 (3)根据以上得出的结论，求 【答案】（1），，；（2）；（3）521. 【分析】（1）首先求出，，然后将S3变形得，整体代入可求其值，同理可求和； （2）观察（1）中的结果，总结规律可得； （3）根据（2）中的规律，依次求解，可得. 【详解】解：（1）∵，， ∵， ， ， ， ； （2）∵，，，，， ∴，，， 总结规律可得：； （3）∵，， ∴， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意求出S2＝3，S3＝4，S4＝7，分析归纳出规律：． 19．（10分）（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）定义：把多项式化简后的项数记为，例如多项式，则．一个多项式乘以多项式，化简得到多项式（即），若，则称是的“增项式”；若，则称是的“恒项式”． (1)若，均为关于的多项式，求证：是的“增项式”； (2)若，均为关于的多项式，且是的“恒项式”，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴是的“增项式”． (2) 【分析】（1）分别计算出与，根据“增项式”的定义进行判断即可； （2）先计算出，分两类讨论，当时，为单项式，为二项式，不符合题意；当时，则和都是二项式，因此，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ①当时， ∴，， ∴，， ∵， ∴是的“增项式”，与题意矛盾； ②当时，则， ∵是的“恒项式”， ∴，即多项式为二项式， ∵，且， ∴， 解得． 20．（10分）（25-26八年级下·广东深圳·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 【答案】(1) (2)证明：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式， ， 无论取何值时，的值一定是非负数． 【分析】（1）令，代入原式，利用完全平方式因式分解，再将“”还原即可； （2）令，代入原式，化简后再利用完全平方式因式分解，再将“”还原，得原式，任何情况下，都是非负数，题目得证． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式； （2）略 21．（12分）（25-26七年级上·上海杨浦·期中）如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了整式运算的应用． （1）根据题意可以得到； （2）由题意得，，计算得到，据此求解即可； （3）根据四边形的面积等于中间小正方形的面积和四个直角三角形面积和，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的面积， 阴影部分图形的面积， ∴可以发现一个乘法公式为； 故答案为：； （2）解：∵正方形、正方形的面积分别是7和3， ∴，， ∴， 整理得，，即， 长方形的面积； （3）解：∵正方形的面积是，正方形的面积是， ∴，， ∴四边形的面积 ． ． 22．（12分）（25-26八年级下·浙江台州·期末）如下为年月份的日历，学校数学兴趣小组在日历上发现了一种结构运算：有四个正整数，，，在日历中的关系位置如图所示，将下图平移覆盖到日历上，使得，，，分别与日历上的四个数字重合，规定，则一定是某一个数的平方． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)特例研究： ①当时，（__________）； ②当时，； ③当时，； ④当时，． (2)观察归纳： 通过运算证明：一定是某一个数的平方． 以下是小组成员的部分证明过程： … 请把接下去的证明过程补充完整． (3)拓展应用：图的日历中是否存在，若存在，求出此时所对应的数字，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)11． (2) ， 故一定是某一个数的平方． (3)当时，， 因为，所以，则，整理得， 解得：（舍去）， 由图可知，当时，不存在． 【分析】（1）按顺序计算出结果再开方即可； （2）将变形为含的完全平方公式即可解答； （3）根据题意列方程，结合日历的数据特点即可解答． 【详解】（1）解：; （2）略 （3）略 23．（13分）（25-26八年级下·山东青岛·期末）数形结合是数学中一种重要的思想方法，利用它可以将一些复杂、抽象的问题简洁直观地解决． (1)用图1中的若干边长为a和b的正方形卡片，以及若干长为a、宽为b的小长方形卡片，可以拼成图2的大长方形，利用大长方形总面积和每张卡片的面积之间的关系，可以得到一个关于因式分解的等式为_________； (2)请你利用图1中的若干卡片拼出面积为的长方形，请画出图形，并写出你得到的关于因式分解的等式． (3)以上两个问题都是利用拼图的方法将一个多项式进行因式分解，除了拼图，我们也可以利用割补的方法来解决一些问题． ①要分解多项式，可以将图3的正方形裁去一部分（阴影部分），把剩下的图形割补成图4的长方形，请在图形中完成填空，则分解因式_________； ②类似的，请你利用割补的方法将多项式进行因式分解，画出图形表达割补的过程，并写出结论． 【答案】(1) (2) (3) (3)① ②解：割补后的图形如图： 结论：． 【分析】（1）大长方形的面积既可以用长乘宽计算，也可以等于所有卡片面积之和，所以分别计算两种形式的面积，即可得到因式分解等式； （2）将多项式拆分为对应卡片的面积和，多项式对应2张边长为的正方形、2张边长为的正方形、5张长、宽的长方形，先对多项式因式分解得到长和宽，再按长和宽拼接卡片，验证面积相等得到等式； （3）①利用割补前后剩余面积相等，图3剩余面积为，图4长方形面积等于长乘宽，根据割补后的边长写出长和宽，即可得到因式分解结果； ②类似①中方法，裁去上方2个宽为1、长为的长方形，再裁去左侧边长为1的3个正方形，剩余面积为，将剩余不规则图形割补，可得到长为、宽为的长方形，据此得到结论． 【详解】（1）解：图2大长方形的长和宽均为，其面积为，所有卡片的面积和为， 因此，得到因式分解等式：； （2）解：拼接方法：拼出长为、宽为的长方形，共使用2张边长为的正方形、2张边长为的正方形、5张长、宽的长方形，即可得到因式分解等式：； （3）解：①图4中，割补后长方形的长为、宽为， 因此，； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $