不等式专题05一元二次不等式恒成立、存在性问题（专项训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次不等式恒成立与存在性问题，通过分级题型构建从基础到综合的训练体系，强化数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |R上恒成立|4题|含命题真假判断、解集为空集等|从判别式法切入，建立二次函数与不等式关系| |区间恒成立|4题|涉及充分不必要条件、参数范围求解|结合区间端点与函数最值，深化条件限制下的推理| |区间有解|4题|存在性命题与参数取值范围|对比恒成立，构建“存在”与“任意”的逻辑差异| |实际应用|4题|含经济、几何场景应用题|将实际问题抽象为不等式模型，培养应用意识| |几何应用|4题|三角形、矩形等几何图形中的不等关系|融合几何性质与不等式，体现数形结合思想|

不等式专题05一元二次不等式恒成立、存在性问题 目录 A题型建模・专项突破 题型01一元二次不等式在R上恒成立问题 题型02一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型03一元二次不等式在某区间上有解问题 题型04一元二次不等式的实际应用 题型05一元二次不等式在几何中的应用 B综合攻坚・能力跃升 题型01一元二次不等式在R上恒成立问题 1．（2026高一上·吉林长春·专题练习）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A．或 B．或 C． D． 3．（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）（多选）若“”是假命题，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东泰安·期中）已知关于不等式解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型02一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 5．（25-26高一上·江西吉安·期中）命题“”是真命题的一个充分但不必要条件的是 （    ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·全国·课堂例题）设函数，若恒成立，求的取值范围． 7．（25-26高一上·山东日照·期中）若“”为假命题，则实数的取值范围是__________. 8．（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测）（1）解关于的不等式； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 题型03一元二次不等式在某区间上有解问题 9．（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）已知命题，为真命题，求实数的取值范围. 10．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)，都有，求实数的取值范围 (3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 题型04一元二次不等式的实际应用 13．（2026高一·全国·专题练习）某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产和生活用地，但根据前几年抗洪救灾得到的经验教训和环境保护、生态平衡的要求，准备重新研究修改计划，为了寻求合理的计划，需要研究以下问题： (1)若按原计划填湖造地，水面的减少必然导致蓄水能力的下降，为了保证防洪能力不会下降，除了填湖每平方千米b元费用外，还需要增加排水设备费用，且排水设备所需经费与当年所填湖造地面积x（单位：平方千米）的平方成正比，其比例系数为a，又知每平方千米地面的年平均收益为c元（其中a，b，c均为常数），若按原计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x的最大值． (2)如果以每年1%的速度减少填湖造地的新增面积，并为了保证湖的蓄洪能力和环保要求，填湖造地的总面积三年内不能超过现有水面面积的，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几． 14．（25-26高三上·山西吕梁·阶段检测）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·重庆·期末）2022年10月16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果．某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为万元，而从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高5x%． (1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值． 16．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为，已知此生产线年产量最大为220吨． （1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本； （2）经过评估，企业定价每吨产品的出厂价为40万元，且最大利润不超过1660万元，由该生产线年产量的最大值应为多少？ 题型05一元二次不等式在几何中的应用 17．（25-26高一上·四川·阶段检测）（多选）社区中心有一块三角形闲置空地，为打造居民休闲花园，计划在空地内规划种植区.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）可以取（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 18．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为______． 19．（25-26高一上·安徽·开学考试）已知是方程的两根，且，，实数的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·山西运城·阶段检测）（多选）二次函数的部分图象如图所示，则下面结论中正确的是（    ）    A． B． C． D．当时， 1．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 2．（25-26高一上·上海·期中）“”是“不等式对一切实数恒成立”的（  ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（25-26高一上·辽宁·期中）若“”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·山西朔州·阶段检测）已知当时，存在使不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·河南驻马店·阶段检测）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·山东临沂·期中）（多选）“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件有（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段检测）（多选）已知关于 x 的不等式在上有解，则实数a的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 11．（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）（多选）下列命题正确的是（    ） A．要使关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D．若不等式的解集为或，则 12．（25-26高二下·宁夏银川·阶段检测）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是______． 13．（25-26高一上·河南许昌·期末）若命题“，”为真命题，则实数的一个值为________． 14．（25-26高一上·湖北武汉·期末）存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 15．（25-26高一上·四川南充·期中）（1）已知命题：存在实数，使成立.若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）已知命题：任意实数，使恒成立.若命题是假命题，求实数的取值范围. 16．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 不等式专题05一元二次不等式恒成立、存在性问题 目录 A题型建模・专项突破 题型01一元二次不等式在R上恒成立问题 题型02一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型03一元二次不等式在某区间上有解问题 题型04一元二次不等式的实际应用 题型05一元二次不等式在几何中的应用 B综合攻坚・能力跃升 题型01一元二次不等式在R上恒成立问题 1．（2026高一上·吉林长春·专题练习）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“命题与命题真假性相反”，可以把原问题转化成恒成立问题，然后分类讨论可得答案. 【详解】“，”为假命题， 等价于“，”为真命题. 当时，，成立； 当时，需满足， 解得； 综上：. 故选：A 2．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由不等式恒成立进行求解． 【详解】因为“，”为真命题，即恒成立， 则，即，解得， 故选：C. 3．（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）（多选）若“”是假命题，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先将问题转化为存在量词命题的否定为真命题，进而解决不等式恒成立问题即可. 【详解】因为“”是假命题， 所以其否定“”是真命题. 当，即时，不等式即，是一个一元一次不等式， 不满足对任意的实数恒成立，不满足题意，所以； 当时，不等式是一个一元二次不等式， 要使其对任意的实数恒成立，只需，即， 解得，即实数的取值范围是. 结合四个选项知，，，，， 故选：AC. 4．（25-26高一上·山东泰安·期中）已知关于不等式解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分为和考虑，当时，根据题意列出不等式组，求出的取值范围. 【详解】因为关于不等式解集为，则有： 当时，得，满足题意； 当时，则，解得：， 综上所述：的取值范围为. 故选：A． 题型02一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 5．（25-26高一上·江西吉安·期中）命题“”是真命题的一个充分但不必要条件的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】参变分离得对恒成立，则，从而，然后结合选项利用充分不必要条件概念判断即可. 【详解】由于命题“”是真命题， 则等价于，即对恒成立，则只需即可； 又由，得，可知，从而得. 又因区间是区间的真子集， 则满足题意的一个充分但不必要条件是. 故选：B 6．（26-27高一上·全国·课堂例题）设函数，若恒成立，求的取值范围． 【答案】. 【分析】将不等式化为，由参变分离得恒成立，再求函数在上的最小值，进而得到取值范围即可. 【详解】由恒成立，得， 即在上恒成立， 因为，所以恒成立， 设，， 由二次函数性质得在上单调递增，所以， 于是，当时取得等号， 可得，即的取值范围为. 7．（25-26高一上·山东日照·期中）若“”为假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用分离变量先求出该命题为真命题的时候的范围，再求其补集即可. 【详解】若“”为真命题，则， 当时，，所以此时， 所以若“”为假命题，则. 故答案为： 8．（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测）（1）解关于的不等式； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为． （2） . 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【详解】解：（1）由不等式，可化为， 当时，不等式为，此时； 当时，，解不等式得； 当时，，解不等式得； 综上所述：当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为． （2）对于，不等式恒成立， 即对于，不等式恒成立，即在上恒成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以实数的取值范围是． 题型03一元二次不等式在某区间上有解问题 9．（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）已知命题，为真命题，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】分，，三种情况结合二次函数的性质求解即可. 【详解】由题意得：当时，，不符题意； 当时，的对称轴为， 所以只需，解得； 当时，表示开口向下的抛物线，满足题意. 综上所述，的取值范围为. 10．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到，即可求解. 【详解】命题“，”等价于有两个不等的实数根， 所以，即，解得或， 故选：D. 11．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 12．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)，都有，求实数的取值范围 (3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题意可得是方程的两根，结合韦达定理求解即可； （2）由（1）可知，求出在上的最小值，即可得答案； （3）结合（2）求出在上的最大值，即可得答案 【详解】（1）由题意可得是方程的两根， 由韦达定理可得， 解得; （2）因为， 所以， 当时，则的最小值为， 所以， 所以实数的取值范围为； （3）由（2）可知当时，则的最大值为， 所以实数的取值范围为. 题型04一元二次不等式的实际应用 13．（2026高一·全国·专题练习）某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产和生活用地，但根据前几年抗洪救灾得到的经验教训和环境保护、生态平衡的要求，准备重新研究修改计划，为了寻求合理的计划，需要研究以下问题： (1)若按原计划填湖造地，水面的减少必然导致蓄水能力的下降，为了保证防洪能力不会下降，除了填湖每平方千米b元费用外，还需要增加排水设备费用，且排水设备所需经费与当年所填湖造地面积x（单位：平方千米）的平方成正比，其比例系数为a，又知每平方千米地面的年平均收益为c元（其中a，b，c均为常数），若按原计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x的最大值． (2)如果以每年1%的速度减少填湖造地的新增面积，并为了保证湖的蓄洪能力和环保要求，填湖造地的总面积三年内不能超过现有水面面积的，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几． 【答案】(1) 当时，，此时不符合实际情况； 当时，，此时所填面积的最大值为平方千米． (2)8.4% 【分析】(1)根据题意，结合收益大于支出，列出不等式，即可求解； （2）首先分别设该县的现有水面面积为m平方千米，今年填湖造地的面积为n平方千米，再根据题意，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）收益不小于支出的条件可以表示为． 所以，． 当时，，此时不符合实际情况； 当时，，此时所填面积的最大值为平方千米． （2）设该县的现有水面面积为m平方千米，今年填湖造地的面积为n平方千米， 则，即， 所以今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的8.4%， 14．（25-26高三上·山西吕梁·阶段检测）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可. 【详解】由题意，得， 即，∴， 解得.又每枚的最低售价为15元，∴. 故选：B. 15．（25-26高一上·重庆·期末）2022年10月16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果．某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为万元，而从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高5x%． (1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值． 【答案】(1) (2)22 【分析】（1）依题意列出不等式，解一元二次不等式即可求得x的取值范围为； （2）化简表达式并利用基本不等式即可求出a的最大值为22. 【详解】（1）根据题意可知，需满足， 化简为，解得， 故x的取值范围为 （2）由题意得 整理可得， 因为， 当且仅当时，取到最小值10；所以， 即a的最大值为22 16．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为，已知此生产线年产量最大为220吨． （1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本； （2）经过评估，企业定价每吨产品的出厂价为40万元，且最大利润不超过1660万元，由该生产线年产量的最大值应为多少？ 【答案】（1）年产量为200（吨）时每吨平均成本最低，最低成本为32万元；（2）210吨． 【分析】（1）平均成本等于总成本除以年产量，得到的式子符合乘积为定值，利用基本不等式求出最小值； （2）表示出利润得到关于x的二次不等式，求出范围即可.注意实际问题下取值范围的限制. 【详解】解∶（1）设每吨的平均成本为W， 则W= 当且仅当，即x=200（吨）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元． （2）由题意得， ， 解得，x≥230或x≤210 ∵0<x≤220 ∴0<x≤210 当最大利润不超过1660万元时，年产量的最大值应为210吨． 题型05一元二次不等式在几何中的应用 17．（25-26高一上·四川·阶段检测）（多选）社区中心有一块三角形闲置空地，为打造居民休闲花园，计划在空地内规划种植区.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）可以取（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】ABC 【分析】设矩形的另一边长为，由三角形相似得出的关系，再根据矩形的面积公式建立不等式即可求解. 【详解】设矩形的另一边长为，如图： 由与相似得且， 所以，又矩形的面积， 所以即，解得， 故边长可以取10，20，30，即ABC符合题意，D不符合题意. 故选：ABC 18．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为______． 【答案】/4.5 【分析】由题设可得，结合基本不等式得到关于的一元二次不等式并求解集，结合△的面积即可得最大值，注意成立条件. 【详解】由题意△△，而，， 所以，而矩形的周长为， 则，整理得，仅当等号成立， 所以，而，可得， 则，而△的面积，故最大值为，此时. 故答案为： 19．（25-26高一上·安徽·开学考试）已知是方程的两根，且，，实数的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为函数图象与直线交点、函数图象与轴交点的问题可得答案. 【详解】函数的图象为开口向上的抛物线， 如图，由已知可得与轴交点的横坐标为， 在抛物线的对称轴的左侧，在抛物线的对称轴的右侧， 可化为， 可得是函数的图象与直线的两个交点的横坐标， 由可得函数在抛物线的对称轴的左侧，在抛物线的对称轴的右侧， 结合图象可得. 故选：A.    20．（25-26高一上·山西运城·阶段检测）（多选）二次函数的部分图象如图所示，则下面结论中正确的是（    ）    A． B． C． D．当时， 【答案】ABC 【分析】利用二次函数的图像和性质逐个选项判断即可. 【详解】根据图像可得，，，A正确； 由对称性和时，，所以时，， 即，， 当时，，BC正确，D错误. 故选：ABC 1．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 2．（25-26高一上·上海·期中）“”是“不等式对一切实数恒成立”的（  ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的恒成立问题求实数的取值范围，结合集合的包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若不等式对一切实数恒成立， 当时，可得，符合题意； 当时，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围为， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“不等式对一切实数恒成立”的充分非必要条件，故A正确. 故选：A. 3．（25-26高一上·辽宁·期中）若“”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为真命题，通过和两类情况讨论即可. 【详解】“”为假命题，即“”为真命题. 当，即时，不等式可化为，此时不等式恒成立； 当，即时，若对一切实数都成立， 则解得. 综上，若“”为假命题， 则实数的取值范围为. 故选：A. 4．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】参变分离，得到，再由二次函数求最值即可. 【详解】由题意得，由，得， 则恒成立. 令，得， 则二次函数，当时，取得最大值，所以， 所以a的取值范围为． 故选:C 5．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 6．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把不等式化为，求出在区间[1，4]内的最大值，即可得出的取值范围． 【详解】不等式在内有解等价于时，. 当时，，所以. 故选：A. 7．（25-26高一上·山西朔州·阶段检测）已知当时，存在使不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得存在使不等式成立，令，只需 ，利用二次函数的性质求出最大值，再解不等式即可求解. 【详解】由可得， 由题意可得，且， 令对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增， 所以时，， 所以，解得：， 所以实数的取值范围为， 故选：C. 8．（25-26高一上·河南驻马店·阶段检测）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 9．（25-26高一上·山东临沂·期中）（多选）“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先求出“关于x的不等式对恒成立”的的范围，分别讨论和两种情况，当时，对恒成立，则有，计算得到的范围，再由题目要求选出所求的集合的真子集即可. 【详解】， 当时，转化为，不等式对恒成立， 当时，对恒成立， 则有，解得， 综上可知，不等式对恒成立，的范围的集合为， “关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件 须是集合的真子集，故选项A和C正确. 故选：AC. 10．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段检测）（多选）已知关于 x 的不等式在上有解，则实数a的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】AB 【分析】由，，可得：，求出函数的最大值即可. 【详解】由，， 可得：，设， 当时，， 当且仅当时取等，所以，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 11．（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）（多选）下列命题正确的是（    ） A．要使关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D．若不等式的解集为或，则 【答案】AD 【分析】A：令，则，即可求得a的范围；B：令，则，即可求得k的范围；C：根据题意求出a和b的关系，化简即可求出解集；D：根据二次方程根与系数的关系求出间的关系，即可判断abc的符号． 【详解】对于A，要使关于x的方程的一根比1大且另一根比1小， 令，则有， 解得，故A正确； 对于B，∵在上恒成立，令， 则，解得，故B错误； 对于C，∵关于x的不等式的解集是，∴， 则关于x的不等式的不等式等价于，即， 解得或，故C错误； 对于D，若不等式的解集为或，则， 得，，，所以，故D正确． 故选：AD. 12．（25-26高二下·宁夏银川·阶段检测）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】为假命题，则为真命题， 可得，解得，即实数的取值范围是. 13．（25-26高一上·河南许昌·期末）若命题“，”为真命题，则实数的一个值为________． 【答案】（不唯一） 【分析】分离参数后，求出的最小值为，得出的取值范围，即可得解. 【详解】由题意，，对任意恒成立， 因为，所以当时，的最小值为， 所以， 故答案为：（不唯一） 14．（25-26高一上·湖北武汉·期末）存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】应用存在性条件结合一元二次不等式计算求解. 【详解】存在，使不等式成立， 则实数，即得， 所以，所以的取值范围是 15．（25-26高一上·四川南充·期中）（1）已知命题：存在实数，使成立.若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）已知命题：任意实数，使恒成立.若命题是假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）把存在问题转化为判别式大于等于零，再解一元二次不等式即可； （2）方法一：根据不等式恒成立得出，，再结合最值计算求解；方法二：求出的最大值即可. 【详解】（1）：存在实数，使成立， 则， 解得或 所以实数的取值范围为. （2）方法一：任意实数，使恒成立，. 因为时，， 则， 根据命题为假命题，则，故实数的取值范围为. 方法二：，， 因为时，， 则即， 根据命题为假命题，则，故实数的取值范围为. 16．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 【答案】（1）且；（2）5km 【分析】（1）先根据“日获利=日销售额-成本”列出获利函数，再通过解一元二次不等式，得出日产量的取值范围即可； （2）先根据已知条件求出反比例函数与正比例函数的系数，得到总费用表达式，再利用均值不等式求最值即可. 【详解】（1）因为日获利等于销售额减去成本， 销售额为，成本为， 故利润函数为：， 要求日获利不少于1300元，即解不等式：， 化简得：，解得：， 又因为，故日产量为20到45之间的整数. （2）设土地占地费，库存货物费， 由题意知，当时，， ， 得：，所以，即； ，所以，即， 则两项费用之和为：， 由均值不等式得：，当且仅当，即时等号成立， 此时费用之和取到最小值，故仓库应建在距离车站5km处. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $