重点强化练一　不等式恒成立与能成立问题-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦不等式恒成立与能成立问题，通过分层题型系统覆盖二次函数性质、参数分离等核心方法，强化数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|6题|二次不等式恒成立、存在性问题|从二次函数开口方向、判别式切入，构建“函数性质→参数范围”推导链条| |条件探究|2题|充分条件判断、多变量恒成立|结合充要条件，深化参数与不等式解集关系的逻辑推理| |综合应用|5题|含参不等式、跨模块综合|融合基本不等式、函数最值，形成“问题转化→模型构建→参数求解”完整思维路径|

重点强化练一　不等式恒成立与能成立问题 一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若不等式2x2+2kx+3k>0对一切实数x都成立,则k的取值范围是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0≤k≤6 B.0<k<6 C.-6<k<0 D.k<0或k>6 2.[2026·西安长安区一中高一期末] 已知x>0,y>0,+=2,且x+y≥2m-1恒成立,则实数m的取值范围为 (　 ) A.m≤ B.m≤ C.m≥ D.m≥ 3.[2026·湖南邵阳二中高一月考] “-1<m<0”是“关于x的不等式mx2+2mx-1<0的解集为R”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若“∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1”是假命题,则实数a的取值范围是 (　 ) A.{a|a<-2} B.{a|a≤2} C.{a|-2≤a<2} D.{a|a<2} 5.若存在x∈R,使得不等式≥2成立,则实数m的取值范围为 (　 ) A.{m|m≥2} B.{m|m<0} C.{m|m≤2} D.{m|m<2} 6.已知关于x的不等式(x-2a)[x2-(2a+1)x+1]≥0对任意x>0恒成立,则实数a的取值范围是 (　 ) A.-≤a≤0 B.-≤a≤ C.a≤0 D.a<- 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 7.不等式2kx2+kx-<0对一切实数x恒成立的充分条件可以是 (　 ) A.-3<k<0 B.-2≤k<0 C.-1<k<1 D.-≤k<-1 8.已知关于x的不等式2kx2+kx-<0,则下列说法正确的是 (　 ) A.若k=1,则不等式的解集为 B.若不等式对任意x∈R恒成立,则整数k的取值集合为{-2,-1,0} C.若不等式对0≤k≤1恒成立,则实数x的取值范围是 D.若恰有一个整数x使得不等式成立,则实数k的取值范围是 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 9.若函数y=的自变量x的取值范围为R,则m的取值范围是　　　　　.  10.当1≤x≤3时,不等式2x2-5x-1-m>0有解,则实数m的取值范围为　　　　.  11.[2026·福建漳州三中高一月考] 不等式2x2-axy+y2≥0对于任意1≤x≤2,1≤y≤3恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.  四、解答题:本题共2小题,共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)已知关于x的不等式2kx2+kx-<0. (1)若不等式的解集为{x|m<x<1},求k和m的值; (2)若不等式的解集为R,求实数k的取值范围. 13.(15分)已知y=mx2-mx-6+m. (1)若对于任意1≤x≤3,y<0恒成立,求实数m的取值范围; (2)若对于任意-2≤m≤2,y<0恒成立,求实数x的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练一　不等式恒成立与能成立问题 1.B　[解析] ∵不等式2x2+2kx+3k>0对一切实数x都成立,∴Δ=(2k)2-4×2×3k<0,解得0<k<6.故选B. 2.A　[解析] 由+=2,得+=1,则x+y=(x+y)=+++2=++,因为+≥2=2,所以x+y≥+2=,当且仅当=,即x=,y=3时等号成立,又x+y≥2m-1恒成立,所以≥2m-1,解得m≤.故选A. 3.A　[解析] 对于mx2+2mx-1<0,当m=0时,-1<0,此时不等式的解集为R,满足题意;当m≠0时,解得-1<m<0.综上,m的取值范围为-1<m≤0.故“-1<m<0”是“关于x的不等式mx2+2mx-1<0的解集为R”的充分不必要条件.故选A. 4.D　[解析] 因为“∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1”是假命题,所以“∃x∈R,ax2+4x+a<-2x2+1”,所以(a+2)x2+4x+a-1<0对x∈R能成立.当a+2≤0时,上述不等式在实数集上存在解;当a+2>0时,由Δ=16-4(a+2)(a-1)>0,可得-2<a<2.综上,实数a的取值范围是{a|a<2}.故选D. 5.C　[解析] 因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以≥2,即4x-m≥2(x2-2x+3),即-m≥2(x2-4x+3),因为存在x∈R,使得不等式≥2成立,所以-m≥[2(x2-4x+3)]min.因为2(x2-4x+3)=2(x-2)2-2≥-2,当且仅当x=2时取等号,所以-m≥-2,即m≤2.故选C. 6.C　[解析] 对于函数y=x2-(2a+1)x+1,Δ=(2a+1)2-4.①令Δ=(2a+1)2-4≤0,得-≤a≤,此时x2-(2a+1)x+1≥0恒成立,所以2a≤0,即a≤0,所以-≤a≤0.②令Δ=(2a+1)2-4>0,得a>或a<-,设关于x的方程x2-(2a+1)x+1=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=2a+1,x1x2=1.当a>时,方程x2-(2a+1)x+1=0有两个正根,存在x>0,使得(x-2a)[x2-(2a+1)x+1]<0,不符合题意;当a<-时,方程x2-(2a+1)x+1=0有两个负根,所以2a≤0,即a≤0,所以a<-.综上所述,实数a的取值范围为a≤0.故选C. 7.ABD　[解析] 若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x恒成立,则解得-3<k<0,设A={k|-3<k<0},一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x恒成立的充分条件构成集合B,则B⊆A,所以A,B,D正确,C错误.故选ABD. 8.BCD　[解析] 当k=1时,2kx2+kx-<0,即为2x2+x-<0,解得-<x<,故A错误;若不等式对任意x∈R恒成立,当k=0时,-<0恒成立,当k≠0时,2k<0,且Δ=k2-4×2k×<0,解得-3<k<0,综上,-3<k≤0,又k为整数,所以整数k的取值集合为{-2,-1,0},故B正确;若不等式对0≤k≤1恒成立,则解得-<x<,故C正确;若恰有一个整数x使得不等式成立,则k>0,又因为-<0,所以原不等式的整数解为x=0,结合二次函数y=2kx2+kx-的图象,可得解得k≥,故D正确.故选BCD. 9.　[解析] 由已知得mx2+4mx+3≥0恒成立.当m=0时,3≥0,符合题意;当m≠0时,m>0,且Δ=16m2-12m≤0,解得0<m≤.综上所述,m的取值范围为. 10.m<2　[解析] 当1≤x≤3时,2x2-5x-1-m>0有解,即m<2x2-5x-1有解.设y=2x2-5x-1,则二次函数y=2x2-5x-1的图象开口向上,对称轴方程为x=-=,所以当1≤x≤3时,ymax=2×32-5×3-1=2,所以m<2. 11.{a|a≤2}　[解析] 不等式2x2-axy+y2≥0两边同时乘,得2-a+1≥0,因为1≤y≤3,所以≤≤1,又1≤x≤2,所以≤≤2,令t=,则不等式转化为2t2-at+1≥0对≤t≤2恒成立.由2t2-at+1≥0,可得a≤,即a≤,又2t+≥2=2,当且仅当t=时取等号,所以当t=时,2t+取得最小值2,所以a≤2,故实数a的取值范围为{a|a≤2}. 12.解:(1)∵2kx2+kx-<0的解集为{x|m<x<1}, ∴2kx2+kx-=0的根为x=m或x=1,且2k>0, ∴解得 (2)当k=0时,不等式2kx2+kx-<0化为-<0,满足题意; 当k≠0时,∵不等式2kx2+kx-<0的解集为R, ∴解得-3<k<0. 综上,实数k的取值范围为{k|-3<k≤0}. 13.解:(1)y<0即mx2-mx-6+m=m(x2-x+1)-6<0,即m(x2-x+1)<6. 因为当1≤x≤3时,1≤x2-x+1≤7, 所以当1≤x≤3时,m<恒成立. 当1≤x≤3时,≥, 所以m<,故实数m的取值范围为m<. (2)y=mx2-mx-6+m=m(x2-x+1)-6, 则y是关于m的一次函数,且一次项系数为x2-x+1=+>0, 所以y<0等价于2(x2-x+1)-6<0,解得-1<x<2, 故实数x的取值范围为-1<x<2. 学科网（北京）股份有限公司 $