专题01 基本不等式求最值问题全归纳（专项训练9大重点题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“条件辨析-方法应用-综合拓展”为主线，系统构建基本不等式求最值的方法体系，通过8大考点10类题型实现从基础到综合的逻辑进阶，培养数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |条件辨析|3题|“一正二定三相等”判定|从概念本质出发，夯实应用前提| |直接套用|5题|和定积最大/积定和最小|掌握基本模型，形成直接应用能力| |配凑法|4题|添项拆项与负数变量配凑|通过代数变形突破非标准形式| |常数“1”代换|5题|乘1法转化分式最值|建立已知与目标的关联桥梁| |换元与消元|6题|换元法/消元法简化问题|通过变量转换降低思维难度| |构造不等式|4题|变形构造不等式求解|培养逆向思维与代数变形能力| |实际应用|3题|几何与经济模型转化|体现数学语言描述现实世界的价值| |综合应用|4题|与恒成立问题结合|提升知识迁移与综合解题能力|

专题01 基本不等式求最值问题全归纳 常考题型·精准突破 考点一 基本不等式使用条件辨析 题型1 “一正二定三相等”判定（重点） 考点二 直接套用基本不等式求最值 题型2 和定求积最大值、积定求和最小值（高频） 考点三 配凑法求最值 题型3 添项、拆项与负数变量配凑求最值（重点） 考点四 常数“1”代换求最值 题型4 乘1法求解分式最值（重点.难点） 考点五 换元法和消元法求最值 题型5换元法求最值 题型6 消元法求最值 考点六 构造不等式法求最值 题型7 变形构造不等式求解最值（难点） 考点七 实际情境应用题 题型8 几何模型、经济模型最值问题 考点八 最值综合应用 题型9 基本不等式与恒成立、存在性问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 基本不等式使用条件辨析 ◆题型1 “一正二定三相等”判定 1．（25-26高二下·海南·期末）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 【答案】BC 【分析】根据不等式成立的条件即可判断． 【详解】为重要不等式，其中，A错，B对； 是基本不等式，其中，C对，D错. 故选：BC 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用基本不等式即可判断选项. 【详解】若，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以由可得成立， 若，取，满足，但不满足，所以由推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 考点二 直接套用基本不等式求最值 ◆题型2 和定求积最大值、积定求和最小值 4．（25-26高二下·河北张家口·期末）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意得，，等号成立时， 故的最小值为 5．（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）已知，则的最小值是（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】变形得，利用基本不等式求解. 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值是12． 故选：A． 6．（25-26高二下·湖南娄底·期中）已知，则的最大值是（   ） A．-1 B．1 C．4 D．7 【答案】B 【分析】构造基本不等式，转化后可得，即可求得最大值. 【详解】由题意可得：， 因为，所以，当且仅当时取等号， 即 故选：B 7．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 【答案】 【详解】，所以， 所以， 若，其值必然小于正数，因此仅需考虑， 根据基本不等式，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 8．（25-26高二下·福建福州·期末）设，为正数，且，则的最大值为__________． 【答案】/0.25 【详解】（当且仅当时，取等号），所以的最大值为 考点三 配凑法求最值 ◆题型3 添项、拆项与负数变量配凑求最值 9．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由关系，结合基本不等式求结论. 【详解】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 10．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】将函数配凑整理为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】， ，， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为5. 故选：B. 11．（2026·广西崇左·一模）若，则的（   ） A．最小值为4 B．最小值为6 C．最大值为4 D．最大值为6 【答案】B 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号成立， 所以的最小值为6，无最大值. 12．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 考点四 常数“1”代换求最值 ◆题型4 乘1法求解分式最值 13．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】C 【详解】因为，因此， 由，，以及基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 故. 14．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【详解】由，，，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为9. 15．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解. 【详解】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 16．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为____． 【答案】8 【分析】巧用“1”的代换，再结合基本不等式求解. 【详解】已知正实数满足，等式两边同时除以得：， 所以， 则，当且仅当即时等号成立， 代入得，即的最小值为. 17．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 【答案】9 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 考点五 换元法和消元法求最值 ◆题型5 换元法求最值 18．（2026高三·全国·专题练习）已知，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过双换元法将目标函数转化为求新变量乘积的形式，并结合已知条件利用基本不等式求出该乘积的最大值，最终代回原式求得最小值. 【详解】令，，，， 则，整理得， ， 所以原问题转化为求的最大值， ，当且仅当即时等号成立， 即，设，因为，，所以， 所以有，解得或（舍去）， 即， 所以. 19．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为_____. 【答案】3 【分析】设，将待求式化为关于的函数式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】设，因，则， 且， 因，当且仅当时取等， 即时，也即时，取得最小值4，此时的最小值为3. 20．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. ◆题型6 消元法求最值 21．（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）已知正数 满足 ，则 的最小值为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，用表示并代入目标式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由正数 满足 ，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以时， 取得最小值8. 22．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，且，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】由题可得，令，所以再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题可得， 所以， 令，即， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值为13. 23．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. 【答案】(1) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； 考点六 构造不等式法求最值 ◆题型7 变形构造不等式求解最值 24．（2026·云南昆明·模拟预测）函数（）的最小值为（    ） A．9 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式即可求解． 【详解】由题得， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 则函数（）的最小值为12． 25．（25-26高二下·河北·期末）已知，则的最小值为_______. 【答案】/ 【分析】先由判断，再将配凑，利用乘法结合基本不等式求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 26．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知为实数，且，则的最小值为________. 【答案】/ 【分析】由题意可得，代入，化简得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 27．（25-26高三上·北京·阶段检测）若，则函数的最小值为______，此时______. 【答案】 【分析】由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 考点七 实际情境应用题 ◆题型8 几何模型、经济模型最值问题 28．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 29．（25-26高一上·上海嘉定·期末）某物流中心计划在仓库内划定一个矩形的分拣区域，该区域被一条对角线分为两个三角形作业区．已知在其中一个三角形作业区内，需要预留一个半径为的圆形区域供自动导引车原地转向使用．若要求这个圆形转向区与矩形分拣区的两邻边及这条对角线都相切，则该矩形分拣区域占地面积的最小值为________． 【答案】 【分析】根据内切得到矩形长和宽的关系式，结合基本不等式求出，根据矩形面积公式可求答案. 【详解】如图，设,矩形面积为，    由题意可知半径为2的圆与内切，， 由相切的性质可得,, 所以，其中； 由勾股定理，所以，即； 由基本不等式可得，当且仅当取到等号， 解得或（舍）， ，即矩形分拣区域占地面积的最小值为. 故答案为： 30．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 考点八 最值综合应用 ◆题型9 基本不等式与恒成立、存在性问题 31．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 32．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案. 【详解】由正实数满足，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 33．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】借助基本不等式“1”的活用可得，则可得. 【详解】当时，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即恒成立，则，故， 故实数的最大值为. 故选：A. 34．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【分析】根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式可得，再根据恒成立问题分析求解. 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．（25-26高三上·福建莆田·阶段检测）设，则“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合基本不等式进行判定. 【详解】显然当时，，即成立； 因为， 当且仅当，即时等号成立，不一定； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（25-26高一上·山东临沂·期末）已知均为正数，且，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】结合题意得到，再两次利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以， 则 ， 当且仅当，时取等，此时解得， 则的最小值为，故B正确. 故选：B 3．（高一上·福建宁德·阶段检测）已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时取得等号， 所以的最小值是. 4．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）下列函数的最值中正确的是（　　） A．的最小值为2 B．的最小值是4 C．已知的最小值为3 D．的最大值为5 【答案】BCD 【分析】A 项举反例，其它项应用基本不等式求解． 【详解】当时，，A错误； ，当且仅当，即时取等号，B正确； 当时，，则， 当且仅当，即时取等号，C正确； 由题意，，则， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 5．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对于A：利用基本不等式求最值即可；对于B：消元整理可得，进而分析最值；对于C：平方整理可得，进而分析最值；对于D：整理可得，利用“”的妙用结合基本不等式运算求解. 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 的最大值为，A正确； 对于B，将代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，因为，故， 所以的最大值为，C错误； 对于D，因为，即， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为，D正确. 6．（25-26高二下·福建三明·期末）已知正实数a，b满足，下列结论正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值4 C．有最小值2 D．有最小值2 【答案】AC 【分析】结合已知条件（为正实数），依据基本不等式“一正二定三相等”的规则逐一判断选项. 【详解】 对于A：由基本不等式得，代入得，化简得， 当且仅当即时等号成立，故最大值为，A正确； 对于B：用乘“1”法计算：， 可知最小值为4，无最大值，B错误； 对于C：由不等式，代入得， 当且仅当即时等号成立，故最小值为2，C正确； 对于D：， 当且仅当即时等号成立可知最小值为4，D错误. 二、填空题 7．（2026高三·全国·专题练习）设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 【答案】3 【详解】由已知条件可得， ，当且仅当时取得最小值3． 8．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知，且，则的最小值为____. 【答案】 【分析】由题意有，令，利用基本不等式得，利用的单调性即可求解. 【详解】由题意有：，令， 因为，所以， 所以，易知函数在上单调递增， 所以，所以的最小值为. 故答案为：. 9．（25-26高一上·上海静安·阶段检测）已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用对勾函数的性质，对实数进行讨论可得其取值范围. 【详解】已知在上存在最小值, 当时，函数为对勾函数，在处取得最小值， 为使最小值点落在区间内，需，解得， 当时，函数单调递增，在区间内不存在最小值点， 因此实数的取值范围是. 10．（25-26高一上·四川成都·期末）设，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 得， 当且仅当，即时取等号． 三、解答题 11．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知. (1)求的最小值 ， (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可； （2）根据恒成立可得：，进而通过解绝对值不等式求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即，时取等号. 因此可得：的最小值为. （2）若不等式恒成立，即恒成立，只需满足：， 根据（1）的计算结果可知：的最小值为. 即得：，即：，解得：. 故的取值范围为 12．（25-26高一上·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【答案】(1) (2)万元. 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 13．（25-26高一上·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 【答案】(1)玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入 (2)该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和 【分析】（1）设玩具的单价为元，根据题意可得，运算求解即可； （2）根据题意整理可得，原题意即为存在，有解，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. （2）由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 14．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 基本不等式求最值问题全归纳 常考题型·精准突破 考点一 基本不等式使用条件辨析 题型1 “一正二定三相等”判定（重点） 考点二 直接套用基本不等式求最值 题型2 和定求积最大值、积定求和最小值（高频） 考点三 配凑法求最值 题型3 添项、拆项与负数变量配凑求最值（重点） 考点四 常数“1”代换求最值 题型4 乘1法求解分式最值（重点.难点） 考点五 换元法和消元法求最值 题型5换元法求最值 题型6 消元法求最值 考点六 构造不等式法求最值 题型7 变形构造不等式求解最值（难点） 考点七 实际情境应用题 题型8 几何模型、经济模型最值问题 考点八 最值综合应用 题型9 基本不等式与恒成立、存在性问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 基本不等式使用条件辨析 ◆题型1 “一正二定三相等”判定 1．（25-26高二下·海南·期末）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二 直接套用基本不等式求最值 ◆题型2 和定求积最大值、积定求和最小值 4．（25-26高二下·河北张家口·期末）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 5．（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）已知，则的最小值是（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 6．（25-26高二下·湖南娄底·期中）已知，则的最大值是（   ） A．-1 B．1 C．4 D．7 7．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 8．（25-26高二下·福建福州·期末）设，为正数，且，则的最大值为__________． 考点三 配凑法求最值 ◆题型3 添项、拆项与负数变量配凑求最值 9．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 10．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 11．（2026·广西崇左·一模）若，则的（   ） A．最小值为4 B．最小值为6 C．最大值为4 D．最大值为6 12．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 考点四 常数“1”代换求最值 ◆题型4 乘1法求解分式最值 13．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 14．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 15．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 16．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为____． 17．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 考点五 换元法和消元法求最值 ◆题型5 换元法求最值 18．（2026高三·全国·专题练习）已知，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 19．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为_____. 20．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. ◆题型6 消元法求最值 21．（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）已知正数 满足 ，则 的最小值为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 22．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，且，则的最小值为____________. 23．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. 考点六 构造不等式法求最值 ◆题型7 变形构造不等式求解最值 24．（2026·云南昆明·模拟预测）函数（）的最小值为（    ） A．9 B．12 C． D． 25．（25-26高二下·河北·期末）已知，则的最小值为_______. 26．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知为实数，且，则的最小值为________. 27．（25-26高三上·北京·阶段检测）若，则函数的最小值为______，此时______. 考点七 实际情境应用题 ◆题型8 几何模型、经济模型最值问题 28．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 29．（25-26高一上·上海嘉定·期末）某物流中心计划在仓库内划定一个矩形的分拣区域，该区域被一条对角线分为两个三角形作业区．已知在其中一个三角形作业区内，需要预留一个半径为的圆形区域供自动导引车原地转向使用．若要求这个圆形转向区与矩形分拣区的两邻边及这条对角线都相切，则该矩形分拣区域占地面积的最小值为________． 30．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 考点八 最值综合应用 ◆题型9 基本不等式与恒成立、存在性问题 31．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 32．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 33．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 34．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．（25-26高三上·福建莆田·阶段检测）设，则“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·山东临沂·期末）已知均为正数，且，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（高一上·福建宁德·阶段检测）已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）下列函数的最值中正确的是（　　） A．的最小值为2 B．的最小值是4 C．已知的最小值为3 D．的最大值为5 5．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 6．（25-26高二下·福建三明·期末）已知正实数a，b满足，下列结论正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值4 C．有最小值2 D．有最小值2 二、填空题 7．（2026高三·全国·专题练习）设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 8．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知，且，则的最小值为____. 9．（25-26高一上·上海静安·阶段检测）已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 10．（25-26高一上·四川成都·期末）设，则的最小值为__________． 三、解答题 11．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知. (1)求的最小值 ， (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围 12．（25-26高一上·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 13．（25-26高一上·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 14．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 基本不等式求最值问题全归纳 常考题型·精准突破 考点一 基本不等式使用条件辨析 ◆题型1 “一正二定三相等”判定 1．D 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 2．BC 【详解】为重要不等式，其中，A错，B对； 是基本不等式，其中，C对，D错. 故选：BC 3．A 【详解】若，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以由可得成立， 若，取，满足，但不满足，所以由推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 考点二 直接套用基本不等式求最值 ◆题型2 和定求积最大值、积定求和最小值 4．B 【详解】由题意得，，等号成立时， 故的最小值为 5．A 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值是12． 故选：A． 6．B 【详解】由题意可得：， 因为，所以，当且仅当时取等号， 即 故选：B 7． 【详解】，所以， 所以， 若，其值必然小于正数，因此仅需考虑， 根据基本不等式，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 8．/0.25 【详解】（当且仅当时，取等号），所以的最大值为 考点三 配凑法求最值 ◆题型3 添项、拆项与负数变量配凑求最值 9．C 【详解】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 10．B 【详解】， ，， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为5. 故选：B. 11．B 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号成立， 所以的最小值为6，无最大值. 12．10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 考点四 常数“1”代换求最值 ◆题型4 乘1法求解分式最值 13．C 【详解】因为，因此， 由，，以及基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 故. 14．D 【详解】由，，，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为9. 15．D 【详解】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 16．8 【详解】已知正实数满足，等式两边同时除以得：， 所以， 则，当且仅当即时等号成立， 代入得，即的最小值为. 17．9 【详解】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 考点五 换元法和消元法求最值 ◆题型5 换元法求最值 18．C 【详解】令，，，， 则，整理得， ， 所以原问题转化为求的最大值， ，当且仅当即时等号成立， 即，设，因为，，所以， 所以有，解得或（舍去）， 即， 所以. 19．3 【详解】设，因，则， 且， 因，当且仅当时取等， 即时，也即时，取得最小值4，此时的最小值为3. 20． 【详解】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. ◆题型6 消元法求最值 21．C 【详解】由正数 满足 ，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以时， 取得最小值8. 22． 【详解】由题可得， 所以， 令，即， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值为13. 23．(1) 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； 考点六 构造不等式法求最值 ◆题型7 变形构造不等式求解最值 24．B 【详解】由题得， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 则函数（）的最小值为12． 25．/ 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 26．/ 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 27． 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 考点七 实际情境应用题 ◆题型8 几何模型、经济模型最值问题 28． 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 29． 【详解】如图，设,矩形面积为，    由题意可知半径为2的圆与内切，， 由相切的性质可得,, 所以，其中； 由勾股定理，所以，即； 由基本不等式可得，当且仅当取到等号， 解得或（舍）， ，即矩形分拣区域占地面积的最小值为. 故答案为： 30． (1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 考点八 最值综合应用 ◆题型9 基本不等式与恒成立、存在性问题 31．A 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 32．C 【详解】由正实数满足，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 33．A 【详解】当时，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即恒成立，则，故， 故实数的最大值为. 故选：A. 34． 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．A 2．B 3．C 4．BCD 5．AD 6．AC 二、填空题 7. 3 8． 9． 10． 三、解答题 11．(1)9 (2) 【详解】（1）， 当且仅当，即，时取等号. 因此可得：的最小值为. （2）若不等式恒成立，即恒成立，只需满足：， 根据（1）的计算结果可知：的最小值为. 即得：，即：，解得：. 故的取值范围为 12．(1) (2)万元. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 13． (1)玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入 (2)该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和 【详解】（1）设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. （2）由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 14．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $