集合与常用逻辑用语专题01 集合中含参问题与特殊题型（专项训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合含参问题，通过7类题型系统覆盖元素关系、集合运算、新定义等核心考法，构建从概念应用到综合创新的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |元素与集合关系|3-4题|已知元素属于/不属于集合求参数|以元素确定性为基础，强化分类讨论意识| |元素个数|3-4题|方程解集中元素个数与参数关系|结合方程根的情况，培养抽象能力| |集合相等|3-4题|两集合元素对应相等求参数|基于集合互异性，发展推理能力| |包含关系|5-6题|子集/真子集关系求参数范围|深化集合间关系理解，提升逻辑思维| |交并补运算|5-6题|根据运算结果反求参数|综合集合运算，培养数学表达能力| |Venn图与容斥原理|3-4题|图形表示与实际计数问题|数形结合，发展几何直观| |新定义问题|5-6题|自定义集合运算/性质判断|迁移应用概念，培养创新意识|

集合与常用逻辑用语专题01集合中含参问题与特殊题型 目录 A题型建模・专项突破 题型01根据元素与集合的关系求参数 题型02根据集合中元素的个数求参数 题型03根据两个集合相等求参数 题型04根据集合的包含关系求参数 题型05根据交并补运算结果求参数 题型06Venn图与容斥原理的应用 题型07集合中新定义的问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01根据元素与集合的关系求参数 1．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）设集合，若，则实数的值为______. 【答案】3 【分析】由题意分情况讨论，建立方程，可得答案. 【详解】当时，则，故不符合题意； 当时，则，化简可得，（1不合题意舍去）； 故答案为：. 2．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合，若，则实数______ 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，， 所以或， 当时，，此时，不满足互异性，舍去； 当时，或（舍去），此时，满足题意； 综上，. 故答案为：. 3．（25-26高一上·重庆万州·阶段检测）已知集合，，且，求集合． 【答案】 【分析】根据题意，结合集合中元素的确定性与互异性，分类讨论即可求解. 【详解】根据题意，当时，.若，则，根据互异性可知，不满足题意；若，则，此时，. 而当时，集合中，根据互异性可知，不满足题意. 综上，. 4．（25-26高一上·北京·期中）已知为实数，，集合中有一个元素恰为另一个元素的倍，则实数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分情况讨论并判断即可. 【详解】由题意： 当时，，此时集合，不成立； 当时，，时不成立，时，集合，成立； 当时，集合，成立； 当时，或，时集合，不成立，时集合，成立； 当时，，时集合，不成立，时集合，成立； 当时，或，时集合，不成立，时不成立； 故， 故选：B. 题型02根据集合中元素的个数求参数 5．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 【答案】 【分析】根据等式的性质，可得整式方程，再根据一元二次方程性质与分式方程性质分类讨论即可得答案． 【详解】方程两边同时乘以得，即， ①当，即时，方程只有一个解； ②当其中一个解为增根时，方程也只有一个解， （i）若增根为0时，； （ii）若增根为1时，； 故k的值为或0或2，即的可能取值构成的集合为. 6．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知集合，若集合至多有2个子集，则的取值范围为______． 【答案】或或 【分析】首先采取正难则反的原则，求解有4个子集时，的取值范围，再求其补集即可，也可通过分类讨论，分1个子集和2个子集讨论. 【详解】通过分析我们知道最多有4个子集，且不会有3个子集， 若有4个子集，此时集合中有两个元素， 则有解得， 则当集合至多有2个子集是，或或 故答案为：或或. 7．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）已知集合 (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来； (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)，中元素为 (3) 【分析】根据集合中元素的个数可得方程解得情况，进而求得的取值范围. 【详解】（1）若是空集，则方程无解， ①，解得，此时方程为，无解成立； ②，解得， 综上所述，，即； （2）若中只有一个元素，则方程有且只有一个实数根， ①，解得，此时方程为，解得，即集合中的元素是； ②，无解， 综上所述，若中只有一个元素，则，此时集合中的元素是； （3）若中至多只有一个元素，则①是空集，，②中只有一个元素，， 所以若中至多只有一个元素，则. 8．（25-26高三上·北京·期中）已知，集合中有且只有三个整数，则符合条件的实数a的一个值是____________． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】由题设得求参数范围，即可得结果. 【详解】由题设且，可得， 所以，符号条件的一个a值为2. 故答案为：2（答案不唯一） 题型03根据两个集合相等求参数 9．（2026高三下·湖北·竞赛）已知且，集合，．若，则______． 【答案】5 【分析】利用集合相等则元素和相等先求出的可能值，结合集合元素性质排除不符合的解，再匹配对应元素求出，最终计算. 【详解】若，则两个集合元素之和相等，中元素和为，因此的元素和也为， 即 解得或. 若，则，但时中元素均不为，矛盾，排除； 若，则，结合，得元素乘积相等，即， 化简得，结合得，此时，符合条件. 所以. 10．（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 【答案】0 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 11．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知，集合，则______． 【答案】 【分析】根据集合相等，结合元素的互异性求参数，进而确定目标式的值. 【详解】由题设，若，则不满足元素的互异性， 所以，显然满足题设， 所以. 故答案为： 12．（2016高一上·江苏淮安·学业考试）已知函数，若，则___________ 【答案】 【分析】根据可得函数有两个相等的实数根，再根据判别式求解即可. 【详解】因为，故函数，即有两个相等的实数根. 故，解得，故. 故答案为： 题型04根据集合的包含关系求参数 13．（25-26高二上·上海·阶段检测）设是实数，集合，，若，则符合条件的实数组成的集合是______. 【答案】 【分析】求出，分和，得到方程，求出实数，得到答案. 【详解】， ①当时，，成立， ②当时，， 当时，，当时，， 综上所述，符合条件的实数组成的集合是. 故答案为： 14．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）集合集合且，则实数的取值范围__________． 【答案】 【分析】根据集合包含的关系，对集合分和进行讨论，利用判别式和韦达定理求解即可． 【详解】， ，，解得， 时，即方程的根为正数，设为， ，解得， 综上，， 故答案为：． 15．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知，若，求实数的值． 【答案】或 【分析】先求出集合，然后对集合分情况讨论，即可求出实数的值. 【详解】因为集合，. 所以，或，或，或. 当时，，此方程无解. 当时，，解得. 当时，，此方程组无解. 当时，，解得. 综上所述：或. 故答案为：或. 16．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程有唯一解列式计算即可； （2）先求解一元二次方程化简集合A，由得，结合判别式分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为，所以关于的方程有两个相等的实数根， 则，解得，故实数的取值范围为. （2）， 因为，所以，则， 所以可能为. ①若，则，解得或； ②若，则，所以，解得； ③若，则，无解，即； ④若，则，无解，即. 综上，或. 17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【详解】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 18．（25-26高一上·上海·开学考试）已知或. （1）若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 【答案】（1）或（2） 【分析】根据集合的包含关系，建立不等式即可解出结果. 【详解】（1）即的范围小于的范围. 当，即时，，满足； 当，即时，要使，由图1得， ①②等号不同时成立，解得.    综上所述，的取值范围为或. （2）BA即的范围小于的范围. 要使BA，优先考虑是否为空集. 当，即时，，满足BA； 当，即时，要使BA，由图2得或， 解得.又因为，所以.    综上所述，的取值范围为. 题型05根据交并补运算结果求参数 19．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 【答案】 【分析】分析可知，分类讨论的符号，结合包含关系运算求解. 【详解】因为集合，， 若，则， 对于方程，则， 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则中有两个元素， 可知，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 20．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果. （2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果. 【详解】（1）当时，， 因为或，所以， 故. （2）若选①：当时，，，成立. 当时，，由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选②：当时，，，成立. 当时，， 由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选③：由可得. 当时，，，成立. 当时，，由可得解得，所以. 综上，的取值范围是. 21．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）定义集合的“长度”是，其中．已知集合，且都是集合的子集，若，集合的“长度”大于，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】由子集的定义得到不等式组解出的范围，然后计算出集合，再由新定义得到不等式，再求交集即可得出结果. 【详解】集合，且都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 若， 要使集合的“长度”大于，故或， 即或，又， 故的取值范围是或． 故答案为：或 22．（25-26高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）集合的交集和补集的运算计算得出结果；（2）根据已知条件，求解参数范围 【详解】（1）由，得， 方法1： 可得或， 由题，有或， 所以或． 方法2： 则， 所以，或． （2）依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为． 23．（25-26高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；或. (2) 【分析】（1）首先解二次不等式求得集合，然后将代入确定集合，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可； （2）首先根据集合间运算的结果可得，然后分和两种情况分类讨论求解参数取值范围即可 【详解】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 24．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据集合运算的性质，得出，而集合中的元素为方程的根，所以分两种情况讨论集合中的元素分别是和的根，解出的值，进而求出两个方程的所有根，即可确定集合. 【详解】设的根为，，则，； 设的根，，则. 因为，所以，即， 当1是的根，2是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素； 当2是的根，1是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素. 故选：B. 题型06Venn图与容斥原理的应用 25．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据阴影部分是三个集合的交集求解即可. 【详解】由图可以直接看出阴影部分是三个集合的交集， 故选:C． 26．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图结合补集与交集定义即可得. 【详解】由图可知，元素属于但不属于， 即阴影部分对应的集合为. 故选：A. 27．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、AI技术培训3类拓展课程．高一某班学生共有32人报名参加拓展课程，其中有10人报名参加劳动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加AI技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有4人，同时报名参加研学参观和AI技术培训的有5人，只参加AI技术培训的人数为________． 【答案】8 【分析】利用韦恩图来求解即可. 【详解】设3类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和AI技术培训的有人， 列出韦恩图如下，则， 可得，则只参加AI技术培训的人数为人. 故答案为：8.    28．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）我校数、理、化竞赛时，高一某班有名学生参加数学竞赛，名学生参加物理竞赛，名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有名，只参加数、物两科的有名，只参加物、化两科的有名，只参加数、化两科的有名若该班学生共有名，则没有参加任何竞赛的学生共有__________名. 【答案】 【分析】根据韦恩图，分别求出单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生. 【详解】由韦恩图知： 因为有名学生参加数学竞赛，名学生参加物理竞赛，名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有名，只参加数、化两科的有名， 只参加数、物两科的有名，只参加物、化两科的有名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有人， 故参赛人数共有人， 没有参加任何竞赛的学生共有人． 故答案为：10. 题型07集合中新定义的问题 29．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）对于集合，，定义，且，，设，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求解集合、的值域，再根据新定义运算分别计算和，最终求两者的并集得到结果. 【详解】对于集合，根据二次根式的非负性，，因此 ，即. 对于集合，由可得，因此，即 因为，且，所以，. 又因为，所以. 30．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 31．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 32．（2026高一·全国·专题练习）已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”，则下列说法中不正确的是（   ） A．不是“可分集合” B．是“可分集合” C．四个元素的集合可能是“可分集合” D．五个元素的集合不是“可分集合” 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用“可分集合”的定义逐项分析判断即得. 【详解】对于A，去掉后，不满足定义，不是“可分集合”，A正确； 对于B，集合所有元素之和为， 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意， 因此集合是“可分集合”，B正确； 对于C，不妨设，去掉，则，去掉，则， 于是，与矛盾，因此一定不是“可分集合”，C错误； 对于D，不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③或②④得，矛盾；由①④或②③得，矛盾， 因此集合不是“可分集合”，D正确． 故选：C 33．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）对于集合，，定义且，则对于集合，，且，以下说法正确的是（   ） A．若在横线上填入“”，则C的真子集有个． B．若在横线上填入“”，则C中元素个数大于450． C．若在横线上填入“\”，则C的非空真子集有个． D．若在横线上填入“”，则中元素个数为13． 【答案】B 【分析】根据两集合中数的性质可知集合，没有公共元素，再由集合间的运算法则逐一分析选项即可求得结果. 【详解】因为， 因此可知集合，没有公共元素， 对于A，由分析知为空集，没有真子集，即A错误； 对于B，由可得，由可得， 因此若且，可知中元素个数为个，即B正确； 对于C，若在横线上填入“\”,则中有166个元素，则的非空真子集有个，即C错误； 对于D，由且可知且为有限集， 所以， 而，结合已有分析可知中元素个数为331个，即D错误. 故选：B 34．（2026高一·全国·专题练习）（多选）设，为集合，定义集合为与的笛卡尔乘积，记作，则下列结论正确的是（   ） A．笛卡尔乘积满足交换律，即有 B．若，，则集合含有6个元素 C．若，，则集合含有9个元素 D．若，，则 【答案】BC 【分析】由集合新定义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，，则，，显然，故A错误； 对于B，，含有6个元素，故B正确； 对于C，， ， ，含有9个元素，故C正确； 对于D，集合是所有偶数的集合，集合是所有奇数的集合， 因此，包含所有形如（偶数，奇数）的有序对，包含所有形如（奇数，偶数）的有序对， 显然并不能覆盖所有形如（整数，整数）的有序对，因为缺少（偶数，偶数）和（奇数，奇数）的有序对，故D错误． 故选：BC． 1．（25-26高一下·浙江·期中）已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可. 【详解】因为集合，且中只有一个元素，则必有，且不属于集合， 所以,则实数的取值范围是 2．（25-26高一上·湖北孝感·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系可得出关于的等式，结合集合元素满足互异性可求得实数的值. 【详解】因为集合，且， 所以，或， 解得或， 当时，，集合中的元素不满足互异性； 当时，，符合题意． 综上，． 故选：D． 3．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用集合相等，求出，再求出，检验代入求值即可. 【详解】根据题意，故，则， 故，则，即， 当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去， 当，时，，符合题意， 所以， 故选：B. 4．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知集合或，，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】C 【分析】由条件得到，即可. 【详解】因为或，，且 所以，，所以 故选：C 5．（25-26高一·全国·课后作业）设全集，集合或，集合，且，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】先求出，再求出时，的范围，即可得出结果. 【详解】∵集合或， ∴， 因为， 若， 则或，即或； 又，所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由集合交集的结果求参数，熟记交集与补集的概念即可，属于常考题型. 6．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得. 综上，，即m的取值范围是.    故选：C. 7．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先解出，由可知，进而解出即可. 【详解】中最多只有2个元素， 又因为，所以，所以. 故选：C. 8．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用子集思想来确定端点值的取值范围，注意考虑空集也是任意非空集合的真子集. 【详解】由，可知：或， 解得：或，所以的取值范围是， 故选：C. 9．（25-26高三上·江西新余·阶段检测）（多选）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】BD 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】集合，则，解得，知BD符合. 故选：BD. 10．（25-26高一上·山东·期中）（多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【答案】ABC 【分析】首先求出集合A，然后结合的条件，对集合B中的参数a分类讨论即可得答案. 【详解】解：，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和. 故选：ABC. 11．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用韦恩图，结合集合运算逐一判断即可. 【详解】全集为，集合M，N，P均为非空集合，由作出如图所示的韦恩图： 由，得，而， 结合韦恩图，得不是的子集，，，不是的子集， 因此选项AD错误，选项BC正确. 故选：BC 12．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）振华学校举办秋季运动会时，某高一班级共有18名同学参加比赛，有7人参加100m比赛，有6人参加200m比赛，有10人参加400m比赛，同时参加100m比赛和200m比赛的有3人，同时参加100m比赛和400m比赛的有1人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加200m比赛和400m比赛的有_______人． 【答案】1 【分析】设同时参加200m比赛和400m比赛的有人，由题意作出韦恩图，根据题意得出关于的等式即可求解． 【详解】设同时参加200m比赛和400m比赛的有人， 由题意作出韦恩图如图所示： 由图可得，解得． 故同时参加200m比赛和400m比赛的有1人． 故答案为：1． 13．（25-26高一上·上海杨浦·阶段检测）已知集合，，若集合中仅有一个元素，则实数m的取值范围是________ 【答案】 【分析】由集合中仅有一个元素知，与有一个交点，去掉绝对值号分析即可. 【详解】因为， 当时，由知，时，无数个解，时，无解，不符合题意， 当时，由知，当时有一解，故, 当时，即时无解， 所以集合中仅有一个元素时，即方程有一解， 综上. 故答案为 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想，集合描述法的理解，方程根的问题，属于中档题. 14．（25-26高一上·上海·期中）给定数集，若对于任意、，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，集合是否为闭集合； (2)若集合、为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)已知集合、为闭集合，且，，证明：. 【答案】(1)不是闭集合；为闭集合，理由如下： 因为，，，所以不是闭集合； 任取，，设，，，， 则且， 所以，同理，，故为闭集合. (2)不一定，理由如下： 不妨令，， 则由（1）可知，，为闭集合，易知2，，， 因此，不一定是闭集合. (3)证明： 不妨假设，则由，得存在且，故. 同理，存在且，故. 因为，所以或. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 综上，不成立，故. 【分析】（1）根据“闭集合”的定义对集合进行判断. （2）通过举反例的方法说明不一定是闭集合. （3）利用反证法，结合“闭集合”的定义证得. 【详解】（1）不是闭集合；为闭集合，理由略； （2）不一定，理由略； （3）略. 15．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知集合，. (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先求出集合B，再求；（2）由，对集合B分类讨论，求解. 【详解】（1）. 当时，. 所以. （2）因为，所以. 因为，所以集合B可能为，，或. 当时，只需，解得：； 当或，则必有，所以或. 若，有，不符合题意；若，有，不符合题意； 当时，则1和2是的两根. 所以，无解. 故实数的取值范围为. 16．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】(1)根据补集的定义和运算求出，结合并集的定义和运算计算即可； (2)先求出，结合集合之间的包含关系即可求出参数的范围. 【详解】（1）当时，，则或， 所以或； （2）因为，所以或， 当时，由，解得，此时，符合题意； 当时，则有或， 解得或. 综上所述，a的取值范围为 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 集合与常用逻辑用语专题01集合中含参问题与特殊题型 目录 A题型建模・专项突破 题型01根据元素与集合的关系求参数 题型02根据集合中元素的个数求参数 题型03根据两个集合相等求参数 题型04根据集合的包含关系求参数 题型05根据交并补运算结果求参数 题型06Venn图与容斥原理的应用 题型07集合中新定义的问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01根据元素与集合的关系求参数 1．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）设集合，若，则实数的值为______. 2．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合，若，则实数______ 3．（25-26高一上·重庆万州·阶段检测）已知集合，，且，求集合． 4．（25-26高一上·北京·期中）已知为实数，，集合中有一个元素恰为另一个元素的倍，则实数的个数为（    ） A． B． C． D． 题型02根据集合中元素的个数求参数 5．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 6．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知集合，若集合至多有2个子集，则的取值范围为______． 7．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）已知集合 (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来； (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围. 8．（25-26高三上·北京·期中）已知，集合中有且只有三个整数，则符合条件的实数a的一个值是____________． 题型03根据两个集合相等求参数 9．（2026高三下·湖北·竞赛）已知且，集合，．若，则______． 10．（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 11．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知，集合，则______． 12．（2016高一上·江苏淮安·学业考试）已知函数，若，则___________ 题型04根据集合的包含关系求参数 13．（25-26高二上·上海·阶段检测）设是实数，集合，，若，则符合条件的实数组成的集合是______. 14．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）集合集合且，则实数的取值范围__________． 15．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知，若，求实数的值． 16．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 18．（25-26高一上·上海·开学考试）已知或. （1）若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 题型05根据交并补运算结果求参数 19．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 20．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 21．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）定义集合的“长度”是，其中．已知集合，且都是集合的子集，若，集合的“长度”大于，则的取值范围是______． 22．（25-26高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 23．（25-26高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 24．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型06Venn图与容斥原理的应用 25．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、AI技术培训3类拓展课程．高一某班学生共有32人报名参加拓展课程，其中有10人报名参加劳动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加AI技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有4人，同时报名参加研学参观和AI技术培训的有5人，只参加AI技术培训的人数为________． 28．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）我校数、理、化竞赛时，高一某班有名学生参加数学竞赛，名学生参加物理竞赛，名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有名，只参加数、物两科的有名，只参加物、化两科的有名，只参加数、化两科的有名若该班学生共有名，则没有参加任何竞赛的学生共有__________名. 题型07集合中新定义的问题 29．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）对于集合，，定义，且，，设，，则（    ） A． B． C．或 D．或 30．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 32．（2026高一·全国·专题练习）已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”，则下列说法中不正确的是（   ） A．不是“可分集合” B．是“可分集合” C．四个元素的集合可能是“可分集合” D．五个元素的集合不是“可分集合” 33．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）对于集合，，定义且，则对于集合，，且，以下说法正确的是（   ） A．若在横线上填入“”，则C的真子集有个． B．若在横线上填入“”，则C中元素个数大于450． C．若在横线上填入“\”，则C的非空真子集有个． D．若在横线上填入“”，则中元素个数为13． 34．（2026高一·全国·专题练习）（多选）设，为集合，定义集合为与的笛卡尔乘积，记作，则下列结论正确的是（   ） A．笛卡尔乘积满足交换律，即有 B．若，，则集合含有6个元素 C．若，，则集合含有9个元素 D．若，，则 1．（25-26高一下·浙江·期中）已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北孝感·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C． D． 3．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知集合或，，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．3 5．（25-26高一·全国·课后作业）设全集，集合或，集合，且，则（    ） A．或 B． C． D． 6．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·江西新余·阶段检测）（多选）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 10．（25-26高一上·山东·期中）（多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 11．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）振华学校举办秋季运动会时，某高一班级共有18名同学参加比赛，有7人参加100m比赛，有6人参加200m比赛，有10人参加400m比赛，同时参加100m比赛和200m比赛的有3人，同时参加100m比赛和400m比赛的有1人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加200m比赛和400m比赛的有_______人． 13．（25-26高一上·上海杨浦·阶段检测）已知集合，，若集合中仅有一个元素，则实数m的取值范围是________ 14．（25-26高一上·上海·期中）给定数集，若对于任意、，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，集合是否为闭集合； (2)若集合、为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)已知集合、为闭集合，且，，证明：. 15．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知集合，. (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围. 16．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $