重难点专题02 集合与常用逻辑用语中的含参问题及新定义问题（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合与常用逻辑用语含参及新定义问题，构建“问题类型-解题方法-逻辑推理”三阶训练体系，强化数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |元素与集合归属求参|5题|确定性求参→互异性检验，分类讨论|从元素基本属性到集合特性应用| |集合元素个数求参|4题|方程解个数分析，不等式整数解数轴定位|方程与不等式工具在集合中的应用| |集合关系求参|13题|集合相等分类对应，空集特性分析，子集个数转化|集合间包含关系的参数化处理| |集合运算结果求参|7题|交并补运算转化为集合关系，端点对应列方程|运算性质与集合关系的综合应用| |常用逻辑关系求参|8题|充要条件转化为集合包含，含量词命题转化为恒成立/能成立|逻辑关系的集合语言表达| |新定义问题|5题|紧扣新定义本质，集合性质转化应用|集合概念的拓展与创新应用|

重难点专题02集合与常用逻辑用语中的含参问题及新定义问题 100 题型概览 重难点一根据元素与集合的归属关系求参 元素与集合的归属关系求参 重难点二根据集合中元素的个数求参 重难点一根据集合相等求参 集合有关的含参问题及新定义问题 重难点二 根据空集的性质求参 集合与集合的关系求参 重难点三根据集合子集的个数求参 重难点四根据集合的包含关系求参 重难点一运算结果为已有集合的求参 集合的运算结果求参 重难点二运算结果为新集合的求参 重难点一根据充分必要条件关系求参 常用逻辑关系求参 重难点二根据含量词的命题真假求参 集合有关的新定义问题 00 重点强化 【元素与集合的归属关系求参】 【重难点一根据元素与集合的归属关系求参】 啸方法 根据元素与集合的关系求参数的解题思路 1.先利用确定性解出字母所有可能值，讨论谁与谁相等 2,根据互异性对集合中元素进行检验，看是否满足题目要求 【关键】分类讨论. 1.设m∈R'集合A=1,m,m2-4若2∈A'则m= 第1页 【变武】（多选)（多选)若集合A=X,x+2,X-3x且4∈A:则x的值可能是（） A.-1 B.-2 C.2 D.4 2.已知集合A=x2mx-3>0,m∈R:若1EA且3∈A:则实数m的取值范围是（） A.13 B. D. 1 22 一00,2 【变式】已知集合A=(xx>a'B=XX-ax-3>0r若1∈A且1∈CRB:则a的取值范围 是() A.-2,1 B.-2,1 C.[-2,+oo] D.-0,1 3.已知(1,2)∈x,y)2x+ay-3=0lr则a的值为（） B.1 C.2 D.4 第2页 【变式】设集合A={(x,y)x-y≥1，a2x+y>3,x-ay≤2，则（） A.对任意实数a,(2,1)∈A B.对任意实数a,(2,1)EA C.当且仅当a>1时，(2,1)∈A D.当且仅当a<0时，(2,1)A 4.已知a2-a+1∈1,3，a62-b+1∈1,3，b则使得关于x的方程gX+2x+b=0有实数解的 所有有序数对a,b的个数为 5.对于a∈R设套合Ax父-6x+ax-1=0 记A中的所有元素之和为Sa,所有元素 X+a 之积为Ta,则下列说法中，正确的是() A.不存在实数a,使得Sa=6 B.存在实数a,使得Ta=9 C.存在无数的a,使得Sa=7 D.若Ta=3,则a=3 第3页 【重难点二根据集合中元素的个数求参】 啸 方法根据集合中元来的个数求参数的解题思路 1.方程型集合：集合中元素个数即为方程解的个数，由此得出方程应满足的特点（常见：一元二次 方程、分式方程) 2.不等式型集合：解决不等式范围内有几个整数解的问题，常结合数轴确定该范围内包含那几个整 数解，进而确端点值的限制情况，或转化为区间长度内包含几个数 6.已知集合A=x|mX2+3x-2=0 (1)若A中有两个元素，求实数m的取值范围： (2)若A中至多有一个元素，求实数m取值范围. 【变式】如果集合M=xm-1X-4x+2=0}中只有一个元素，则实数m的所有可能值的和为 m 第4页 7.已知m∈R'集合A=xm<x<3m-1)中的元素恰有2个整数，则m的取值范围是（） A.2 C.R D.45 33 u{2 【变式】若集合xg<X<49中恰有6个整数元素，则a的取值范围为(） 14 3 A./ D.{a4<a≤8 8.已知集合A={xx-2)(x-a)=0)内的元素个数为2，则a=（） 第5页 A.0或1 B.1或2 C.0或4 D.1或8 【变式】已知袋合a=XX)太-文)恰有个元素，则的取值失合为 x-2x2-2x1 【集合与集合的关系求参】 【重难点一根据集合相等求参】 煤方法 根据两集合相等求参数 1.原理：两集合相等，实际是其中的元素对应相等 2. 求解思路：分类讨论，确定两集合中哪些元素对应相等，列式求解。 【注】求解后一定要进行检验，利用互异性进行检验 9.已知集合A=1,m,n小B=m,m,mm若A=B'则m24n205=（） A.-1 B.0 C.1 D.2 第6页 【变式】已知A=1,x,y小'B=1,X,2y若A=B则x+y=（） A.2 B.1 c. D.4 10.已知柴合a,名，1-口，a+b,0r则不等式。X-a+bmX-2a<0的解集为一， 【练习】实数。6满足集合a,2,2025-d,a+2026b,0则。+b-1m末尾的两位数是 a, a 1.集合A=xI2+px+q=0,x∈R=2则p+q=《） A.-1 B.0 C.1 D.2 第7页 【变式】已知集合A=xX-ax-2a=0lB=t+1若A=B:则a+t=（） A.-2 B.-1 C.0 D.1 12.若集合xla-2x+a2>4=-o,-a-2则实数a的取值范围为 13.（多选)已知集合A=X1,X,X,X4且X,<X,<X,<X4定义集合B=d若B=A:给出下列说 法：①X+X4=X,+X:②2x,=X+X:③2X,=X+X:其中所有正确序号是（） A.① B.② C.③ D.以上说法都不对 第8页 【重难点二根据空集的性质求参】 赋方法； 根据空集的性质求参数 1.根本：空集指没有元素的集合 2.常考类型： 方程型→空集意味着方程无解 不等式型→空集意味着等式无解，即左侧的数值大于（或等于）左侧的数值 14.设集合B={x∈R1-m≤x≤m+6=☑，求实数m的取值范围 【变式】若集合x∈RIa≤x≤2为空集，则实数a的取值范围是 15.已知：集合A=乙，B=乙，若A=B=☑，求实数a的取值范围 第9页 【变式】若A=xmX2+2mx+2<0=2,则m的取值范围为 16.关于x的方程 2X-1+x广3的解来为空集，则k的值为() X-3 A.2 B.3 C.4 D.5 【重难点三根据集合（真）子集的个数求参】 ©啸方法根据集合（真）子集的个数求参 根据有限集合（真）子集个数的结论，集合子集的个数问题即转化为集合中元素的个数问题 17.已知集合M={x∈Z|a≤x≤2a-1,若集合M有15个真子集，则实数a的取值范围为() A.4,6 B 911 22 第10页 18.若集合A=XmX-4x+2=0有2个子集，则实数m的值为 【变式1】若集合A=x(k+2)X2+2+1=0有且仅有1个真子集，则实数k的值是〔) A.-2 B.-1或2 C.-1或±2 D.-1或-2 【变式2】（多选）已知集合A=x|aX2+2x+1=0,a∈R若集合A至多有2个子集，则a的取 值可能是() A.-1 B.0 C.1 D.2 第11页 19.若集合 $$\left\{ x | \frac { a x } { x - 1 } = x \right.$$ 有且仅有两个子，则实 $$x _ { a }$$ 的取值集合为 20.若集合 A=i 有且仅有2个子集，则实数k的最小值为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 【重难点四根据集合的包含关系求参】 根据集合的包含关系求参数的思路步骤 1.化简所给集合 2.用列举法或数轴表示所给集合 ①当集合为不连续数集(如：方程的解)，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，注意分类讨 论. ②当集合为连续数集(如：不等式解集)，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点 还是虚点. 第12页 3.根据集合关系列式，列出不等式解集端点之间的关系 【易错点】①讨论是否有“空集”（一般，“小的”有可能是空集） ②方程（函数）型：注意讨论一次or二次项系数是否为0 ③画数轴：取等的判断 4解不等式（组） 21.已知实数ab,设A=2,a+1,bB=2,3,a,b若AcB则b-a=（） A.1 B.3-1 c.3 D.3+1 【练习】设集合A={0,-a,B=1,-1,2a-2,若A∈B,则a= 22.设集合A={xX+4x=0B=xx2+2a+1x+a2-1=0 (1)若B≤A,求实数a的取值范围： (2)若A二B,求实数a的取值范围 第13页 【变式】已知集合 $$A = \left\{ x | x ^ { 2 } - 3 x + 2 = 0 \right. \right\} ， B = \left\{ x | \left( a - 1 \right) x ^ { 2 } + 2 x - 3 a - 1 = 0 \right. \right\}$$ (1)若 B 中恰有一个元素，求实数 a 的取值构成的集合； (2)若 B⊆A， ，求实数 a 的取值范围. 23.设全集 U=R' 集合 A=(x-2≤x≤5， ，非空集合 B={x|-1-2a≤x≤a-2 B={x|-1-2a≤x≤a-2}| A={x|-2≤x≤5\right.} (1)若A是B的真子集，求实数 a 的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数 a 的取值范围 【变式】已知集合 A={x|x<-1\right.} 或x>4}，B={x|a≤x≤a+3}， ，若 B⊆A， 则实数 a 的取值范 围是. 第14页 24.已知集合 $$A = \left\{ x | \frac { 2 x - 1 } { x + 1 } < 1 \right. \right\} ， B = \left\{ x | m - 1 < x < 2 m + 3 \right\}$$ (1)若 A⊆{A∩B}， ，求实数 的取值范围： (2)若 B⊆A， ，求实数 的取值范围. 【变式】已知集合 M=i， ，若 M⊆N， ，则实数 的取值范围为() A.(-∞，14] B.(-∞，14) C.(-2，+∞) D.(-∞，-2] 第15页 【集合的运算结果求参】 【重难点一运算结果为已有集合的求参】 根据集合的运算结果(已有集合)求参数 1.策略：当题目中含有条件 A∩B=A 或 A∪B=B， ，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的 关系去分析，将 A∩B=A 转化为 A⊆B，A∪B=B 转化为 A⊆B. “交小并大” 2.方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式 (组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍. 【注意】 当题目条件中出现 B⊆A， ，若集合B(“小的集合”)不确定，解答时要注意讨论 B=∅. 25.已知集合 A={1，a}，B={2，a-1，6-a}， 若 A∩B=A， 则 a= ( A.0 B.1 C.2 D.3 【练习】已知集合 $$M = \left\{ 3 ， 4 ， x ^ { 2 } \right\} ' N = \left\{ 4 ， x + 2 \right\} '$$ 若 $$M \cap N = N ^ { ， }$$ 则 x= () A.-1或1 B.-1或2 c.1或2 D.-1或1或2 第16页 26.设A $$A = \left\{ x | x ^ { 2 } - 3 x - 4 = 0 \right. \right\} ， B = \left\{ x | a x - 1 = 0 \right\}$$ 若 A∩B=B' ，则实数 a 的值可以为 【变式】设 $$A = \left\{ x | x ^ { 2 } + 4 x = 0 \right. \right\} ， B = \left\{ x | x ^ { 2 } + 2 \left( a + 1 \right) x + a ^ { 2 } - 1 = 0 \right. \right\} ，$$ AuB=B·则 的值 A∪B=B a 为. 27. 设 U=R' R已知集合 $$A = \left\{ x | x ^ { 2 } - 5 x - 1 4 \le 0 \right. \right\} ， B = \left\{ x | m + 1 \le x \le 2 m - 1 \right\}$$ A∪B=A' ，求实 数m的取值范围 第17页 【变式】（多选）已知全集U=R:集合A=x-2≤x≤7，B=(xm+1≤x≤2m-1则使 (CuBnA=A成立的实数m的取值范围可能是() m6sms10}品m-2n2c-2m-B侧5m8副 【重难点二运算结果为新集合的求参】 ©味方法根据集合的运算结果（新集合）京参数 1端点对应：集合运算的结果出现了新的数值，则该数值必定来源于其中一个集合，所以根据端点 对应列方程，即可确定参数 2.当出现A∩B=,AUB=R等新集合时，利用交并补的概念结合数轴图，确定集合对应区间的 端点值之见的大小关系，列不等式（组），即可确定参数范围 【注】①列不等式（组），注意等号的判断 ②A∩B=☑，注意考虑集合本身为空集的情况 28.已知集合A=lal,a,B=1,2若AnB=1则a=（） A.1 B.2 C.-1 D.±1 第18页 29.设集合A=xx-8x+12=0lB=xx2+2a+1x+a2-13=0 1)若AnB=2,求a的值及集合A,B: (②)若R为实数集，且CRA)0B=O,求实数a的取值范围， 【变式】已知集合A=1,2设B=x刘X+axX+2x+b=0,x∈R且An(CB)=⑦，则集合 B的元素的个数为() A.5 B.4 C.3 D.2 30.已知集合A=x2≤x≤6，集合B=x2m<x<2-m.若AnB=⑦，求实数m的取值范围为 第19页 【变1E案合A-xx-a2.a=1小c-k父-46c36eo (1)若AUB=A,求实数a的取值范围： (2)若BnC=,求实数b的取值范围. 31.（多选)已知集合A=Xx≤-2或X1B=x2a-3≤X≤a+1若AUB=R则a的值 可以是() 1 A.2 B.0 c.3 D. 【变式】记全集U=R:已知集合A=xa-1≤x≤a+5,a∈RB={xx2-3x-4<0l川 (I)若a=3'求CuAn(CuB) (2)若A U(CuB=R:求a的取值范围. 第20页 【常用逻辑关系求参】 【重难点一根据充分必要条件关系求参】 城方法 根据充分、必要条件求参数的解题思路 1.化简p,q两命题； 2.根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系； 【确定谁大谁小】 3.利用集合间的关系建立不等式，注意等号的判断： 4.求解参数范围 32.已知p:x∈A={x|x<-2或x≥1}，q:x∈B={x2mx+1≤0}，若p是q的必要条件，则 实数m的范围是() D 第21页 -o1o1o.) 【变1东a=闪=-+1，：e层2丹kxm若“xeA“是X长B ”的充分条件，则实数m的取值范围是 33.已知集合A={x2≤x≤5，B={x|m+1≤x≤3-2ml. (1)若AUB=A,求实数m的取值范围： (2)已知p:x∈A,q:x∈B,若P是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 第22页 【变式1】设集合p=xX-m≤0Q=xX-2x-3≥0 X-m+3 (1)若m=0,求PnQ: (2)若“x∈P”是“x庄Q”的必要不充分条件，求实数m的值. 【变式2】 au柴合A=2s小，月=k2-4x*a<0,G=-4nx+3m20 (I)若x∈B是x∈A的必要不充分条件，求a的取值范围： (2)若AUC=A,求实数m的取值范围. 第23页 34.已知集合A=xx2-5x+6=0B=U (1)若B=,求实数m的取值范围； (2)若B≠，命题P:x∈A,命题q:X∈B,且p是q的必要不充分条件，求实数m取值集合的所 有子集。 【变式】已知集合A=(x1X2-3x+2=0,B=x|X2-m+1x+m2-2=0 C=x|x2-2x+n-1=0 (1)命题p:Hx∈A,都有x∈B,若命题p为真命题，求实数m的值； (2)已知p:X∈A,q:x∈C,若p是g的必要不充分条件，求实数n的取值范围. 第24页 【重难点二根据含量词的命题真假求参】 ©妹方法含量词命题的求参问题 1.某区间上的任意、存在问题 (I)全称量词命题“k∈M,a>y或a<y”为真的问题 实质是不等式恒成立问题→转化为方程解情况或求函数最值，具体为a>ymax或a<ymim (2)存在量词命题“x∈M,a>y或a<y'为真的问题 实质是不等式能成立问题→转化为方程解情况或求函数的最值，具体为a>ymim或a<ymax 2.命题的真假转化为集合关系 (1)“VX∈A,X∈B”为真命题，可得ACB (2)“x∈A,X∈B”是真命题，可得A∩B≠☑ 35.命题p:3x∈R,x-2x+m=0,命题q:Vx∈R,x-mx+1>0若命题p、q一真一假，则实数 m的取值范围为 第25页 【变式】设命题p:Vx∈R:不等式mx2+mx+号>0恒成立：命题q:m∈m (I)若P为真命题，求实数m的取值范围： (2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围. 36.若命题.vx∈2.3l,3x2-a≥0为真命题，则a的取值范国是(） A.a≤27 B.a≥27 C.a≥12 D.a≤12 【练习】若3x∈{x|-3≤x≤3，使得x-4a-13<0成立，则实数a的取值范围是() 第26页 A.-0,3B.-4,+0o C.-3,+o D.-0,-4 37.已知集合A=xX+8x+15≤0”B=x3m-2<x<2m+2 (1)若AUB=B,求实数m的取值范围； (2)若将题干中的集合B改为B={x2m+1≤x≤3m-2,是否有可能使命题p:“Vx∈A,都有 x∈B”为真命题，请说明理由， 38.已知m∈R,集合A={xx-1≤2}，集合B={xm-3<x≤m+2}. (1)若“X∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围； (2)若命题“3x∈A,x∈B”是真命题，求m的取值范围. 第27页 【变式】设全集U=R,集合A={x|a-3<x<2a-1,B={x1<x≤5，其中a∈R. I)若a=2求cAnB; (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围： (3)若命题“X∈A,使得X∈CRB”是真命题，求实数a的取值范围. 【集合有关的新定义问题】 【重难点集合的新定义问题】 啸方法 以集合为背景的新定义问题 抓住2个要点： 1.紧扣新定义：根据题目明确所给新定义的特点，弄清其本质和操作步骤，并应用到具体的求解过 程中 2.用好集合的性质：将晦涩的新定义进行转化，明确其涉及的数学知识，将其转化为熟悉的内容， 进而利用集合相关的性质进行求解 39.(多选)对于集合A,B,我们把集合x|x∈A且XB叫做集合A与集合B的差集，记作 A-B.已知集合A={1,2,3,4,5,6,B={3,4,5,6,7.则下列说法正确的是() 第28页 A.A-B={1,2 B.B-A={7 C.A-A-B=B D.AUB-A-B=B 【变式】设AB为两个集合，定义A⑧B=X,yX∈A且yEB,将A⑧B称为“集合A与B 的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是() ①A8B=B⑧A: ②A⑧BUC=A⑧BUA⑧C: ③A&B⑧C=A⑧B⑧C: ④若集合A中有m个元素，若集合B中有n个元素，则集合A⑧B中有mn个元素. A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 40.设G为非空数集，若对于任意的a,b∈G,都有a+b∈G,a-b∈G,ab∈G,则称G是一 个数环关于数环，下列说法错误的是() A.0是任何数环的元素 B.集合M=XX=2k,k∈Z是-个数环 C.集合p=5nln∈Z是-个数环D.若集合G1,G,为数环，则G,nG,也为数环 第29页 41 (多选)用 card(P) p)表示有限集合 中元素的个数，若集合 A={(x|2x'+ax-1=0' $$A = \left\{ x | 2 x ^ { 2 } + a x - 1 = 0 \right\} '$$ $$B = \left\{ x | | x ^ { 2 } + a x | \left( x ^ { 2 } + a x + 1 \right) = 0 \right)$$ ，则() ， A.card|A|=2 B.∀a∈R，card|B|≥2 C.若集合 M={a∈R|)axd|A|-card|B|=1” ，则 card|M|=3 D.若|ca |card|A|-card|B|=2” ，则-2<a<2 42.已知实数集 $$A = \left\{ a _ { 1 } ， a _ { 2 } ， \cdots ， a _ { n } \right\} \left( n \ge 3 \right) ，$$ 定义 $$\varphi \left( A \right) = \left\{ a _ { i } a _ { j } | a _ { i } ， a _ { j } \in A ， i e j \right)$$ A={-2，0，1，2}， (1)若A=-2，0，1，2)，求(A) φ|A|； (2)若a，b，c，d均为正数， A={a，b，c，d}， ，求 φ|A| )的元素个数m的取值范围； (3)若 |A|={0，-6，-8，-12，12，18，24}， ，求集合A. 第30页 【变式】已知集合s=(1， 2， -) n23men) A={a， a， am) Acs 若对任意 $$S = \left\{ 1 ， 2 ， \cdots n \right) ^ { \left( n \ge 3 } \right. 且 \left. { n \in N } \right. ， 则 ， A = \left\{ a _ { 1 } ， a _ { 2 } ， a _ { m } \right\} ， 且 A \subseteq S$$ $$a _ { i } \in A ' a _ { j } \in A | 1 \le i \le j \le m \right\}$$ 时，存在 $$a _ { k } \in A | 1 \le k \le m |$$ 使得 $$a _ { i } + a _ { j } = a _ { k }$$ ，则称A是S 的m元好子集. (1)判断下列集合是否是。 s=(1，2，3，4，5，6，7) 的3元好子集：① $$\textcircled 1 A _ { 1 } = \left\{ 1 ， 2 ， 3 \right\} ； \textcircled 2 A _ { 2 } = \left\{ 2 ， 4 ， 6 \right\} ；$$ A={1，2，3)；②A=2，4，6) (直接写 S={1，2，3，4，5，6，7} 出结果，不需要说明理由) (2)若 $$A = \left\{ a _ { 1 } ， a _ { 2 } ， a _ { 3 } ， a _ { 4 } \right\}$$ ES={1，2，3，4，5，6，7，8，9} 的4元好子集，求。 $$a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 }$$ a+a+a+a的 的最小值； (3)若A={a，a，，as=(1，2，，nn3 ∈n $$A = \left\{ a _ { 1 } ， a _ { 2 } ， \cdots ， a _ { m } \right\} ， S = \left\{ 1 ， 2 ， \cdots ， n \right\} \left( n \ge 3 \right. 且 \left. { n \in N } \right.$$ .) 的m元好子集.求证： 第31页 $$a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { m } \ge \frac { m \left( n + 1 \right) } { 2 } ，$$ 并指出等号成立的条件. 43.情报分析员截获了一组加密的数字片段，其数值分别为一个正整数序列s=(s，s，，s，) .据信， $$S = \left( s _ { 1 } ， s _ { 2 } ， \cdots ， s _ { n } \right)$$ 一个有效的密钥是由这些片段中的一个子集构成的，且该子集中所有数字之和必须恰好等于一个目 标值K.分析员需要判断是否存在这样的子集.令布尔函数T(i，j)的值为“真”或“假”，表示是 否可能从前i个片段 $$S _ { 1 } ， \cdots ， S _ { i }$$ 中选出一个子集，使其元素之和恰好为j. (1)给定片段序列 S=(3，5，6，8) )和目标值 K=11. 请判断T(2，8)和T(4，11)的真假性，并说明理由. (2)试写出T(i，j 的逻辑递推关系式 第32页 第33页 重难点专题02 集合与常用逻辑用语中的含参问题及新定义问题 【元素与集合的归属关系求参】 【重难点一 根据元素与集合的归属关系求参】 根据元素与集合的关系求参数的解题思路 1.先利用确定性解出字母所有可能值，讨论谁与谁相等 2.根据互异性对集合中元素进行检验，看是否满足题目要求 【关键】分类讨论． 1．设，集合，若，则______. 【答案】2或或 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 故或或. 【变式】（多选）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 2．已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系列出不等式组求解即得. 【详解】由且，得 解得， 故选：A． 【变式】已知集合，，若且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】广东省河源市五校2025届高三上学期12月联合考试数学试题 【分析】由元素与集合的关系列出不等式组，解之即得. 【详解】因为且，所以，解得. 故选：A． 3．已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系，把点坐标代入直线方程运算即可求得a的值 【详解】因为，所以，解得，， 故选：A． 【变式】设集合，则（    ） A．对任意实数a， B．对任意实数a， C．当且仅当时， D．当且仅当时， 【答案】C 【分析】利用的取值，反例判断是否成立即可． 【详解】对A，若，则， 将代入不全部满足，此时可知，故A错误； 对B，当时，则， 将代入全部满足，此时可知，故B错误； 对C，若，，解之可得，所以C正确； 对D，当，则，将代入不全满足， 所以，故D错误. 故选：C 4．已知，，则使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为___________. 【答案】8 【分析】由元素与集合的关系，求出可能的取值，关于x的方程有实数解，分和两种情况，求满足条件的的值，得有序数对的个数. 【详解】已知， 时，解得或； 时，解得或； 时，解得， 又且，所以， 同理， 关于x的方程有实数解， 当时，方程有实数解，的值可以是，的个数为3； 当时，要使方程有实数解，需使，即， 若，则的值可以是，的个数为3； 若，则的值可以是，的个数为2； 所以使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为8. 故答案为：8. 5．对于，设集合，记中的所有元素之和为，所有元素之积为，则下列说法中，正确的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．存在无数的，使得 D．若，则 【答案】C 【分析】先将分式方程转化为整式方程，确定方程有解的条件（分母不为零），然后对一元二次方程的判别式进行分类讨论，求出不同情况下集合的元素，进而计算和最后对各个选项进行判断即可. 【详解】根据已知，要使，只需且， 则由可得或， 对于一元二次方程，其判别式， 当，即时，集合，，； 当 ，即时，集合，； 当，即时，一元二次方程的解为， ①时，，则集合，则，， ②当时，，则集合，则，， ③当时，，则集合，则，， ④当时，，则集合，则，， ⑤当时，集合，则，. 选项A，当时，，所以A错误； 选项B，的可能值为（），无，所以B错误； 选项C，当，且时，，有无数个满足，所以C正确； 选项D，当时，有和满足，所以D错误. 故选：C. 【重难点二 根据集合中元素的个数求参】 根据集合中元素的个数求参数的解题思路 1. 方程型集合：集合中元素个数即为方程解的个数，由此得出方程应满足的特点（常见：一元二次方程、分式方程） 2.不等式型集合：解决不等式范围内有几个整数解的问题，常结合数轴确定该范围内包含那几个整数解，进而确端点值的限制情况，或转化为区间长度内包含几个数 6．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 【变式】如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为________. 【答案】4 【分析】集合只有1个元素，即方程只有1个解，分一元一次、一元二次方程进行讨论即可. 【详解】当时，只有1个解，符合题意； 当时，对于一元二次方程只有1解，则，解得. 综上实数的所有可能值的和为， 故答案为：4. 7．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 【变式】若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 8．已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【答案】C 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 【变式】已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为______ 【答案】 【分析】根据给定条件，化方程为一元二次方程，再利用根的情况列式计算得解. 【详解】方程化为：， 由已知集合只有一个元素， ①，解得， 此时方程的解为，符合题意； ②是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； ③是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； 所以k的取值集合为. 故答案为： 【集合与集合的关系求参】 【重难点一 根据集合相等求参】 根据两集合相等求参数 1. 原理：两集合相等，实际是其中的元素对应相等 2. 求解思路：分类讨论，确定两集合中哪些元素对应相等，列式求解。 【注】求解后一定要进行检验，利用互异性进行检验 9．已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 【变式】已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据集合相等的定义分两种情况解方程组，再结合元素具有互异性判断可得结果. 【详解】因为，且，， ①当，解得或，由集合中元素具有互异性，故不符合题意； ②当时，解得（舍去）或.即，符合题意. 所以. 故选：D 10．已知集合，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】集合，由集合相等及集合的互异性可得的值，代入即可得解集． 【详解】解： 若，则无意义， 故有 此时有， 或（舍去，因为中不满足集合的互异性） 代入得 ，解得此不等式解集为R， 故答案为R． 【点睛】本题考查集合相的条件，要特别注意求得的值不能使集合中的元素相同，本题难度不大． 【练习】实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 【答案】 【分析】根据已知条件求出，进而求出，再利用高次幂尾数规律求解． 【详解】已知，则，故， 所以，故，解得， ，的末尾两位数为， 的末尾两位数为， 的末尾两位数为 之后每次乘以，末两位恒为， 故的末尾两位数为， 从而所求的末尾两位数为． 11．集合 ，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等可知方程有相等实根2，即可由根与系数关系求解. 【详解】因为集合 ， 所以方程有相等实根2， 根据根与系数的关系可知，， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据集合的元素求参数，一元二次方程，属于容易题. 【变式】已知集合，，若，则（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据集合相等可知关于的方程只有一个实数根，从而可得的值，即可得所求. 【详解】因为集合，，若， 所以关于的方程只有一个实数根，则，故， 所以， 则，故，所以， 故. 故选：B. 12．若集合，则实数a的取值范围为________________． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的性质结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令，则， 化简得，即， 而集合， 可得，解得. 故答案为： 13．（多选）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（    ） A．① B．② C．③ D．以上说法都不对 【答案】ABC 【分析】根据已知集合的性质，结合集合相等确定中元素及元素间的数量关系，进而判断各项正误. 【详解】因为集合且，若， 因为，故，故， 又， 故即， 又，故即，故. 对于①：，故①正确； 对于②：，故②正确； 对于③：，故③正确； 故选：ABC 【重难点二 根据空集的性质求参】 根据空集的性质求参数 1.根本：空集指没有元素的集合 2.常考类型： 方程型 → 空集意味着方程无解 不等式型 → 空集意味着等式无解，即左侧的数值大于（或等于）左侧的数值 14．设集合，求实数的取值范围 ； 【答案】 【分析】（1）由题意可得，从而可求出实数的取值范围； 【详解】因为， 则，解得， 即实数的取值范围为. 【变式】若集合 为空集，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为： 15．已知：集合，，若，求实数a的取值范围 ； 【答案】； 【分析】根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 【变式】若，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用空集的定义，结合一元二次不等式的解集情况，分类列式求出范围. 【详解】当时，不成立，，符合题意，； 当时，由，得，解得， 所以m的取值范围为. 故答案为： 16．关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【详解】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 【重难点三 根据集合（真）子集的个数求参】 根据集合（真）子集的个数求参 根据有限集合（真）子集个数的结论，集合子集的个数问题即转化为集合中元素的个数问题 17．已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围． 【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素， 结合，可知，即，且区间,中含有4个整数， ①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数； ②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； ③当时，,的区间长度大于3， 若,的区间长度，即． 若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，， 此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意． 若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得； 若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意； 当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数， 故，即，结合可得． 综上所述，或或，即实数的取值范围是,,． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解. 18．若集合有2个子集，则实数的值为_______． 【答案】或 【分析】由子集个数得到方程根的个数，根据方程根的个数求解的值. 【详解】因为集合有个子集，所以方程有且只有一个根. 当时，方程可化为，解得，满足条件； 当时，若方程有且只有一个根，则，解得； 综上，实数的值为或. 故答案为：或. 【变式1】若集合有且仅有1个真子集，则实数的值是（    ）. A． B．或2 C．或 D．或 【答案】C 【解析】集合中有且只有1个真子集，等价为集合只有一个元素，然后分、两种情况讨论即可. 【详解】集合有且仅有1个真子集， 集合只有一个元素． 若，即时，方程等价为，解得，满足条件． 若，即时，则方程满足△，即， ，解得或． 综上：或或． 故选：C 【变式2】（多选）已知集合，若集合至多有2个子集，则的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BCD 【分析】根据集合子集的个数确定集合中元素的个数，再分和，根据方程解的个数确定的值. 【详解】由集合至多有2个子集，所以或集合中只有1个元素. 若，则方程无解，所以 ，故D成立； 若集合只有1个元素，则或，所以或，故B，C成立. 综上，可得B，C，D成立. 故选：BCD 19．若集合有且仅有两个子集，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【分析】问题转化为方程只有1解，求实数的值求解. 【详解】因为集合有且仅有两个子集， 所以集合中有且只有1个元素，即方程只有一解. 由 . 由 或. 因为方程只有一解，所以或（因为是方程的增根）， 所以或. 故实数的取值集合为. 故答案为： 20．若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，转化为方程只有一个解，分和，两种情况，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意知，结合有且仅有2个子集， 即方程组只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，，满足条件； 当时，，解得或， 综上，实数的最小值为． 故选：A. 【重难点四 根据集合的包含关系求参】 根据集合的包含关系求参数的思路步骤 1.化简所给集合 2.用列举法或数轴表示所给集合 ①当集合为不连续数集（如：方程的解），常根据集合包含关系的意义，建立方程求解,注意分类讨论． ②当集合为连续数集（如：不等式解集），常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 3.根据集合关系列式，列出不等式解集端点之间的关系 【易错点】①讨论是否有“空集”（一般，“小的”有可能是空集） ②方程（函数）型：注意讨论一次or二次项系数是否为0 ③画数轴：取等的判断 4.解不等式（组） 21．已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 【练习】设集合，，若，则______． 【答案】1 【分析】由 ，利用 推出 ，从而确定 ，再检验 中的另一个元素是否也属于 ． 【详解】因为 ，且 ，所以 ． 又 ，其中 ，，所以只能有 ，解得 ． 当 时，，，此时 ，符合题意． 22．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 【变式】已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次方程以及二次方程的判别式即可求解， （2）对进行讨论，即可结合（1）的结论以及韦达定理求解. 【详解】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 23．设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据A是B的真子集，即可解出； （2）根据B是A的子集，即可解出. 【详解】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 【变式】已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 24．已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简集合，再根据得出再列出关于实数m的不等式组，解出即可； （2）分和两种情况讨论，根据列出关于实数m的不等式组，解出即可. 【详解】（1）不等式，变形为，通分得：，等价于，解得， 故集合.因为，根据集合的性质可知：,所以，解得：， 所以实数m的取值范围是. （2）当时，，因为，所以，解得， 当时，且，所以，此时不等式组无解. 综上，实数m的取值范围是. 【变式】已知集合 ，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】化简集合分式不等式等价于，解得，即， 化简集合由得，即； 根据包含关系求的范围表示中所有元素都属于， 要让区间完全落在内，只需满足：解得， 即的取值范围为. 【集合的运算结果求参】 【重难点一 运算结果为已有集合的求参】 根据集合的运算结果（已有集合）求参数 1．策略：当题目中含有条件A∩B＝A或A∪B＝B，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A∩B＝A转化为A⊆B，A∪B＝B转化为A⊆B. “交小并大” 2．方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍． 【注意】当题目条件中出现B⊆A，若集合B（“小的集合”）不确定，解答时要注意讨论B＝∅． 25．已知集合，若 ，则 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由得，进而求得，再验证即可求解. 【详解】由，所以或，解得或， 当时，，所以，满足题意， 当时，，所以，不满足题意， 所以. 【练习】已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】A 【详解】由，得，又由，根据集合元素的互异性，得，即， 而集合，由，得或，所以或. 故选A. 26．设，，若，则实数的值可以为_____． 【答案】，， 【分析】由，得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】， 因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，， 则或， 所以或， 综上实数的值可以为，，. 【变式】设 ，若 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】化简集合，根据并集的概念可判断集合是集合的子集，分别讨论，即可求得的值. 【详解】 ．因为，所以 ，则，； ①若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，不符合题意； ②若，代入，得，即或， 当时，①中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综上，． 27．设，已知集合，，若，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】根据已知条件可知，再根据集合之间的关系列不等式，最后两种情况取并集即可. 【详解】若，则， 解，得，集合， 当时，满足，此时，解得， 当时，满足，解得， 综上所述：实数的取值范围为 . 【变式】（多选）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合是否为空集分类讨论，结合列不等式，求得的取值范围逐一判断即可. 【详解】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以 综上，的取值范围为或， 故选：BC 【重难点二 运算结果为新集合的求参】 根据集合的运算结果（新集合）求参数 1.端点对应：集合运算的结果出现了新的数值，则该数值必定来源于其中一个集合，所以根据端点对应列方程，即可确定参数 2.当出现，等新集合时，利用交并补的概念结合数轴图，确定集合对应区间的端点值之见的大小关系，列不等式（组），即可确定参数范围 【注】①列不等式（组），注意等号的判断 ②，注意考虑集合本身为空集的情况 28．已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ，∴ ，且 . 若，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，，此时，符合题意. 若，则，，不满足集合元素的互异性，舍去. 综上，. 29．设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得. 【详解】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 【变式】已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据集合运算的性质，得出，而集合中的元素为方程的根，所以分两种情况讨论集合中的元素分别是和的根，解出的值，进而求出两个方程的所有根，即可确定集合. 【详解】设的根为，，则，； 设的根，，则. 因为，所以，即， 当1是的根，2是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素； 当2是的根，1是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素. 故选：B. 30．已知集合，集合．若，求实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分、两种情况讨论求解即可. 【详解】由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 【变式】已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解不等式求出集合，再根据列不等式组即可求解； （2）求出方程的两根分别为，讨论，，时集合，结合，即可求解. 【详解】（1）当时， 则． （2）因为， ， 又，则，所以，解得：， 所以实数的取值范围为：； （3）由可得：， 当时，，此时，而， 若，则满足题意， 当时，，不等式解集为，此时满足， 所以符合题意； 当时，，此时，而， 若，则或，解得或，则或， 综上所述：实数的取值范围为：或. 31．（多选）已知集合，，若，则a的值可以是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用给定条件建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】∵，则，解得， 由选项可知，的值可以是或或． 故选：ABC 【变式】记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）求出集合与集合，利用集合的补集与交集运算即可. （2）求出集合的补集，结合已知条件得到不等式组，求解即可. 【详解】（1），则． 由，得，则， 所以． （2）依题意，， 因为，所以，解得， 故a的取值范围为． 【常用逻辑关系求参】 【重难点一 根据充分必要条件关系求参】 根据充分、必要条件求参数的解题思路 1.化简p，q两命题； 2.根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系； 【确定谁大谁小】 3.利用集合间的关系建立不等式，注意等号的判断； 4.求解参数范围. 32．已知 ，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【详解】由集合 ，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 【变式】已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得集合和，再由“”是“”的充分条件，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 因为，可得，所以， 由不等式，可得，所以集合． 又因为“”是“”的充分条件，可得， 则满足，即，解得或， 所以实数的取值范围是． 33．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为，所以，分和两种情况求解即可； （2）由是的充分不必要条件，得到A是B的真子集，再根据题目列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以； 当时，则 ，得到； 当时，需满足，解得， 这三个条件没有交集，因此时无解； 综上所述，的取值范围为. （2）因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集； 则或，解得. 实数的取值范围是. 【变式1】设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先分别求解集合和集合，再根据交集的定义求出； （2）先分别求解集合和集合，再根据逻辑关系得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）当 时，集合， 分式不等式等价于：， 解得：，即 ， 因为集合 ， 由 ， 解得： 或 ，即 ， 因此：. （2）因为，则， 解得：，即 ， 则， 由题意，“”是“”的必要不充分条件， 即 ，且 ，则， 因此：， 解得：，所以 【变式2】已知集合． (1)若是的必要不充分条件，求a的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由必要不充分条件的定义可得集合是集合的真子集，由集合关系列出不等式即可求解. （2）由题可得，分类讨论的范围，求出集合，由集合关系列出不等式即可求解. 【详解】（1）不等式可化为，所以或， 所以，由于是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 对于集合，设，其图像是开口向上的抛物线，要满足集合是集合的真子集， 则，即，解得：， 所以a的取值范围为： （2）因为，则 当时， ，满足； 当时，， 要使，则，解得：； 当时，， 要使，则，解得：； 综上：实数m的取值范围为： 34．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，命题：，命题：，且是的必要不充分条件，求实数取值集合的所有子集． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）根据可知无实数根，由此对是否为进行分类讨论即可； （2）先求解出集合，然后根据条件可知是的真子集，分类讨论的情况，由此确定出结果. 【详解】（1）因为，所以方程无实数根， 当，即时，原方程可化为，有实数根，不满足题意； 当时，一元二次方程无实数根， 则，解得，即实数的取值范围为． （2），由题意可得，是的真子集． 当时，得，此时，满足题意； 当时，得，此时，不满足题意． 综上，的取值集合为，其所有子集为，． 【变式】已知集合， (1)命题，都有，若命题为真命题，求实数的值； (2)已知，若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据为真命题，可得，即可根据韦达定理求解， （2）将p是q的必要不充分条件转化为,即可根据，和分别求解. 【详解】（1）由可得， 由于，都有，为真命题，故， 因此,故且，故， （2）由于p是q的必要不充分条件，则,且 因为, 当时，则，则不存在， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 综上： 【重难点二 根据含量词的命题真假求参】 含量词命题的求参问题 1.某区间上的任意、存在问题 （1）全称量词命题“∀x∈M，或”为真的问题 实质是不等式恒成立问题 → 转化为方程解情况或求函数最值，具体为或 （2）存在量词命题“∃x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题 实质是不等式能成立问题 → 转化为方程解情况或求函数的最值，具体为或 2.命题的真假转化为集合关系 （1）“，”为真命题，可得 （2）“，”是真命题，可得. 35．命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据题意，分别求得命题和为真命题时，实数的取值范围，分类讨论，即可求解. 【详解】若命题为真命题， 即方程在上有解，则满足，解得， 若命题为真命题， 即不等式在上恒成立，则满足，解得， 当命题为真命题且为假命题时，则满足； 当命题为假命题且为真命题时，则满足； 所以命题､一真一假时，可得或 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式】设命题，不等式恒成立：命题． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. （2）根据真假或假真，列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立. 当时，则需，解得. 综上所述，的取值范围是. （2）由得， 所以，解得. 若真假，则“”且“或”，则. 若假真，则“或”且“”，则. 综上所述，的取值范围是或. 36．若命题· “”为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为不等式在上恒成立，进而可求得的取值范围. 【详解】由命题 “”为真命题，即不等式在上恒成立， 所以，当，可得，所以. 故选：D. 【练习】若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，解出即可求解. 【详解】将题中条件转化为不等式，在区间上至少有一个解， 这等价于的值大于该区间上x的最小值， 因为当时，x的最小值为， 所以必有，解得以. 故选：B. 37．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先得到，再根据包含关系列不等式求解； （2）先得到，再根据包含关系列不等式求解． 【详解】（1）若，则， 又，， 所以，解得， 故的范围为； （2）不可能，理由如下： 若，， 对，都有，则， 所以，该不等式无解， 故不可能使命题：“，都有”为真命题． 38．已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将先求出集合，将题设问题转化为集合A是集合B的真子集，进而根据包含关系求解即可； （2）将题设问题转化为，先求出时的取值范围，进而得到时的取值范围. 【详解】（1）由，. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集. 所以，解得， 当时，，符合题意， 故的取值范围是. （2）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，解得或. 所以当时，的取值范围是. 【变式】设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出集合A，再应用补集及交集定义计算求解； （2）根据必要不充分条件得出集合间关系列式计算求解； （3）应用特称命题为真分和列式计算求解参数. 【详解】（1）当时，，所以， 所以； （2）， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； （3）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 【集合有关的新定义问题】 【重难点 集合的新定义问题】 以集合为背景的新定义问题 抓住2个要点： 1. 紧扣新定义：根据题目明确所给新定义的特点，弄清其本质和操作步骤，并应用到具体的求解过程中 2.用好集合的性质：将晦涩的新定义进行转化，明确其涉及的数学知识，将其转化为熟悉的内容，进而利用集合相关的性质进行求解 39．（多选）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 【变式】设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【详解】根据笛卡尔积的定义逐一分析：①和③可举反例判定为假；②可通过证明集合相等判定为真；④可根据定义确定元素个数即可. 【解答】 解：对于①，根据新定义，设，， 根据定义且， 则 ，而，显然，所以①错误． 对于②， 对于任意的，根据定义可知且， 即或者．若，则； 若，则．所以， 即 ． 反之，对于任意的， 则或者， 若，则且， 若，则且， 所以且，即， 所以． 综上，，②正确． 对于③， 设，，， 则，， ，， 所以，所以③错误． 对于④， 已知集合中有个元素，集合中有个元素． 对于且，从中取一个元素有种取法， 从中取一个元素有种取法．所以中元素的个数为，所以④正确． 综上，正确的命题有②④. 40．设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 【答案】C 【详解】由数环的定义可知，设，则，则，， 故0是任何数环的元素，A正确； 偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以是一个数环，B正确； 设，则， 因为不是整数，所以，所以集合不是数环，C错误； 设，因为为数环，则，又为数环， 则，所以，D正确．故选C． 41．（多选）用表示有限集合中元素的个数，若集合，，则（　　） A． B．， C．若集合，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】分别分析集合和集合中方程根的个数，再根据不同条件进行判断. 【详解】对于选项： 集合，判别式恒成立，集合有两个元素，，故正确. 对于选项： 集合. 第一部分：，解得或. 当时，有2个不同的根；当时，有1个根. 第二部分：，判别式. 当，即或，此时方程有2个不同的根； 当，即或，此时方程有1个相同的根； 当，即，此时方程无实数根. 由于对于的任意值，方程的根与的根不会相等， 所以当或时，两个方程共有4个实数根，； 当或时，两个方程共有3个实数根，； 且时，两个方程共有2个实数根，； 当时，两个方程共有1个实数根， 所以的值可能为1，2，3，4，故错误. 对于选项 当时，，此时； 当时，； 当时，，此时或； 当时，. ，，故正确. 对于选项： 若，当且仅当，此时或，故错误. 故选：. 42．已知实数集，定义. (1)若，求； (2)若均为正数，，求的元素个数的取值范围； (3)若，求集合. 【答案】(1) (2) (3)或者 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据集合中的元素具有互异性，分类讨论互不相等且不成比例和中存在比例关系，求的元素个数的取值范围. （3）根据可得，然后分中个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可； 【详解】（1）根据题意可得. （2）若均为正数，，集合中的元素具有互异性， 不妨设，则，故中至少有5个元素， 而中共有对不同的元素，因此最多有6个不同的乘积. 取,此时，此时的元素个数， 取，则，此时的元素个数， 故的元素个数的取值范围为， （3）若，可得， 其次中有个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者 ①当时， 则，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到， 进而，从而. 所以或者. 【变式】已知集合（且），，且．若对任意，，当时，存在使得，则称A是S的m元好子集． (1)判断下列集合是否是的3元好子集：①；②；（直接写出结果，不需要说明理由） (2)若是的4元好子集，求的最小值； (3)若是（且）的m元好子集．求证：，并指出等号成立的条件． 【答案】(1)不是的3元好子集，是的3元好子集. (2)20 (3)证明见解析，等号成立的条件为，且 【分析】（1）根据“好子集”的定义，检查集合中两个元素的和在不超过时是否仍属于该集合． （2）设，其中，按的取值分类讨论，求和的最小值． （3）先证明对任意，都有，再两两相加得到不等式．最后根据等号成立时的结构推出必为等差形式，并验证该形式满足条件． 【详解】（1）①因为，但，所以不是的元好子集． ②集合中，两数之和不超过的情况只有． 且，所以是的元好子集． （2）设. 若，则由好子集的定义可得. 再由. 可知至少含有这个元素，与是元集合矛盾． 故. 若，则，所以． 又，所以． 再由，得． 故. 因为是元集合，所以. 此时，并且满足好子集的定义，所以可以取到． 若，若，则由于中元素互不相同且递增，只可能有或. 当时，，但，不符合好子集的定义． 当时，，但，也不符合好子集的定义． 故当时，必有. 综上，的最小值为． （3）设. 先证明对任意，都有. 假设存在某个，使得. 则对，均有. 由好子集的定义可知都属于． 这些数两两不同，并且都大于，所以它们都只能出现在中． 但是前者共有个不同的数，后者只有个数，矛盾． 故. 于是 所以. 下面讨论等号成立的条件．若等号成立，则对任意，都有. 特别地，对，因为且为整数，所以. 由好子集的定义可知这个数两两不同，并且都大于，所以它们恰好是. 又因为随的增大而增大，所以. 于是，由，得. 所以. 因此等号成立时，必须有. 反过来，若，记. 任取，若. 则，由于为整数，得. 于是. 故是的元好子集，且. 所以等号成立的条件正是. 43．情报分析员截获了一组加密的数字片段，其数值分别为一个正整数序列．据信，一个有效的密钥是由这些片段中的一个子集构成的，且该子集中所有数字之和必须恰好等于一个目标值K．分析员需要判断是否存在这样的子集． 令布尔函数的值为“真”或“假”，表示是否可能从前i个片段中选出一个子集，使其元素之和恰好为j． (1)给定片段序列和目标值．请判断和的真假性，并说明理由． (2)试写出的逻辑递推关系式． 【答案】(1)为真，为真，理由见解析 (2) 【详解】本题是一个决策问题，而非最优化问题．它本质上是背包问题的一个变体，其中物品的“价值”和“成本”是相同的，且我们关心的是“能否恰好装满”而非“最大价值”． （1）定义状态：表示能否用前i个片段凑出和为j．为真（用空集可以凑出和为0），对为假．片段序列． 判断考虑前两个片段，目标和为8． 不使用片段2（数值5）：问题变为能否用凑出8，即．显然不能，为假． 使用片段2（数值5）：问题变为能否用凑出，即．用片段可以凑出3，为真． 因为至少有一种方式可行，所以为真． 判断考虑所有四个片段，目标和为11． 不使用片段4（数值8）：问题变为能否用凑出11，即．通过观察，的和为11，所以为真． 使用片段4（数值8）：问题变为能否用凑出，即．用片段可以凑出3，为真． 因为至少有一种方式可行，所以为真．（具体方案有和）． （2）逻辑递推关系式推导．为了确定）的真假，我们考察第i个片段 不选择片段如果仅用前个片段就能凑出和为j（即为真），那么自然也为真． 选择片段这要求．如果用前个片段能够凑出和为；（即为真），那么将加入该子集后，和即为j．此时也为真． 只要上述两种情况至少有一种为真，则就为真．这对应于逻辑上的“或”运算．因此，递推关系式为： 其中，当时，第二项无意义或视为假．边界条件为：为真，且对所有为假． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $