第2讲《数轴与动点》讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“数轴与动点”核心内容，先梳理数轴上点的运动规律（确定方向“右加左减”、无明确方向需分类讨论），再引出中点坐标公式和两点间距离公式，构建从基础运动到距离问题的学习支架。 资料通过分层设计（例题-铺垫-巅峰突破-自测）助力教学，如例2动点往返运动培养推理意识，例4用含t代数式表示动点发展模型意识，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

第二讲 数轴与动点 模块一：数轴上点与线段的运动 1．数轴上的点和确定方向的移动：向右加，向左减． 2．数轴上的点与有距离无明确方向的移动(分类讨论)： 确认好完整的分类讨论可能性之后，按照上述的方法进行计算． 3．数轴的两大基本公式 (1)中点坐标公式： 已知数轴上的两点坐标分别为、，则它们的中点坐标为：； (2)两点间距离公式： 已知数轴上的两点坐标分别为、，其中，则两点间距离为：(即：“前-后”)． 【例1】在数轴上，点和点都在与对应的点上．若点以每秒3个单位长度的速度向右运动，点以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点和点所处的位置对应的数是什么？这时线段的长度是多少？ 【例2】如图，数轴上的点和分别表示0和10，点是线段上一动点，沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒()． (1)求动点所表示的数(用含的代数式表示)； (2)在运动过程中，若中点为，则的长度是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请直接用含的代数式的长度． 【例3】(2018越秀区校级月考)如图1，已知数轴上、两点所表示的数分别对应为、，且、满足． (1)求线段的长； (2)若为射线的一点(点不与、两点重合)，为的中点，为的中点，当点在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请求出线段的长；若改变，请说明理由． (3)若有理数、、在数轴上的位置如图2所示：且，试求的值． 声明：试 【例4】如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中数是最小的正整数，数、满足．若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)由题意可得：＝__________，＝__________，＝__________； (2)若点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点、、同时运动，运动时间为秒； ①当时，分别求、的长度； ②在点、、同时运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值． 【铺垫1】如图，已知、、是数轴上的三点，点表示的数为0，点表示的数为，，、两点从、同时出发，分别以每秒2厘米，每秒1厘米的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也停止运动，设点、的运动时间为(秒)． 当时，求的值． 【例5】数轴上有两点，点分别从原点与点出发，沿方向同时向左运动． (1)如图，若点为线段上一点，，，当点、分别运动到、的中点时，求的长； (2)若点在线段上运动，点在线段上运动，速度分别为每秒1cm，4cm，在点，运动的过程中，满足，若点为直线上一点，且，求的值． 模块二：距离问题 1．数轴上的动点问题，一般的解决方法为： ①用含t的代数式表示动点； ②表示出线段长度； ③根据条件列方程或求代数式的值． 2．两点间距离公式 当不确定两点坐标的大小情况时，需加上绝对值； 已知数轴上的两点坐标分别为，则两点间距离为：． 【铺垫2】已知数轴上两点、对应的数分别是6，，、为数轴上三个动点，点从点出发速度为每秒2个单位，点从点出发速度变为点的3倍．若点、同时都向右运动，求多长时间点与点相距4个单位？ 【例6】数轴上从左到右有、、三个点，点对应的数是10，． (1)点对应的数是__________，点对应的数是__________； (2)动点从出发，以每秒4个单位长度的速度向终点移动，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒； ①用含的代数式表示点对应的数是__________，点对应的数是__________； ②当点和点间的距离为8个单位长度时，求的值． 【例7】与两个数在数轴上对应的点分别为点、． (1)线段的长为_____，线段的中点所表示的数是_____(用、表示)； (2)若，，数轴上是否存在点，点到点，点的距离之和是8？若存在，请写出点所表示的数；若不存在．请说明理由． (3)在(2)的条件下，在数轴上有两个动点、，的速度为1个单位长度秒，的速度为2个单位秒，点、分别从点、同时出发，在数轴上运动，则经过多少时间后？ 【例8】已知数轴上三点、、对应的数分别为，0，3，点为数轴上任意点，其对应的数为． (1)的长为_____； (2)如果点到点、点的距离相等，那么的值是：_____； (3)如果点以每分钟2个单位长度的速度从点向左运动，同时点和点分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设分钟时点到点、点的距离相等，求的值． 【例9】已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，，10，动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒． (1)用含的代数式表示到点和点的距离： ＝______，＝______； (2)当点运动到点时，点从点出发，以每秒3个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，、两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 【例10】点、、在数轴上表示的数分别为、、，且、、满足，多项式是五次四项式． (1)的值为__________，的值为__________，的值为__________； (2)若数轴上有三个动点、、，分别从点、、开始同时出发在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度； ①若点向左运动，点向右运动，点先向左运动，遇到点后回头再向右运动，遇到点后又回头再向左运动，……，这样直到点遇到点时三点都停止运动，求点所走的路程； ②若点、向右运动，点向左运动，点为线段中点，在运动过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由． 巅 峰 突 破 【突破1】两点间距离问题 已知：是最小的两位正整数，且、满足，请回答问题： (1)请直接写出、、的值： (2)在数轴上、、所对应的点分别为、、； ①记两点间的距离为，则 ②点为该数轴的动点，其对应的数为，点在点与点之间运动时(包含端点)，则 (3)在(1)(2)的条件下，若点从出发，以每秒1个单位长度的速度向终点移动，当点运动到点时，点从出发，以每秒3个单位长度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回点，设点移动时间为秒，当点开始运动后，请用含的代数式表示、两点间的距离． 【突破2】三动点距离问题 已知数轴上三点、、对应的数分别为、0、3，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)的长为__________； (2)如果点到点、点的距离相等，那么的值是__________； (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由； (4)如果点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动，同时点和点分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设分钟时点到点、点的距离相等，求的值． 【突破3】定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点在线段上，且，则点是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个． 已知，线段，如图，点从点出发以每秒的速度在射线上向点方向运动；点从点出发，先向点方向运动，当与点重合后立马改变方向与点同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为秒．若点点同时出发，且当点是线段的三等分点时，求的值． 图1 图2 【突破4】定值问题 若点、、在数轴上对应的数分别为、、满足． (1)在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (2)若点、、同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒5个单位长度沿着数轴负方向运动．经过()秒后，试问的值是否会随着时间的变化而变化？请说明理由． 课 后 自 测 【练习1】在一条数轴上有、两点，点表示数，点表示数6，点是该数轴上的一个动点(不与、重合)表示数，点、分别是线段、的中点，则线段的长度会改变吗？如果改变，请说明理由；如果不变，请写出结果． 【练习2】如图，、、、是数轴上四点，且，，，，线段以4个单位/秒的速度向右运动，线段以2个单位/秒的速度向左运动，当点运动到线段上，且在线段上的一点时，问是否存在等式成立？若存在，求的长，若不存在，请说明理由． 【练习3】已知，有理数、、在数轴上所对应的点分别是、、三点，且、、满足：①；②多项式是关于的二次三项式． (1)、、的值分别是__________，_____________，__________(直接写出答案)； (2)若数轴上点、之间有一动点，且点对应的数为，化简； (3)若点在数轴上以每秒1个单位的速度向左运动，同时点和点在数轴上分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动(其中)，若在整个运动过程中，点到点的距离与点到点的距离差始终不变，求运动几秒后点与点的距离为13个单位长度． 【练习4】如图，动点从点-4出发，以2个单位长度/秒的速度向数轴负方向运动，同时动点从点12出发，以6个单位长度/秒向的速度向数轴负方向运动，经过多长时间，． 【练习5】已知：是最小的正整数，且、满足，请回答问题． (1)请直接写出、、的值，______，______，______； (2)、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时(即时)，请化简式子：(请写出化简过程)； (3)在(1)(2)的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【练习6】已知，与两个数在数轴上对应的点分别为点、点，点是坐标原点． (1)若、满足，则点、表示的数是多少？、之间的距离是多少？ (2)在(1)的条件下，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为多少？ (3)若点对应的数，数轴上点到的距离是点到的距离的倍，请写出、、、的关系； (4)在(1)的条件下，现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时，、两点相距4个单位长度？ 答案版 模块一：数轴上点与线段的运动 1．数轴上的点和确定方向的移动：向右加，向左减． 2．数轴上的点与有距离无明确方向的移动(分类讨论)： 确认好完整的分类讨论可能性之后，按照上述的方法进行计算． 3．数轴的两大基本公式 (1)中点坐标公式： 已知数轴上的两点坐标分别为、，则它们的中点坐标为：； (2)两点间距离公式： 已知数轴上的两点坐标分别为、，其中，则两点间距离为：(即：“前-后”)． 【例1】在数轴上，点和点都在与对应的点上．若点以每秒3个单位长度的速度向右运动，点以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点和点所处的位置对应的数是什么？这时线段的长度是多少？ 【答案】解：点所处的位置对应的数是：， 点所处的位置对应的数是：， 这时线段的长度是：． 【例2】如图，数轴上的点和分别表示0和10，点是线段上一动点，沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒()． (1)求动点所表示的数(用含的代数式表示)； (2)在运动过程中，若中点为，则的长度是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请直接用含的代数式的长度． 【答案】(1)当时，动点所表示的数是， 当时，动点所表示的数是； (2)的长度发生变化， 当时，， 当时，． 【例3】(2018越秀区校级月考)如图1，已知数轴上、两点所表示的数分别对应为、，且、满足． (1)求线段的长； (2)若为射线的一点(点不与、两点重合)，为的中点，为的中点，当点在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请求出线段的长；若改变，请说明理由． (3)若有理数、、在数轴上的位置如图2所示：且，试求的值． 【答案】解：(1)∵， ∴，， ． (2)方法一：设点表示的数为， ∵点表示的数为-2，点表示的数为8， ∴根据中点坐标公式：点为：，点为：， ∴； 方法二：线运算 ①当在点左侧时， ， ∵， ∴； ②当在之间时， ， ∵， ∴； ∴当点在射线上运动时，线段的长度不发生变化，； (3)由数轴可的， ∴， ∴ ． 声明：试 【例4】如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中数是最小的正整数，数、满足．若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)由题意可得：＝__________，＝__________，＝__________； (2)若点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点、、同时运动，运动时间为秒； ①当时，分别求、的长度； ②在点、、同时运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值． 【解答】解：(1)∵是最小的正整数， ∴， ∵， ∴，， 故答案为-2，1，6； (2)向左运动秒后对应的数是，向右运动秒后对应的数是，向右运动秒后对应的数是， ①当时，点对应的数是-4，点对应的数是5，点对应的数是12， ∴，； ②， ∴在点、、同时运动的过程中，的值保持不变，的值为12． 【铺垫1】如图，已知、、是数轴上的三点，点表示的数为0，点表示的数为，，、两点从、同时出发，分别以每秒2厘米，每秒1厘米的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也停止运动，设点、的运动时间为(秒)． 当时，求的值． 【答案】方法一：公式法 由题意得：点表示的数为0，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为. ∵点速度是点的2倍，距离也是2倍，所以当点到达时，点到达(不会超过点)， ∴，即：， ∴， ∴； 方法二：代数法 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【例5】数轴上有两点，点分别从原点与点出发，沿方向同时向左运动． (1)如图，若点为线段上一点，，，当点、分别运动到、的中点时，求的长； (2)若点在线段上运动，点在线段上运动，速度分别为每秒1cm，4cm，在点，运动的过程中，满足，若点为直线上一点，且，求的值． 【解答】解：(1)设点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，则，， ∵点是的中点，点是BN的中点， ∴点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∴， 答：的长为9； (2)设运动的时间为秒，点表示的数为m 则，，即点在数轴上表示的数为-，点在数轴上表示的数为， ∴，， 由得，， 即：， ①若点在点的右侧时，如图1所示： 由得，，即：； ∴； ②若点在线段上时，如图2所示： 由得，，即：； ∴； ③若点在线段上时，如图3所示： 由得，，即：； ∵此时，， ∴此种情况不符合题意舍去； ④若点在点的左侧时，如图4所示： 由得，，即； 而，， 因此，不符合题意舍去， 综上所述，的值为1或． 模块二：距离问题 1．数轴上的动点问题，一般的解决方法为： ①用含t的代数式表示动点； ②表示出线段长度； ③根据条件列方程或求代数式的值． 2．两点间距离公式 当不确定两点坐标的大小情况时，需加上绝对值； 已知数轴上的两点坐标分别为，则两点间距离为：． 【铺垫2】已知数轴上两点、对应的数分别是6，，、为数轴上三个动点，点从点出发速度为每秒2个单位，点从点出发速度变为点的3倍．若点、同时都向右运动，求多长时间点与点相距4个单位？ 【答案】设经过秒点与点相距4个单位， ， 解得或． 答：经过2.5或4.5秒时间点与点相距4个单位． 【例6】数轴上从左到右有、、三个点，点对应的数是10，． (1)点对应的数是__________，点对应的数是__________； (2)动点从出发，以每秒4个单位长度的速度向终点移动，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒； ①用含的代数式表示点对应的数是__________，点对应的数是__________； ②当点和点间的距离为8个单位长度时，求的值． 【答案】解：(1)∵，点对应的数是10，点在点左侧，点在点左侧， ∴点对应的数为，点对应的数为． 故答案为：-30；-10． (2)①当运动时间为秒时，点对应的数是，点对应的数是． 故答案为：；． ②依题意，得：， ∴或， 解得：或． ∴的值为4或． 【例7】与两个数在数轴上对应的点分别为点、． (1)线段的长为_____，线段的中点所表示的数是_____(用、表示)； (2)若，，数轴上是否存在点，点到点，点的距离之和是8？若存在，请写出点所表示的数；若不存在．请说明理由． (3)在(2)的条件下，在数轴上有两个动点、，的速度为1个单位长度秒，的速度为2个单位秒，点、分别从点、同时出发，在数轴上运动，则经过多少时间后？ 【答案】(1)解：∵与两个数在数轴上对应的点分别为点、， ∴． ∵是线段的中点， ∴． ∴点代表的数字为、两数的平均数． 即点代表的数字为． 故答案为和． (2)存在． 设点代表的数字为． 当点在点的左侧时， ，， ∵， ∴， 解得：， 当点在点的右侧时， ，， ∴， 解得：． 综上，存在这样的点，使点到点，点的距离之和是8，所表示的数为或7． (3)设点，分别从点，同时出发的运动时间为秒， 背向而行时： ，， 由得： 解得：， 同向运动(方向)： 点在左侧时： ，， ，， 点在右侧时： ，， ，， 相向而行时： ，， ，解得， 结论：满足条件的时间为：或或或秒． 【例8】已知数轴上三点、、对应的数分别为，0，3，点为数轴上任意点，其对应的数为． (1)的长为_____； (2)如果点到点、点的距离相等，那么的值是：_____； (3)如果点以每分钟2个单位长度的速度从点向左运动，同时点和点分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设分钟时点到点、点的距离相等，求的值． 【解答】解：(1)的长为． (2)； (3)①点是点和点的中点． 根据题意得：， 解得：． ②点和点相遇． 根据题意得：， 解得：． 故的值为2或4． 故答案为：4；1． 【例9】已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，，10，动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒． (1)用含的代数式表示到点和点的距离： ＝______，＝______； (2)当点运动到点时，点从点出发，以每秒3个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，、两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】解：(1)∵动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点移动， 设移动时间为秒， ∴到点的距离为：，到点的距离为：； 故答案为：，； (2)方法一：公式法 设点从点向运动的时间为，得： 点坐标：，点坐标：， ①，，或8， ∴点坐标为-4或-2； ②，， 或14， ∴点坐标为3或4； ③，， (舍去)， 综上所述：点表示的数为-4，-2，3，4． 方法二：代数法 当点在点右侧，且点还没有追上点时， ，解得：， ∴此时点表示的数为-4， 当点在点左侧，且点追上点后，相距2个单位， ，解得：， ∴此时点表示的数为-2， 当点到达点后，当点在点左侧时， ，解得：， ∴此时点表示的数为3， 当点到达点后，当点在点右侧时， ，解得：， ∴此时点表示的数为4， 综上所述：点表示的数为-4，-2，3，4． 【例10】点在数轴上表示的数分别为，且满足，多项式是五次四项式． (1)的值为__________，的值为__________，的值为__________； (2)若数轴上有三个动点，分别从点开始同时出发在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度； ①若点向左运动，点向右运动，点先向左运动，遇到点后回头再向右运动，遇到点后又回头再向左运动，……，这样直到点遇到点时三点都停止运动，求点所走的路程； ②若点向右运动，点向左运动，点为线段中点，在运动过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由． 【解答】解：(1)∵， ∴，， ∵多项式是五次四项式， ∴，， ∴； 故答案是：-6，-2，24； (2)①点、相遇时间， ∴点所走路程： (单位长度)； ②的值不发生变化；理由如下： 设运动的时间为秒， 则， ∵动点、、，分别从点、、开始同时出发在数轴上运动，、在数轴上表示的数分别为-2，24， ∴运动秒时点、分别位于数轴上、的位置， ∴中点位于：， ∴， ∴， ∴在运动过程中，的值不发生变化． 巅 峰 突 破 【突破1】两点间距离问题 已知：是最小的两位正整数，且、满足，请回答问题： (1)请直接写出、、的值： (2)在数轴上、、所对应的点分别为、、； ①记两点间的距离为，则 ②点为该数轴的动点，其对应的数为，点在点与点之间运动时(包含端点)，则 (3)在(1)(2)的条件下，若点从出发，以每秒1个单位长度的速度向终点移动，当点运动到点时，点从出发，以每秒3个单位长度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回点，设点移动时间为秒，当点开始运动后，请用含的代数式表示两点间的距离． 【答案】解：(1)∵是最小的两位正整数，，满足， ∴，，， ∴，，， 故答案为：-26，-10，10； (2)①∵数轴上、、三个数所对应的点分别为、、， ∴点表示的数是-26，点表示的数是-10，点表示的数是10， 所画的数轴如图1所示； ∴， ； 故答案为：16，36； ②∵点为点和之间一点，其对应的数为x， ∴； 故答案为：，； (3)点运动的总时间为：， ， 设秒时，、第一次相遇， ，， 分五种情况： ①当时，如图2，点在运动，点在处，此时， ②当时，如图3，在的右侧，此时， ③、第二次相遇(点从点返回时)：，， 当时，如图4，点在的左侧，此时， ④当时，如图5，点在的右侧，此时， ⑤当时，如图6，点在点处，此时， 【突破2】三动点距离问题 已知数轴上三点、、对应的数分别为，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)的长为__________； (2)如果点到点、点的距离相等，那么的值是__________； (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由； (4)如果点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动，同时点和点分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设分钟时点到点、点的距离相等，求的值． 【答案】解：(1)的长为； (2)根据题意得：， 解得：； (3)①当点在点的左侧时， 根据题意得：， 解得：． ②在点和点之间时，，不合题意； ③点在点的右侧时，， 解得：， ∴的值是-3或5； (4)设运动分钟时，点到点，点的距离相等，即， 点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是， ①当点和点在点同侧时，点和点重合， 所以，解得，符合题意； ②当点和点在点异侧时，点位于点的左侧，点位于点的右侧(因为三个点都向左运动，出发时点在点左侧，且点运动的速度大于点的速度，所以点永远位于点的左侧)， 故，， 所以，解得，符合题意． 综上所述，的值为或4．往返的两点间距离问题． 【突破3】定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点在线段上，且，则点是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个． 已知，线段，如图，点从点出发以每秒的速度在射线上向点方向运动；点从点出发，先向点方向运动，当与点重合后立马改变方向与点..同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为秒．若点点同时出发，且当点是线段的三等分点时，求的值． 图1 图2 【解答】(I)点、重合前： 当时，有， 解得：； 当时，有， 解得：； (II)点、重合后， 当时，有， 解得：； 当时，有， 解得：(不合题意，舍去)． 综上所述：当秒、秒或10秒时，点是线段的三等分点． 【突破4】定值问题 若点、、在数轴上对应的数分别为、、满足． (1)在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (2)若点、、同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒5个单位长度沿着数轴负方向运动．经过()秒后，试问的值是否会随着时间的变化而变化？请说明理由． 【答案】解：(1)∵， ∴，，， 解得，，， 设点表示的数为， ∵， ①在之间， ，； ②在的左边， ，； ③在的中间， ，(舍去)； ④在的右边， ，(舍去)． 综上所述，或． (2)∵运动时间为()， 的速度为每秒1个单位长度，的速度为每秒3个单位长度，的速度为每秒5个单位长度， ∴点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ①当，即时， ， ， ， ∴的值会随着时间的变化而变化． ②当时， ， ， ， ∴的值不会随着时间的变化而变化． 综上所述，当时，的值会随着时间的变化而变化．当时，的值不会随着时间的变化而变化． 课 后 自 测 【练习1】在一条数轴上有、两点，点表示数，点表示数6，点是该数轴上的一个动点(不与、重合)表示数，点、分别是线段、的中点，则线段的长度会改变吗？如果改变，请说明理由；如果不变，请写出结果． 【答案】∵点表示数-4，点表示数6，点表示数，点、分别是线段、的中点， ∴点表示，点表示． 【练习2】如图，、、、是数轴上四点，且，，，，线段以4个单位/秒的速度向右运动，线段以2个单位/秒的速度向左运动，当点运动到线段上，且在线段上的一点时，问是否存在等式成立？若存在，求的长，若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 秒后，表示的数为：， 表示的数为：， 表示的数为：， 表示的数为：， 方法一：公式法 ∵设表示的数为， ∴， ， ， ①在右边： ∵， 即， ∴， ∴； ②在右边： ∵， 即， ∴， ∴， 方法二：代数法， 设，则表示的数为：， ①当点在的右侧时，如图6， ∵， ∴， ， 则表示的数为：， ∴； ②当点在的左侧时，如图7， 同理得：， ， 则表示的数为：， ∴， 综上所述，的长为5.25或7.5． 【练习3】已知，有理数、、在数轴上所对应的点分别是、、三点，且、、满足：①；②多项式是关于的二次三项式． (1)、、的值分别是__________，_____________，__________(直接写出答案)； (2)若数轴上点、之间有一动点，且点对应的数为，化简； (3)若点在数轴上以每秒1个单位的速度向左运动，同时点和点在数轴上分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动(其中)，若在整个运动过程中，点到点的距离与点到点的距离差始终不变，求运动几秒后点与点的距离为13个单位长度． 【解答】解：(1)∵， ∴，， ∵多项式是关于x的二次三项式， ∴， 故答案为：-2，1，5； (2)∵数轴上点、之间有一动点， ∴； ∴； (3)∵点到点的距离与点到点的距离差始终不变， ∴是定值， ∴， ∵点与点的距离为13个单位长度． ∴， ∴． 【练习4】如图，动点从点-4出发，以2个单位长度/秒的速度向数轴负方向运动，同时动点从点12出发，以6个单位长度/秒向的速度向数轴负方向运动，经过多长时间，． 【答案】设秒时，， 当在的右侧， 根据题意得：， ∴， 当在的左侧， 根据题意得：， ∴， ∴0.4，10秒时． 【练习5】已知：是最小的正整数，且、满足，请回答问题． (1)请直接写出、、的值，______，______，______； (2)、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时(即时)，请化简式子：(请写出化简过程)； (3)在(1)(2)的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【解答】解：(1)∵是最小的正整数，∴， 根据题意得：且， ∴，，． 故答案是：-1；1；5； (2)当时，，，， 则： 当时，，，， ∴ (3)不变．理由如下： 秒时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴，， ∴， 即值的不随着时间的变化而改变， (另解)∵点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点每秒2个单位长度向右运动， ∴、之间的距离每秒钟增加3个单位长度； ∵点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动， ∴、之间的距离每秒钟增加3个单位长度， 又∵， ∴的值不随着时间t的变化而改变． 【练习6】已知，与两个数在数轴上对应的点分别为点，点，点是坐标原点． (1)若、满足，则点、表示的数是多少？、之间的距离是多少？ (2)在(1)的条件下，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为多少？ (3)若点对应的数，数轴上点到的距离是点到的距离的倍，请写出、、、的关系； (4)在(1)的条件下，现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时，、两点相距4个单位长度？ 【答案】解：(1)∵，，， ∴，， ∴，， ∴表示的数是40，表示的数是， ∴， 答：表示的数是40，表示的数是，、之间的距离为48； (2)分两种情形： 当在中间时， ∵，， ∴， ∵， ∴点在数轴上表示的数字为， 当点在点的左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点在数轴上表示的数字为， 综上，点在数轴上表示的数字为8或； (3)∵点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴ 线段，线段， ∵ 数轴上点到的距离是点到的距离的倍， ∴， ∴， 答：、、、的关系为． (4)由题意可得，， 当在的右侧时， ∵， 解得， 当在的左侧时， ∵， ∴， 解得， 答：当为10秒或14秒时，、两点相距4个单位长度． 学科网（北京）股份有限公司 $