第2讲 绝对值同步培优讲义2026-2027学年七年级上册人教版数学

本讲义聚焦初中数学绝对值核心知识点，系统梳理绝对值的非负性（|a|≥0及非负数和为0的性质）、利用数轴化简（判断数的位置与正负）、分类讨论化简（按零点划分区间）、几何意义（距离表示），构建从性质到应用、从具体到抽象的学习支架。 该资料通过分层题型设计，每个题型含理论要点、例题及变式，结合数轴培养几何直观，分类讨论渗透推理意识，几何意义强化数学语言表达。课中助教师系统授课，课后练习帮助学生巩固，有效查漏补缺。

第2讲 绝对值 典 型 例 题 题型 绝对值的非负性 1 1. 绝对值的非负性指任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，这是绝对值的核心性质，可用于判断式子取值范围。 2. 若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，如|a|+|b|=0时，a=0且b=0，此结论是解决含绝对值方程或求值问题的关键。 1 例 若，则 ， ． 1-1 变式变式 若，则 ． 1-2 变式变式 若x为有理数，则式子的最小值为 ． 1-3 变式变式 已知，则的相反数为 ． 题型 利用数轴化简绝对值 2 1.先在数轴上确定绝对值内字母表示的数的位置，判断其正负性，正数绝对值是本身，负数是相反数，0的绝对值是0。 2.结合数轴上数的大小关系，化简含多个绝对值的式子，如|a - b|可由a与b的位置判断a - b的正负后化简。 2 例 已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1) ， ； (2)化简：． 2-1 变式变式 已知数轴上A，，三点对应的数分别是，，，若，，，为最小的正整数． (1)请在数轴上标出A，，三点的大致位置； (2)化简：． 2-2 变式变式 如图，数轴上有，，三点．    (1)____，_____，______；(填“”“”，“”) (2)化简． 2-3 变式变式 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：    (1)判断正负，用“”或“”填空：_____0，_____0，_____0； (2)化简． 题型 分类讨论化简绝对值 3 1. 确定绝对值内代数式的零点，即令其等于0的未知数的值，以此划分讨论区间，明确各区间内代数式的正负。 2. 按区间分类化简，正数取本身，负数取相反数，最后综合各区间结果，得到完整化简式，适用于字母取值不确定的情况。 3 例 已知、、均为不等于0的有理数，则的值为 ． 3-1 变式变式 若，则 ． 3-2 变式变式 已知、，那么＝ 3-3 变式变式 我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 题型 几何意义化简绝对值 4 1.绝对值的几何意义是数轴上数对应的点到原点的距离，|a|表示a到原点的距离，非负，据此可直接判断简单绝对值的化简结果。 2.|a - b|表示数轴上a与b对应点的距离，利用此意义可化简含差的绝对值，如a在b右侧时，|a - b|=a - b，反之则为b - a。 4 例 阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 4-1 变式变式 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1)__________； (2)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则__________； (3)利用数轴分析，若x是整数，且满足，请求出满足条件的所有x的值的和． 4-2 变式变式 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____． 4-3 变式变式 观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 课 后 练 习 1 练 式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 2 练 若，则（ ） A．2 B．7 C．8 D．5 3 练 已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 4 练 当的值最小时， ． 5 练 已知，则 ． 6 练 已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题： （1）当时， ； （2）若，则的值为 ． 7 练 已知有理数，，，且．    (1)如图，在数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中： (2)化简： 8 练 根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 9 练 有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 10 练 我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 11 练 “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 12 练 阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．可以表示5与之差的绝对值．也可以理解为5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)表示数轴上4与___________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离，表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数，使得请直接写出这样的整数的值：_________________________________． (4)利用绝对值的几何意义，求出的最小值． 第2讲 绝对值 典 型 例 题 题型 绝对值的非负性 1 1. 绝对值的非负性指任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，这是绝对值的核心性质，可用于判断式子取值范围。 2. 若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，如|a|+|b|=0时，a=0且b=0，此结论是解决含绝对值方程或求值问题的关键。 1 例 若，则 ， ． 【答案】 3 4 【详解】解：∵，∴，，∴，．故答案为：3；4． 1-1 变式变式 若，则 ． 【答案】 【详解】解：，，， ，，．故答案为：． 1-2 变式变式 若x为有理数，则式子的最小值为 ． 【答案】2024 【详解】解：∵，∴时，取最小值，最小值为2024． 故答案为：2024． 1-3 变式变式 已知，则的相反数为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：，解得：， ∴，∴的相反数为，故答案为：． 题型 利用数轴化简绝对值 2 1.先在数轴上确定绝对值内字母表示的数的位置，判断其正负性，正数绝对值是本身，负数是相反数，0的绝对值是0。 2.结合数轴上数的大小关系，化简含多个绝对值的式子，如|a - b|可由a与b的位置判断a - b的正负后化简。 2 例 已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1) ， ； (2)化简：． 【答案】(1)0， (2) 【详解】（1）解：依题意，∵∴，∴，故答案为：0，； （2）解：∵∴ ∴ 2-1 变式变式 已知数轴上A，，三点对应的数分别是，，，若，，，为最小的正整数． (1)请在数轴上标出A，，三点的大致位置； (2)化简：． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：A，，三点的大致位置，如图所示， （2）解：由数轴可得，，，， ∴，，， ∴． 2-2 变式变式 如图，数轴上有，，三点．    (1)____，_____，______；(填“”“”，“”) (2)化简． 【答案】(1)，，；(2)． 【详解】（1）由数轴可得，，，，故答案为：，，； （2），． 2-3 变式变式 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：    (1)判断正负，用“”或“”填空：_____0，_____0，_____0； (2)化简． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）解：由数轴可知，且，，， （2）由（1）可知：，，， ． 题型 分类讨论化简绝对值 3 1. 确定绝对值内代数式的零点，即令其等于0的未知数的值，以此划分讨论区间，明确各区间内代数式的正负。 2. 按区间分类化简，正数取本身，负数取相反数，最后综合各区间结果，得到完整化简式，适用于字母取值不确定的情况。 3 例 已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ． 【答案】3，-3，1，−1． 【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3； (2)当a<0，b<0，c<0时，==−1−1−1=−3； (3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1−1=1； 同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1． (4)当a<0，b<0，c>0时，==−1−1+1=−1； 同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1．故答案为：3，-3，1，−1． 3-1 变式变式 若，则 ． 【答案】或0或2 【详解】解：当a、b同时为正时，， 当a、b同时为负时，， 当a、b一正一负时，不妨设a为负，， 综上所述，的值为或0或2．故答案为：或0或2． 3-2 变式变式 已知、，那么＝ 【答案】±2或0 【详解】解：当x+a＞0，x+b＞0时，原式＝1+1＝2， 当x+a＞0，x+b＜0时，原式＝1﹣1＝0，当x+a＜0，x+b＞0时，原式＝﹣1+1＝0， 当x+a＜0，x+b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，故答案为：±2或0． 3-3 变式变式 我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 【答案】(1) (2)2 (3)0或 (4)；7 【详解】（1）解：时，，故答案为：； （2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等， ∵与9的距离为，∴中点到的距离为7， ∴，∴，故答案为：2； （3）∵，∴分情况讨论：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上可得：值为0或，故答案为：0或； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和， 当时，距离和即为到4的距离，故答案为：；7． 题型 几何意义化简绝对值 4 1.绝对值的几何意义是数轴上数对应的点到原点的距离，|a|表示a到原点的距离，非负，据此可直接判断简单绝对值的化简结果。 2.|a - b|表示数轴上a与b对应点的距离，利用此意义可化简含差的绝对值，如a在b右侧时，|a - b|=a - b，反之则为b - a。 4 例 阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1) (2)或；； (3)、、、、 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ．故答案为：； （2）∵，∴，解得：或； ，，解得：；故答案为：或；；． （3）∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，，这样的整数有、、、、 4-1 变式变式 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1)__________； (2)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则__________； (3)利用数轴分析，若x是整数，且满足，请求出满足条件的所有x的值的和． 【答案】(1)5 (2)或3 (3) 【详解】（1）解：；故答案为：5． （2）解：表示数轴上数和之间的距离为4，∴或；（3）解：表示数轴上数到2和之间的距离之和等于7， ∵2和之间的距离为7，∴当在和2之间时，， ∵为整数，∴，∴． 4-2 变式变式 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____． 【答案】(1)8 (2)5或 (3)6，2025 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是； （2）解：若，那么的值为5或； （3）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，，其中整数有，，0，1，2，3，共6个； 表示数轴到表示3与表示的点距离之和， 由两点之间线段最短可知： 当时，有最小值，最小值为． 4-3 变式变式 观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是，故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是，故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是，故答案为：； （3）①，解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴，∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 课 后 练 习 1 练 式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】解：式子中，的最小值为0，当且仅当，即时取得； 此时整个式子的值为，为最小值．故选：D． 2 练 若，则（ ） A．2 B．7 C．8 D．5 【答案】D 【详解】解：∵，∴，解得， ∴．故选：D． 3 练 已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【详解】解：由数轴可得， ∴，，故选：C． 4 练 当的值最小时， ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， 此时时，的值最小，则；故答案为：． 5 练 已知，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴解得， ∴，故答案为：． 6 练 已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题： （1）当时， ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 1 0或/或0 【详解】解：（1）当时，．故答案为：1． （2）∵，∴a、b、c为两正一负或a、b、c都为负， ①当a、b、c为两正一负时，不防设， ∴； ①当a、b、c都为负时，即， ∴； 综上，该代数式的值为0或．故答案为：0或． 7 练 已知有理数，，，且．    (1)如图，在数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中： (2)化简： 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：有理数，，，且，则，， 在数轴上表示如下：    （2）解：由题意，可知， 所以 ． 8 练 根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 9 练 有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【详解】（1）解：由数轴可知：，， ∴，，，故答案为：，，； （2）解：∵互为相反数，∴，即，∴，故答案为：； （3）解：由数轴可知：，∴． 10 练 我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【详解】（1）解：由数轴可得，，，，∴，故答案为：，，； （2）解：∵， ∴式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和， ∵，∴数不可能在与之间， 当在左侧时，则，解得； 当在右侧时，则，解得； ∴或，故答案为：或； （3）解：由数轴可得，，，∴，，，， ∴原式． 11 练 “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)1 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，；②若，，； ③若，，；④若，，． 故的值为或0； （2）解：因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个负数一个正数， 不妨设，，，则． 12 练 阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．可以表示5与之差的绝对值．也可以理解为5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)表示数轴上4与___________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离，表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数，使得请直接写出这样的整数的值：_________________________________． (4)利用绝对值的几何意义，求出的最小值． 【答案】(1)1 (2)5， (3)，，0，1 (4)5 【详解】（1）解：由题意得：表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离； 故答案为：1； （2）解：表示数轴上有理数所对应的点到5所对应点之间的距离；表示数轴上有理数到所对应点之间的距离．故答案为：5，； （3）解：由题意得：表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到1的距离的和为3，又∵，∴，又∵为整数，∴表示的数为：，，0，1． 故答案为：，，0，1． （4）解：由题意得：当时，有最小值，最小值为：． 学科网（北京）股份有限公司 $