第03讲 相反数、绝对值、有理数的比较大小 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学讲义以“正数和负数”为核心，通过表格系统梳理相反数、绝对值等知识点，将定义、结论与几何意义分层呈现，结合数轴示例构建知识内在联系，突出多重符号化简、绝对值非负性等重难点。 讲义亮点在于“概念辨析+几何应用”的分层练习设计，如通过判断“符号相反的数叫相反数”培养抽象能力，利用“数轴上两点距离”问题发展几何直观。课后作业包含绝对值方程、非负性综合应用等题型，基础学生可巩固概念，优秀学生能提升推理意识，助力教师实施精准复习教学。

第1讲：正数和负数 一、考点梳理 二、知识点总结 知识点一、相反数的基本概念 知识点 一、相反数的定义 1.只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 2.0的相反数是0． 3.在数轴上，表示互为相反数(0除外)的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等 二、 相反数的结论 1.若a为正数，则-a的相反数一定是负数． 2.若a为负数，则-a的相反数一定是正数． 知识点二、多重符号化简 知识点 一、 多重符号化简 1. 奇负偶正：有奇数个负号为负数，有偶数个负号为正数． 二、 含字母的相反数运算 1. 的相反数是． 知识点四、绝对值的基本概念 基本概念 举例 1. 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做的绝对值，记作． 1.3的绝对值是数轴上表示3的点到原点的距离，所以3的绝对值是3； 2.-2的绝对值是数轴上表示-2的点到原点的距离，所以-2的绝对值是2． 2. 的绝对值，记作． 知识点五、绝对值的几何意义 知识点 举例 1.表示在数轴上的数的点到原点的距离； 2. 表示在数轴上的数的点和表示数的点的距离． 例：，表示在数轴上的数x到-2的距离为5，那这个数x就是3或-7． 知识点六、绝对值化简的概念与相关结论 1. 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做的绝对值，记作． 2. 一个正数的绝对值是它本身；即，如果，则． 3. 0的绝对值是0． 4. 一个负数的绝对值是它的相反数；即，，则． 5. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 6. 互为相反数的两个数绝对值相等． 三、常考的题型 考点一、相反数的定义 1．下列有关相反数的说法：①符号相反的数叫相反数；②数轴上原点两旁的数是相反数；③的相反数是；④一定是负数；⑤若两个数之和为0，则这两个数互为相反数； ⑥若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数一个负数．其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查相反数的定义，依据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：①符号相反的两个数不一定互为相反数，如与3，故①错误； ②数轴上原点两旁的数不一定互为相反数，如和3，故②错误； ③，3的相反数是，故③正确； ④不一定是负数，如时，，故④错误； ⑤若两个数之和为0，则这两个数互为相反数，故⑤正确； ⑥0的相反数是0，故⑥错误． 故选：A． 2．下列各对数：+（－3）与－3；－（－3）与+（－3）；－（+3）与+（－3）；+3与+（－3）中，互为相反数的有（       ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】B 【知识点】相反数的定义、化简多重符号 【分析】根据相反数的定义即可判断． 【详解】+（－3）=-3，与－3相等； －（－3）=3，+（－3）=-3，互为相反数； －（+3=）=-3，+（－3）=-3相等； +3=3，+（－3）=-3，互为相反数 故互为相反数的有2对 故选B． 【点睛】此题主要考查相反数的判断，解题的关键是熟知有理数的性质． 3．已知与3互为相反数，则是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】相反数的定义 【分析】根据相反数的定义即可直接求解. 【详解】解：∵与互为相反数， ∴． 4．根据相反数的意义化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】相反数的定义、化简多重符号 【详解】（1）解：表示的相反数，所以； （2）解：表示的相反数，所以； （3）解：表示的相反数，所以； （4）解：表示的相反数，所以． 5．试回答下列问题： (1)什么数的相反数大于它本身？ (2)什么数的相反数等于它本身？ (3)什么数的相反数小于它本身？ 【答案】(1)负数 (2) (3)正数 【知识点】相反数的定义、相反数的应用 【详解】（1）解：负数的相反数大于它本身． （2）解：的相反数等于它本身． （3）解：正数的相反数小于它本身． 考点二、化简多重符号 6．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相反数的定义、化简多重符号 【分析】本题考查了相反数，多重符号的化简方法．根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意． 故选：C． 7．___________． 【答案】 【知识点】化简多重符号 【分析】根据多重符号化简法则，判断负号的个数，进而得出结果． 【详解】解：． 8．下列各数中，与互为相反数的是（     ）． A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】相反数的定义、化简多重符号 【详解】解：， ， 的相反数是． 9．按要求完成下列各题。 (1)化简下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥． (2)若前面有2026个负号，则化简后的结果是多少？若前面有2025个负号，则化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】(1)①2；②；③；④3.5；⑤5；⑥． (2)当前面有2026个负号时，化简后的结果是5．当前面有2025个负号时，化简后的结果是5． 总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【知识点】化简多重符号 【分析】（1）根据多重符号化简规则，数负号个数，偶数个负号结果为原数，奇数个负号结果为原数相反数； （2）用奇偶判断多负号化简结果，归纳通用规律． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥ （2）解：当前面有2026个负号时，化简后的结果是5．当前面有2025个负号时，化简后的结果是5． 总结规律略 10．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了相反数中多重符号的化简，多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”负，有偶数个“”号结果为正． （1 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （2 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （3 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （4 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （5 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 考点三、相反数的应用 11．如果式子与式子的值互为相反数，那么的值是（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【知识点】相反数的应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了相反数的定义，一元一次方程的应用，根据相反数的定义，两个式子的和为零，列方程求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 化简得， ∴， ∴， 故选：C． 12．若m，n互为相反数，则___． 【答案】3 【知识点】相反数的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了相反数的性质，求代数式的值，掌握相反数和为0是解题的关键． 由相反数的性质可知，进而简化表达式 【详解】解：∵ m，n 互为相反数， ∴ ， ∴ ． 故答案为 3． 13．若与互为相反数，则（    ） A． B．6 C．2017 D．2029 【答案】A 【知识点】相反数的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查相反数的性质，利用相反数的性质，，代入代数式计算. 【详解】解：∵ a 与 b 互为相反数， ∴， ∴， 故选 A. 14．若两个有理数，，满足，则称，互为“友好数”，例如：6和4就是一对“友好数”． (1)求的“友好数”． (2)若的相反数与8互为“友好数”，求的值． 【答案】(1)16 (2) 【知识点】相反数的定义、相反数的应用、有理数加法运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】解题思路是根据 “友好数” 的定义，列出对应的等式，再通过解方程求出未知的 “友好数” 或字母的值．本题考查有理数的加法与相反数的概念，涉及的知识点是新定义运算、一元一次方程的求解．解题中用到的方法是定义转化法，将 “友好数” 的定义转化为等式，再解方程．解题关键是准确理解 “友好数” 的定义，正确列出等式．易错点是处理相反数时符号错误，或解方程时移项符号出错． 【详解】（1）解：∵ ∴的“友好数”为16． （2）∵ ∴的相反数是2 ∴． 15．已知与的和为，与互为相反数，若，则______． 【答案】3 【知识点】相反数的应用、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】此题考查了有理数的减法运算，相反数的性质， 根据互为相反数的定义，由与互为相反数且，可求出的值；再根据与的和为 2求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数，若， ∴ ∵与的和为， ∴． 故答案为：3． 考点四、绝对值的概念和求法 16．的绝对值是（     ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值 【详解】解：． 17．下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最小即为距离原点最近， 即可作答． 【详解】解：∵， ， ∴的位置距离原点最近， 故选：B． 18．下列说法中，正确的是（    ） A．绝对值最小的有理数是0 B．5的相反数的绝对值与5的绝对值的相反数相等 C．互为相反数的两个数的绝对值不一定相等 D．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是负数 【答案】A 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值 【详解】解：A、绝对值最小的有理数是0，说法正确 B、5的相反数的绝对值是，5的绝对值的相反数是，不相等，说法错误； C、互为相反数的两个数的绝对值一定相等，说法错误； D、若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是负数和0，说法错误． 19．-2的相反数的绝对值是___________． 【答案】 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、求一个数的绝对值 【分析】根据相反数、绝对值的定义正确列出数学式子，进行化简即可得解． 【详解】解：∵ ∴的相反数的绝对值是． 故答案是： 【点睛】本题考查了根据相反数、绝对值的定义求一个数的相反数、绝对值，能根据文字语言正确列出数学式子、并进行准确的化简是解题的关键． 20．下列四个数中绝对值最大的数是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、实数的大小比较 【分析】本题考查绝对值的计算与实数大小比较，先根据绝对值的定义求出各数的绝对值，再比较各数绝对值的大小即可得到答案． 【详解】解：根据绝对值的性质，分别计算四个数的绝对值： ∵ ，，， 又∵ ， ∴最大， 因此绝对值最大的数是． 考点五、化简绝对值 21．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 22．数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】此题考查了运用数轴上的点表示实数和绝对值化简的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行变形、求解．运用数轴上的点表示实数和绝对值的性质进行化简、计算． 先确定的符合以及大小，然后再取绝对值即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 故选：B． 23．已知，两数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简式子的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、合并同类项 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的意义及合并同类项，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的意义及合并同类项是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴； 故选D． 24．有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是________． 【答案】/ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算 【详解】此题考查了利用数轴判断式子的符号，整式加减等知识，数形结合是解题的关键． 根据数轴上点的位置确定出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：， 则，， 所以原式 ． 25．有理数在数轴上的位置如图所示，化简．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了数轴与绝对值，根据数轴得到，，进而判断出，，，即可去绝对值进行化简，由数轴判断出的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴原式 ， 故选：． 考点六、有理数的比较大小 26．在给出的数、、中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数大小比较 【详解】解：∵题干给出的数为，，， ∴不在给出的数范围内，排除A； ∵， ∴最小的数是． 27．在，2，，0这四个数中，比小的数是（ ） A． B．2 C．0 D． 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】根据有理数大小比较的基本规则即可求解． 【详解】解：∵正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的数反而小， 又∵，，，且， ∴ ， ∴比小的数是． 28．下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握比较大小的方法是解题的关键．先根据绝对值和相反数的意义化简A、C、D三项中的相关有理数，然后根据正数大于负数即可进行比较；根据两个负数比较大小的方法即可判断B项，从而可得答案． 【详解】解：A、 ，， ，故本选项错误，不符合题意； B、 ，， ，故本选项正确，符合题意； C、 ，， ，故本选项错误，不符合题意； D、 ， ，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 29．已知，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】化简多重符号、带有字母的绝对值化简问题、有理数大小比较 【分析】此题考查了绝对值，多重符号化简，有理数的大小比较，先化简个数，再根据有历史大小比较的方法比较即可． 【详解】解： ， ， ， 故选：A． 30．比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与； (3)与0； (4)与； (5)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】(1)(2)(5)属于两个负数比较大小，先求两数的绝对值，再根据绝对值大的负数反而小判断． (3)根据所有负数都小于判断． (4)根据正数大于所有负数判断． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：负数都小于，是负数， ； （4）解：正数大于所有负数，是正数，是负数， ； （5）解： ． 考点七：绝对值方程 31．若，则x的值是（   ） A． B．或1 C．1 D．或 【答案】D 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查解绝对值方程，由绝对值的定义可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或． 故选：D 32．若已知，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】根据绝对值性质，由|x+3|=2可得出x+3=±2，依此即可求解． 【详解】∵|x+3|=2， ∴x+3=±2， ∴x的值等于-1或-5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，难度较小． 33．如果，那么是（    ） A．4 B．-4 C．±2 D．±4 【答案】D 【知识点】绝对值方程 【分析】根据绝对值意义进行解答即可． 【详解】解： ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，绝对值表示该数在数轴表示的点距原点的距离． 34．在数轴上，点M，N分别表示数m，1．若，则点M表示的数是（    ） A．5 B．或5 C．4 D． 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值方程 【分析】题考查数轴上两点间的距离表示方法，根据题意得到是解题的关键． 【详解】解：∵点M，N分别表示数m，1．若， ∴， 解得或， 故选B． 35．已知有理数与互为相反数，，若，则的取值为（    ） A．2 B．2或10 C．6或10 D．6 【答案】A 【知识点】相反数的定义、绝对值方程、去括号 【分析】先求出，再根据得到，解方程后把x的值代入验证即可．此题考查了去括号法则、相反数、绝对值方程等知识，得到方程是解题的关键． 【详解】解：∵有理数与互为相反数， ∴， ∵，， ∴， 解得或． 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴． 故选：A 考点八：绝对值的非负性的综合应用 36．已知满足，则的值为_______． 【答案】7 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查的是绝对值非负性的应用．由，可得，，再求解的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：7． 37．已知是非负数，且非负数中最小的数是0． （1）已知，则的值是_________； （2）当________时，有最小值，最小值是______． 【答案】 3 1 2 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值的意义： （1）由绝对值的非负性可以得出，由此可解． （2）根据绝对值的非负性解题即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3； （2）∵， ∴当时，，此时有最小值， ∴当时有最小值，最小值是2， 故答案为：1，2． 38．（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： Ⅰ：当x取何值时，有最小值，这个最小值是多少？ Ⅱ．当x取何值时，有最大值，这个最大值是多少？ （2）已知数a，b，c在数轴上的位如图所示，化简：    【答案】（1）Ⅰ：当时，最小值为0；Ⅱ．当时，最大值为；（2） 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质化简绝对值是解题的关键． （1）根据题意令绝对值里的数为0，即可求解； （2）根据数轴可知，且，可得，，，根据正数的绝对值使其本身，负数的绝对值使其相反数，对代数式进行化简即可得出结果． 【详解】解：（1）I：当时，有最小值，这个最小值是0； Ⅱ：当时，有最小值，为；则有最大值，这个最大值是； （2）根据题意，得，且， ∴，，， ∴ ． 39．阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段：线段；线段．问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为和1，则线段 ； (2)数轴上点E、F代表的数分别为和，则线段 ； (3)数轴上的两个点之间的距离为6，其中一个点表示的数为，则另一个点表示的数为m，求 ． 【答案】(1) (2)8 (3)4或 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数的减法运算．熟练掌握数轴上两点之间的距离，有理数的减法运算是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可； （3）根据或，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 故答案为：8； （3）解：由题意知，或， 故答案为：4或． 40．阅读材料：点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离可表示为． 例如：7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为；的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示6的点之间的距离． 这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题． 如图，已知数轴上两点对应的数分别为和2，数轴上另有一个点对应的数为有理数    (1)请根据阅读材料填空：点之间的距离__________（用含的式子表示）；若该距离为4，则__________． (2)根据阅读材料和题（1）中的结论，请用文字语言叙述表示的几何意义：________________________________________． 根据几何意义，解决下列问题 ①若点在线段上，则__________ ②若，求点表示的有理数． 【答案】(1)；3或 (2)数轴上点到这两个点间的距离之和（或数轴上点到和2这两个点间的距离之和）；① 3；②或 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据两点之间的距离公式可得，再建立绝对值方程可得x的值； （2）由两点间的距离的含义可得表示的几何意义，①由表示的几何意义可得；②由表示的几何意义可得在A的左边或B的右边，再计算即可． 【详解】（1）解：点之间的距离， 当， ∴或， 解得：或； （2）表示的几何意义：数轴上点到这两个点间的距离之和（或数轴上点到和2这两个点间的距离之和） ①当点在线段上， ∴； ②∵结合①可得在A的左边或B的右边， 当点在B的右边的时候，    ∴，此时， 当点在A的左边的时候，    ∴，此时，． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值方程的含义，一元一次方程的应用，熟练的利用两点之间的距离公式进行解题是解本题的关键． 四、查缺补漏 1．如图，数轴上点A，B，C，D，E分别表示什么数？其中哪些数是互为相反数？ 【答案】点A，B，C，D，E分别表示，，1，2，；与，与1分别是互为相反数 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义 【分析】本题考查了在数轴上表示数，相反数．熟练掌握在数轴上表示数，相反数是解题的关键． 根据在数轴上表示数，相反数的定义求解作答即可． 【详解】解：由数轴可知，点A，B，C，D，E分别表示，，1，2，； 与，与1分别是互为相反数． 2．在数，，，，1中，负数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题主要考查负数的定义，根据负数的定义判断即可．理解负数的定义是解题关键． 【详解】解：，， 则在数，，，，1中，负数有，，，共3个， 故选：C． 3．化简下列各式的符号，并回答问题： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6) (7)当前面有2012个负号，化简后结果是多少？ (8)当前面有2013个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】(1)2 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) ， 规律：若在一个数的前面有偶数个负号，则化简后的结果是其本身；若在一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果是这个数的相反数． 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了化简多重符号，总结规律从而解决后面两小问是解题关键．根据相反数的意义，发现规律：“若在一个数的前面有偶数个负号，则化简后的结果是其本身；若在一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果是这个数的相反数”，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：当前面有2012个负号，化简后结果是； （8）略 4．有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】根据两个点在数轴上的位置进行大小比较即可． 【详解】解：由数轴可得：，，，则选项都不正确，不符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，能够通过数轴得出点表示的数的大小是解题关键． 5．如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数． （1）填空： 0， 0， 0．(用＜或>或=号填空) （2）化简：． 【答案】（1）＜，＜，＜；（2）2c 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算 【分析】（1）由数轴可知：c＞0，a＜b＜0，所以可知：a-b＜0，a+c＜0，b-c＜0． （2）根据负数的绝对值是它的相反数可化简求值． 【详解】解：（1）由数轴得，c＞0，a＜b＜0， 因而a-b＜0，a+c＜0，b-c＜0， 故答案为：＜，＜，＜； （2） =b-a+a+c+c-b =2c． 【点睛】此题主要考查了有理数大小的比较，学生对数轴和绝对值的理解，学生要对这些概念性的东西牢固掌握． 6．下列说法正确的个数是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的意义，解题的关键是掌握绝对值的定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．当两个数的绝对值相等时，注意有2种情况．据此解答即可． 【详解】解：①相等的两个数的绝对值相等，故说法①正确，符合题意； ②互为相反数的两个数的绝对值相等，故说法②正确，符合题意； 绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故说法③与说法④不正确，不符合题意， ∴说法正确的个数是． 故选：C． 7．如果实数a，b满足，那么等于（　　） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、负整数指数幂 【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出a、b的值，再代入原式中即可． 【详解】解：依题意得：， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查绝对值的非负性，负整数指数幂，掌握相关知识是解题的关键． 8．设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值非负性 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求的最小值为， 故选：． 9．若与互为相反数，则的值为__________． 【答案】 【知识点】相反数的定义 【分析】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据题意得到即可得到答案． 【详解】解：与互为相反数， ， 解得， 故答案为：． 10．数轴上有四个数：，，，．这四个数中，最大的数是________，________和________距离的长度相等． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键．正数总是大于零，零总是大于负数，在数轴上，右边的点所表示的数总是大于左边的点所表示的数，对于绝对值相同的两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解： ，，， ， 即最大的数是， ， 和距离的长度相等． 故答案为：，，． 11．已知m是有理数，则的最小值是_______． 【答案】8 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】该题主要考查了绝对值的意义以及化简绝对值，解题的关键是进行分类讨论． 根据绝对值最小的数是0，分别令四个绝对值为0，从而求得m的四个值，分别将这四个值代入代数式求值，比较得不难求得其最小值． 【详解】解：∵绝对值最小的数是0， ∴分别当等于0时，有最小值． ∴m的值分别为2，4，6，8． ∵①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ∴的最小值是8． 故答案为：8． 12．已知a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且，，A，B两点在数轴上的位置如图所示． (1)试确定a，b的值； (2)A，B两点之间的距离为 ___ 个单位长度； (3)若点C与点B表示的两个数互为相反数，则点C表示的数是 ___ ； (4)点P从点A出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……，依次操作2025次后，求点P表示的数． 【答案】(1)a的值为，b的值为 (2)3 (3)2 (4)点P表示的数为 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点之间的距离，点的运动规律，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据数轴得出，结合a和b的绝对值，即可解答； （2）根据两点间距离公式进行解答即可； （3）根据相反数定义即可解答； （4）先根据题目所给的移动方法，归纳出每移动两次为一组，每组等价于向右移动一个单位长度，结合数轴上两点之间距离的表示方法，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； 由图可知， ∴，； （2）解：∵，， ∴； ∴两点相距3个单位长度； （3）解：∵点C与点B表示的两个数互为相反数， ∴点C表示的数是； （4）解：将向右平移记为正，向左平移记为负， ∴向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，可表示为：， 向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，可记为：， ∴每移动两次为一组，每组等价于向右移动一个单位长度， ， ∴操作2024次后，P点表示的数为， ∴操作2025次后，P点表示的数为． 五、课后作业 1．的相反数是（      ） A． B． C．2026 D． 【答案】C 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，熟练掌握相反数的定义是解题关键．根据相反数的定义求解即可得． 【详解】解：的相反数是2026， 故选：C． 2．、0、、的大小顺序是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据负数都比0小，正数都比0大，两个负数比较大小时绝对值越大反而越小比较即可． 【详解】∵、， ∴， ∴， 故选：A． 3．已知有理数在数轴上的位置如图所示： (1)判断正负，用“”“”或“”填空： 0 ，b 0 (2)判断正负，用“”“”或“”填空：    0，   0，   0 (3)化简： 【答案】(1)， (2)，， (3)a 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、有理数的减法运算、合并同类项 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的符号，有理数的加减运算，化简绝对值等知识； （1）由数轴知，，据此即可判断a与b的符号； （2）由结合有理数的加减法则即可判断，，的符号； （3）确定的符号，结合（2）中，的符号，即可脱去绝对值，从而化简． 【详解】（1）解：由数轴知，， ∴， 故答案为：，； （2）解：由数轴知，，且， 则，，， 故答案为：，，； （3）解：因为，且， 所以， 由（2）知，，， 则 ． 4．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是（　　）   A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的意义可知哪个点离原点越近，则哪个点所对应的数的绝对值就越小，据此判断出绝对值最小的数对应的点是哪个即可． 【详解】解：∵A，B，C，D四个点中，点B离原点最近， ∴绝对值最小的数对应的点是B． 故选：B． 5．若，则的取值不可能是（    ）． A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的减法运算、有理数的除法运算 【分析】按照a，b的正负性分类讨论即可． 【详解】解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； ∴的取值不可能是1， 故选：B． 【点睛】本题考查了化简绝对值，有理数的减法和除法，分类讨论是解题的关键． 6．如果a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、c为负数，b为正数 【答案】C 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】根据有理数的加法，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，可得答案． 【详解】解：a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|， |a|＝|b|+|c|． 故选C． 【点睛】本题考查有理数的加法，绝对值最大的数与绝对值较小的两个数异号是解题关键． 7．解答下列问题． (1)如图所示，下面两个图分别表示负数集合和分数集合，请你把下列各数填入相应的集合． 3.5，，0，，，3， (2)在（1）图中两个集合的重叠部分表示______数的集合． (3)写出（1）图中两个集合的重叠部分中的最大的数和最小的数． 【答案】(1) 填图如图： (2)负分 (3)最大的数为，最小的数为 【知识点】有理数的分类、有理数大小比较 【分析】本题考查有理数的分类，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的分类，以及大小比较的方法是解题的关键． （1）根据负数和分数的定义分类即可； （2）两个圈重叠的部分表示负分数集合； （3）根据负数绝对值大的反而小，即可判断． 【详解】（1）解：负数有，分数有． （2）解：既是负数又是分数则为负分数，故（1）图中两个集合的重叠部分表示负分数的集合， 故答案为：负分； （3）解：（1）图中两个集合的重叠部分中数有， ，，， ∴， ∴， ∴最大的数为，最小的数为． 8．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求|5﹣（﹣2）|=______． (2)找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是______． (3)对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． (4)对于任何有理数x，|x+4|+|x+2|+|x﹣3|是否有最小值？如果有写出最小值及此时x的值，如果没有说明理由． 【答案】(1)7 (2) (3)有，3 (4)有，最小值为7， 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、求一个数的绝对值 【分析】（1）根据绝对值的意义求解； （2）结合数轴可知，与及其之间的整数都满足； （3）根据绝对值的几何意义求解； （4）根据绝对值的几何意义求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：7； （2）解： ， 可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点2的距离之和， ， 因此这样的整数是， 故答案为：； （3）解：有最小值，最小值为3． 可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点6的距离之和， 因此当时，有最小值，最小值为； （4）解：有，最小值为7， ， 可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， ， 当时，最小值0， 当时，有最小值，最小值为7． 【点睛】本题考查绝对值的最值问题，解题的关键是掌握绝对值的几何意义． 9．阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时可令和，分别求得，（称与2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式； 综上，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)与4分别为与的零点值 (2) (3)有，6 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】（1）利用零点值的定义解答即可； （2）利用题干【材料】的方法解答即可； （3）利用【材料二】中的方法和（2）的结论解答即可． 本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值，相反数，数轴，本题是阅读型题目，正确理解题干中的方法和解题思想是解题的关键． 【详解】（1）解：令和， 求得，， 与4分别为与的零点值． （2）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． ； （3）解：有，理由如下： 由（2）得出：对于任意有理数，有最小值，最小值为6． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲：正数和负数 一、考点梳理 二、知识点总结 知识点一、相反数的基本概念 知识点 一、相反数的定义 1.只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 2.0的相反数是0． 3.在数轴上，表示互为相反数(0除外)的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等 二、 相反数的结论 1.若a为正数，则-a的相反数一定是负数． 2.若a为负数，则-a的相反数一定是正数． 知识点二、多重符号化简 知识点 一、 多重符号化简 1. 奇负偶正：有奇数个负号为负数，有偶数个负号为正数． 二、 含字母的相反数运算 1. 的相反数是． 知识点四、绝对值的基本概念 基本概念 举例 1. 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做的绝对值，记作． 1.3的绝对值是数轴上表示3的点到原点的距离，所以3的绝对值是3； 2.-2的绝对值是数轴上表示-2的点到原点的距离，所以-2的绝对值是2． 2. 的绝对值，记作． 知识点五、绝对值的几何意义 知识点 举例 1.表示在数轴上的数的点到原点的距离； 2. 表示在数轴上的数的点和表示数的点的距离． 例：，表示在数轴上的数x到-2的距离为5，那这个数x就是3或-7． 知识点六、绝对值化简的概念与相关结论 1. 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做的绝对值，记作． 2. 一个正数的绝对值是它本身；即，如果，则． 3. 0的绝对值是0． 4. 一个负数的绝对值是它的相反数；即，，则． 5. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 6. 互为相反数的两个数绝对值相等． 三、常考的题型 考点一、相反数的定义 1．下列有关相反数的说法：①符号相反的数叫相反数；②数轴上原点两旁的数是相反数；③的相反数是；④一定是负数；⑤若两个数之和为0，则这两个数互为相反数； ⑥若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数一个负数．其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列各对数：+（－3）与－3；－（－3）与+（－3）；－（+3）与+（－3）；+3与+（－3）中，互为相反数的有（       ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．已知与3互为相反数，则是（     ） A． B． C．3 D． 4．根据相反数的意义化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．试回答下列问题： (1)什么数的相反数大于它本身？ (2)什么数的相反数等于它本身？ (3)什么数的相反数小于它本身？ 考点二、化简多重符号 6．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 7．___________． 8．下列各数中，与互为相反数的是（     ）． A．3 B． C． D． 9．按要求完成下列各题。 (1)化简下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥． (2)若前面有2026个负号，则化简后的结果是多少？若前面有2025个负号，则化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 10．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 考点三、相反数的应用 11．如果式子与式子的值互为相反数，那么的值是（    ） A． B．0 C． D．1 12．若m，n互为相反数，则___． 13．若与互为相反数，则（    ） A． B．6 C．2017 D．2029 14．若两个有理数，，满足，则称，互为“友好数”，例如：6和4就是一对“友好数”． (1)求的“友好数”． (2)若的相反数与8互为“友好数”，求的值． 15．已知与的和为，与互为相反数，若，则______． 考点四、绝对值的概念和求法 16．的绝对值是（     ） A． B．5 C． D． 17．下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（    ） A． B． C．1 D． 18．下列说法中，正确的是（    ） A．绝对值最小的有理数是0 B．5的相反数的绝对值与5的绝对值的相反数相等 C．互为相反数的两个数的绝对值不一定相等 D．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是负数 19．-2的相反数的绝对值是___________． 20．下列四个数中绝对值最大的数是（     ） A． B． C．1 D．2 考点五、化简绝对值 21．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 23．已知，两数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简式子的结果为（    ） A． B． C． D． 24．有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是________． 25．有理数在数轴上的位置如图所示，化简．（    ） A． B． C． D． 考点六、有理数的比较大小 26．在给出的数、、中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 27．在，2，，0这四个数中，比小的数是（ ） A． B．2 C．0 D． 28．下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 29．已知，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 30．比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与； (3)与0； (4)与； (5)与． 考点七：绝对值方程 31．若，则x的值是（   ） A． B．或1 C．1 D．或 32．若已知，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 33．如果，那么是（    ） A．4 B．-4 C．±2 D．±4 34．在数轴上，点M，N分别表示数m，1．若，则点M表示的数是（    ） A．5 B．或5 C．4 D． 35．已知有理数与互为相反数，，若，则的取值为（    ） A．2 B．2或10 C．6或10 D．6 考点八：绝对值的非负性的综合应用 36．已知满足，则的值为_______． 37．已知是非负数，且非负数中最小的数是0． （1）已知，则的值是_________； （2）当________时，有最小值，最小值是______． 38．（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： Ⅰ：当x取何值时，有最小值，这个最小值是多少？ Ⅱ．当x取何值时，有最大值，这个最大值是多少？ （2）已知数a，b，c在数轴上的位如图所示，化简：    39．阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段：线段；线段．问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为和1，则线段 ； (2)数轴上点E、F代表的数分别为和，则线段 ； (3)数轴上的两个点之间的距离为6，其中一个点表示的数为，则另一个点表示的数为m，求 ． 40．阅读材料：点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离可表示为． 例如：7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为；的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示6的点之间的距离． 这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题． 如图，已知数轴上两点对应的数分别为和2，数轴上另有一个点对应的数为有理数    (1)请根据阅读材料填空：点之间的距离__________（用含的式子表示）；若该距离为4，则__________． (2)根据阅读材料和题（1）中的结论，请用文字语言叙述表示的几何意义：________________________________________． 根据几何意义，解决下列问题 ①若点在线段上，则__________ ②若，求点表示的有理数． 四、查缺补漏 1．如图，数轴上点A，B，C，D，E分别表示什么数？其中哪些数是互为相反数？ 2．在数，，，，1中，负数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．化简下列各式的符号，并回答问题： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6) (7)当前面有2012个负号，化简后结果是多少？ (8)当前面有2013个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 4．有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数． （1）填空： 0， 0， 0．(用＜或>或=号填空) （2）化简：． 6．下列说法正确的个数是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A． B． C． D． 7．如果实数a，b满足，那么等于（　　） A．1 B． C． D．3 8．设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 9．若与互为相反数，则的值为__________． 10．数轴上有四个数：，，，．这四个数中，最大的数是________，________和________距离的长度相等． 11．已知m是有理数，则的最小值是_______． 12．已知a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且，，A，B两点在数轴上的位置如图所示． (1)试确定a，b的值； (2)A，B两点之间的距离为 ___ 个单位长度； (3)若点C与点B表示的两个数互为相反数，则点C表示的数是 ___ ； (4)点P从点A出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……，依次操作2025次后，求点P表示的数． 五、课后作业 1．的相反数是（      ） A． B． C．2026 D． 2．、0、、的大小顺序是（    ）． A． B． C． D． 3．已知有理数在数轴上的位置如图所示： (1)判断正负，用“”“”或“”填空： 0 ，b 0 (2)判断正负，用“”“”或“”填空：    0，   0，   0 (3)化简： 4．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是（　　）   A．点A B．点B C．点C D．点D 5．若，则的取值不可能是（    ）． A．0 B．1 C．2 D． 6．如果a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、c为负数，b为正数 7．解答下列问题． (1)如图所示，下面两个图分别表示负数集合和分数集合，请你把下列各数填入相应的集合． 3.5，，0，，，3， (2)在（1）图中两个集合的重叠部分表示______数的集合． (3)写出（1）图中两个集合的重叠部分中的最大的数和最小的数． 8．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求|5﹣（﹣2）|=______． (2)找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是______． (3)对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． (4)对于任何有理数x，|x+4|+|x+2|+|x﹣3|是否有最小值？如果有写出最小值及此时x的值，如果没有说明理由． 9．阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时可令和，分别求得，（称与2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式； 综上，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $