精品解析：广东深圳市宝安中学集团初中部2026-2027学年八年级上学期开学数学练习

宝安中学（集团）初中部八年级上数学第1周周末练习 一、选择题（分） 1. 在，，π，0， ，（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）这些数中，无理数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 若一个正方形的面积是18，则它的边长为（　　） A. B. C. 6 D. 9 3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A. 5， 12， 13 B. 7， 14， 16 C. 6， 8， 12 D. 9， 15， 18 4. 如图是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用表示，“相”的位置用表示，那么“卒”的位置可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 6. 一根长度为的吸管放入底面直径为，高为的圆柱形水杯中，露在外面的最短长度为（ ） A. B. C. D. 7. 算术平方根有如下运算：，（），故化简：可得或两种不同结果．化简：，会有几种不同的结果（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共15分） 9. 若，则 ______． 10. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则这个三角形的周长是______． 11. 如图所示，数轴上点所表示的数为__________． 12. 一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是．求的平方根________． 13. 中，______． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 15. 已知的整数部分为a，小数部分为b． （1）求a和b的值； （2）计算的值； （3）若，求m的整数部分和小数部分． 16. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ，． ． ．请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）计算； （2）化简． 17. 如图，为了居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为100米，管道分叉口M与B之间的距离为60米，于点N，M到的距离（）为48米．假设所有管道的材质相同． （1）求B，N之间的距离； （2）珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 18. 根据《关于我省居民生活用电试行阶梯电价有关问题的通知》，考虑到广东省夏季天气较为炎热，空调用电量较大的情况，将电量分档划分为夏季标准和非夏季标准，每年的5－10月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准． 阶梯电价电量分档 档数 夏季标准 （5－10月） 非夏季标准 （1－4月、11－12月） 电价 第一档 0－260度 0－200度 0.66元/度 第二档 261－600度 201－400度 0.71元/度 第三档 601度及以上 401度及以上 0.96元/度 如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，根据以上提供信息解答下列问题： （1）当执行非夏季标准时，若时，写出实付金额元与月用电量度之间的函数关系式__________； （2）若小安家在4月和5月的实际用电量都是250度，则实付金额分别为多少元？ （3）若小初家11月的实付金额为元，计算小初家11月的实际用电量． 19. 综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图1中的面积是________； （2）若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． （3）已知，均为正实数，且，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、的长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．请在图3中，求出的长，并说明理由．所以的最小值是________． （4）拓展应用：求代数式：（）的最小值． 20. 在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作“倍长中线法”． 【方法指导】（1）如图1，在中，，点为中点，若，，求的长．为解决此问题，小张使用“倍长中线法”：如图2，延长至点，使得，连接，容易得到，可通过勾股定理求出线段的值，则______． 【问题解决】（2）如图3，在中，，点为斜边中点，点在线段上，连接，过点作交线段于点，连接，求证：． 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，，点为斜边中点，点在的延长线上，连接，过点作交射线于点，当时，求此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝安中学（集团）初中部八年级上数学第1周周末练习 一、选择题（分） 1. 在，，π，0， ，（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）这些数中，无理数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了无理数，算术平方根，首先计算算术平方根，然后根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数． 【详解】， 无理数有π，（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）， ∴无理数有2个． 故选：B． 2. 若一个正方形的面积是18，则它的边长为（　　） A. B. C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，根据正方形面积公式，面积等于边长的平方，因此边长等于面积的算术平方根，计算并化简即可． 【详解】解：设边长为a， ∴，而， ∴， 故选：A． 3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A. 5， 12， 13 B. 7， 14， 16 C. 6， 8， 12 D. 9， 15， 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，只需计算两小边的平方和是否等于最大边的平方即可判断．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形．依次验证各选项即可． 【详解】解：A：∵，， ∴，能构成直角三角形． B：∵，， ∴，不能构成直角三角形． C：∵，， ∴，不能构成直角三角形． D：∵，， ∴，不能构成直角三角形． ∴能构成直角三角形的只有A． 故选：A． 4. 如图是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用表示，“相”的位置用表示，那么“卒”的位置可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图，根据已知坐标建立平面直角坐标系， 则“卒”的位置可表示为． 5. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、因为与的被开方数不同，不能合并，故本选项的计算错误； B、因为与的被开方数不同，不能合并，故本选项的计算错误； C、，故本选项的计算错误； D、，故本选项的计算正确． 故选：D． 6. 一根长度为的吸管放入底面直径为，高为的圆柱形水杯中，露在外面的最短长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．为了使露在外面的长度最短，需使吸管在杯内的部分尽可能长．根据勾股定理求得杯子内吸管的最大长度，进而求得露在外面的最短长度． 【详解】∵圆柱形水杯底面直径，高， ∴杯子内吸管的最大长度为 ∴露在外面的最短长度为 故选：D． 7. 算术平方根有如下运算：，（），故化简：可得或两种不同结果．化简：，会有几种不同的结果（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先由二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再利用算术平方根的性质将原式转化为含绝对值的式子，通过零点分段讨论得到不同的化简结果． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得，即 原式 ， ， ， 原式 当时，，， 原式 当时，，， 原式 当时，，， 原式 ∴会有3种不同的结果． 8. 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处， ∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴CE= DE， ∠C=∠CDE， ∵∠BAC = 90°， ∴∠B+ ∠C= 90°， ∴∠ADB + ∠CDE = 90°， ∴∠ADE = 90°， ∴AD2 + DE2 = AE2， 设AE=x，则CE=DE=3-x， ∴22+(3-x)2 =x2， 解得 即AE= 故选A 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 二、填空题（共15分） 9. 若，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是非负数的性质，根据非负数的性质，算术平方根和绝对值都非负，它们的和为零时，每个表达式必须为零，进一步求解即可． 【详解】解：∵，且，， ∴且， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 10. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则这个三角形的周长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直角三角形三边的特征，斜边比直角边长可知，分两种情况讨论，利用勾股定理求出第三边后再求周长即可得到答案． 【详解】解：一个直角三角形的两边长分别为3和4， 分两种情况：①3和4均为直角边；②3为直角边和4为斜边， 当3和4均为直角边时，利用勾股定理可得第三边为，则这个三角形的周长是； 当3为直角边和4为斜边时，利用勾股定理可得第三边为，则这个三角形的周长是； 综上所述，这个三角形的周长是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，根据题中所给条件分类讨论是解决问题的关键． 11. 如图所示，数轴上点所表示的数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，先根据勾股定理求出圆弧半径，结合图形即可得到答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，圆弧半径为， ∴数轴上点所表示的数是， 故答案为：． 12. 一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是．求的平方根________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平方根的性质和立方根的定义求出、的值，再代入求的值，最后求其平方根即可． 【详解】解：由题可知：，， 解得，， ， 的平方根是． 13. 中，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，过作，交延长线于点，可证，得到，，设，则，利用勾股定理求出，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ； 【小问6详解】 解： ． 15. 已知的整数部分为a，小数部分为b． （1）求a和b的值； （2）计算的值； （3）若，求m的整数部分和小数部分． 【答案】（1）， （2） （3）整数部分为4，小数部分为 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，代数式求值，实数的混合运算． （1）根据，可知，即可求出答案； （2）将（1）中数值代入，再计算即可． （3）根据，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴m的整数部分为， ∴m的小数部分为． 16. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ，． ． ．请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）计算； （2）化简． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据小明的做题思路运用平方差公式将式子进行分母有理化即可； (2)根据小明的做题思路运用平方差公式将式子中每个部分进行分母有理化，再化简计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，为了居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为100米，管道分叉口M与B之间的距离为60米，于点N，M到的距离（）为48米．假设所有管道的材质相同． （1）求B，N之间的距离； （2）珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】（1）B，N之间的距离为36米 （2）珍珍的观点正确 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）先求出线段的长，进而求出线段的长，则可证明，得到，即，再由垂线段最短即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得（米）， 答：B，N之间的距离为36米； 【小问2详解】 解：∵米，米， ∴米， 在中，由勾股定理得米， ∴， ∴， ∴，即， ∴由垂线段最短可知，是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 18. 根据《关于我省居民生活用电试行阶梯电价有关问题的通知》，考虑到广东省夏季天气较为炎热，空调用电量较大的情况，将电量分档划分为夏季标准和非夏季标准，每年的5－10月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准． 阶梯电价电量分档 档数 夏季标准 （5－10月） 非夏季标准 （1－4月、11－12月） 电价 第一档 0－260度 0－200度 0.66元/度 第二档 261－600度 201－400度 0.71元/度 第三档 601度及以上 401度及以上 0.96元/度 如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，根据以上提供信息解答下列问题： （1）当执行非夏季标准时，若时，写出实付金额元与月用电量度之间的函数关系式__________； （2）若小安家在4月和5月的实际用电量都是250度，则实付金额分别为多少元？ （3）若小初家11月的实付金额为元，计算小初家11月的实际用电量． 【答案】（1） （2）小安家在4月的实付金额为167.5元，在5月的实付金额为165元 （3）小初家11月的实际用电量为220度 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是要根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系． （1）当时，成一次函数关系，实付金额等于度内的用电付出金额与超出度的用电付出金额的和，然后即可得到y与x的函数关系式； （2）根据用电度数判断出适合的函数关系式，然后把用电度数代入关系式进行计算即可得解； （3）先计算出元的用电量超出度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解． 【小问1详解】 解：当执行非夏季标准时，即当时，有 ， 故答案为：； 【小问2详解】 月执行非夏季标准，且， 250度用电量在第二档， 当时，则元， 月执行夏季标准，且， 250度用电量在第一档， 当时，元， 答：小安家在4月的实付金额为元，在5月的实付金额为元； 【小问3详解】 ∵11月执行非夏季标准， ∴200度电费，400度电费， ∴， ∴小初家11月用电量属于第二档，令，则， 解得， 答：小初家11月的实际用电量为220度． 19. 综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图1中的面积是________； （2）若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． （3）已知，均为正实数，且，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、的长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．请在图3中，求出的长，并说明理由．所以的最小值是________． （4）拓展应用：求代数式：（）的最小值． 【答案】（1） （2）如图，即为所求， ； 3 （3）的长为5，理由如下： 如图，过点C作交的延长线于点， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， 在中，， 则的长为5； 5 （4）5 【解析】 【分析】（1）根据构图法，用正方形的面积减去周围三角形的面积，即可求解； （2）利用构图法及勾股定理，画出，再计算出面积即可； （3）过点C作交的延长线于点，利用勾股定理即可求出的长；从而求出的最小值； （4）根据（3）的思路，构造图形，将代数式的最小值转化为求线段的长，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， ， 则的面积是； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， ， 则的面积是； 【小问3详解】 解：， 当、、共线时，取得最小值，即的长为5， 的最小值是5； 【小问4详解】 解：如图，，，，，，，则、的长分别表示为，， 则（）的最小值即为的最小值，即的长， 如图，过点C作交的延长线于点， 同（3）可得，，， 在中，， 则（）的最小值为5． 20. 在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作“倍长中线法”． 【方法指导】（1）如图1，在中，，点为中点，若，，求的长．为解决此问题，小张使用“倍长中线法”：如图2，延长至点，使得，连接，容易得到，可通过勾股定理求出线段的值，则______． 【问题解决】（2）如图3，在中，，点为斜边中点，点在线段上，连接，过点作交线段于点，连接，求证：． 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，，点为斜边中点，点在的延长线上，连接，过点作交射线于点，当时，求此时的长． 【答案】（1）； （2）证明：如图，延长至点，使得，连接，， ， ∵点为斜边中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴线段垂直平分， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）延长至点，使得，连接，证明，得出，再由勾股定理求出的长即可得解； （2）延长至点，使得，连接，，证明，得出，，从而可得，由平行线的性质可得，由勾股定理求出，证明线段垂直平分，得出，即可得证； （3）分两种情况：当点在线段上时，延长至点使得，连接、、；当点在射线上时；分别利用全等三角形的判定与性质并结合勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：如图2，延长至点，使得，连接， ， ∵点为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）如图：当点在线段上时，延长至点使得，连接、、， ， ∵点为斜边中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴线段垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得：； 如图，当点在射线上时，延长至点使得，连接、、， ， 同理可得：，，， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理线段垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $