3.2 探索三角形相似的条件 分层分类训练 2026-2027学年北师大数学九年级上册

**基本信息** 以三角形相似判定定理为核心，按“基础判定-条件添加-综合应用-黄金分割”逻辑分层设计，覆盖选择、填空、解答等题型，注重推理意识与几何直观培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点1-3|13题（选择为主）|判定定理直接应用|从单一条件（两角/两边夹角/三边）逐步构建判定体系| |考点4|6题（选择+填空）|条件开放性问题|强化判定定理的逆向推理与条件补全能力| |考点5|3题（解答+作图）|综合证明与作图|整合多判定方法，培养逻辑推理与几何直观| |考点6|4题（选择+填空）|黄金分割应用|从相似特殊案例拓展，体现数学审美价值|

3.2 探索三角形相似的条件 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点1 利用两角对应相等判定相似 考点2 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 考点3 利用三边对应成比例判定相似 考点4 添加条件使两个三角形相似 考点5 相似三角形的判定综合题 考点6 黄金分割 基 础 达 标 练 考点1 利用两角对应相等判定相似 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·上海宝山·二模）如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 5．（2026·广东中山·一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 考点2 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级·浙江·暑假作业）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 考点3 利用三边对应成比例判定相似 9．（25-26八年级下·山东·课后作业）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图所示的6个三角形中，相似三角形是（    ）． A．①与③ B．④与⑥ C．②与⑤ D．②与⑥ 12．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在三角形纸片中，．剪下的涂色部分的三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中所画的三角形与所给三角形相似的是（   ）． A． B． C． D． 考点4 添加条件使两个三角形相似 14．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 15．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 17．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 18．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 19.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 20.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，中，点E，F分别是上的点，连接，请你添加一个条件_______，使得． 考点5 相似三角形的判定综合题 21.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 22.（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）在中，利用尺规作图在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 23.（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 考点6 黄金分割 24.（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 25.（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 26．（2025·江苏泰州·模拟预测）地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 27．（25-26八年级下·山东泰安·期末）2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 能 力 提 升 练 28.（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 29．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 30.（2026·山东济宁·一模）综合与实践 实验操作 (1)如图1，点O为中点，点B在上方，连接，． 尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明四边形为平行四边形； 拓展应用 (2)如图2，延长至点F，使得，当点B在直线的上方运动，直线的上方有异于点B的动点E，连接，，，．若，求证：． 31.（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知． (1)写出图中相似的三角形______（用“”连接），并证明你的结论． (2)若点为线段的中点，请再写出一对和（1）问中不一样的相似三角形：______（用“”连接），并证明你的结论． 真 题 提 前 练 32．（2024·青海·中考真题）如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 33．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 探索三角形相似的条件 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点1 利用两角对应相等判定相似 考点2 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 考点3 利用三边对应成比例判定相似 考点4 添加条件使两个三角形相似 考点5 相似三角形的判定综合题 考点6 黄金分割 基 础 达 标 练 考点1 利用两角对应相等判定相似 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知条件，两边同时加上，可推出，也就是两个三角形已经有一组对应角相等了，再根据相似三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； B．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； C．∵的两组对应边，不是和的夹边，∴不能判定两个三角形相似； D．∵，且夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，∴． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 4．（2026·上海宝山·二模）如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 5．（2026·广东中山·一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：A、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； B、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； C、，能判断与相似； D、，不是对应角相等，不能判断与相似． 考点2 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合相似三角形的判定定理分析各选项即可． 【详解】解：如图， A、，， ， 不能判定和相似，不符合题意； B、，和不是对应边，不能判定和相似，不符合题意； C、，和不是对应角，不能判定和相似，不符合题意； D、，， ， 又， ，符合题意． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用SAS判定三角形相似，两三角形需满足两组对应边的比值相等，并且这两组边的夹角相等，依据此标准逐个判断即可． 【详解】题干给出的三角形两边比为，夹角为， 选项A，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，A不符合题意； 选项B，三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为，故与原三角形不相似，B不符合题意； 选项C，三角形两边比为，夹角为，符合SAS相似判定定理，故与原三角形相似，C符合题意； 选项D，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，D不符合题意． 8．（26-27九年级·浙江·暑假作业）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 考点3 利用三边对应成比例判定相似 9．（25-26八年级下·山东·课后作业）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【详解】解：借助网格，可知，，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边与不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边与成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边与不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边与不成比例，故不符合题意； 故选：B． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定．通过构造辅助线，利用等腰直角三角形的性质求出一个角的度数，再通过计算三角形三边的长度，根据三边对应成比例证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应角相等的性质求出目标角的度数． 【详解】 解： 取格点P，连接、，则． ∴． 设正方形网格中的每个小正方形的边长都是m，则． 由勾股定理得：，，． ∴，，． ∴． ∴． ∴． 故选B 11．（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图所示的6个三角形中，相似三角形是（    ）． A．①与③ B．④与⑥ C．②与⑤ D．②与⑥ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 计算出每个三角形的三边比，根据三边对应成比例判定相似． 【详解】解：三角形①的三边比为，三角形②的三边比为，三角形③的三边比为，三角形④的三边比为，三角形⑤的三边比为，三角形⑥的三边比为， ∵， ∴三角形④与三角形⑥相似． 故选：B． 12．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在三角形纸片中，．剪下的涂色部分的三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题需依据相似三角形的判定定理，对每个选项中涂色三角形与的边、角关系逐一分析，判断是否满足相似条件． 【详解】选项A中， 则． 涂色三角形与： ，； ，． 边的比例：，， 即． 又是与的公共角， 可得， 即选项A中涂色三角形与相似． 选项B中，，则． 涂色三角形为，对比的边： ，， 但与并非对应夹角，不满足相似判定条件， 故选项B不相似． 选项C中，， 则． 涂色三角形为，对比的边： ，， 边的比例不相等，且无对应相等的角， 故选项C不相似． 选项D中，， 则． 涂色三角形为，对比的边： ，， 边的比例不相等，且无对应相等的角， 故选项D不相似． 故选A 【点睛】本题核心是运用相似三角形的判定定理（重点为“两边对应成比例且夹角相等”），通过分析各选项中涂色三角形与的边比例、角的关系，确定相似性．解题关键在于准确识别对应边、对应角，并验证比例与角度条件． 13．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中所画的三角形与所给三角形相似的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与勾股定理，掌握好利用三边长判定相似是解题关键． 利用勾股定理算出各个三角形的三条边的长度，三边成比例的三角形就是所求的相似三角形． 【详解】解：由勾股定理可得，题干中的三角形的三边为，，4，其三边比为，化简得， 对于选项A，其三边比为，与题干不成比例，故不相似； 对于选项B，其三边比为，与题干不成比例，故不相似； 对于选项C，其三边比为，化简得，，与题干成比例，故相似； 对于选项D，其三边比为，与题干不成比例，故不相似． 故选：C． 考点4 添加条件使两个三角形相似 14．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 【详解】解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． 15．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． 16．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件，没有夹角的条件，无法证明， 故选项符合题意． 17．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 18．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 19.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似的判定方法解答即可． 【详解】解：在和中，已知， 有以下三种情况： ①当时，； ②当时，； ③当时，． 20.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，中，点E，F分别是上的点，连接，请你添加一个条件_______，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由条件可知和有公共角，根据三角形相似的判定方法可再添加一组角对应相等，即可使得． 【详解】解：在和中，， 添加一组对应角相等可得，添加条件为：或； 添加和的两边对应成比例，可得，添加条件为； 因此添加的条件可以是：或或． 考点5 相似三角形的判定综合题 21.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， 在和中， ，， ， 【分析】先由勾股定理求出，再证明，最后由斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似证得． 【详解】略 22.（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）在中，利用尺规作图在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 点即为所求， ， 【分析】本题考查了作图—作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，作出，再结合，即可得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，交边于点，以点为圆心，线段的长为半径画弧交弧于点，连接并延长交于点，点即为所求， ， 由作图可得，， ∵， ∴． 23.（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 【答案】 图中相似三角形有∽∽∽ 证明∽的过程为： ∵和都为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴∽． 同理可得； 证明的过程为： ∵， ， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质，关键是找到合适的判定方法； 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得∽∽∽． 【详解】略 考点6 黄金分割 24.（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 25.（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．（2025·江苏泰州·模拟预测）地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 【答案】 【分析】根据黄金分割率，用，可得结论． 【详解】解：由题意得，，， 黄金地带纬度的范围是：． 27．（25-26八年级下·山东泰安·期末）2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 【答案】 【分析】根据黄金矩形的定义，宽与长的比为黄金比，将已知的长代入比例式，化简计算即可求解． 【详解】解：设海报的宽为，已知长为，由黄金矩形的定义可得 ， 解得， 即宽为． 能 力 提 升 练 28.（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论①，②，先证明，再通过对应线段成比例，求出，综合两种情况，得到的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①，如下图 ， ， ； ②，如下图，即， ，， ， ， ， 综上所述，的值为或． 29．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）利用余角的性质得到，利用直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质可得，进而得到，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质可得，设，表示出即可解决问题． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 30.（2026·山东济宁·一模）综合与实践 实验操作 (1)如图1，点O为中点，点B在上方，连接，． 尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明四边形为平行四边形； 拓展应用 (2)如图2，延长至点F，使得，当点B在直线的上方运动，直线的上方有异于点B的动点E，连接，，，．若，求证：． 【答案】(1) 解：如图，点D即为所求， (2)证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 【分析】（1）连接并延长，在的延长线上截取，即可得点B关于点O的对称点D，连接，，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）根据得出，，根据已知，可得． 【详解】（1）解：如图，连接并延长，以点为圆心以为半径画弧，交的延长线与点， ∵点O为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形． （2）略 【点睛】本题考查尺规作图，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定． 31.（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知． (1)写出图中相似的三角形______（用“”连接），并证明你的结论． (2)若点为线段的中点，请再写出一对和（1）问中不一样的相似三角形：______（用“”连接），并证明你的结论． 【答案】(1) 解：， 证明：∵， 又， ∴， ∴， (2) 或者（答案不唯一）， 解：，证明如下， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴， 即 又∵， ∴, 同理可得，即 又∵ ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定； （1）根据三角形的外角的性质结合已知得出，进而根据两角相等的两个三角形相似，即可得证； （2）根据为线段的中点，得出，根据得出则，根据两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 真 题 提 前 练 32．（2024·青海·中考真题）如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 【答案】．（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 33．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 【答案】(1) (2) 如图所示，点为所求． (3)当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点， 理由如下： 第一种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， ，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第二种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． 综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点． 【分析】（1）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解； （2）①作线段的垂直平分线，交于点；②过点作，且；③连接；④以点为圆心，为半径，画弧，交于点；⑤以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点． 设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点； （3）当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得，设点，则，根据点、在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得、、、、、的值，即可求证．设直线的函数解析式为，利用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立方程组，求得点的坐标，即可求证；②当，同理可证点，，分别为，，的中外比点；③当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意，得：，即， 整理，得：，解得：，， ， 舍去， ． （2）解：如图所示，点为所求． 设， 根据题意，得：，， ， ，， ，， ， 点为线段的中外比点． （3）略 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $3.2探索三角形相似的条件 学校： 姓名： 班级： 考号： 考点1利用两角对应相等判定相似 考点2利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 考点3利用三边对应成比例判定相似 考点4添加条件使两个三角形相似 考点5相似三角形的判定综合题 考点6黄金分割 基础达标练 考点1利用两角对应相等判定相似 1.(26-27九年级上·全国·单元复习)已知，如图∠DAB=∠CAE,下列条件中不能判断△DAE∽△BAC的 是() A.∠D=∠B B.∠E=∠C C.AD DE D. AD AF AB BC AB AC 2.(25-26八年级下·吉林长春期末)下列条件中，不能判定△ABC△A'B'C'的是() A.∠A=∠A',∠B=∠B B.AB=BC AC c0-%,且B=B D.4BAc A'BAa，且∠C=∠C 3.(25-26八年级下·江苏淮安·期末)如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4,BC=6.将△ABC沿图示中的虚 线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是() 试卷第1页（共10页） B B 78° 4.(2026上海宝山·二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边的中点，沿着过点D的某条直线 将△ABC剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有()种不同的剪法. ×D A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 5.(2026广东中山一模)如图，己知△ABC与△DEF,下列条件一定能推得它们相似的是() A.∠A=<D,AB=BC DE EF B.<C=∠B,AB=AC DEDE C.∠A=∠D,∠B=∠E D.∠A=∠B,∠D=∠E 考点2利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 6.(26-27九年级上·全国·课后作业)在△ABC和△DEF中，AB=AC,DE=DF,根据下列条件，一定能 判断△ABC和△DEF相似的是() A品 B.AB_AC C.∠B=∠D DE EF D.∠A=∠D 7.(26-27九年级上·全国·课后作业)下列与图中的三角形相似的是() 试卷第2页（共10页） 309 1.5 1.5 409 4.2 B.2 C D. 130° 2 8.(26-27九年级·浙江·暑假作业)若△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC△DEF的是() A.AB=3.BC=8,AC=9,DE=2,FE=,DR=6 B.4B-3 BC-8 Ac-9.DE-1 PE-2,DF-6 C.AB=1,BC=√2，AC=1.5,DE=2,FE=22,DF=4 D.AB=1,BC=3,AC=2,DE=3B,FE=2,DF=6 考点3利用三边对应成比例判定相似 9.（25-26八年级下山东·课后作业)如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个 图中的三角形阴影部分与△EFG相似的是() A. B. D. 10.(24-25九年级上·安徽合肥期末)如图，在正方形网格中：△ABC,△EDF的顶点都在正方形网格的格 点上，则∠BAC的度数为() E B A A.95° B.135° C.140 D.145° 11.(25-26九年级上·河南郑州期末)如图所示的6个三角形中，相似三角形是（). 试卷第3页（共10页） ① ③ ④ ⑥ A.①与③ B.④与⑥ c.②与⑤ D.②与⑥ 12.(25-26九年级上·广东深圳·阶段检测)在三角形纸片ABC中，AB=6,AC=4,BC=8.剪下的涂色部分 的三角形与△ABC相似的是() B D D 2C D 13.(25-26九年级上·陕西榆林阶段检测)如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中所画的三角形与所 给三角形相似的是（). D 考点4添加条件使两个三角形相似 14.(24-25九年级上·吉林长春·开学考试)如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定△ABC△ACD的 是(). 试卷第4页（共10页） A.∠B=∠ACD B.∠ADC=∠ACB C.AC2=AD·AB D.co e 15.(25-26八年级下山东泰安·期末)如图，在△ABC与△ADE中，∠B=∠D,添加下列一个条件不能使 △ABCP△ADE的是() A.∠BAD=∠CAE B品 C.∠C=∠E 始 16.(25-26八年级下·吉林长春期末)如图，在口ABCD中，E为边BC上一点，下列给出的条件不能判定 △ABE∽△DEA的是(). A.∠B=∠AED B.∠BAE=∠DEC C.BE、AB AE AD D胎胎 17.(25-26八年级下·山东淄博期末)如图，D是△ABC的边BC上一点，连接AD,下列条件中，能使 △ABCP△DBA的是（) A.AC:BC=AD:BD B.AB2=CD.BC C.AB2=BD.BC D.AC BC=AB:AD 18.(2026河北张家口·二模)如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上（都不与顶点 重合)，EF∥BC.添加下列一个条件，仍无法判定△AEF与△BDE相似，则这个条件是() 试卷第5页（共10页） D A.DE‖AC B.1+∠2=180° C.∠3=∠C D.AEAF BE DE 19.(26-27九年级上·全国·单元复习)如图，在△ABD中，点C在AD边上，只添加一个 条件，使得 △ABC∽△ADB. B D 20.(26-27九年级上·全国单元复习)如图，△ABC中，点E,F分别是AB,AC上的点，连接EF,请你添 加一个条件 ,使得△AEF∽AACB. 考点5相似三角形的判定综合题 21.(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC上一点，已知CD=1,AD=√5， AB=2W5.求证：Rt△ADC∽Rt△BAC. 试卷第6页（共10页） 22.(25-26九年级上·陕西西安·阶段检测)在△ABC中，利用尺规作图在AC边上求作一点D,使得 △ABC∽△BDC.(不写作法，保留作图痕迹) 23.（25-26九年级上·陕西西安·期中)如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角△ABC和△AFG摆成如 图所示的样子，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中 一对进行证明. 考点6黄金分割 24.(25-26八年级下辽宁大连期末)宽与长的比是5-1的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉 2 上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形ABCD截掉正方形AEFB后，剩余的矩形CDEF 仍是黄金矩形，AD是30.86m,求CD的长度，设CD的长度是m,根据题意，下列的方程中正确的是() E F ①0=5-1②30.86-xV5-1 30.862 2 ③0-3086-，@3086V5+1 30.86 2 A.① B.①③ C.①②④ D.①②③④ 试卷第7页（共10页） 25.(25-26八年级下山东烟台·期末)大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美 感的黄金比.如图，点B为AC的黄金分割点(AB>BC),若AC=50,则BC长为() A.75-25√5 B.50√5-50 C.25V5-25 D.25V5+25 26.(2025·江苏泰州模拟预测)地球表面的纬度范围是0~90°，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部 分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么 黄金地带纬度的范围是： °（黄金比为0.618） 金字店巴比伦王围 三星推 玛雅文化 27.(25-26八年级下·山东泰安期末)2026年国际数学日的主题为“数学与希望”.某校学生运用所学AI技 术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比V5-1)海报.若该海报的长为4W5m,则它的 宽为 cm 能力提升练 28.(2026江苏南京·模拟预测)如图，在△ABC中，AB=6cm,AC=8cn,AD=2cm,点E在AC上.若 △ADE与△ABC相似，则AE=」 cm. D 试卷第8页（共10页） 29.(25-26八年级下·上海阶段检测)已知，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB,E是BC的中点，DE交AC 的延长线于点F.若2AD=3CD. (I)求证：△FCD∽△FDA: ②味写的位， 30.(2026山东济宁.一模)综合与实践 实验操作 (1)如图1，点O为AC中点，点B在AC上方，连接AB,BC. 尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，作点B关于点O的对称点D(保留作图痕迹，不写作法)，连接AD, DC,并证明四边形ABCD为平行四边形： B 0 图1 拓展应用 (2)如图2，延长AC至点F,使得CF=AC,当点B在直线AC的上方运动，直线AC的上方有异于点B的 动点E,连接EA,EB,EC,EF,若△ABC∽△FCE,求证：△ABC∽△CBE. B C 图2 试卷第9页（共10页） 31.(25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测)如图，已知∠A=∠BCD=∠E=. (1)写出图中相似的三角形（用“∽”连接），并证明你的结论 (2)若点C为线段AE的中点，请再写出一对和(1)问中不一样的相似三角形： （用“∽”连接)，并证 明你的结论。 真题提前练 32.(2024青海·中考真题)如图，线段AC、BD交于点O,请你添加一个条件： ,使△AOB∽ACOD. 33.(2025广东·中考真题)定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时， 则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点. (I)如图，点P是线段MN的中外比点，MP>PN,MN=2,求PN的长. M P (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比.（保留作图痕迹，不写作法） A B (③)如图，动点B在第一象限内，反比例函数y=k>0,x>0)的图象分别与矩形O4BC的边AB,BC相交 于点D,E,与对角线OB相交于点F.当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D,E,F是否分别为AB, BC,OB的中外比点，并证明. VA D 试卷第10页（共10页)