专项巩固训练卷(六) 相似三角形的常考模型-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（北师大版·新教材）

全程时习测试卷·九年级数学·北师版·上册 由①得AD=√5AE,AD=√3BD,AE=BD, 80松-5m=5cE, .AD=3×5CE=3CE, …0=323-2=3 23.（1)证明：.DE⊥AB,E为AB的中点， .DE所在直线为线段AB的垂直平分线，∠AED=90°， ∴.AD=BD,∴.∠DAE=∠B. 又.：∠C=∠AED=90°，∴.△ADE∽△BAC (2)解：①在Rt△ABC中，AC=6,BC=8, .AB=√AC2+BC2=√62+82=10. AF=2,∴.BF=10-2=8. BE=EF,∴.BE=EF=4. .'∠B=∠B,∠BED=∠C=90°， △B0E△B4C8-思， 即爱冬解得0=3 在Rt△BED中，BD=√EB+ED=√4+3=5， ∴.CD=BC-BD=3,.ED=CD .:∠C=90°，DE⊥AB,.AD平分∠CAB, .∠CAD=∠BAD. ②BE=EF,DE⊥AB,.BD=FD. :△AFD为等腰三角形，∴.AF=DF. 由①可知△BDE△BAC,AB=10, …能照品-号 设BD=5x,则AF=DF=5x,BE=FE=4x. AF FE +BE=AB, 5x+4x+4x=10,解得x=13, 10 0=5s8 专项巩固训练卷（六）》 相似三角形的常考模型 1.C 2解：△MB△DC4岩-铝5D0. 6 6 解得BD=4(负值已舍去)， 胎-器号-4c=号拟 AC"=AB(AB +BC), Q C (340°=AB(aB+5), 2题答图 ∴.AB=4或0（不符合题意，舍去），∴.AB=BD=4. 如答图，过点B作BH⊥AD于点H, .AN-AD-3. AD=3AP,AD=6,∴.AP=2 当PQ⊥AB时，PQ的值最小. ∠AQP=∠AHB=90°，∠PAQ=∠BAH, ·14· AP PQ 、.△APQ∽△ABH,.AB-BH 2=%P0= √万 4 万 万 即PQ的最小值为 3.证明：AB2=BE·BD,∴AB:BE=BD:AB. .∠ABE=∠DBA,∴.△ABE∽△DBA,.∠BAC=∠BDA ,DB平分∠ADC,∴.∠ADB=∠BDC=∠BAC. 又.'∠AEB=∠DEC,∴.△ABE∽△DCE. 4.解：(1)四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,CD∥AB,AD=BC, .∠A+∠ABC=180°，LCBE=∠E. ∠A=62°，∠ABC=118 :BE平分LABC,.LCBE=3∠ABC=59, ∴.∠E=∠CBE=59°. (2)D为AE的中点，.DE=AD. BC=AD,.'.DE =BC. .·AD∥BC,.∠E=∠CBF,∠EDF=∠C, .∴.△DEF≌△CBF, ∴.△EAB的面积=四边形ABCD的面积. .·DF∥AB,∴.△EDF∽△EAB, w=(D=1=1 ,S△Bc=1 =(AE)=（2）=4,心S4 5.解：(1)四边形BEDF为平行四边形.理由如下： .四边形ABCD为平行四边形，.∠ABC=∠ADC. ·∠ABE=∠CDF,∴.∠EBF=∠EDF. .四边形ABCD为平行四边形，.AD∥BC, ∴、∠EDF=∠DFC=∠EBF,∴BE∥DF .·AD∥BC,.四边形BEDF为平行四边形 （2)设4G-2a,88-号00=3a,40=5a ·四边形ABCD为平行四边形， .A0=C0=5a,.AC=10a,CG=8a. AD/Bc△4GE△cGB2器-2瓷- .AE=4,∴.BC=16. 6.（1)证明：.CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE, .∠A=∠CBE=LD=90°， .∠C+∠CBA=90°，∠CBA+∠DBE=90°， .∠C=∠DBE,∴.△ABC∽△DEB. (2)解：：△ABC∽△DEB, 胎-能品-受n=3 7.(1)证明：AB⊥BC,DC⊥BC, ∴.∠B=∠C=90°，.∠BAE+∠AEB=90°. .AE⊥DE,∴.∠AED=90°， .∴.∠AEB+∠DEC=90°，∴.∠DEC=∠BAE. .∴.△ABE∽△ECD. （2)解：Rt△ABE中，.AB=4,AE=5,∴.BE=3. :BC=5,.EC=5-3=2. 由(1)得△ABE∽△ECD, 器器音-品0 3 (3)解：线段AD,AB,CD之间的数量关系为AD=AB+CD 理由：如答图，过点E作EF⊥AD于点F. .·△AED∽△ECD,∴.∠ADE=∠EDC. ,DC⊥BC,∴.EF=EC .'DE=DE,∴.Rt△DFE≌Rt△DCE, .DF =DC. 由(1)得△ABE∽△ECD. 7题答图 又.△AED∽△ECD,∴.△ABE∽△AED, 同理可得△ABE≌△AFE,.AF=AB, ∴.AD=AF+DF=AB+CD 8.(1)证明：.·CD⊥AB,.∠ADC=90 .∠ACB=90°，∴.∠ADC=∠ACB. ∠A=∠A,.△ACD△ABC. (2)解：∠ACB=90°，AC=3,BC=4, .AB=√AC2+BC=5. Sae=74CBC=24BCD, AC·BC=AB·CDCD=AC.BC=12 AB 5 :D1AB,m=Bc-⑦=√4-（皆-9 9.证明AB·AE=AD·AC,ADA正 、ABAC .·∠EAC=∠DAB, ∴.∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE,即∠BAC=∠DAE, ∴.△ABC∽△ADE. 10.（1)证明：如题图①， D为边AB的中点，E为边BC的中点， .BD=BE BD_BA BA=BC·BE=BC 如题图②，根据旋转的性质，可知品-2依然成立，且 ∠DBE=∠ABC, ∴.∠DBA=∠EBC,∴.△BDA∽△BEC (2)解：∠AGC的大小不发生变化. 由(1)易得△BDA△BEC,∴.∠DAB=∠ECB. :∠DAB+∠AOG+∠AGC=180°， ∠ECB+∠COB+∠ABC=180°，∠AOG=∠COB, ∴.∠AGC=∠ABC=30° 11.解：(1)CM=√2BP (2)CM与BP的数量关系不变.理由如下： 当n=2时，AB=2BC,由勾股定理可得AC=√BC+AB2 -V3+8-, .AC-5 ·AB21 由题意知∠ABC=∠APM=90°，∠MAP=∠CAB, ·△APM∽△ABC,-AM=AC' 、APAB 参考答案及解析 由旋转，得∠PAB=∠MAC, A4Ba4C0-8-9CM=即 (3)AB=4,AP=2, .BC=2,PM=1,由勾股定理可得AC=25,AM=√5. :△APM绕点A顺时针旋转至B,P,M三点共线， .∠APM=90°，PM=1,∠APB=180°-90°=90°， .BP=√AB2-AP=√42-2=25. 当△APM旋转至直线AB上方时，如答图①， 则BM=BP+PM=2√3+1； 当△APM旋转至直线AB下方时，如答图②， 则BM=BP-PM=23-1. 综上所述，线段BM的长为2√5+1或2√3-1. C M 11题答图① 11题答图② 专项巩固训练卷（七） 与相似有关的动态变换问题 1.（1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=∠C=90° 根据折叠性质知LA=∠DFE=90°， ∴.∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠DFC=90°， ∴∠BEF=∠DFC,.△EFB△FDC. (2)解：由折叠性质知AD=DF=10,AE=EF CD=6,.CF=√DF2-CD=√102-6=8. .·四边形ABCD是矩形，.AD=BC=10,AB=CD=6, ∴.BF=BC-CF=10-8=2. 设BE=x,则EF=AE=AB-BE=6-x. EF2=BE2+BF2,.(6-x)2=x2+22, 解得=号E=号 8 2.（1)证明：由平移，得AB∥CD,AB=CD, .四边形ABCD是平行四边形， .∠B=∠ADC. (2)①獬：AB∥CD,.∠B=∠DCF=. ,·∠DFE是△DCF的一个外角， ∴.∠DFE=∠DCF+∠CDF. .·∠DFE=∠EDF, ∴.∠CDE=∠CDF+∠EDF=∠CDF+∠DFE=∠CDF+ ∠DCF+∠CDF=2∠CDF+∠DCF 点C与点C关于直线DG对称， ∠cG=LCDG=2LC0E=(2Lc0F+∠DcN) LCDFLDCF. A∠cDG-LCDF=2LDcP, ·15·专项巩固训练卷（六） 相似三角形的常考模型 D模型一“A”字型 1.(凉山州中考)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB, AC上若DE∥BC,0-号E=-6m则BC的长为 B （）1题图 A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm 2.(绵阳中考改编)如图，在△ACD中，AD=6,BC=5,AC2=AB(AB+ BC),且△DAB∽△DCA,若AD=3AP,Q是线段AB上的动点，求 PQ的最小值. 2题图 模型二“8”字型 3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,DB平分 ∠ADC,且AB2=BE·BD.求证：△ABE△DCE. 3题图 4.(湖北武汉期末)如图，已知平行四边形ABCD中，∠A=62°，BE平 分∠ABC交AD的延长线于点E. (1)求∠E的度数； (2)若D为AE的中点，BE交DC于点F,求Sc的值 S四边形ABCD D E 4题图 5.(鄂州中考)如图，在口ABCD中，E,F分别在边AD,BC上，且 ∠ABE=∠CDF. (1)探究四边形BEDF的形状，并说明理由； (2)连接AC,分别交BE,DF于点G,H,连接BD交AC于点O.若 能-号AB=4,求BC的长 5题图 九年级数学北师版 上册 第21页 见此图标目民即刻扫码 分层训练助力学习进阶 ·模型三一线三等角模型 6.(江苏扬州期末)如图，CA⊥AD,ED⊥AD,B是线段AD上的一点， 且CB⊥BE. (1)求证：△ABC∽△DEB; (2)已知AB=8,AC=6,DE=4,求线段BD的长 C 6题图 7.如图，AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点，使得AE⊥DE. (1)求证：△ABE∽△ECD; (2)若AB=4,AE=BC=5,求CD的长； (3)当△AED∽△ECD时，请写出线段AD,AB,CD之间的数量关 系，并说明理由. D 7题图 见此图标民即刻扫码 分层训练助力学习进阶「 ·模型四双垂直模型 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高. (1)求证：△ACD∽△ABC; (2)若AC=3,BC=4,求BD的长 D 8题图 ·模型五手拉手模型 9.如图，在△ADE和△ABC中，AB·AE=AD·AC,且∠EAC= ∠DAB.求证：△ABC∽△ADE. 9题图 10.如图①，在钝角三角形ABC中，∠ABC=30°，AB=4,D为边AB 的中点，E为边BC的中点.将△BDE绕点B按逆时针方向旋转 a°(0<a<180). (1)如图②，连接AD,CE.求证：△BDA∽△BEC; (2)如图③，CE与AB相交于点O,直线CE,AD交于点G.在旋转 过程中，∠AGC的大小是否发生变化？若变化，请说明理由； 若不变，请求出这个角的度数 10题图① 10题图② 10题图③ 九年级数学 北师版上册 第22页 11.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=nBC,P为AB上的一点（不与 端点重合)，过点P作PM⊥AB交AC于点M,得到△APM. 【问题发现】 (1)如图①，当n=1,P为AB的中点时，CM与BP的数量关系 为 【类比探究】 (2)如图②，当n=2时，△APM绕点A顺时针旋转，连接CM, BP,则在旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变 化？请说明理由； 【拓展延伸】 (3)在(2)的条件下，已知AB=4,AP=2,当△APM绕点A顺时 针旋转至B,P,M三点共线时，求出线段BM的长 11题图① 11题图② 11题备用图