专题02 全等三角形五大模型（计算题专项训练）数学人教版新教材八年级上册

**基本信息** 以五大模型为框架，系统整合全等三角形构造方法，通过模型特征→辅助线构造→全等证明的逻辑链条实现解题突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |倍长中线构全等|8题|延长中线至2倍长，构造SAS全等转移线段角|中点/中线→倍长构造→全等判定→线段关系推导| |截长补短构全等|8题|截长截取短线段/补短延长至等长，构造全等|线段和差→截补转化→全等证明→等量代换| |一线三等角模型|8题|利用共线等角证AAS/ASA全等，建立线段关系|等角共线→角关系转化→全等判定→线段和差计算| |手拉手模型|7题|共顶点等腰三角形旋转，证SAS全等得拉手线关系|共顶点等腰→旋转全等→对应边等/夹角等→综合应用| |遇角平分线构全等|9题|利用对称性构造等腰或全等，转移边角|角平分线→对称构造→全等/等腰→边角关系转化|

专题02 全等三角形五大模型（计算题专项训练） 【人教版新教材】 训练1 倍长中线构全等 【模型介绍】当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移. 【结论】如图①，已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE，连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE；或连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE. 图① 图② 【拓展】如图②，已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段DF到点E使DF=DE,连接EC，则∆BDF≌∆CDE. 方法指导 1．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F，若EF＝AF，BE＝8，CF＝5，则EF的长度为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【解答】解：如图，延长AD，使DG＝AD，连接BG， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 又∵DG＝AD，∠ADC＝∠BDG， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC＝BG＝CF+AF＝6+AF，∠DAC＝∠G， ∵EF＝AF， ∴∠DAC＝∠AEF， ∴∠G＝∠AEF＝∠BEG， ∴BE＝BG＝8， ∴5+AF＝BG＝8， ∴AF＝3＝EF 故选：D． 2．如图，五边形ABCDE中，AB＝BC＝3，AE＝ED＝4，∠ABC+∠AED＝180°，M为边CD的中点，BM＝5，EM＝6，则五边形ABCDE的面积为（　　） A．30 B．28 C．24 D．20 【解答】解：如图，延长BM到点F，使FM＝BM，连接BE，EF，DF， 在△BMC和△FDM中， ， ∴△BMC≌△FDM（SAS）， ∴BC＝DF＝AB，∠C＝∠CDF， ∵∠A+∠ABC+∠C+∠CDE+∠AED＝（5﹣2）×180°＝540°， ∵∠ABC+∠AED＝180°， ∴∠A+∠C+∠CDE＝360°， ∵∠CDE+∠CDF+∠EDF＝360°， ∴∠A＝∠EDF， 在△ABE和△DFE中， ， ∴ABE≌△DFE（SAS）， ∴BE＝EF， ∵BM＝MF， ∴EM⊥BF， ∴五边形ABCDE的面积＝S△ABE+S△BCM+S四BMDE ＝S△EDF+S△MDF+S四BMDE ＝S△BEF BF•EM ＝30． 故选：A． 3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC边上一点，EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于点G． （1）求证：△AGF是等腰三角形； （2）若点E是BC的中点，试猜想BF与CG的大小有什么关系？并证明你的猜想． 【解答】（1）证明：∵EF∥AD， ∴∠CAD＝∠G（两直线平行，同位角相等），∠BAD＝∠AFG（两直线平行，内错角相等）， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的性质）， ∴∠AFG＝∠G， ∴AF＝AG，即△AGF是等腰三角形； （2）解：猜想：BF＝CG． 证明如下：延长FE到点H，使EH＝EF，连接CH． ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， 在△BEF和△CEH中， ， ∵△BEF≌△CEH（SAS）， ∴BF＝CH（全等三角形对应边相等），∠BFE＝∠H（全等三角形对应角相等）， ∵∠BFE＝∠AFG，∠AFG＝∠G， ∴∠G＝∠H， ∴CH＝CG， ∴BF＝CG． 4．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD＝AE，AD⊥AE，M为BD的中点，直线AM交CE于N，求证：MN⊥CE． 【解答】证明：延长AM到点F，使得MF＝MA，连接BF， 又M为BD的中点，则MB＝MD， 在△BMF和△DMA中， ， ∴△BMF≌△DMA（SAS）， ∴BF＝AD＝AE，∠F＝∠DAM， ∴BF∥AD， ∴∠ABF+∠BAD＝180°， ∵AB⊥AC，AD⊥AE， ∴∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠EAC+∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝180°， ∴∠ABF＝∠EAC， 在△BAF和△ACE中， ， ∴△BAF≌△ACE（SAS）， ∴∠BAF＝∠ACE， ∴∠ANE＝∠NAC+∠ACE＝∠NAC+∠BAF＝∠BAC＝90°， ∴MN⊥CE． 5．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由． 【解答】解：AB＝AF+CF，理由如下： 如图1，分别延长DC、AE，交于G点， ∵AB∥DC， ∴∠B＝∠GCE，∠BAE＝∠EGC， ∵E为BC边的中点， ∴BE＝CE， 在△ABE和△GCE中， ， ∴△ABE≌△GCE（AAS）， ∴AB＝CG， 又∵AB∥DC， ∴∠BAE＝∠G 而∠BAE＝∠EAF， ∴∠G＝∠EAF， ∴AF＝GF， ∴AB＝CG＝GF+CF＝AF+CF． 6．如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA，求证：AE＝2AD． 【解答】证明：延长AD至M，使DM＝AD， ∵AD是△ABC的中线， ∴DB＝CD， 在△ABD和△MDC中， ∴△ABD≌△MCD（SAS）， ∴MC＝AB，∠B＝∠MCD， ∵AB＝CE， ∴CM＝CE， ∵∠BAC＝∠BCA， ∴∠B+∠BAC＝∠ACB+∠MCD， 即∠ACM＝∠ACE， 在△ACE和△ACM中， ∴△ACM≌△ACE（SAS）． ∴AE＝AM， ∵AM＝2AD， ∴AE＝2AD． 7．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是 ． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，求证：AC＝BF． 【解答】（1）解：∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∵在△ADC和△EDB中 ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故答案为：B； （2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB， ∴BE＝AC＝6，AE＝2AD， ∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜AE＜8+6， 即2＜2AD＜14， ∴1＜AD＜7， 故答案为：C； （3）证明：如图，延长AD到M，使AD＝DM，连接BM， ∵AD是△ABC中线， ∴CD＝BD， ∵在△ADC和△MDB中， ， ∴△ADC≌△MDB（SAS）， ∴BM＝AC，∠CAD＝∠M， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠M， ∴BF＝BM， ∴AC＝BF． 8．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．根据SAS可以判定△ADC≌△EDB，得出AC＝BE．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是 　 　 ． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，试说明：AC＝2AE； 【问题拓展】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，判断线段EF与AD的关系，并说明理由． 【解答】解：（1）在△ABE中，AB＝6，BE＝AC＝10，由三角形三边关系可得：AE﹣AB＝4＜AE＜AB+BE＝16，即AE到取值范围为4＜AE＜16， ∵AD， ∴AD的取值范围为2＜AD＜8； 故答案为：2＜AD＜8； （2）如图2，延长AE至点F，使得EF＝AE，连接DF，则AF＝EF+AE＝2AE， ∵E是BD中点， ∴DE＝BE， 在△EDF和△EBA中， ， ∴△EDF≌△EBA（SAS）， ∴DF＝AB＝CD，∠B＝∠EDF，∠F＝∠EAB， ∵∠CDA＝∠B+∠BAD，∠ADF＝∠BDA+∠EDF，∠BDA＝∠BAD， ∴∠ADC＝∠ADF， 在△AFD和△ACD中， ， ∴△AFD≌△ACD（SAS）， ∴AC＝AF， ∴AC＝2AE； （3）EF＝2AD，EF⊥AD， 理由：如图3，延长DA交EF于点P，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM， 由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS）， ∴BM＝AC，∠M＝∠CAD， ∵AC＝AF， ∴BM＝AF， 由（2）可知，AC∥BM， ∴∠BAC+∠ABM＝180°， ∵AE⊥AB、AF⊥AC， ∴∠BAE＝∠FAC＝90°， ∴∠BAC+∠EAF＝180°， ∴∠ABM＝∠EAF， 在△ABM和△EAF中， ， ∴△ABM≌△EAF（SAS）， ∴AM＝EF，∠BAM＝∠E， ∵AD＝DM， ∴AM＝2AD， ∴EF＝2AD， ∵∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠E+∠APE， ∴∠APE＝∠BAE＝90°， ∴EF⊥AD． 训练2 截长补短构全等 1.截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段； 示例剖析 在线段AB上截取AD=AC 2.补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 延长AC，使得AD=AB 方法指导 1．如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，CA平分∠BCD，2∠CAD＝∠BAE． （1）求证：CD＝BC+DE； （2）若∠B＝75°，求∠E的度数． 【解答】（1）证明：在CD上截取CF＝CB，连接AF． ∵CA平分∠BCD， ∴∠BCA＝∠FCA． 在△BCA和△FCA中， ， ∴△BCA≌△FCA（SAS）， ∴AB＝AF，∠BAC＝∠FAC． 又∵AB＝AE， ∴AF＝AE． 又∵， ∴∠BAC+∠EAD＝∠FAC+∠FAD， ∴∠FAD＝∠EAD． 在△ADF和△ADE中， ， ∴△ADF≌△ADE（SAS）， ∴DE＝DF． ∴CD＝CF+FD＝BC+DE． （2）解：∵△BCA≌△FCA， ∴∠B＝∠CFA． ∵△ADF≌△ADE， ∴∠E＝∠AFD． ∴∠B+∠E＝∠CFA+∠AFD＝180°． ∴∠E＝180°﹣∠B＝180°﹣75°＝105°． 2．如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AC平分∠DAB，BD平分∠CBA，∠ADC+∠BCD＝240°． （1）求∠AOB的度数； （2）求证：OD＝OC． 【解答】（1）解：∵∠ADC+∠BCD＝240°， ∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣240°＝120°， ∵AC平分∠DAB，BD平分∠CBA， ∴∠OABDAB，∠OBACBA， ∴∠OAB+∠OBADABCBA120°＝60°， ∴∠AOB＝180°﹣60°＝120°； （2）证明：如图，在AB边上截取AE＝AD，连接OE， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAO＝∠EAO， 在△AOD和△AOE中， ， ∴△AOD≌△AOE（SAS）， ∴OD＝OE，∠AOD＝∠AOE， ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOD＝∠AOE＝60°， ∴∠COB＝∠EOB＝60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBO＝∠EBO， ∵OB＝OB， 在△BOC和△BOE中， ， ∴△BOC≌△BOE（ASA）， ∴OC＝OE， ∴OD＝OC． 3．如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O， （1）求∠AOC的度数； （2）求证：OE＝OD； （3）猜测AE，CD，AC三者的数量关系，并证明． 【解答】（1）解：在△ABC中，∠B＝60°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°． ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴∠OAC＝∠OAB∠BAC，∠OCD＝∠OCA∠ACB， 在△OAC中，∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA） ＝180°（∠BAC+∠ACB）＝180°120°＝120°； （2）在AC上截取AF＝AE，连接OF，如图， 在△AOE和△AOF中， ∴△AOE≌△AOF（SAS）， ∴∠AOE＝∠AOF， ∴∠AOF＝60°， ∴∠COF＝∠AOC﹣∠AOF＝120°﹣60°＝60°， 又∠COD＝60°， ∴∠COD＝∠COF， 在△COD和△COF中， ， ∴△COD≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF，OF＝OD， ∴OE＝OD． （3）AE+CD＝AC，理由如下： 由（2）可得△COD≌△COF， ∴CD＝CF． 又∵AF＝AE， ∴AC＝AF+CF＝AE+CD， 即AE+CD＝AC 4．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC． （1）为了证明结论“AB+BD＝AC”，小亮在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） （2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠D＝110°，∠ACD＝40°，∠ACB＝80°，CE是△ABC的高，AD＝10，EB＝2，求AB的长． 【解答】（1）证明：在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵AD＝AD， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B＝∠AED，BD＝DE， ∵∠B＝2∠C， ∴∠AED＝2∠C， ∵∠AED是△DEC的一个外角， ∴∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠C＝∠EDC， ∴DE＝CE， ∴BD＝EC， ∵AE+EC＝AC， ∴AB+BD＝AC； （2）在AE上截取AF＝AD，连接CF， 由题意可得： ∴∠DAC＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝30°， ∴∠FAC＝∠BAD﹣∠DAC＝30°， ∴∠DAC＝∠FAC＝30°， ∵AC＝AC， 在△DAC和△FAC中， ， ∴△DAC≌△FAC（SAS）， ∴∠AFC＝∠D＝110°， ∴∠CFE＝180°﹣∠AFC＝70°， ∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠FAC＝70°， ∴∠B＝∠CFE， ∵CE⊥AB， ∴∠CEF＝∠CEB＝90°， ∴CE＝CE， 在△CEF和△CEB中， ， ∴△CEF≌△CEB（AAS）， ∴EF＝BE， ∴BF＝2BE＝4， ∴AB＝AF+BF＝10+4＝14， ∴AB的长为14． 5．在四边形ABDE中，C是BD边的中点． （1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；（直接写出答案） （2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． 【解答】解：（1）AE＝AB+DE； 理由：在AE上取一点F，使AF＝AB， ∵AC平分∠BAE， ∴∠BAC＝∠FAC， 在△ACB和△ACF中， ， ∴△ACB≌△ACF（SAS）， ∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF， ∵C是BD边的中点， ∴BC＝CD， ∴CF＝CD， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ACB+∠DCE＝90°，∠ACF+∠ECF＝90°， ∴∠ECF＝∠ECD， 在△CEF和△CED中， ， ∴△CEF≌△CED（SAS）， ∴EF＝ED， ∵AE＝AF+EF， ∴AE＝AB+DE， 故答案为：AE＝AB+DE； （2）猜想：AE＝AB+DEBD． 证明：在AE上取点F，使AF＝AB，连接CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连接CG， ∵C是BD边的中点， ∴CB＝CDBD， ∵AC平分∠BAE， ∴∠BAC＝∠FAC， 在△ACB和△ACF中， ， ∴△ACB≌△ACF（SAS）， ∴CF＝CB， ∴∠BCA＝∠FCA， 同理可证：CD＝CG， ∴∠DCE＝∠GCE， ∵CB＝CD， ∴CG＝CF， ∵∠ACE＝120°， ∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣120°＝60°， ∴∠FCA+∠GCE＝60°， ∴∠FCG＝60°， ∴△FGC是等边三角形， ∴FG＝FCBD， ∵AE＝AF+EG+FG， ∴AE＝AB+DEBD． 6．阅读理解： 问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°．求证：DA＝DC． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在BC上截取BM＝BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题． （1）方法积累：结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明； （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DA＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系； （4）实际运用：在（3）的条件下，已知S△ABD：S△CED＝5：3，CE＝6，DE＝8，动点P从B出发，沿线段BC以2个单位每秒向C运动，到达C后立即原路原速度返回至B停止，运动时间为t秒，请直接写出使得S△BPD＝32的所有t的值． 【解答】解：（1）选择方法1，证明如下： 如图所示，在BC上截取BM＝BA，连接DM， ∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠MBD， 又∵BA＝BM，BD＝BD， ∴△ABD≌△MBD（SAS）， ∴DA＝MD，∠A＝∠BMD， ∵∠A+∠C＝180°，∠BMD+∠DMC＝180°， ∴∠C＝∠DMC， ∴DM＝DC， ∴DA＝DC； 选择方法2，证明如下： 如图所示，延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN， ∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠NBD＝∠CBD， 又∵BN＝BC，BD＝BD， ∴△BDN≌△BDC（SAS）， ∴DN＝DC，∠C＝∠DNB， ∵∠C+∠BAD＝180°，∠DAN+∠DAB＝180°， ∴∠C＝∠DAN， ∴∠DAN＝∠DNA， ∴DA＝DN， ∴DA＝DC； （2）BD＝AB+BC，理由如下： 如图所示，在BD上截取BF＝AB，连接AF， 由（1）得DA＝DC， ∵∠DAC＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD，∠ADC＝60°； ∵∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，∠BCD+∠BDC+∠CBD＝180°， ∴∠ABD+∠ADB+∠BAD+∠BCD+∠BDC+∠CBD＝360°， ∴∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC＝360°， 又∵∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠ABC＝120°， ∵对角线BD平分∠ABC， ∴， 又∵BF＝AB， ∴△ABF是等边三角形， ∴AF＝AB，∠BAF＝60°＝∠DAC， ∴∠BAF﹣∠CAF＝∠DAC﹣∠CAF， ∴∠BAC＝∠FAD， ∴△BAC≌△FAD（SAS）， ∴BC＝DF， ∵BD＝BF+DF， ∴BD＝AB+BC； （3）如图所示，过点D作DF⊥BA交BA的延长线于点F，连接BD， ∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠FAD＝180°， ∴∠C＝∠FAD， ∵DF⊥BA，DE⊥BC， ∴∠F＝∠DEB＝∠DEC＝90°， 又∵DA＝DC， ∴△DFA≌△DEC（AAS）， ∴DF＝DE，AF＝CE； 又∵BD＝BD， ∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL）， ∴BF＝BE， ∵BC＝BE+CE， ∴BC＝BF+CE＝AB+CE+CE＝AB+2CE，即BC＝AB+2CE； （4）如图所示， ∵DE⊥CE，DE＝8，CE＝6， ∴， ∵S△ABD：S△CED＝5：3， ∴S△ABD＝40； 由（3）可得△DFA≌△DEC，Rt△BDE≌Rt△BDF， ∴S△ADF＝S△CDE＝24，S△BDE＝S△BDF＝S△ABD+S△ADF＝64， ∴， ∴BE＝16， ∴BC＝BE+CE＝22； ∵， ∴BP＝8， ∴当点P从B向点C运动时，则， 当点P从点C向点B运动时，则， 综上所述，t的值为4或18． 7．如图1，四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝120°，E、F分别为AB、AD上的点，∠ECF＝∠A＝60°．求证：EF＝BE+DF； 如图2，将图1中点E移至BA延长线上，点F移至AD延长线上，其余条件不变，写出EF和BE，DF之间的数量关系并证明； 如图3，将图1中点E移至AB延长线上，点F移至DA延长线上，其余条件不变，直接写出EF和BE，DF之间的数量关系为 ． 【解答】（1）证明：延长EB至点G，使BG＝DF，连接CG，如图1所示： ∵∠A+∠BCD＝60°+120°＝180°， ∴∠ABC+∠D＝360°﹣180°＝180°， ∵∠ABC+∠CBG＝180°， ∴∠CBG＝∠D， 在△CBG和△CDF中， ， ∴△CBG≌△CDF（SAS）， ∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF， ∵∠BCE+∠DCF＝∠BCD﹣∠ECF＝120°﹣60°＝60°， ∴∠BCE+∠BCG＝60°， 即∠ECG＝60°， ∴∠ECG＝∠ECF， 在△ECG和△ECF中， ， ∴△ECG≌△ECF（SAS）， ∴EG＝EF， ∵EG＝BE+BG＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； （2）解：EF和BE，DF之间的数量关系为：EF＝BE﹣DF，理由如下： 在BA上截取BG＝DF，连接CG，如图2所示： 由（1）得：∠B+∠ADC＝180°， ∵∠ADC+∠CDF＝180°， ∴∠B＝∠CDF， 在△CBG和△CDF中， ， ∴△CBG≌△CDF（SAS）， ∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF， ∵∠BCD＝∠BCG+∠DCG＝120°， ∴∠DCF+∠DCG＝120°， 即∠GCF＝120°， ∴∠ECG＝∠GCF﹣∠ECF＝120°﹣60°＝60°， ∴∠ECG＝∠ECF， 在△ECG和△ECF中， ， ∴△ECG≌△ECF（SAS）， ∴GE＝EF， ∵GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣DF； （3）解：EF和BE，DF之间的数量关系为：EF＝DF﹣BE，理由如下： 在DF上截取DG＝BE，连接CG，如图3所示： 由（1）得：∠ABC+∠D＝180°， ∵∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠D＝∠CBE， 在△CDG和△CBE中， ， ∴△CDG≌△CBE（SAS）， ∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE， ∵∠BCD＝∠BCG+∠DCG＝120°， ∴∠BCG+∠BCE＝120°， 即∠GCE＝120°， ∴∠GCF＝∠GCE﹣∠ECF＝120°﹣60°＝60°， ∴∠GCF＝∠ECF， 在△GCF和△ECF中， ， ∴△GCF≌△ECF（SAS）， ∴FG＝EF， ∵FG＝DF﹣DG＝DF﹣BE， ∴EF＝DF﹣BE， 故答案为：EF＝DF﹣BE． 训练3 一线三等角模型 左图，两个三角形有一条边共线 ；右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3. 【证明】利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形△ACP≌△BPD. 方法指导 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E、F在线段AD上．∠CFD＝∠BED＝∠BAC，△ABC的面积为18，则△ABE与△CDF的面积之和 　 　 ． 【解答】解：∵∠CFD＝∠BED＝∠BAC，∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠CFD＝∠FCA+∠CAF， ∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（ASA）， ∴△ABE的面积＝△ACF的面积， ∴△ABE与△CDF的面积之和＝△CAF与△CDF的面积之和＝△ACD的面积， ∵△ABC的面积为18，CD＝2BD， ∴△ACD的面积18＝12， ∴△ABE与△CDF的面积之和＝12， 故答案为：12． 2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E．若AD＝5，BE＝2，则DE的长为 　 　 ． 【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠BEC＝∠CDA＝90°， ∴∠CBE+BCE＝180°﹣90°＝90°， ∴∠CBE＝∠ACD， 在△BEC与△CDA中， ， ∴△BEC≌△CDA（AAS）， ∴EC＝AD＝5，CD＝BE＝2， ∴DE＝EC﹣CD＝5﹣2＝3． 故答案为：3． 3．如图，D，A，E三点都在一条直线上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，AB＝AC，求BD，CE，DE之间的数量关系． 【解答】解：DE＝BD+CE， 理由如下： ∵∠BAE＝∠D+∠ABD＝∠BAC+∠CAE，且∠ADB＝∠AEC＝∠BAC， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∵DE＝AD+AE， ∴DE＝CE+BD． 4．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE　 　 CF；EF　 　 |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）； ②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 　 　 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 【解答】解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°， ∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°， ∴∠CBE＝∠ACF， 在△BCE和△CAF中， ， ∴△BCE≌△CAF（AAS）， ∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|． ②所填的条件是：∠α+∠BCA＝180°． 证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α． ∵∠BCA＝180°﹣∠α， ∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA． 又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA， ∴∠CBE＝∠ACF， 又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA， ∴△BCE≌△CAF（AAS） ∴BE＝CF，CE＝AF， 又∵EF＝CF﹣CE， ∴EF＝|BE﹣AF|． （2）猜想：EF＝BE+AF． 证明过程： ∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°， ∴∠BCE＝∠CAF， 又∵BC＝CA， ∴△BCE≌△CAF（AAS）． ∴BE＝CF，EC＝FA， ∴EF＝EC+CF＝BE+AF． 5．如图1，CA⊥AB，DB⊥AB，AC＝BD，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． （1）若P为AB的中点，点Q与点D重合，试说明△ACP与△BDP全等； （2）如图2，若∠CPQ＝90°，CP＝PQ，求AC，BQ，AB之间的数量关系； （3）如图3，将“CA⊥AB，DB⊥AB”改为“∠A＝∠B＝α（α为锐角）”，其他条件不变．若∠CPQ＝α，CP＝PQ，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 【解答】解：（1）由题意可知AC＝QB． ∵AC⊥AB，DB⊥AB， ∴∠A＝90°，∠B＝90°， ∴∠A＝∠B＝90°． 又∵P为AB的中点， ∴AP＝BP， ∵AC＝BD， ∴△ACP≌△BDP（SAS）； （2）由（1）可知∠A＝∠B＝90°． ∵∠ACP＝180°﹣∠A﹣∠CPA＝90°﹣∠CPA， ∠BPQ＝180°﹣∠CPQ﹣∠CPA＝90°﹣∠CPA， ∴∠ACP＝∠BPQ． 又∵CP＝PQ， ∴△ACP≌△BPQ（AAS）， ∴AC＝BP，AP＝BQ， ∴AB＝AP+BP＝BQ+AC， 即AC，BQ，AB之间的数量关系为AB＝BQ+AC； （3）不会改变； 理由：∵∠ACP＝180°﹣∠A﹣∠CPA＝180°﹣α﹣∠CPA， ∠BPQ＝180°﹣∠CPQ﹣∠CPA＝180°﹣α﹣∠CPA， ∴∠ACP＝∠BPQ． 又∵CP＝PQ，∠A＝∠B， ∴△ACP≌△BPQ（AAS）， ∴AC＝BP，AP＝BQ， ∴AB＝AP+PB＝BQ+AC， 即（2）中的数量关系不会改变． 6．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线MN，过点A作AM⊥MN于点M，过点B作BN⊥MN于点N． （1）如图1，当直线MN在△ABC外时，证明：MN＝AM+BN． （2）如图2，当直线MN经过△ABC内部时，其他条件不变，则AM，BN与MN之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【解答】证明：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，∠ACB＝90°， ∴∠AMC＝∠CNB＝90°， ∴∠MAC+∠ACM＝90°，∠NCB+∠ACM＝90°， ∴∠MAC＝∠NCB， 在△AMC和△CNB中， ， ∴△AMC≌△CNB（AAS）， ∴AM＝NC，MC＝BN， ∵MN＝NC+MC， ∴MN＝AM+BN； （2）MN＝BN﹣AM． ∵AM⊥MN，BN⊥MN，∠ACB＝90°， ∴∠MAC+∠ACM＝90°，∠NCB+∠ACM＝90°， ∴∠MAC＝∠NCB， 在△AMC和△CNB中， ， ∴△AMC≌△CNB（AAS）， ∴AM＝CN，MC＝NB， ∵MN＝CM﹣CN， ∴MN＝BN﹣AM． 7．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系． 【解答】解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB， ∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； ②∵△ADC≌△CEB， ∴CE＝AD，CD＝BE， ∴DE＝CE+CD＝AD+BE； （2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； ∴CE＝AD，CD＝BE， ∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE； （3）当MN旋转到题图（3）的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是：DE＝BE﹣AD． 理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CE＝AD，CD＝BE， ∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD． 8．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝DE ，BC＝AE ，BC+DE＝CE ，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． （3）如图3，∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝DC，DE＝DF，连接AC，EF，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，S1+S2＝2025，求S2的值． 【解答】（1）解：∵BC⊥AC，DE⊥AC， ∴∠ACB＝∠DEA＝90°＝∠BAD， ∴∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°， ∴∠1＝∠D， ∵∠ACB＝∠DEA＝90°，∠1＝∠D，AB＝DA， ∴△ABC≌△DAE（AAS）， ∴AC＝DE，BC＝AE， ∴BC+DE＝AE+AC＝CE， 故答案为：DE，AE，CE； （2）证明：如图2，过D作DM⊥AF于M，过E作EN⊥AF于N， 由“K字”模型得：△ABF≌△DAM（AAS）， ∴AF＝DM， 同理：AF＝EN， ∴EN＝DM， ∵DM⊥AF，EN⊥AF， ∴∠GMD＝∠GNE＝90°， ∵∠GMD＝∠GNE＝90°，∠DGM＝∠EGN，DM＝EN， ∴△DMG≌△ENG（AAS）， ∴DG＝EG， ∴点G是DE的中点； （3）解：如图3，过D作PQ⊥CE于P，交AF于Q，过A作AM⊥PQ于M，过F作FN⊥PQ于N， ∵∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF， 由“K字”模型得：△ADM≌△DCP（AAS），△DFN≌△EDP（AAS）， ∴S△ADM＝S△DCP，S△DFN＝S△EDP，AM＝DP，FN＝DP， ∴AM＝FN， ∵AM⊥PQ，FN⊥PQ， ∴∠AMQ＝∠FNQ＝90°， ∵∠AMQ＝∠FNQ＝90°，∠AQM＝∠FQN，AM＝FN， ∴△AMQ≌△FNQ（AAS）， ∴AQ＝FQ，且S△AMQ＝S△FNQ， ∴S△ADQ+S△FNQ+S△DFN ＝S△ADQ+S△AMQ+S△DFN ＝S△ADM+S△DFN ＝S△DCP+S△EDP， 即S1＝S2， ∵S1+S2＝2025， ∴S2的值为1012.5． 训练4 手拉手模型 【模型介绍】两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”. 如图，直线AB的同一侧作∆ABC和∆AMN都为等边三角形（A、B、N三点共线），连接BM、CN，两者相交于点E. 【结论】①∆ABM≌∆ACN；②BM=CN； ③∠MEN=∠2=60°（拉手线的夹角等于顶角） ； ④∆ANF≌∆AMD ；⑤∆AFC≌∆ADB ；⑥连接DF，DF∥BN；⑦连接AE，AE平分∠BEN； ⑧EN=EM+EA，EB=EC+EA,EA=ED+EF 方法指导 1．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 　①②④⑤　 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，结论①正确． ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE， 又∵∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠ACP＝∠BCQ＝60°， 在△ACP和△BCQ中， ∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC， ∴△ACP≌△BCQ（AAS）， ∴AP＝BQ，CP＝CQ， 又∵∠PCQ＝60°， ∴△PCQ为等边三角形，结论④正确； ∴∠PQC＝∠DCE＝60°， ∴PQ∥AE，结论②正确． ∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠AEO， ∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°， ∴结论⑤正确． 没有条件证出OP＝OQ，③错误； 综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 2．如图，已在△ABC与△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，BD⊥AB，EC⊥AC，求证：AD＝AE． 【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， ∵BD⊥AB，EC⊥AC， ∴∠ABD＝∠ACE＝90°， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（ASA）， ∴AD＝AE． 3．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．求证： （1）BD＝CE； （2）BD⊥CE． 【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． ∴BD＝CE； （2）∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵， ∴∠ACE+∠DBC＝45°， ∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°， 则BD⊥CE． 4．如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝40°，将线段AD绕着点A顺时针旋40°能与线段AE重合，连接BE，ED，CD． （1）求证：EB＝DC． （2）若∠ADC＝114°，求∠BED的度数． 【解答】（1）证明：∵将线段AD绕着点A顺时针旋转40°能与线段AE重合， ∴AD＝AE，∠DAE＝40°， ∴∠DAE＝∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAE， 在△ACD和△ABE中， ∴△ACD≌△ABE（SAS）， ∴EB＝CD． （2）解：由△ACD≌△ABE得：∠AEB＝∠ADC＝114°， ∵AD＝AE，∠DAE＝40°， ∴∠AED（180°﹣40°）140°＝70°， ∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝114°﹣70°＝44°， 即∠BED的度数为44°． 5．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°， ∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 6．综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境 已知，在△ABC中，AB＝AC，D是射线BC上一动点，点E在AD的右侧，线段AE＝AD，且∠DAE＝∠BAC＝α． 实践探究 （1）如图1，这是“团结小组”探究α＝60°画出的图形，请直接写出线段BD与CE的数量关系 ． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究α＝90°画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 拓展应用 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，请直接写出线段BC，DC，CE之间的数量关系． 【解答】解：（1）BD＝CE．理由如下： ∵∠DAE＝∠BAC＝α＝60°， ∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE， 故答案为：BD＝CE． （2）成立，理由： ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE． （3）BC＝DC+CE或CE＝BC+DC， 本题分两种情况， 情况一：当D在AC之间时，如图， ∵∠DAE＝∠BAC＝α， ∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE， 故BC＝DC+CE． 情况二，当D在C点右边时，如图所示： ∵∠DAE＝∠BAC＝α， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE， ∴CE＝BC+DC． 7．综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC＝∠DAE，则△BAD≌△CAE（SAS）． 【初步把握】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，请直接写出图中的一对全等三角形：　 ； 【深入研究】如图3，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，BE、CD交于点Q，求∠DQB的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由． 【解答】解：【初步把握】△BAD≌△CAE；理由如下： ∵∠BAC＝∠DAE，∠BAC+∠CAD＝∠BAD，∠DAE+∠CAD＝∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， 故答案为：△BAD≌△CAE； 【深入研究】∵以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE， ∴∠BAD＝∠CAE＝60°，AB＝AD，AE＝AC， ∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAE， 在△ABE和△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴∠ADC＝∠ABE． ∵∠BQD+∠ABE＝∠BAD+∠ADC， ∴∠DQB＝∠DAB＝60°； 【拓展延伸】BD＝CE，BD⊥CE；理由如下： ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠BAC+∠BAE＝∠CAE，∠DAE+∠BAE＝∠BAD， ∴∠CAE＝∠BAD， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE， ∵∠BPC+∠ABD＝∠BAC+∠ACE， ∴∠BPC＝∠BAC＝90°， ∴BD⊥CE． 训练5 遇角平分线构全等 【模型解读】利用角平分线图形的对称性， 在角的两边构造对称等腰三角形或全等三角形，可以得到 对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧 角平分线＋对称型 角平分线＋垂直两边型 角平分线＋垂直平分型 角平分线＋平行线型 有角平分线时, 常通过角平分线构造等腰三角形或构造全等三角形，利用等腰三角形的三线合一或全等三角形的判定和性质进行解题 方法指导 1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠A＝2∠ADB，AB＝6，CD＝7，则BC的长为（　　） A．3 B．13 C．12 D．14 【解答】解：在BC上截取BE＝AB，连接DE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， 在△BAD和△BED中， ， ∴△BAD≌△BED（SAS）， ∴∠A＝∠BED，∠BDA＝∠BDE，AD＝DE，又∠A＝2∠BDA， ∴∠BED＝2∠BDA， 而∠ADE＝∠BDA+∠BDE＝2∠BDA， ∴∠ADE＝∠BED， ∴∠CED＝∠EDC， ∴CD＝CE， ∴BC＝BE+CE＝AB+CD＝6+7＝13． 故选：B． 2．如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，若∠B＝40°，BC＝AI+AC，则∠BAC的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 【解答】解：在BC上取CD＝CA，连接DI，BI， ∵CI平分∠ACB， ∴∠ACI＝∠DCI， 又∵CI＝CI， ∴△ACI≌△DCI（SAS）， ∴AI＝DI，∠IDC＝∠IAC， ∵BC＝AI+AC， ∴BD＝AI＝DI， ∴∠DBI＝∠DIB， ∵∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I， ∴BI平分∠ABC， ∴∠ABI＝∠CBI． ∴∠ABI＝∠BID， ∴DI∥AB， ∴∠IDC＝∠ABC＝40°， ∴∠IAC＝40°， ∴∠BAC＝2∠IAC＝80°， 故选：C． 3．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为8cm2，则△PBC的面积为（　　） A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．不能确定 【解答】解：如图，延长AP交BC于点D， ∵BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP， ∴∠ABP＝∠DBP，∠APB＝∠DPB＝90°， 在△APB与△DPB中， ， ∴△APB≌△DPB（ASA）， ∴AP＝DP， ∴S△BDPS△ABD，S△CDPS△ADC， ∴S△PBC＝S△BDP+S△CDPS△CDAS△BDAS△ABC8＝4（cm2）， 故选：B． 4．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面积为10，△ACD的面积为6．则△ABD的面积是（　　） A．16 B．14 C．13 D．22 【解答】解：如图所示，延长AD交BC的延长线于E， ∵BD平分∠ABC，AD⊥BD， ∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°， 在△ABD和△EBD中， ， ∴△ABD≌△EBD（ASA）， ∴AD＝ED， ∴S△ABD＝S△EBD，S△CDE＝S△ACD＝6， ∴S△ABD＝S△EBD＝S△BCD+S△CDE＝10+6＝16． 故选：A． 5．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC+4∠C＝180°，AB＝5，BC＝12，则AE＝　 　 ． 【解答】解：延长AE交BC于点F， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC∠ABF， ∵BE⊥AF， ∴∠AEB＝∠BEF＝90°， ∵BE＝BE， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴AE＝EF，AB＝BF＝5， ∵BC＝12， ∴CF＝BC﹣BF＝12﹣5＝7， ∵∠BEF＝90°， ∴∠EBF+∠AFB＝90°， ∴∠ABC+∠AFB＝90°， ∵∠ABC+4∠C＝180°， ∴∠ABC+2∠C＝90°， ∴∠AFB＝2∠C， ∵∠AFB是△AFC的一个外角， ∴∠AFB＝∠C+∠CAF， ∴∠C＝∠CAF， ∴AF＝CF＝7， ∴AE＝EFAF＝3.5， 故答案为：3.5． 6．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD平分∠ABC，DE⊥BC，BE＝7，CE＝3，若△BCD的面积是20，则△ABD的面积是　 　 ． 【解答】解：作DF⊥BA交BA的延长线于点F，则∠F＝90°， ∵BE＝7，CE＝3， ∴BC＝BE+CE＝7+3＝10， ∵DE⊥BC，△BCD的面积是20， ∴10DE＝20，∠AED＝∠DEC＝90°， ∴DE＝4， ∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DE⊥BC， ∴DF＝DE＝4， 在Rt△DAF和Rt△CDE中， ， ∴Rt△DAF≌Rt△CDE（HL）， ∴AF＝CE＝3， 在Rt△DBF和Rt△DBE中， ， ∴Rt△DBF≌Rt△DBE（HL）， ∴BF＝BE＝7， ∴AB＝BF﹣AF＝7﹣3＝4， ∴S△ABDAB•DF4×4＝8， 故答案为：8． 7．如图，D为△ABC外一点，BD⊥AD，BD平分△ABC的一个外角，若2∠C+∠BAD＝180°，AB＝5，BC＝3，则AD的长为　 　 ． 【解答】解：设AD、CB的延长线交于点E， 由题意得∠ABD＝∠EBD， ∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝∠EDB＝90°， 在△ABD和△EBD中， ， ∴△ABD≌△EBD（ASA）， ∴AD＝ED，AB＝EB＝5，∠BAD＝∠E， ∵BC＝3， ∴CE＝BC+EB＝3+5＝8， ∵∠BAD+2∠C＝180°， ∴∠E+2∠C＝180°， ∵∠E+∠C+∠EAC＝180°， ∴∠C＝∠EAC， ∴AE＝CE＝8， ∴AD＝EDAE＝4． 故答案为：4． 8．如图Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，点E在AB的延长线上，满足∠ADE+∠CAB＝180°，若AC＝6，BE＝2，则线段AB的长为 　 　 ． 【解答】解：延长AD到M，作DH⊥AB于H． ∵AD平分∠CAB， ∴∠DAC＝∠DAH， ∵∠C＝∠AHD，AD＝AD， ∴△ADC≌△ADH（AAS）， ∴AC＝AH＝6， ∵∠ADE+∠CAB＝180°，∠ADE+∠EDM＝180°， ∴∠EDM＝∠CAB， ∵∠EDM＝∠DAE+∠DEA＝∠DAE+∠CAD，∠CAD＝∠DAB， ∴∠DAB＝∠E， ∴DA＝DE， ∵DH⊥AE， ∴AH＝HE＝6， ∵BE＝2， ∴BH＝4， ∴AB＝10， 故答案为：10． 9．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P （1）求∠CPD的度数； （2）若AE＝3，CD＝7，求线段AC的长． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB， ∴∠BAC+∠BCA＝120°，∠PAC+∠PCA（∠BAC+∠BCA）＝60°， ∴∠APC＝120°， ∴∠CPD＝60°． （2）如图，在AC上截取AF＝AE，连接PF． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△APE和△APF中 ， ∴△APE≌△APF（SAS）， ∴∠APE＝∠APF， ∵∠APC＝120°， ∴∠APE＝60°， ∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF， 在△CPF和△CPD中， ， ∴△CPF≌△CPD（ASA） ∴CF＝CD， ∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝3+7＝10． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形五大模型（计算题专项训练） 【人教版新教材】 训练1 倍长中线构全等 【模型介绍】当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移. 【结论】如图①，已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE，连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE；或连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE. 图① 图② 【拓展】如图②，已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段DF到点E使DF=DE,连接EC，则∆BDF≌∆CDE. 方法指导 1．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F，若EF＝AF，BE＝8，CF＝5，则EF的长度为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 2．如图，五边形ABCDE中，AB＝BC＝3，AE＝ED＝4，∠ABC+∠AED＝180°，M为边CD的中点，BM＝5，EM＝6，则五边形ABCDE的面积为（　　） A．30 B．28 C．24 D．20 3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC边上一点，EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于点G． （1）求证：△AGF是等腰三角形； （2）若点E是BC的中点，试猜想BF与CG的大小有什么关系？并证明你的猜想． 4．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD＝AE，AD⊥AE，M为BD的中点，直线AM交CE于N，求证：MN⊥CE． 5．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由． 6．如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA，求证：AE＝2AD． 7．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是 ． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，求证：AC＝BF． 8．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．根据SAS可以判定△ADC≌△EDB，得出AC＝BE．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是 　 　 ． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，试说明：AC＝2AE； 【问题拓展】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，判断线段EF与AD的关系，并说明理由． 训练2 截长补短构全等 1.截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段； 示例剖析 在线段AB上截取AD=AC 2.补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 延长AC，使得AD=AB 方法指导 1．如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，CA平分∠BCD，2∠CAD＝∠BAE． （1）求证：CD＝BC+DE； （2）若∠B＝75°，求∠E的度数． 2．如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AC平分∠DAB，BD平分∠CBA，∠ADC+∠BCD＝240°． （1）求∠AOB的度数； （2）求证：OD＝OC． 3．如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O， （1）求∠AOC的度数； （2）求证：OE＝OD； （3）猜测AE，CD，AC三者的数量关系，并证明． 4．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC． （1）为了证明结论“AB+BD＝AC”，小亮在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） （2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠D＝110°，∠ACD＝40°，∠ACB＝80°，CE是△ABC的高，AD＝10，EB＝2，求AB的长． 5．在四边形ABDE中，C是BD边的中点． （1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；（直接写出答案） （2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． 6．阅读理解： 问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°．求证：DA＝DC． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在BC上截取BM＝BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题． （1）方法积累：结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明； （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DA＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系； （4）实际运用：在（3）的条件下，已知S△ABD：S△CED＝5：3，CE＝6，DE＝8，动点P从B出发，沿线段BC以2个单位每秒向C运动，到达C后立即原路原速度返回至B停止，运动时间为t秒，请直接写出使得S△BPD＝32的所有t的值． 7．如图1，四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝120°，E、F分别为AB、AD上的点，∠ECF＝∠A＝60°．求证：EF＝BE+DF； 如图2，将图1中点E移至BA延长线上，点F移至AD延长线上，其余条件不变，写出EF和BE，DF之间的数量关系并证明； 如图3，将图1中点E移至AB延长线上，点F移至DA延长线上，其余条件不变，直接写出EF和BE，DF之间的数量关系为 ． 训练3 一线三等角模型 左图，两个三角形有一条边共线 ；右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3. 【证明】利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形△ACP≌△BPD. 方法指导 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E、F在线段AD上．∠CFD＝∠BED＝∠BAC，△ABC的面积为18，则△ABE与△CDF的面积之和 　 　 ． 2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E．若AD＝5，BE＝2，则DE的长为 　 　 ． 3．如图，D，A，E三点都在一条直线上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，AB＝AC，求BD，CE，DE之间的数量关系． 4．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE　 　 CF；EF　 　 |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）； ②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 　 　 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 5．如图1，CA⊥AB，DB⊥AB，AC＝BD，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． （1）若P为AB的中点，点Q与点D重合，试说明△ACP与△BDP全等； （2）如图2，若∠CPQ＝90°，CP＝PQ，求AC，BQ，AB之间的数量关系； （3）如图3，将“CA⊥AB，DB⊥AB”改为“∠A＝∠B＝α（α为锐角）”，其他条件不变．若∠CPQ＝α，CP＝PQ，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 6．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线MN，过点A作AM⊥MN于点M，过点B作BN⊥MN于点N． （1）如图1，当直线MN在△ABC外时，证明：MN＝AM+BN． （2）如图2，当直线MN经过△ABC内部时，其他条件不变，则AM，BN与MN之间有怎样的数量关系？请说明理由． 7．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系． 8．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝DE ，BC＝AE ，BC+DE＝CE ，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． （3）如图3，∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝DC，DE＝DF，连接AC，EF，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，S1+S2＝2025，求S2的值． 训练4 手拉手模型 【模型介绍】两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”. 如图，直线AB的同一侧作∆ABC和∆AMN都为等边三角形（A、B、N三点共线），连接BM、CN，两者相交于点E. 【结论】①∆ABM≌∆ACN；②BM=CN； ③∠MEN=∠2=60°（拉手线的夹角等于顶角） ； ④∆ANF≌∆AMD ；⑤∆AFC≌∆ADB ；⑥连接DF，DF∥BN；⑦连接AE，AE平分∠BEN； ⑧EN=EM+EA，EB=EC+EA,EA=ED+EF 方法指导 1．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 　 　 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 2．如图，已在△ABC与△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，BD⊥AB，EC⊥AC，求证：AD＝AE． 3．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．求证： （1）BD＝CE； （2）BD⊥CE． 4．如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝40°，将线段AD绕着点A顺时针旋40°能与线段AE重合，连接BE，ED，CD． （1）求证：EB＝DC． （2）若∠ADC＝114°，求∠BED的度数． 5．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 6．综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境 已知，在△ABC中，AB＝AC，D是射线BC上一动点，点E在AD的右侧，线段AE＝AD，且∠DAE＝∠BAC＝α． 实践探究 （1）如图1，这是“团结小组”探究α＝60°画出的图形，请直接写出线段BD与CE的数量关系 ． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究α＝90°画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 拓展应用 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，请直接写出线段BC，DC，CE之间的数量关系． 7．综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC＝∠DAE，则△BAD≌△CAE（SAS）． 【初步把握】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，请直接写出图中的一对全等三角形：　 ； 【深入研究】如图3，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，BE、CD交于点Q，求∠DQB的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由． 训练5 遇角平分线构全等 【模型解读】利用角平分线图形的对称性， 在角的两边构造对称等腰三角形或全等三角形，可以得到 对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧 角平分线＋对称型 角平分线＋垂直两边型 角平分线＋垂直平分型 角平分线＋平行线型 有角平分线时, 常通过角平分线构造等腰三角形或构造全等三角形，利用等腰三角形的三线合一或全等三角形的判定和性质进行解题 方法指导 1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠A＝2∠ADB，AB＝6，CD＝7，则BC的长为（　　） A．3 B．13 C．12 D．14 2．如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，若∠B＝40°，BC＝AI+AC，则∠BAC的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 3．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为8cm2，则△PBC的面积为（　　） A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．不能确定 4．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面积为10，△ACD的面积为6．则△ABD的面积是（　　） A．16 B．14 C．13 D．22 5．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC+4∠C＝180°，AB＝5，BC＝12，则AE＝　 　 ． 6．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD平分∠ABC，DE⊥BC，BE＝7，CE＝3，若△BCD的面积是20，则△ABD的面积是　 　 ． 7．如图，D为△ABC外一点，BD⊥AD，BD平分△ABC的一个外角，若2∠C+∠BAD＝180°，AB＝5，BC＝3，则AD的长为　 　 ． 8．如图Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，点E在AB的延长线上，满足∠ADE+∠CAB＝180°，若AC＝6，BE＝2，则线段AB的长为 　 　 ． 9．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P （1）求∠CPD的度数； （2）若AE＝3，CD＝7，求线段AC的长． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $