专题01 三角形的角度计算六大模型（计算题专项训练）数学人教版新教材八年级上册

**基本信息** 以六大模型为核心，通过结论推导-方法指导-阶梯训练构建三角形角度计算的系统化解题体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高+角平分线模型|10题|推导∠DAE=1/2|∠B-∠C|，结合高与角平分线性质|从单一线（高、角平分线）性质到角度关系推导| |A字+风筝模型|10题|总结∠DBC+∠ECB=180°+∠A等结论，利用外角性质证明|从三角形外角到组合图形角度关系拓展| |8字模型|10题|提炼∠A+∠B=∠C+∠D，通过对顶角构建等式|基于三角形内角和解决相交线角度计算| |飞镖模型|10题|推导∠BDC=∠A+∠B+∠C，延长线构造外角|从凹四边形结构突破角度和关系| |双角平分线模型|10题|归纳双内/外/内外角平分线得∠BDC=90°±1/2∠A等结论|从角平分线组合方式递进角度关系推导|

专题01 三角形的角度计算六大模型（计算题专项训练） 【人教版新教材】 训练1 高+角平分线模型 【结论】如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高．则∠DAE|∠B﹣∠C|． 【证明】∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，AD为角平分线，∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝90°∠B∠C， ∵AE为高，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠C， 当∠C＞∠B时，∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝90°∠B∠C﹣（90°﹣∠C）（∠C﹣∠B）， 当∠C＜∠B时，∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝90°﹣∠C﹣（90°∠B∠C）（∠B﹣∠C）， 综上所述，∠DAE|∠B﹣∠C|． 方法指导 1．如图，在△ABC中，E为△ABC角平分线AM的延长线上一点，过点E作ED⊥BC于点D，若∠B＝45°，∠CAE＝2∠E，则∠C的度数为　 　 ． 【解答】解：∵E为△ABC角平分线AM的延长线上一点，∠CAE＝2∠E， ∴∠BAE＝∠CAE＝2∠E， ∴∠BAC＝2∠CAE＝4∠E， ∵∠B＝45°， ∴∠DME＝∠B+∠BAE＝45°+2∠E， ∵ED⊥BC于点D， ∴∠EDM＝90°， ∴∠E+∠DME＝90°， ∴∠E+45°+2∠E＝90°， ∴∠E＝15°， ∴∠BAC＝4∠E＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝75°， 故答案为：75°． 2．如图，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，则∠DAE＝　 　 ． 【解答】解：∵在△ABC中，AE是角平分线，且∠CAB＝50°， ∴∠CAE＝∠BAE∠CAB50°＝25°， ∵∠C＝60°， ∴∠AEB＝∠CAE+∠C＝25°+60°＝85°， ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC于点D， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣85°＝5°， 故答案为：5°． 3．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝50°，∠ACB＝78°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 　 　 ． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝78°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣78°＝52°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC50°＝25°． 当∠BDF＝90°时，∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣52°﹣25°＝103°， ∴∠ADF＝∠ADB﹣∠BDF＝103°﹣90°＝13°； 当∠BFD＝90°时，∠ADF＝∠BFD﹣∠BAD＝90°﹣25°＝65°． 综上所述，∠BFD的度数为13°或65°． 故答案为：13°或65°． 4．如图，AE为△ABC的角平分线，点D为AE上一点（不与A、E重合），DF⊥BC于点F．若∠C＝30°，∠EDF＝18°，则∠B＝　 　 ． 【解答】解：∵AE为△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE∠BAC， ∵点D为AE上一点，DF⊥BC于点F， ∴∠EFD＝90°， ∵∠C＝30°，∠EDF＝18°， ∴∠DEF＝90°﹣∠EDF＝72°， ∴∠CAE＝∠DEF﹣∠C＝42°， ∴∠BAC＝2∠CAE＝84°， ∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝66°， 故答案为：66°． 5．如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，AD，BE相交于点O，∠ABC＝40°，则∠AOB＝ 　 　 ． 【解答】解：∵BE是角平分线，∠ABC＝40°， ∴， 在△ABC中，AD是高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠AOB＝∠OBD+∠ODB＝20°+90°＝110°， 故答案为：110°． 6．在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠DAE＝10°，∠ABC＝50°，则∠ACB的度数为　 　 ． 【解答】解：∵在△ABC中，AD是高，AE是角平分线， ∴AD⊥BC于点D，∠BAE＝∠CAE， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵∠DAE＝10°， ∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝90°﹣10°＝80°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°， 如图1，点E在线段CD上，则∠BAE＝∠CAE＝∠BAD+∠DAE＝40°+10°＝50°， ∴∠ACB＝∠AED﹣∠CAE＝80°﹣50°＝30°； 如图2，点E在线段BD上，则∠BAE＝∠CAE＝∠BAD﹣∠DAE＝40°﹣10°＝30°， ∴∠ACB＝180°﹣∠AED﹣∠CAE＝180°﹣80°﹣30°＝70°， 综上所述，∠ACB的度数为30°或70°， 故答案为：30°或70°． 7．如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的AB边上的高，AD与CE交于点F，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠BAD和∠ADB的度数． 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC60＝30°， ∵CE是△ABC的AB边上的高， ∴CE⊥AB于点E， ∴∠AEC＝90°， ∵∠BCE＝40°， ∴∠B＝90°﹣∠BCE＝90°﹣40°＝50°， ∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∴∠BAD的度数是30°，∠ADB的度数是100°． 8．如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AD交于点O，∠BAC＝80°，∠ABC＝30°． （1）求∠BOD的度数． （2）求∠DAE的度数． 【解答】解：（1）∵BF是∠ABC的平分线，∠ABC＝30°， ∴， ∵AD是△ABC的高， ∴∠BDO＝90°， ∴∠BOD＝180°﹣90°﹣15°＝75°； （2）由题意可得：， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AED＝∠ABC+∠BAE＝30°+40°＝70°， ∵AD是△ABC的高， ∴∠BDO＝90°， ∴∠EAD＝90°﹣70°＝20°． 9．在△ABC中，AD是角平分线． （1）如图1，过点D作DF⊥AC于点F．若∠B＝35°，∠C＝75°，求∠ADF的度数． （2）如图2，在AD上取一点E（不与A，D两点重合），过点E作EF⊥AC于点F，写出∠B，∠C，∠AEF之间的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠C＝75°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣75°＝70°， ∵AD是角平分线， ∴（角平分线的定义）， ∵DF⊥AC， ∴∠ADF＝180°﹣90°﹣35°＝55°， 则∠ADF的度数为55°； （2）∠B+∠C＝2∠AEF，理由如下： ∵EF⊥AC， ∴∠CAD＝90°﹣∠AEF， ∵AD是角平分线， ∴∠BAC＝2∠CAD＝180°﹣2∠AEF， ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）， ∴180°﹣2∠AEF+∠B+∠C＝180°， 即∠B+∠C＝2∠AEF． 10．在△ABC中，∠C＞∠B，AE是△ABC的高线，AD是△ABC的角平分线． （1）如图1，若∠B＝30°，∠C＝70°，试求∠DAE的度数； （2）如图2，若点F是AD延长线上一点，FG⊥BC于G，试求∠F与∠C、∠B之间的数量关系； （3）如图3，延长AB到点M，∠MBC的平分线和AD的延长线交于点N．试说明∠N和∠C的数量关系． 【解答】解：（1）如图1，∵∠B＝30°，∠C＝70°，∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣70°＝80°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝40°， ∵AE是高线，即AE⊥BC， ∴∠AEC＝∠AEB＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°， ∴∠DAE＝40°﹣20°＝20°； （2）∠F（∠C﹣∠B）， 如图2，∵FG⊥BC，AE⊥BC， ∴FG∥AE， ∴∠F＝∠DAE， ∵∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE， ∴∠F＝∠DAC﹣∠CAE ∠BAC﹣（90°﹣∠C） （180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C （∠C﹣∠B）； （3）∠N∠C，如图3，理由如下： ∵BN是的平分线， ∴∠MBN＝∠CBN∠MBC， ∵AN是∠BAC的平分线， ∴∠BAN＝∠CAN∠BAC， ∵∠MBC＝∠BAC+∠C， ∴2∠MBN＝∠BAC+∠C， ∵∠MBN＝∠BAN+∠N， ∴2∠BAN+2∠N＝∠BAC+∠C， ∴∠N∠C． 训练2 A字模型+风筝模型 【知识点1 A字模型】 【结论】如图①所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A. 【证明】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC. 又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC＋∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A=180°＋∠A. 图① 图② 【知识点2 风筝模型】 【结论】如图②所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE. 【证明】如图，连接AF. ∵∠DBF是△ABF的外角，∠FCE是△ACF的外角，∴∠FCE=∠CAF+∠CFA， ∴∠DBF＋∠FCE=∠BAF＋∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC， 即∠BAC+∠BFC=∠DBF＋∠FCE. 方法指导 1．在如图所示的三角形纸片ABC中剪去△CDE得到四边形ABDE，若∠C＝50°，则∠1+∠2的度数是　 　 ． 【解答】解：∵∠C＝50°， ∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝180°﹣50°＝130°， ∵∠CED+∠1＝180°，∠CDE+∠2＝180°， ∴∠1＝180°﹣∠CED，∠2＝180°﹣∠CDE， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠CED+180°﹣∠CDE ＝360°﹣（∠CED+∠CDE） ＝360°﹣130° ＝230°． 则∠1+∠2的度数为230°． 故答案为：230°． 2．如图，三角形ABC中D，E为AB，AC上的两点，若∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，则∠A的度数为　 　 ． 【解答】解：在△ADE中，∠1+∠2＝180°﹣∠A， 在△ABC中，∠3+∠4＝180°﹣∠A， 由条件可知180°﹣∠A+180°﹣∠A＝280°， ∴∠A的度数为40°． 故答案为：40°． 3．如图，∠CBE和∠BCF是△ABC的两个外角，∠A与∠CBE，∠BCF之间满足的数量关系是　 　 ． 【解答】解：∠CBE+∠BCF﹣∠A＝180°，理由如下： 由三角形外角性质可知，∠CBE＝∠A+∠ACB，∠BCF＝∠A+∠ABC， ∵∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A， ∴∠CBE+∠BCF＝2∠A+（180°﹣∠A）＝180°+∠A， 即∠CBE+∠BCF﹣∠A＝180°， 故答案为：∠CBE+∠BCF﹣∠A＝180°． 4．如图，D，E两点分别在△ABC的两边AB，AC上，连接DE，已知∠1+∠2＝α，则∠A＝　 　 •（用含α的式子表示） 【解答】解：∵∠1+∠ADE＝180°，∠2+∠AED＝180°， ∴∠1+∠2+∠ADE+∠AED＝360°， ∴∠ADE+∠AED＝360°﹣（∠1+∠2）， ∵∠1+∠2＝α， ∴∠ADE+∠AED＝360°﹣α， ∴∠A＝180°﹣（ADE+∠AED）＝180°﹣（360°﹣α）＝α﹣180°， 故答案为：α﹣180°． 5．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝30°，则∠2的度数为　 　 ． 【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝70°， ∴∠C＝180°﹣65°﹣70°＝45°， ∵将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处， 由折叠的性质可知，∠C′＝∠C＝45°， ∴∠3＝∠1+∠C′＝75°， ∴∠2＝∠C+∠3＝120°， 故答案是：120°． 6．如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1﹣∠2＝60°，则∠B的度数是 　 　 ． 【解答】解：如图，由翻折的性质可知，∠B＝∠D， ∵∠1＝∠B+∠BME，∠BME＝∠2+∠D， ∴∠1＝∠B+∠2+∠D， 即∠1﹣∠2＝2∠B， 又∵∠1﹣∠2＝60°， ∴2∠B＝60°， 即∠B＝30°， 故答案为：30°． 7．如图，将△ABC纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若∠1+∠2＝228°，则∠3+∠4＝　 　 ． 【解答】解：如图，∵∠1+∠2＝228°，∠1＝∠A′+∠A′NM，∠2＝A′+∠A′MN， ∴2∠A′+∠A′NM+∠A′MN＝228°， ∵∠A′+∠A′NM+∠A′MN＝180°， ∴∠A′＝228°﹣180°＝48°， ∴∠A＝∠A′＝48°， ∴∠AED+∠ADE＝180°﹣48°＝132°， ∴∠AEF+∠ADG＝2（∠AED+∠ADE）＝2×132°＝264°， ∴∠3+∠4＝360°﹣264°＝96°． 故答案为：96°． 8．如图，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A'处，若∠A＝40°，则∠1+∠2等于（　　） A．40° B．60° C．80° D．90° 【解答】解：∵∠A＝40°， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝140°， ∵折叠， ∴∠ADA′＝2∠ADE，∠AEA′＝2∠AED， ∴∠ADA′+∠AEA′＝2×140°＝280°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠ADA′+180°﹣∠AEA′＝360°﹣280°＝80°； 故选：C． 9．探索归纳： （1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝　 　 ； （2）如图2，已知△ABC中，∠A＝30°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝　 　 ； （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 　 ； （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由． 【解答】解：（1）如图所示： 在△AEF中，由外角性质可知， ∠1＝∠A+∠EFA＝90°+∠EFA，∠2＝∠A+∠AEF＝90°+∠AEF， ∴∠1+∠2 ＝（90°+∠EFA）+（90°+∠AEF） ＝180°+∠EFA+∠AEF， ∵△ABC为直角三角形，∠A＝90°， ∴∠EFA+∠AEF ＝180°﹣∠A ＝90°， ∴∠1+∠2 ＝180°+90° ＝270°． 故答案为：270°． （2）解：如图所示： 在△AEF中，由外角性质可知， ∠1＝∠A+∠EFA，∠2＝∠A+∠AEF， ∵∠A＝30°， ∴∠1+∠2 ＝（∠A+∠EFA）+（∠A+∠AEF） ＝（∠A+∠EFA+∠AEF）+∠A ＝180°+30°＝210°． （3）由（1）、（2）中思路，由三角形外角性质可知：∠1＝∠A+∠EFA，∠2＝∠A+∠AEF， ∴∠1+∠2 ＝（∠A+∠EFA）+（∠A+∠AEF） ＝（∠A+∠EFA+∠AEF）+∠A ＝180°+∠A， ∴∠1+∠2与∠A的关系是∠1+∠2＝180°+∠A， 故答案为：∠1+∠2＝180°+∠A． （4）∠1+∠2与∠A的关系为∠1+∠2＝2∠A，理由如下： 如图， ∵△EFP是由△EFA折叠得到的， ∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF， ∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF， ∴∠1+∠2 ＝（180°﹣2∠AFE）+（180°﹣2∠AEF） ＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）， 又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2 ＝360°﹣2（180°﹣∠A） ＝2∠A， ∴∠1+∠2与∠A的关系为∠1+∠2＝2∠A． 10．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）若点P在线段AB上，如图①所示，且∠α＝30°，则∠1+∠2＝　 　 ； （2）若点P在斜边AB上运动，如图②所示，则∠α，∠1，∠2之间有何关系？猜想并说明理由； （3）若点P在斜边BA的延长线上运动，如图3所示，则∠α，∠1，∠2之间有何关系，并说明理由； （4）若点P运动到△ABC形外（只需研究④情形），请直接写出∠α，∠1，∠2之间的关系． 【解答】解：（1）如图，连接PC， ∵∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE， ∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C， ∵∠DPE＝∠α＝30°，∠C＝90°， ∴∠1+∠2＝30°+90°＝120°， 故答案为：120°； （2）连接PC， ∵∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE， ∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C， ∵∠C＝90°，∠DPE＝∠α， ∴∠1+∠2＝90°+∠α； 故答案为：∠1+∠2＝90°+∠α； （3）如图1，∵∠2＝∠C+∠1+∠α， ∴∠2﹣∠1＝90°+∠α； 如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1+90°； 如图3，∵∠2＝∠1﹣∠α+∠C， ∴∠1﹣∠2＝∠α﹣90°． 故答案为：∠2﹣∠1＝90°+∠α；∠2＝∠1+90°；∠1﹣∠2＝∠α﹣90°． （4）如图所示， ∵∠PFD＝∠EFC， ∴180°﹣∠PFD＝180°﹣∠EFC， ∴∠α+180°﹣∠1＝∠C+180°﹣∠2， ∴∠2＝90°+∠1﹣α． 故答案为：∠2＝90°+∠1﹣α． 训练3 8字模型 【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D. 【证明】在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°.在△CDO中，∠C+∠D＋∠COD=180°. ∵∠AOB=∠COD，∴∠A＋∠B=∠C+∠D. 方法指导 1．如图，AD和BC相交于点O，连接AB、CD，若∠A＝40°，∠B＝75°，∠D＝42°，则∠C的度数为　 　 °． 【解答】解：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D（同角的补角相等）， ∵∠A＝40°，∠B＝75°，∠D＝42°， ∴∠C＝∠A+∠B﹣∠D＝40°+75°﹣42°＝73°； 故答案为：73． 2．拼装智能生产线时，所需一个零件的形状如图所示，按规定∠1＝20°，∠2比∠3大10°，则∠4的度数应该为　 　 °． 【解答】解：如图所示， ∵∠1+∠2+∠5＝180°，∠3+∠4+∠6＝180°，且∠5＝∠6， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4， 则∠4＝∠1+∠2﹣∠3． ∵∠1＝20°，∠2比∠3大10°， ∴∠4＝20°+10°＝30°． 故答案为：30． 3．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于　 　 ． 【解答】解：如图，连接BC．设DC与BE交于点F， ∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°， ∵∠D+∠E+∠DFE＝180°，∠1+∠2+∠BFC＝180°，∠BFC＝∠DFE， ∴180°﹣∠DFE＝180°﹣∠BFC， ∴∠D+∠E＝∠1+∠2＝50°， 即∠D+∠E等于50°， 故答案为：50°． 4．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 　 　 ． 【解答】解：如图，设AE与BC交于点F，AE与CD交于点G， ∵∠GFC＝∠A+∠B，∠DGE＝∠C+∠GFC， ∴∠A+∠B+∠C＝∠GFC+∠C＝∠DGE， 又∵∠DGE+∠D+∠E＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠DGE+∠D+∠E＝180°， 故答案为：180°． 5．如图，BE与AC、AD分别交于点G、F，则∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A＝　 　 °． 【解答】解：∵BE与AC、AD分别交于点G、F， ∴∠B+∠C＝∠AGB＝∠A+∠AFG，∠D+∠E＝∠AFE＝∠A+∠AGF， ∴∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠AFG+∠A+∠AGF， ∴∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A＝∠AFG+∠A+∠AGF， ∵∠AFG+∠A+∠AGF＝180°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A＝180°， 故答案为：180． 6．如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点，连接DE，FG，MN，则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是　 　 ． 【解答】解：在△ABC和△BDE中， ∵∠ABC＝∠DBE， ∴∠D+∠E＝∠BAC+∠BCA； 在△ABC和△ANM中， ∵∠BAC＝∠MAN， ∴∠M+∠N＝∠ABC+∠ACB； 在△ABC和△CGF中， ∵∠ACB＝∠GCF， ∴∠G+∠F＝∠CAB+∠CBA， ∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°， ∴∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N＝∠BAC+∠BCA+∠CAB+∠CBA+∠ABC+∠ACB ＝2（∠ABC+∠BAC+∠ACB） ＝2×180° ＝360°． 故答案为：360°． 7．如图，已知线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，AE、CE分别是∠BAD和∠BCD的三等分线，∠BAD＝3∠BAE、∠BCD＝3∠BCE．若∠B＝47°，∠D＝20°，则∠E＝　 　 ． 【解答】解：如图，AD与CE交于点点F，设∠BAD＝3x，∠BCD＝3y， ∵∠AOB＝∠COD，∠B＝47°，∠D＝20°，∴47°+3x＝20°+3y，∴y﹣x＝9°， ∵AE、CE分别是∠BAD和∠BCD的三等分线，∠BAD＝3∠BAE、∠BCD＝3∠BCE，∴∠EAF＝2x，∠FCD＝2y， ∵∠EFD＝2x+∠E＝2y+20°，∴∠E＝2y﹣2x+20°＝2（y﹣x）+20°＝18°+20°＝38°， 故答案为：38°． 8．如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，∠A＝42°． （1）若∠ADC＝60°，求∠AEP的度数； （2）若∠C＝38°，求∠P的度数． 【解答】解：（1）∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP＝∠PDF∠ADC（角平分线的定义）， ∵∠ADC＝60°， ∴∠ADP＝30°， ∴∠AEP＝∠ADP+∠A＝30°+42°＝72°， 则∠AEP的度数为72°； （2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠ADP＝∠PDF，∠CBP＝∠PBA（角平分线的定义）， ∵∠A+∠ADP＝∠P+∠ABP， ∠C+∠CBP＝∠P+∠PDF， ∴∠A+∠C＝2∠P， ∵∠A＝42°，∠C＝38°， ∴∠P（38°+42°）80°＝40°． 9．（1）如图①，直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B，∠D的数量关系，并说明理由； （2）如图②，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B，∠D的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∠APC与∠B，∠D的数量关系是：2∠APC﹣∠B﹣∠D＝180°，理由如下： 设PC与AD相交于点F，延长AP交BC于点H，如图1所示： ∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCE， ∴设∠PAB＝∠PAD＝α，∠PCB＝∠PCE＝β， ∴∠PCD＝180°﹣∠PCE＝180°﹣β， ∵∠PFD是△PAF和△CDF的外角， ∴∠PFD＝∠PAD+∠APC＝∠D+∠PCD， ∴α+∠APC＝∠D+180°﹣β， ∴α+β＝180°+∠D﹣∠APC， ∴∠APC是△PCH的外角， ∴∠APC＝∠PCB+∠PHC＝β+∠PHC， 又∵∠PHC是△HAB的外角， ∴∠PHC＝∠B+∠PAB＝∠B+α， ∴∠APC＝β+∠PHC＝β+∠B+α， ∴α+β＝∠APC﹣∠B， ∴∠APC﹣∠B＝180°+∠D﹣∠APC， ∴2∠APC﹣∠B﹣∠D＝180°； （2）∠P与∠B，∠D的数量关系：2∠APC+∠B+∠D＝360°，理由如下： ∵直线AP平分FAD，CP平分∠BCE， ∴设∠PAF＝∠PAD＝α，∠PCE＝∠PCB＝β， ∴∠PAB＝180°﹣∠PAF＝180°﹣α，∠PCD＝180°﹣∠PCE＝180°﹣β， 在四边形PABC中，∠P+∠PAB+∠B+∠PCB＝360°， ∴∠P+180°﹣α+∠B+β＝360°①， 在四边形PADC中，∠P+∠PAD+∠D+∠PCD＝360°， ∴∠P+α+∠D+180°﹣β＝360°②， ①+②得：2∠P+∠B+∠D+360°＝720°， ∴2∠P+∠B+∠D＝360°． 10．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数． （3）如图③，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝α，∠ADC＝β，则∠P＝　 　 （用α、β的代数式表示）． 【解答】（1）证明：∵根据三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°， ∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD． ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）解：∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD， 设∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y， 则有， ∴∠ABC﹣∠P＝∠P﹣∠ADC， ∴， 则∠P的度数为26°； （3）解：如图，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠PAD＝180°﹣∠2＝180°﹣∠1，∠PCD＝180°﹣∠3， ∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠ADC+（180°﹣∠3）， ∠P+∠1＝∠ABC+∠4， ∴2∠P＝∠ABC+∠ADC， ∵∠ABC＝α，∠ADC＝β， ∴， 故答案为：． 训练4 飞镖模型 【结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C. 【证明】如图,延长BD交AC于点E. ∠BEC是△ABE的外角，∵∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△CDE的外角， ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C. 方法指导 1．如图，已知在△ABC中，∠A＝50°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，∠ABD+∠ACD＝（　　）度． A．90 B．60 C．50 D．40 【解答】解：在△ABC中，∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°（三角形内角和定理）， 在△DBC中，∠D＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝130°﹣90°＝40°， 则∠ABD+∠ACD的度数为40°， 故选：D． 2．如图，∠B＝30°，∠D＝40°，∠BAD＝2∠C，则∠C的度数为 　 　 ． 【解答】解：如图所示，作射线CA， ∵根据三角形外角的性质可得，∠1＝∠B+∠BCA，∠2＝∠D+∠DCA，∠BAD＝2∠BCD， ∴∠BAD＝∠1+∠2＝∠B+∠D+∠BCD＝2∠BCD（等量代换）， 即∠BCD＝30°+40°＝70°， 所以∠C的度数为70°， 故答案为：70°． 3．如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于点P，若∠A＝48°，∠D＝10°，则∠P的度数为　 　 ． 【解答】解：如图，延长PC交BD于点E，设AC与BP交于点F． ∵∠ABD、∠ACD的平分线交于点P， ∴根据角平分线的定义，∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∵∠A+∠1+∠AFB＝∠P+∠3+∠PFC，∠AFB＝∠PFC， ∴∠A+∠1＝∠P+∠3① ∵∠5＝∠2+∠P，∠5＝∠4﹣∠D， ∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D② ①﹣②，得∠A﹣∠P＝∠P+∠D， ∴． ∵∠A＝48°，∠D＝10°， ∴， 即∠P的度数为19°， 故答案为：19°． 4．如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A＝70°，∠BCD＝120°，若要使∠ABC，∠ADC的平分线相交构成的角∠BED 的度数为100°，则可保持∠A不变，将∠BCD增大　 　 °． 【解答】解：如图，连接AE并延长至点F， ∵∠BED＝100°， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF ＝∠ABE+∠BAE+∠DAE+∠ADE ＝∠ABE+∠BAD+∠ADE ＝100°， ∵∠BAD＝70°， ∴∠ABE+∠ADE＝∠BED﹣∠BAD＝100°﹣70°＝30°， ∵BE，DE分别平分∠ABC，∠ADC， ∴∠ABC+∠ADC＝2（∠ABE+∠ADE）＝2×30°＝60°， 同理可得，∠BCD＝∠BAD+∠ABC+∠ADC＝70°+60°＝130°， ∵130°﹣120°＝10°， ∴需将∠BCD增大10°． 故答案为：10． 5．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应　 　 （填“增加”或“减少”）． 【解答】解：由条件可知∠ACB＝180°﹣110°＝70°， ∴∠DCE＝70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM＝∠D+∠DCF＝20°+∠DCF， ∠EFM＝∠E+∠ECF＝30°+∠ECF， ∴∠EFD＝50°+70°＝120°， 要使∠EFD＝110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD＝∠DFM+∠EFM＝∠D+∠DCF+∠E+∠ECF＝∠D+∠E+∠ECD＝∠D+30°+70°＝∠D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：减少． 6．在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如果∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，∠D＝35°，∠E＝72°，那么∠F＝　 　 °． 【解答】解：连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF并延长到点N，如图所示． ∵∠BEM是△ABE的外角， ∴∠BEM＝∠BAE+∠B． 同理可得出：∠DEM＝∠DAE+∠ADE，∠DFN＝∠DAF+∠ADF，∠CFN＝∠CAF+∠C， ∴∠BEM+∠DEM+∠DFN+∠CFN＝∠BAE+∠B+∠DAE+∠ADE+∠DAF+∠ADF+∠CAF+∠C， 即∠BED+∠CFD＝∠A+∠B+∠EDF+∠C， ∴72°+∠CFD＝52°+25°+35°+30°， ∴∠CFD＝70°． 故答案为：70． 7．如图，若∠EOC＝115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　 °． 【解答】解： ∵∠EOC＝∠E+∠EMO， ∠EMO＝∠C+∠D， ∴∠EOC＝∠E+∠C+∠D， 同理：∠BOF＝∠A+∠B+∠F， ∵∠BOF＝∠EOC， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2∠EOC＝2×115°＝230°． 故答案为：230． 8．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD． （1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC； （2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明． 【解答】解：（1）如图1，延长AD交BC于E． 在△ABE中，∠AEC＝∠A+∠B＝28°+72°＝100°， 在△DEC中，∠ADC＝∠AEC+∠C＝100°+11°＝111°． （2）∠A﹣∠C＝2∠P，理由如下： 如图2，∠5＝∠A+∠1，∠5＝∠P+∠3， ∴∠A+∠1＝∠P+∠3， ∵PB平分∠ABC，PD平分∠ADC， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠A+∠2＝∠P+∠4， 由（1）知∠4＝∠2+∠P+∠C， ∴∠A+∠2＝∠P+∠2+∠P+∠C， ∴∠A﹣∠C＝2∠P． 9．【模型建立】（1）如图①，凹四边形ABOC．因为酷似燕尾，所以称之“燕尾型”求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，∠A＝38°，∠D＝12°，∠ABC＝64°，∠BCD＝46°，求椅面和椅背的夹角∠AED的度数； 【模型迁移】（3）如图③，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数． 【解答】（1）证明：连接OA，并延长，如图①所示： ∵∠BOM是△ABO的外角， ∴∠BAO+∠B＝∠BOM．① ∵∠COM是△AOC的外角， ∴∠CAO+∠C＝∠COM．② ①+②得，∠BAO+∠B+∠CAO+∠C＝∠BOM+∠COM， 即∠BOC＝∠A+∠B+∠C． （2）解：∵∠ABC＝64°，∠BCD＝46°， ∴∠CAO＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD＝180°﹣64°﹣46°＝70°， ∴∠BAO＝∠CAO＝70°． 由【探究】可知∠AED＝∠A+∠D+∠BAO＝38°+12°+70°＝120°； （3）解：连接AD，如图③所示： 由【探究】可知∠F+∠FAD+∠EDA＝∠DEF③，∠BAD+∠ADC+∠C＝∠ABC④， ③+④，得∠F+∠FAD+∠EDA+∠BAD+∠ADC+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°， ∴原图中∠A+∠C+∠D+∠F＝230°． 10．探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝　 °； ②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，则∠DCE＝　 　 °； ③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1，G2…，G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度数． 【解答】解：（1）连接AD并延长至点F， 由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD； 且∠BDC＝∠BDF+∠CDF及∠BAC＝∠BAD+∠CAD； 相加可得∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C； （2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC， 又因为∠A＝50°，∠BXC＝90°， 所以∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°； 故答案为：40． ②由（1）的结论易得∠DBE＝∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB＝80°； 而∠DCE（∠ADB+∠AEB）+∠A， 代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，易得∠DCE＝90°； 故答案为：90°． ③∠BG1C（∠ABD+∠ACD）+∠A， ∵∠BG1C＝77°， ∴设∠A为x°， ∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x° ∴（140﹣x）+x＝77， 14x+x＝77， x＝70 ∴∠A为70°． 训练5 双角平分线模型 【知识点1 双内角平分线模型】 【结论】如图①所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC =90°+∠A. 如图②所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°- ∠A. 如图③所示，∠ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则∠D=∠A. 图① 图② 图③ 【知识点2 双外角平分线模型】 如图②所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°- ∠A. 【证明】设∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y.由△BCD的内角和为180°,得x＋y＋∠BDC=180°.① 易得2x＋2y=180°＋∠A②，由①得x+y=180°-∠BDC③，把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A， 即2∠BDC=180°-∠A，即∠BDC=90°- ∠A. 【知识点3 内外角平分线模型】 如图③所示，∠ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则∠D=∠A. 【证明】设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y. 由外角定理得2y=∠A+2x ①，y=∠D+x② 把②代人①,得2(∠D+x)=xA+2x ,即∠D=∠A. 方法指导 1．如图，在△ABC中，P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点．若∠P＝2∠A，则∠A＝ 　 　 °． 【解答】解：∵P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点． ∴，， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵∠P+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴， ∵∠P＝2∠A， ∴， 解得：∠A＝60°， 故答案为：60． 2．如图，∠ACE是△ABC的一个外角，∠ABC的平分线交AC于点F，交∠ACE 的平分线于点D．若∠D＝35°，则∠A＝　 　 ． 【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE， ∴∠CBD∠ABC，∠DCE∠ACE， ∵∠DCE＝∠D+∠CBD，∠ACE＝∠A+∠ABC， ∴D+∠CBD（∠A+∠ABC）， ∴∠D∠A， ∵∠D＝35°， ∴∠A＝70°． 故答案为：70°． 3．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E．已知∠E＝25°，则∠BOC的度数为　 　 ． 【解答】解：∵CO平分∠ACB， ∴， ∵CE为外角∠ACD的平分线， ∴， ∴， ∵∠ACB+∠ACD＝180°， ∴， ∴∠OCE＝90°， 又∵∠E＝25°， ∴∠BOC＝∠OCE+∠E＝90°+25°＝115°． 故答案为：115°． 4．如图所示，△ABC中，∠A＝40°，BP，CP，BM，CM分别是∠ABC，∠ACD，∠PBC，∠PCB的平分线，则∠M的度数为　 　 ． 【解答】解：∵∠A＝40°，BP，CP，BM，CM分别是∠ABC，∠ACD，∠PBC，∠PCB的平分线， ∴， ∵∠PCD是△BPC的外角， ∴， ∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠P＝180°﹣20°＝160°， ∴， ∴∠M＝180°﹣（∠MBC+∠MCB）＝180°﹣80°＝100°， 故答案为：100°． 5．如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于D2…依次类推，∠ABD3与∠ACD3角平分线交于点D4，则∠BD4C的度数为 　 　 ． 【解答】解：∵∠A＝20°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝160°， ∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB， ∴，， ∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1， ∴，， 同理可得，， ，， ∴， ∴∠BCD+∠CBD＝160°﹣10°＝150°， ∴∠BDC＝180﹣∠BCD﹣∠CBD＝30°， 故答案为：30°． 6．如图，在△ABC中，∠A＝48°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；⋯；∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为　 　 ． 【解答】解：由条件可知，， 由三角形的外角性质，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC， ∴， 整理得：， 同理可得， …， 其规律为：． 要使∠An的度数为整数，n的最大值为4． 故答案为：4． 7．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE且∠D＝2∠DAC，∠E＝2∠EBC，∠1＝12°，若∠DAC的平分线与∠EBC的平分线交于点P，则∠2的度数为　 　 ． 【解答】解：设∠PAB＝x°，∠PBA＝y°， ∵AP，BP分别是∠DAC与∠EBC的平分线， ∴∠DAC＝2∠PAB＝2x°，∠EBC＝2∠PBA＝2y°， ∵∠D＝2∠DAC，∠E＝2∠EBC， ∴∠D＝4x°，∠E＝4y°， ∵∠D+∠ACD+∠DAC＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣∠D﹣∠DAC＝180°﹣6x°，∠ECB＝180°﹣∠E﹣∠EBC＝180°﹣6y°， ∵∠1＝12°， ∴180°﹣（180°﹣6x°）﹣（180°﹣6y°）＝12°， ∴180°﹣180°+6x°﹣180°+6y°＝12°， ∴6（x°+y°）＝192°， ∴x°+y°＝32°， ∴∠2＝180°﹣（x°+y°）＝148°． 故答案为：148°． 8．如图，△ABC中，∠A＝100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，若BM、CM分别是∠ABC，∠ACB的外角平分线，则2∠BIC﹣3∠M＝　 　 ． 【解答】解：∵∠A＝100°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝80°， ∵∠DBC+∠ABC+∠ACB+∠ECB＝2×180°＝360°， ∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝280°， ∵BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠IBC∠ABC，∠ICB∠ACB， ∴∠IBC+∠ICB（∠ABC+∠ACB）＝40°， ∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝140°， ∵BM平分∠DBC，CM平分∠ECB， ∴∠MBC∠DBC，∠MCB∠ECB， ∴∠MBC+∠MCB（∠DBC+∠ECB）＝140°， ∴∠M＝180°﹣（∠MBC+∠MCB）＝40°， ∴2∠BIC﹣3∠M＝2×140°﹣3×40°＝160°， 故答案为：160°． 9．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，△ABC的外角的平分线CD所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与△ABC的外角的平分线BE交于点E．有下列结论：①∠D＝20°；②∠BOC＝100°；③∠E＝∠DOC；④BE⊥BD；⑤DE∥AB．所有正确结论的序号是　 　 ． 【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF， ∴，， ∵∠DCF＝∠DBC+∠D，∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴， ∵∠A＝40°， ∴∠D＝20°，故①正确，符合题意； ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴，， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝110°，故②错误，不符合题意； ∵CD平分∠ACF，CO平分∠ACB， ∴， ∴∠DOC＝90°﹣∠D＝90°﹣20°＝70°， 如图， ∵CE平分∠NCB，BE平分∠MBC， ∴，， ∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB） ， ∴∠E＝∠DOC，故③正确，符合题意； ∵BD平分∠ABC，BE平分∠MBC， ∴， ∴BE⊥BD，故④正确，符合题意； 若DE∥AB，则∠A＝∠ACD， ∵， ∴，即∠ABC＝∠A＝40°，题目未给出∠ABC＝40°，故⑤不一定正确，不符合题意． 故答案为：①③④． 10．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点E． （1）如图1，若∠A＝70°，求∠E的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，延长AB至点F，∠DBF的平分线与∠ACD平分线的反向延长线相交于点G，求∠G的度数； （3）如图3，若点P为BA的延长线上一动点（不与点A重合），连接PC，∠APC和∠ACP的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，∠Q与∠E是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴，， ∴， ∵∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝70°， ∴． （2）∵BE平分∠ABC，BG平分∠DBF， ∴，， ∴， ∵由（1）知∠E＝35°， ∴∠G＝90°﹣∠E＝55°． （3）∠Q+∠E＝180°，理由如下： ∵PQ平分∠APC，CQ平分∠ACP， ∴，， ∴， ∵∠BAC＝∠APC+∠ACP， ∴， 由（1）可得：， ∴∠Q＝180°﹣∠E， ∴∠Q+∠E＝180°． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的角度计算六大模型（计算题专项训练） 【人教版新教材】 训练1 高+角平分线模型 【结论】如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高．则∠DAE|∠B﹣∠C|． 【证明】∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，AD为角平分线，∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝90°∠B∠C， ∵AE为高，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠C， 当∠C＞∠B时，∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝90°∠B∠C﹣（90°﹣∠C）（∠C﹣∠B）， 当∠C＜∠B时，∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝90°﹣∠C﹣（90°∠B∠C）（∠B﹣∠C）， 综上所述，∠DAE|∠B﹣∠C|． 方法指导 1．如图，在△ABC中，E为△ABC角平分线AM的延长线上一点，过点E作ED⊥BC于点D，若∠B＝45°，∠CAE＝2∠E，则∠C的度数为　 　 ． 2．如图，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，则∠DAE＝　 　 ． 3．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝50°，∠ACB＝78°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 　 　 ． 4．如图，AE为△ABC的角平分线，点D为AE上一点（不与A、E重合），DF⊥BC于点F．若∠C＝30°，∠EDF＝18°，则∠B＝　 　 ． 5．如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，AD，BE相交于点O，∠ABC＝40°，则∠AOB＝ 　 　 ． 6．在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠DAE＝10°，∠ABC＝50°，则∠ACB的度数为　 　 ． 7．如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的AB边上的高，AD与CE交于点F，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠BAD和∠ADB的度数． 8．如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AD交于点O，∠BAC＝80°，∠ABC＝30°． （1）求∠BOD的度数． （2）求∠DAE的度数． 9．在△ABC中，AD是角平分线． （1）如图1，过点D作DF⊥AC于点F．若∠B＝35°，∠C＝75°，求∠ADF的度数． （2）如图2，在AD上取一点E（不与A，D两点重合），过点E作EF⊥AC于点F，写出∠B，∠C，∠AEF之间的数量关系，并说明理由． 10．在△ABC中，∠C＞∠B，AE是△ABC的高线，AD是△ABC的角平分线． （1）如图1，若∠B＝30°，∠C＝70°，试求∠DAE的度数； （2）如图2，若点F是AD延长线上一点，FG⊥BC于G，试求∠F与∠C、∠B之间的数量关系； （3）如图3，延长AB到点M，∠MBC的平分线和AD的延长线交于点N．试说明∠N和∠C的数量关系． 训练2 A字模型+风筝模型 【知识点1 A字模型】 【结论】如图①所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A. 【证明】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC. 又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC＋∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A=180°＋∠A. 图① 图② 【知识点2 风筝模型】 【结论】如图②所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE. 【证明】如图，连接AF. ∵∠DBF是△ABF的外角，∠FCE是△ACF的外角，∴∠FCE=∠CAF+∠CFA， ∴∠DBF＋∠FCE=∠BAF＋∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC， 即∠BAC+∠BFC=∠DBF＋∠FCE. 方法指导 1．在如图所示的三角形纸片ABC中剪去△CDE得到四边形ABDE，若∠C＝50°，则∠1+∠2的度数是　 　 ． 2．如图，三角形ABC中D，E为AB，AC上的两点，若∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，则∠A的度数为　 　 ． 3．如图，∠CBE和∠BCF是△ABC的两个外角，∠A与∠CBE，∠BCF之间满足的数量关系是　 　 ． 4．如图，D，E两点分别在△ABC的两边AB，AC上，连接DE，已知∠1+∠2＝α，则∠A＝　 　 •（用含α的式子表示） 5．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝30°，则∠2的度数为　 　 ． 6．如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1﹣∠2＝60°，则∠B的度数是 　 　 ． 7．如图，将△ABC纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若∠1+∠2＝228°，则∠3+∠4＝　 　 ． 8．如图，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A'处，若∠A＝40°，则∠1+∠2等于（　　） A．40° B．60° C．80° D．90° 9．探索归纳： （1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝　 　 ； （2）如图2，已知△ABC中，∠A＝30°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝　 　 ； （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 　 ； （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由． 10．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）若点P在线段AB上，如图①所示，且∠α＝30°，则∠1+∠2＝　 　 ； （2）若点P在斜边AB上运动，如图②所示，则∠α，∠1，∠2之间有何关系？猜想并说明理由； （3）若点P在斜边BA的延长线上运动，如图3所示，则∠α，∠1，∠2之间有何关系，并说明理由； （4）若点P运动到△ABC形外（只需研究④情形），请直接写出∠α，∠1，∠2之间的关系． 训练3 8字模型 【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D. 【证明】在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°.在△CDO中，∠C+∠D＋∠COD=180°. ∵∠AOB=∠COD，∴∠A＋∠B=∠C+∠D. 方法指导 1．如图，AD和BC相交于点O，连接AB、CD，若∠A＝40°，∠B＝75°，∠D＝42°，则∠C的度数为　 　 °． 2．拼装智能生产线时，所需一个零件的形状如图所示，按规定∠1＝20°，∠2比∠3大10°，则∠4的度数应该为　 　 °． 3．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于　 　 ． 4．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 　 　 ． 5．如图，BE与AC、AD分别交于点G、F，则∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A＝　 　 °． 6．如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点，连接DE，FG，MN，则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是　 　 ． 7．如图，已知线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，AE、CE分别是∠BAD和∠BCD的三等分线，∠BAD＝3∠BAE、∠BCD＝3∠BCE．若∠B＝47°，∠D＝20°，则∠E＝　 　 ． 8．如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，∠A＝42°． （1）若∠ADC＝60°，求∠AEP的度数； （2）若∠C＝38°，求∠P的度数． 9．（1）如图①，直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B，∠D的数量关系，并说明理由； （2）如图②，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B，∠D的数量关系，并说明理由． 10．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数． （3）如图③，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝α，∠ADC＝β，则∠P＝　 　 （用α、β的代数式表示）． 训练4 飞镖模型 【结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C. 【证明】如图,延长BD交AC于点E. ∠BEC是△ABE的外角，∵∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△CDE的外角， ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C. 方法指导 1．如图，已知在△ABC中，∠A＝50°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，∠ABD+∠ACD＝（　　）度． A．90 B．60 C．50 D．40 2．如图，∠B＝30°，∠D＝40°，∠BAD＝2∠C，则∠C的度数为 　 　 ． 3．如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于点P，若∠A＝48°，∠D＝10°，则∠P的度数为　 　 ． 4．如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A＝70°，∠BCD＝120°，若要使∠ABC，∠ADC的平分线相交构成的角∠BED 的度数为100°，则可保持∠A不变，将∠BCD增大　 　 °． 5．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应　 　 （填“增加”或“减少”）． 6．在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如果∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，∠D＝35°，∠E＝72°，那么∠F＝　 　 °． 7．如图，若∠EOC＝115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　 °． 8．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD． （1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC； （2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明． 9．【模型建立】（1）如图①，凹四边形ABOC．因为酷似燕尾，所以称之“燕尾型”求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，∠A＝38°，∠D＝12°，∠ABC＝64°，∠BCD＝46°，求椅面和椅背的夹角∠AED的度数； 【模型迁移】（3）如图③，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数． 10．探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝　 °； ②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，则∠DCE＝　 　 °； ③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1，G2…，G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度数． 训练5 双角平分线模型 【知识点1 双内角平分线模型】 【结论】如图①所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC =90°+∠A. 如图②所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°- ∠A. 如图③所示，∠ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则∠D=∠A. 图① 图② 图③ 【知识点2 双外角平分线模型】 如图②所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°- ∠A. 【证明】设∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y.由△BCD的内角和为180°,得x＋y＋∠BDC=180°.① 易得2x＋2y=180°＋∠A②，由①得x+y=180°-∠BDC③，把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A， 即2∠BDC=180°-∠A，即∠BDC=90°- ∠A. 【知识点3 内外角平分线模型】 如图③所示，∠ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则∠D=∠A. 【证明】设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y. 由外角定理得2y=∠A+2x ①，y=∠D+x② 把②代人①,得2(∠D+x)=xA+2x ,即∠D=∠A. 方法指导 1．如图，在△ABC中，P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点．若∠P＝2∠A，则∠A＝ 　 　 °． 2．如图，∠ACE是△ABC的一个外角，∠ABC的平分线交AC于点F，交∠ACE 的平分线于点D．若∠D＝35°，则∠A＝　 　 ． 3．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E．已知∠E＝25°，则∠BOC的度数为　 　 ． 4．如图所示，△ABC中，∠A＝40°，BP，CP，BM，CM分别是∠ABC，∠ACD，∠PBC，∠PCB的平分线，则∠M的度数为　 　 ． 5．如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于D2…依次类推，∠ABD3与∠ACD3角平分线交于点D4，则∠BD4C的度数为 　 　 ． 6．如图，在△ABC中，∠A＝48°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；⋯；∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为　 　 ． 7．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE且∠D＝2∠DAC，∠E＝2∠EBC，∠1＝12°，若∠DAC的平分线与∠EBC的平分线交于点P，则∠2的度数为　 　 ． 8．如图，△ABC中，∠A＝100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，若BM、CM分别是∠ABC，∠ACB的外角平分线，则2∠BIC﹣3∠M＝　 　 ． 9．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，△ABC的外角的平分线CD所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与△ABC的外角的平分线BE交于点E．有下列结论：①∠D＝20°；②∠BOC＝100°；③∠E＝∠DOC；④BE⊥BD；⑤DE∥AB．所有正确结论的序号是　 　 ． 10．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点E． （1）如图1，若∠A＝70°，求∠E的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，延长AB至点F，∠DBF的平分线与∠ACD平分线的反向延长线相交于点G，求∠G的度数； （3）如图3，若点P为BA的延长线上一动点（不与点A重合），连接PC，∠APC和∠ACP的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，∠Q与∠E是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $