《5.3实际问题与一元一次方程4》 课件 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程解决实际方案选择问题，以“买空调的烦恼”生活情境导入，通过温故知新回顾列方程步骤，逐步探究综合费用构成、代数式表示总费用、找费用临界点及分类讨论，搭建完整学习支架。 其亮点在于以空调、复印、地铁月票等生活实例为载体，运用建模思想列代数式与方程求临界点，通过分类讨论培养推理意识，落实数学眼光（抽象能力）与数学语言（模型意识）。如空调问题中先列总费用式，解方程得t=5，再分t<5、t=5、t>5讨论最优方案。助力学生提升用数学解决实际问题能力，教师可借助分层练习和清晰解题步骤高效教学。

第五章 一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程 第4课时 不同能效空调的综合费用比较 学习目标： 1.会分析空调购买费 + 电费的综合费用，能列出一元一次方程解决方案选择问题。 2.经历实际问题建模过程，掌握利用方程找费用相等临界点、对比最优方案的方法。 3.体会数学在生活消费决策中的应用，培养理性选择、节约节能的意识。 教学重点：找准两款空调的费用等量关系，列一元一次方程求解费用临界点，判断最优购买方案。 教学难点：理解分段方案比较思想，根据使用年限的不同，分类讨论、准确选择性价比更高的空调。 列一元一次方程解应用题的主要步骤及关键点 1.审——通过审题找出等量关系. 6.答——注意单位名称. 5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符 合实际问题. 4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解). 3.列——依据找到的等量关系，列出方程. 2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称. 温故知新 买空调的烦恼 家里准备新购一台空调， 商场有两种空调可以选择： 一级能效空调：售价贵，但是省电 三级能效空调：售价便宜，但是耗电多 到底选哪一台空调更划算呢？ 创设情境 1.7.2013 同学们，家里买空调的时候都会遇到这样的选择。一级能效贵但省电，三级能效便宜但费电。到底哪个更划算？今天我们就用数学的方法来算一算。 ‹#› 什么是综合费用 综合费用，就是购买和使用空调的全部花费。 综合费用 = 空调售价 + 使用期间全部电费 售价：买空调时一次性支付，固定不变。 电费：每年都会产生，使用时间越长，电费越多。 探究新知 1.7.2013 综合费用包括两部分：购买空调的售价和使用期间的全部电费。售价是固定的，电费随着使用时间增加而增加。所以使用时间越长，电费在总费用中占的比例就越大。 ‹#› 用代数式表示总费用 电价是0.5元/(kW·h)，设空调使用 年。 1级能效空调： 每年电费： 元 总费用： 3级能效空调： 总费用： 探究新知 1.7.2013 我们设空调使用t年。1级能效空调每年电费是0.5乘以640等于320元，总费用就是3000加320t。3级能效空调每年电费是0.5乘以800等于400元，总费用就是2600加400t。 ‹#› 寻找费用相等的临界点 什么时候两款空调综合费用相同？ 令 结论：使用5年，两款空调的总费用相等。 探究新知 1.7.2013 我们令两款空调的总费用相等，列出方程3000加320t等于2600加400t。移项合并后得到400等于80t，解得t等于5。也就是说，使用5年的时候，两款空调的总费用刚好相等。这个5年就是我们要找的临界点。 ‹#› 分类讨论：怎么选更划算 临界点：使用 年时，两款费用相等。 当 年：3级空调综合费用更低 当 年：两款空调费用相同，任选其一 当 年：1级空调综合费用更低 空调正常使用年限约10年，大于5年。 结论：长期使用，一级能效空调更省钱。 探究新知 1.7.2013 找到了临界点t等于5年之后，我们进行分类讨论。使用少于5年，三级能效更省钱；刚好5年，费用一样；超过5年，一级能效更省钱。空调正常使用年限约10年，所以长期使用选一级能效更划算。 ‹#› 例题：不同能效空调的综合费用比较 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况。某人打算选购一台1.5匹空调，电价是0.5元/(kW·h)。 匹数 能效等级 售价/元 年均耗电量/(kW·h) 1.5 1级 3000 640 1.5 3级 2600 800 请分析：购买、使用哪款空调综合费用较低？ 例题分析 1.7.2013 这是课本上的例题。同学们先读题，找出已知条件和问题。已知两款空调的售价和年均耗电量，电价是0.5元每度。问题是：购买、使用哪款空调综合费用较低？ ‹#› 例题 解答 思路：综合费用=售价+电费，设t年，列方程求临界点，分类讨论。 解：设空调使用年数为 年。 1级总费用： 3级总费用： 令 ： 当 选3级；当 均可；当 选1级。 课本提示：通常一级能效空调既节省又省钱。 例题分析 1.7.2013 这是例题的完整解答。先设未知数，列出两款空调的总费用代数式，然后令它们相等，解方程求出临界点t等于5年。再分类讨论：少于5年选3级，等于5年均可，超过5年选1级。最后课本提示：通常一级能效空调既节省又省钱。 ‹#› 练习1 基础题 在甲复印店用A4纸复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.12元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.09元。 在乙复印店用A4纸复印文件，不论复印多少页，每页都收费0.1元。 问：复印页数为多少时，两店的收费相同？ 分层练习 1.7.2013 这是一道基础题，关于复印店收费的方案选择。甲店是分段收费，20页以内每页0.12元，超过20页的部分每页0.09元；乙店是统一每页0.1元。问题是复印多少页时两店收费相同。 ‹#› 练习1 解答 分析：页数超过20页才有可能两店收费相等。 解：设复印 页，。 甲店费用： 乙店费用： 令两店费用相等： 答：复印60页时，两家店收费相同。 1.7.2013 这道题的关键是甲店分段收费。设复印x页，x大于20。甲店费用是20乘以0.12加上0.09乘以(x-20)，乙店费用是0.1x。令两店费用相等，解方程得到x等于60。所以复印60页时两店收费相同。 ‹#› 练习2 基础提升题 现有两种地铁机场线计次月票： 第一种售价200元，每月包含10次； 第二种售价300元，每月包含20次。 两种月票超出包含次数后，都需另外购票，票价为25元/次。 某人每月乘坐地铁机场线超过10次，他购买哪种月票比较节省费用？ 分层练习 1.7.2013 这是一道基础提升题，关于地铁月票的方案选择。第一种月票200元含10次，第二种300元含20次，超出部分都是25元每次。问题是每月乘坐超过10次时，买哪种月票更省钱。这道题需要分段讨论。 ‹#› 练习2 解答 解：设每月乘坐 次，。 方案一费用： 方案二：当 ，；当 ， ① 当 ，令 ： ，解得 选方案一； 均可； 选方案二 ② 当 ： ，，，选方案二 答：每月乘大于10次且小于14次，选第一种； 等于14次均可；大于14次，选第二种。 分层练习 1.7.2013 这道题需要分段讨论。当乘坐次数在10到20次之间时，令两种方案费用相等，解得x等于14次。当乘坐次数超过20次时，方案二更便宜。综合来看：10到14次选方案一，14次均可，超过14次选方案二。 ‹#› 练习3 提升题 某游泳馆推出两种收费方案： 方案A：办卡200元，每次游泳额外收费10元； 方案B：不办卡，每次游泳收费30元。 问：一年去游泳多少次，两种方案花费相同？ 分层练习 1.7.2013 这是一道提升题，关于游泳馆购票的方案选择。方案A是办卡加每次收费，方案B是不办卡每次收费。问题是一年游泳多少次时两种方案花费相同。 ‹#› 练习3 解答 解：设一年去游泳 次。 方案A总费用： 方案B总费用： 令两种方案花费相同： 答：一年游泳10次，两种方案花费相同。 少于10次选B，多于10次选A。 分层练习 1.7.2013 设一年游泳x次。方案A总费用是200加10x，方案B总费用是30x。令两种方案花费相同，列出方程200加10x等于30x，解得x等于10。所以一年游泳10次时两种方案花费相同。少于10次选方案B，多于10次选方案A。 ‹#› 练习4 提高题 某家庭选购电热水器，有两款可选： A款：售价2200元，年均电费300元； B款：售价2600元，年均电费200元。 问：使用多少年时，两款热水器的总费用相等？ 分层练习 1.7.2013 这是一道提高题，关于热水器选择的方案比较。A款售价低但年均电费高，B款售价高但年均电费低。问题是使用多少年时两款热水器的总费用相等。 ‹#› 练习4 解答 解：设使用 年时，两款总费用相等。 A款总费用： B款总费用： 令两款总费用相等： 答：使用4年时总费用相等。少于4年选A，多于4年选B。 分层练习 1.7.2013 设使用x年时两款总费用相等。A款总费用是2200加300x，B款总费用是2600加200x。令两款总费用相等，列出方程2200加300x等于2600加200x，解得x等于4。所以使用4年时总费用相等。少于4年选A款，多于4年选B款。 ‹#› 练习5 拓展题 某通信公司推出两种手机流量套餐： 甲套餐：月租38元，含10GB流量，超出部分5元/GB； 乙套餐：月租58元，含10GB流量，超出部分3元/GB。 问：每月使用多少GB流量时，两种套餐费用相同？ 分层练习 1.7.2013 这是一道拓展题，关于手机套餐的方案选择。两种套餐都含10GB基础流量，甲套餐月租低但超出部分贵，乙套餐月租高但超出部分便宜。问题是每月使用多少GB流量时两种套餐费用相同。 ‹#› 练习5 解答 分析：流量超过10GB才有可能两种套餐费用相等。 解：设每月使用 GB，。 甲套餐费用： 乙套餐费用： 令两种套餐费用相等： 答：每月用20GB时费用相同。少于20GB选甲，多于20GB选乙。 分层练习 1.7.2013 设每月使用x GB，x大于10。甲套餐费用是38加5乘以(x-10)，乙套餐费用是58加3乘以(x-10)。令两种套餐费用相等，列出方程，解得x等于20。所以每月使用20GB时两种套餐费用相同。少于20GB选甲套餐，多于20GB选乙套餐。 ‹#› 课堂小结 一、解题方法 列代数式表示总费用 → 列方程求临界点 → 分类讨论作出选择 二、数学思想 建模思想：把实际问题转化为数学方程 分类讨论思想：根据临界点分情况讨论最优方案 三、学习意义 用数学眼光观察生活，用数学思维分析问题，用数学语言表达方案。 希望同学们： 做生活中的有心人，用数学知识解决实际问题， 在比较中学会选择，在选择中学会理性消费！ 课堂小结 1.7.2013 课堂小结包含三个部分：解题方法、数学思想、学习意义，最后对同学们提出希望。解题方法是列代数式、列方程求临界点、分类讨论。数学思想是建模思想和分类讨论思想。学习意义是用数学眼光观察生活。最后寄语同学们做生活中的有心人。 ‹#› $