5.3 实际问题与一元一次方程 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元一次方程”，涵盖配套、工程、利润、积分、方案选择等核心应用，通过车间生产、图书整理等生活实例导入，以“设列解检答”步骤为支架，衔接方程概念与实际问题解决。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光（发现数量关系）、思维（逻辑推理列方程）、语言（用代数式表达），如利润问题中分析进价售价关系，方案选择中分类讨论费用。分层训练与步骤总结助力学生建立模型意识，教师可直接使用实例与训练提升教学效率。

实际问题与一元一次方程 模块一： 实际问题（一） 例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺栓 或2 000个螺母. 1个螺栓需要配 2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 分析：每天生产的螺母数量是螺栓数量的2倍时，它们刚好配套。 螺母数量＝螺栓数量×2 这类问题中配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据。 例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺栓 或2 000个螺母. 1个螺栓需要配 2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 解：设应安排x名工人生产螺栓，(22－x)名工人生产螺母， 根据螺母数量应是螺栓数量的2倍，列得方程 2 000(22－x)＝2×1 200x 解方程，得 x＝10 进而 22－x＝12 答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母. 例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺栓 或2 000个螺母. 1个螺栓需要配 2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？ 分析：每天生产的螺母数量是螺栓数量的2倍时，它们刚好配套。 螺母数量＝螺栓数量×2 2 000 x ＝2×1 200(22－x) 提示：在工程问题中： 工作量=人均效率×人数×时间； 总工作量=各部分工作量之和. 题中的工作总量是多少呢？ 例2：整理一批图书，由一个人整理需要 40 h完成. 现计划由一部分人先整理 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 例2：整理一批图书，由一个人整理需要 40 h完成. 现计划由一部分人先整理 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 一般情况下，当题中的工作总量是未知时，可设工作总量为单位1. 分析：如果把总工作量设为1，则人均效率（一个人 1 h完成的工作量）为_____，x人先整理 4 h 完成的工作量为_____，增加2人后再整理 8 h 完成的工作量为___________，这两个工作量之和应等于总工作量. 例2：整理一批图书，由一个人整理需要 40 h完成. 现计划由一部分人先整理 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 解：设先安排x人整理4h， 根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程 + =1 解方程，得 x=2. 答：应先安排 2人进行整理. 用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 一元一次方程 实际问题 设未知数,列方程 解方程 一元一次方程的解 （x＝m） 实际问题 的答案 检验 这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案。正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。 1．某校社团活动课中，手工制作社的同学用一种彩色硬纸板制作某种长方体小礼品的包装盒，每张硬纸板可制作盒身8个或制作盒底12个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种彩色硬纸板，要使盒身和盒底刚好配套，设需用x张做盒身，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． B 2．整理一批图书，由一个人做要完成，现计划有一部分人先做，然后增加4人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，则下列判断正确的是（    ） A．这批图书共有3000本 B．具体应先安排7人工作 C．把一个人的工作效率看为1，设安排人先工作，则 D．把总工作量设看为1，设安排人先做，则 C 3．现有一工程打算让甲、乙两个工程队完成，甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天，现由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合做完成．问：甲、乙两队合做多少天完成剩下的工程．设甲、乙两队合做x天完成剩下的工程． (1)如果把总工作量设为1，则甲队一天完成的工作量为_________，乙队一天完成的工作量为_______，甲队先做10天完成的工作量为_______，甲乙合做完成的工作量为_________（用含x的式子表示） (2)列方程求甲、乙两队合做多少天完成剩下的工程． 解：（2）由题意列方程，得，解得． 答：甲、乙两队合做30天完成剩下的工程． 4.某家具厂有60名工人，加工某种有一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工3个桌面或6个桌腿．分配多少工人加工桌面，多少工人加工桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套？ 解：设有x名工人加工桌面，则加工桌腿的有名， 根据题意得，， 解得：， 名，   答：有20名工人加工桌面，40名工人加工桌腿． 制作横式无盖长方体纸盒 活动 如右图， 用3个长方形纸板和2个正方形纸板， 可以制作1个横式无盖长方体纸盒 材料 现有 36张硬纸板，可以制作需要的长方形纸板和正方形纸板． 说明 为了提高原材料的使用率，用每张硬纸板制作3个长方形纸板，或者制作6个正方形纸板．这样利用原材料，可以将制作过程中的损耗降低到忽略不计． 问题解决 问题 1 用多少张硬纸板制作长方形纸板，多少张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套？ 一共可以制作出多少个横式无盖长方体纸盒？ 问题 2 若制成的每个横式无盖长方体纸盒的长为18厘米，宽为9厘米，高为9厘米，求每个横式无盖长方体纸盒的表面积是多少平方厘米？ 5.某中学七年级数学社团，在活动中用所学的数学知识， 尝试解决问题． 解：问题一：设张硬纸板制作长方形纸板，则张硬纸板制作正方形纸板， 由题意得：， 解得：， 则，， 答：用27张硬纸板制作长方形纸板，9张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套，一共可以制作出个横式无盖长方体纸盒； 问题二：（平方厘米）， 答：每个横式无盖长方体纸盒的表面积是648平方厘米． 一元一次方程解决实际问题的过程 设未知数、列方程 解方程 检验所得结果、确定答案 模块二： 利润问题（二） 常用概念 概念含义 进价 标价 售价 打折 利润 利润率 商店进货时的价格 商品在商店出售时所标明的价格 商品出售时的实际价格 打几折就是标价的十分之几 商品的售价高于进价的钱数 商品的利润与进价的比值 与销售有关的概念 销售盈亏相关关系式 （1）利润＝_______________； （2）利润率＝_____________； （3）售价＝_______________； （4）售价（打折后）＝_______________； （5）售价－进价＝________________． 售价－进价 成本＋利润 进价×利润率 探究： 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏? 盈利 亏损 不盈不亏 ？ 探究： 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏? 分析：有同学可能认为，一件盈利25％，另一件亏损25％，合起来是不盈不亏；实际上，是盈是亏要看这家商店买进这两件衣服时共花了多少元。如果总售价大于总进价就盈利，总售价小于总进价就亏损，相等就不盈不亏。 售价 进价 盈利 亏损 不盈不亏 售价 进价 ＞ 售价 进价 ＝ 售价 进价 ＜ 120 ？ 两件衣服的成本之和 探究： 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏? 解：设盈利25%的那件衣服的进价是 x 元，它的商品利润就是 0.25x．根据进价与利润的和等于售价，列得方程 x＋0.25 x＝60 解得： x＝48 可以设另一件衣服的进价为y元，它的商品利润是－0.25y元， 列得方程 y－0.25 y＝60 解得： y＝80 ∴两件衣服的进价是 x＋y＝128 (元) 探究： 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏? 售价 进价 盈利 亏损 不盈不亏 售价 进价 ＞ 售价 进价 ＝ 售价 进价 ＜ 120 ？ 两件衣服的成本之和 128 探究： 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏? 探究： 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏? 两件衣服的总进价是48＋80＝128（元），而两件衣服的总售价是60＋60＝ 120（元），总售价小于总进价，由此可知卖这两件衣服共亏损8元。 说一说：列、解方程后得出的结论与你先前的估计一致吗？通过对本题的探究，你 对方程在实际问题中的应用有什么新的认识？ 销售问题中的两个基本公式 （1）利润＝售价－进价． 等式左边的“利润”若为正，盈利；若为负，亏损． （2）利润率＝ ， 还可以变形为利润率×进价＝售价－进价． 1．某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利（相对于进货价），则该商品的进货价是（　　） A．9504元 B．9600元 C．9900元 D．10000元 B 2．某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本计，其中一件盈利，另一件亏本，在这次买卖中他（    ） A．不赚不赔 B．无法比较 C．赔18元 D．赚18元 C 3．张叔叔要购买一款汽车，汽车销售公司推出两种购车方案：分期付款加价2400元；全款支付九七折优惠．张叔叔算了一下，他看中的汽车全款支付比分期付款要少付6000元．这款汽车原价是多少元？（用方程解） 解：设这款汽车原价是x元， 根据题意得：， 解得：． 答：这款汽车原价是120000元． 4．张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元．张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减价1元，我就多订购4件．“商品店经理算了一下，如果减价，由于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润，则这种商品的成本是 元． 75 5．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，恰好总进价为2600元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (2)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款320元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 解：（1）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 由题意得，，解得：，则 答：购进甲商品40件，乙商品20件． （2）设第一天购买乙种商品件，依题意得， 或，解得或（舍去）， 所以第一天购买乙种商品5件． 元，每件乙种商品售价为80元． 设第二天购买甲种商品件， 依题意得，或，解得或9， 所以第二天购买甲种商品8或9件， 件或件． 答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件． 销售盈亏问题 解题步骤 根据问题设出未知数 明确题目中的概念和等量关系（一般进价不变），列方程 解方程 模块三： 比赛积分问题 探究：球赛积分表问题 某次篮球联赛积分 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 你能从表格中了解到哪些信息？ 前进队在比赛中胜了10场 钢铁队在比赛中一场也没胜 雄鹰队在比赛中一共得了21分 …… 想一想：积分与哪些量有关呢？ 积分与胜、负场数有关 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 （1）胜一场和负一场各积多少分？ 分析 ：(1)观察表，从最下面一行数据可以看出，负一场积1分。 设胜一场积x分，由表中其他任何一行可以列方程，求出x的值 例如，由第一行得方程 10x+1×4=24 解得 x=2 用表中其他行可以验证，得出结论：胜一场积2分，负一场积1分。 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 （2）用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系. （2）若一支球队胜m场，则负（14−m）场，胜场积分为2m，负场积分为14−m，总积分为 2m+(14−m) 即 m+14 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 （3）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ （3）设一支球队胜了y场，则负了（14−y）场。若这支球队的胜场总积分等于负场总积分，则得方程 2y=14−y 解得 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 想一想，y 表示什么量？它可以不取整数吗？由此你能得出什么结论？ 解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符合实际．因为y(所胜的场数)的值必须是整数，所以不符合实际，由此可以判定没有哪支球队的胜场总积分等于负场总积分. 这个问题说明： 1.用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。 2.利用方程不仅能求具体数值，而且可以进行推理判断. 1．第十九届亚洲运动会开幕式于年月日晚在浙江省杭州市隆重举行．某球赛的比赛记分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一支球队一共进行了场比赛，输了场，得分．设该球队胜了场，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． B 2．数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（    ） A．5道 B．6道 C．7道 D．8道 D 3．为丰富校园生活，推动“五育并举”，减轻学生学习压力，提高学生身体素质．某学校举办了春季篮球比赛．比赛规定胜1场得3分，平1场得1分，负1场扣1分．某队在10场比赛中胜了6场，共得20分，问该队负了几场． 解：设该队平了x场，则负了场． 由题意得 解得 则 答：该队负了1场． 4．小彬是学校的篮球队长，在一场篮球比赛中，他一人得了25分，其中罚球得了5分，他投进的2分球比3分球多5个，则他本场比赛3分球进了 个． 2 5．为提高学生的计算能力，我校七年级在元旦之前组织了一次数学速算比赛．速算规则如下：速算试题形式为计算题，共20道题，答对一题得5分，不答或错一题倒扣1分．小明代表班级参加了这次比赛，请解决下列问题： (1)如果小明最后得分为82分，那么他计算对了多少道题？ (2)小明的最后得分可能为95分吗？如果不能，请说明理由． 解：（1）根据题意，设计算对了道题，则不答或错了道题， ∴，解得，， ∴计算对了道题； （2）不能，理由如下，由（1）可得，， 解得，，∵为正整数，∴小明的最后得分不能为， ∴不能． 球赛积分表问题 注意问题 等量关系 涉及公式 总积分＝胜场总积分＋平场总积分 ＋负场总积分 比赛场数＝胜场数＋平场数＋负场数 比赛中胜、平、负一场的积分 模块四： 方案选择 探究：不同能效空调的综合费用比较 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两 款空调的部分基本信息．如果电价是0.5元／(kw·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 两款空调的部分基本信息表 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 （1）你能从表格中得到哪些信息？对空调的选择要综合考虑哪些因素？ （2）空调的电费与什么因素有关？如果把空调的售价与电费的和叫作空调的综合费用，如何根据综合费用来选择空调？你觉得选哪款空调更划算？ 空调匹数、能效等级、售价和平均每年的耗电量 空调的售价与电费 使用时间 综合费用＝空调的售价＋电费 （3）设空调的使用时间为t年，你能把两款空调的综合费用分别用t表示出来吗？观察列出的两个代数式，可以得出哪款空调的综合费用更低吗？ 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 1级能效空调的综合费用（单位：元）是 3000＋0.5×640t，即 3000＋320t. 3级能效空调的综合费用（单位：元）是 2600＋0.5×800t，即 2600＋400t. （4）使用时间是多少年时，两款空调的综合费用相等？ 3000＋320t＝2600＋400t， 解得 t＝5. （5）使用时间在什么范围内，1级能效空调的综合费用更低？使用时间在什么范围内时，3级能效空调的综合费用更低？请说明理由。 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2600＋400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即 （3000＋320t）＋（80t－400）， 也就是 3000＋320t＋80（t－5）. 这样，当t＜5时，80(t－5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；当t＞5时，80(t－5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低. 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长（超过5年）时综合费用反而低。根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期计起），因此购买、使用1级能效空调更划算。 通常，1级能效电器既节能又省钱！ 1．运用一元一次方程解应用题的方法，求解使方案值相等的情况； 2．用特殊值试探去选择方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣后下结论． 解答这类问题的一般步骤 1．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（    ） A．60人 B．61人 C．62人 D．63人 D 2．今年五一长假期间，某博物馆门票的收费标准如下： 门票类别 成人票 儿童票 团体票（限5张及以上） 价格（元/人） 100 40 60 小明和小鹏两个家庭分别去该博物馆参观，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，结果小明家比小鹏家少花40元．则小明家购门票共花了（　　） A．200元 B．240元 C．260元 D．300元 C 3．周末，乐乐一家和姑姑一家（共6人）相约一起去观看电影《长津湖》．乐乐用手机查到他家附近两家影城的票价和优惠活动如下： 影城 票价（元） 优惠活动 时光影城 48 学生票半价 遇见影城 50 网络购票，总价打八折 乐乐打算用网络给所有人购票，发现两家影城购票的总费用相同，则两家共有学生 人． 2 4．某学校在一次环保知识宣传活动中，需印刷若干份调查问卷．印刷厂有甲、乙两种收费方式，甲种方式：收制版费6元，每印一份收印刷费0.1元；乙种方式：不收制版费，每印一份收印刷费0.12元：设共印刷调查问卷x份． (1)按甲种方式应收费 元，按乙种方式应收费 元；（用含x的代数式表示） (2)试问学校选用哪种印刷方式所需费用较少？ 解：（2）根据题意可得：， 解得： ． 故印刷少于300份时，乙种收费方式较少；印刷300份时，两种收费方式一样多；印刷多于300份时，甲种收费方式较少． 5．当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）： 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． (1)若，请计算哪种方案划算； (2)若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来； (3)请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案． 解：（1）当时， 方案一：（元）． 方案二：（元）． 因为， 所以当时，方案一划算． 答：若，方案一划算． （2）当时， 方案一：元． 方案二：元． 答：方案一、方案二的费用用代数式分别表示为元， 元． （3）若方案一和方案二的费用相等， 当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，可得 解得． 因为， 所以，当时，方案二划算；当时，方案一划算； 当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，可得 ，解得． 所以，当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 综上可知,当时,方案二划算；当时,方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 方案选择问题 列方程 分类讨论 列代数式 　　在分类讨论的某个范围内， 借助字母表达式表示费用 　　不同方案的选择的转折点，可通过列方程计算寻找 弄清如何分类 $