八年级数学上学期9月学情自测（新教材沪教版第19-21章，高效培优·提升卷）

**基本信息** 本卷聚焦沪教版八年级上册19-21章二次根式与一元二次方程核心内容，通过新定义“波浪方程”（24题）、几何图形拼接（25题）等创新设计，考查运算能力、推理意识与几何直观，适配月考学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/12|最简二次根式（1题）、有理化因式（2题）|基础概念辨析，强化抽象能力| |填空题|12/36|同类根式（8题）、增长率问题（13题）、规律探究（16题）|结合实际情境，培养模型意识| |解答题|7/52|方程根的证明（22题）、新定义应用（24题）、几何拼接计算（25题）|分层设计，通过新定义与图形操作考查推理能力与创新意识|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版八年级上册第19~21章。 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义即可求解，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，不符合题意，     B. ，不是最简二次根式，不符合题意，     C. ，是最简二次根式，符合题意，     D. ，不是最简二次根式，不符合题意， 故选C 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 2．在下列各式中，二次根式的有理化因式是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式的有理化因式就是将原式中的根号化去，即可得出答案． 【详解】∵， ∴二次根式的有理化因式是：. 故选C. 3．化简：，那么化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了化简二次根式，先判断m、n的符号，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 5．下列说法中正确的个数是（   ） ①方程的两个实根的积为2 ②关于的方程有两个实数根 ③方程的根为 ④关于的方程无论取何值一定有两个不相等的实数根 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解法、判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的判别式逐项判断即可． 【详解】解：①方程，， 故方程无解，该序号的说法错误； ②当时，关于的方程可化为：， 解得：，只有一个实数根，故该序号的说法错误； ③方程， ， ， 解得：，，故该序号的说法错误； ④关于的方程， ， 当时，方程有两个相等的实数根，故该序号的说法错误； 所以正确的个数是0． 故选：A． 6．当时，化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，能够根据二次根式的被开方数中因式的特点正确化简二次根式是本题的关键． 先利用的取值范围判断的正负性，根据二次根式的性质进行化简，最后根据绝对值的性质去绝对值，然后进行计算即可． 【详解】解：． ． ． 故选：B． 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．比较大小：________（请填、或）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键． 将两数分别平方后，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： ． 8．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：∵，且最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴ 故答案为：． 9．一元二次方程的解是________． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 通过移项，因式分解的方法来求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：，． 故答案为：，． 10．分母有理化：_______． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化，分子分母同乘计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．不等式 的解集是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式， 根据移项，系数化为1，再分母有理化解答. 【详解】解：不等式， 移项，得， 两边都除以，得， 即. 故答案为：. 12．已知，则的值为___________； 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，分母有理化．通过分母有理化可得，将原式变形为，再将代入求值即可． 【详解】解：， 将代入，得： 原式 ． 故答案为：． 13．我国西部某地决定加快植树造林的速度，如果计划用两年的时间将防风林的面积从现在的2万亩扩大到万亩，则这两年平均每年的增长率为________． 【答案】 【分析】设这两年平均每年的增长率为x，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了平均增长率问题，正确列方程并熟练解答是解题的关键． 【详解】设这两年平均每年的增长率为x，根据题意，得， 解得（舍去）， 故答案为：． 14．当________时，方程有两个实根． 【答案】，且. 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程有两个根，可得，且，再求出答案即可. 【详解】解：∵一元二次方程有两个根， ∴，且， 解得，且. 故答案为：，且. 15．如果关于的方程的两根之和与两根之积互为相反数，那么_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，一元二次方程根的判别式，相反数的定义，设方程的两个根为、，由根和系数的关系得，，进而得到，解方程求出的值，再根据根的判别式求出的取值范围即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设方程的两个根为、， 则，， ∵两根之和与两根之积互为相反数， ∴， 整理得，， 解得或， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及代数式求值，根据所给各数的排列方式，发现前n排数的总个数的变化规律，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1排数的个数为：； 前2排数的总数为：； 前3排数的总数为：； …， 所以前n排数的总数为，且第n排有个数． 当时，，， 所以，数字是第46排，从左往右的89个数． 因为第第46排有个数，且从右到左依次减小， 则，， 所以． 故答案为：． 17．规律探究 设，，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律以及二次根式的化简求值，解题的关键是根据已知规律得出的表达式，再利用裂项相消法进行计算． 先根据已知规律求出的表达式，再将展开，利用裂项相消法计算． 【详解】解：由 推知：， 可得， 则 ， 故答案为：． 18．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形（正方形和正方形），已知：，，，则大正方形的边长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根的应用，平方差、完全平方公式，设大正方形的边长为，则有，，然后通过，则，所以，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设大正方形的边长为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴或（舍去）， ∴大正方形的边长为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算， （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】（1） ； （2） ． 20．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．解关于 或 的方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】(1) 利用因式分解法求解即可． (2) 利用因式分解法求解即可． 本题考查了因式分解法，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴，． （2）， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 22．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根小于，求的取值范围． 【答案】(1) 证明： 该方程总有两个实数根 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及求根公式： （1）根据根与系数的关系判断即可； （2）利用求根公式判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据求根公式得 该方程有一个根小于 23．如果一元二次方程的两实数根分别为，，不解方程，求下列代数式的值．   （1）； ． 【答案】(1)；(2)-1. 【分析】根据根与系数的关系找出x1+x2＝3、x1•x2＝1． （1）将代数式x12+x22变形为只含x1+x2、x1•x2的代数式，代入数据即可得出结论； （2）将代数式（x1﹣2）（x2﹣2）展开后代入数据即可得出结论． 【详解】∵方程x2﹣3x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝1． （1）x12+x222x1•x2＝32﹣2×1＝7； （2）（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝1﹣2×3+4＝﹣1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x1+x2＝3，x1•x2＝1是解题的关键． 24．已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； (3)若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 【答案】(1)方程为波浪方程， 理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； （3）根据根与系数的关系推出，根据波浪方程的定义得到，据此得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； （3）解：∵一个波浪方程的两个根分别为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴这个波浪方程为． 25．为了将一张宽为的长方形纸片拼接成一个新的图形，我们进行如下的操作： ①先将纸片沿虚线剪开（图1）； ②然后将三角形部分沿所剪的方向向下平移一段距离，并将三角形沿虚线剪开（图2）； ③再将剪得的四边形部分沿第一次所剪的方向向上平移（图3）； ④得到新的图形（图4）． 在图4中延长，交于点，延长，交的延长线于点，如果四边是一个面积为的正方形，四边形是一个面积为的正方形． (1)请用两种不同的代数式来表示线段的长； (2)如果，求与之间的数量关系． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查列代数式，二次根式的应用，分式的化简， 解题的关键是掌握以上知识点． （1）①；②根据图1变到图4时的面积相等列式化简即可； （2）根据（1）中的两种表示方式列出等式，将代入后化简即可． 【详解】（1）解：如图： ①∵四边形是一个面积为的正方形，四边形是一个面积为的正方形 ∴，， ∴； ②∵图1矩形面积和图4中多边形面积相等， ∴， ∴； ∴或； （2）解：由（1）得， 当时，， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版八年级上册第19~21章。 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．在下列各式中，二次根式的有理化因式是(    ) A． B． C． D． 3．化简：，那么化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 5．下列说法中正确的个数是（   ） ①方程的两个实根的积为2 ②关于的方程有两个实数根 ③方程的根为 ④关于的方程无论取何值一定有两个不相等的实数根 A．0 B．1 C．2 D．3 6．当时，化简（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．比较大小：________（请填、或）． 8．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为__________． 9．一元二次方程的解是________． 10．分母有理化：_______． 11．不等式 的解集是_____． 12．已知，则的值为___________； 13．我国西部某地决定加快植树造林的速度，如果计划用两年的时间将防风林的面积从现在的2万亩扩大到万亩，则这两年平均每年的增长率为________． 14．当________时，方程有两个实根． 15．如果关于的方程的两根之和与两根之积互为相反数，那么_______． 16．将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为______． 17．规律探究 设，，则的值为___________． 18．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形（正方形和正方形），已知：，，，则大正方形的边长为______． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．计算： (1)． (2)． 20．计算 (1)； (2)． 21．解关于 或 的方程： (1) (2) 22．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根小于，求的取值范围． 23．如果一元二次方程的两实数根分别为，，不解方程，求下列代数式的值．   （1）； ． 24．已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； (3)若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 25．为了将一张宽为的长方形纸片拼接成一个新的图形，我们进行如下的操作： ①先将纸片沿虚线剪开（图1）； ②然后将三角形部分沿所剪的方向向下平移一段距离，并将三角形沿虚线剪开（图2）； ③再将剪得的四边形部分沿第一次所剪的方向向上平移（图3）； ④得到新的图形（图4）． 在图4中延长，交于点，延长，交的延长线于点，如果四边是一个面积为的正方形，四边形是一个面积为的正方形． (1)请用两种不同的代数式来表示线段的长； (2)如果，求与之间的数量关系． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C B C A B 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7． 8． 9．， 10． 11． 12．/ 13． 14．，且. 15． 16． 17． 18．/ 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19. （本题6分） 【详解】（1） ；………………3分 （2） ．………………6分 20．（本题6分） 【详解】（1）解： ；………………3分 （2）解： ．………………6分 21．（本题6分） 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴，．………………3分 （2）， ∴， ∴， ∴或， 解得，．………………6分 22．（本题8分） (1)证明： 该方程总有两个实数根………………4分 （2）解：根据求根公式得 该方程有一个根小于 ………………8分 23．（本题8分） 【详解】∵方程x2﹣3x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝1． （1）x12+x222x1•x2＝32﹣2×1＝7；………………4分 （2）（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝1﹣2×3+4＝﹣1．………………8分 24．（本题8分） 【答案】(1)方程为波浪方程， 理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程，………………２分 （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得；………………5分 （3）解：∵一个波浪方程的两个根分别为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴这个波浪方程为．………………8分 25．（本题10分） 【详解】（1）解：如图： ①∵四边形是一个面积为的正方形，四边形是一个面积为的正方形 ∴，， ∴；………………２分 ②∵图1矩形面积和图4中多边形面积相等， ∴， ∴； ∴或；………………6分 （2）解：由（1）得， 当时，， ∴．………………10分 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $