八年级数学上学期9月学情自测（新教材沪教版第19-21章，高效培优·强化卷）

**基本信息** 本卷聚焦沪教版八年级上册19-21章，以二次根式、一元二次方程为核心，通过“神奇区间”新定义、几何与数轴结合题（如第24题），分层考查抽象能力、运算能力与推理意识，适配月考学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/12|无理数判断、最简二次根式|基础概念辨析，强化抽象能力| |填空题|12/36|平方根比较、“神奇区间”新定义|结合非负性、整数解，渗透模型意识| |解答题|7/52|方程求解、根与系数关系、几何与数轴综合|分层设计，如第24题通过图形剪拼关联实数与数轴，发展空间观念与应用意识|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C D C C C 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．± 8． 9． 10．或2或3 11．2 12． 13．/ 14．/ 15． 16．2026 17． 18．33或127/127或33 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．（本题6分） 【详解】（1）解： ；……………………3分 （2）解： ……………………6分 20．（本题6分） 【详解】（1）解：根据题意可知：， ；……………………3分 （2）解：根据题意可知：， ∴， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．……………………6分 21．（本题6分） 【详解】（1） 解： 或 或……………………3分 （2） 解： 或……………………6分 22．（本题8分） 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得；……………………4分 （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴．……………………8分 23．（本题8分） 【详解】（1）解： ；……………………4分 故答案为：； （2） ．……………………8分 24．（本题8分） 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：， ∵， ∴， ∴的长在2和3之间；……………………2分 （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：；……………………4分 （3）解：设点D与数对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合．……………………8分 25．（本题10分） 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴原式 ， ， 故答案为：3；……………………2分 （2）解：由题意可知：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时，，， ∴， ∴，故符合题意； 当时，，， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，a的取值范围是， 故答案为：；……………………6分 （3）解：原方程可化为：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时， ∴，， ∴， ∴此方程无解，故不符合题意； 当时，，， ∴原方程化为：， ∴，符合题意； 综上所述，或．……………………10分 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版八年级上册第19~21章。 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列各数：、、、、、，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数为无理数，注意带根号的要开方开不尽才是无理数，利用无理数是无限不循环小数分析求解即可求得答案． 【详解】解：， 下列各数：、、、、、，其中无理数有、、，一共3个， 故选：B． 2．在下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，逐一分析每个选项是否满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解： ，不是最简二次根式． ，不是最简二次根式． ，被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式． ，不是最简二次根式． 故选：C． 3．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理化因式． 有理化因式的定义是两个含有根式的式子相乘后结果为有理式．对于形如的根式，其有理化因式通常为本身，因为，结果不含根号． 根据有理化因式的定义作答即可． 【详解】解：的一个有理化因式是． 故选： D． 4．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，立方根的定义． 根据二次根式的化简，立方根的定义逐一判断即可． 【详解】A．，原计算错误； B．当时，无意义，原计算错误； C．，原计算正确； D．当时，无意义，原计算错误； 故选：C． 5．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确求解是解题的关键． 根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：C． 6．若，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．2a 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的非负性，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，整理得，再化简，然后进行分类讨论，化简绝对值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 则 当时，则； 当时，则； 故选：C 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．的平方根是__________． 【答案】± 【详解】分析：根据平方运算，可得平方根、算术平方根． 详解：的平方根是±．     故答案为． 点睛：本题考查了算术平方根．平方运算是求平方根的关键． 8．比较大小：___________（用“>”、“<”或“=”填空） 【答案】 【分析】通过作差与比较大小即可得出结论． 【详解】解： ， 又， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查比较两个实数的大小，涉及到作差法比较实数大小、二次根式比较大小的方法等知识点，熟练掌握作差法比较大小的恒等变形判定符号是解决问题的关键． 9．若与互为相反数，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查的是非负数的性质，根据相反数的概念列出算式，根据偶次方、算术平方根具有非负性分别求出a、b，计算即可． 【详解】解：由题意得：， 则，， 解得：，， 则， 故答案为：． 10．如果为整数，要使得和都有意义，那么的值为__________． 【答案】或2或3 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．熟练掌握二次硍式有意义的条件，解不等式组，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得，解不等式组即得a的取值范围，再根据为整数求整数解即可． 【详解】解：∵和都有意义， ∴． 解得． ∴． 又∵为整数， ∴或2或3， 故答案为：或2或3． 11．如果方程是一元二次方程，那么m的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，再求解即可． 【详解】方程是一元二次方程， 所以且， 解得． 故答案为：2． 12．已知m是方程的根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此得到，即，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．已知是2的算术平方根，那么不等式的解集为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根，解不等式，分母有理化；先根据算术平方根的定义求得m，再代入不等式即可求得结果． 【详解】解：由题意得，代入不等式可得 ， 整理得， 解得， 故答案为：． 14．计算：____． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的乘法法则和积的乘方与平方差公式．先根据积的乘方得到，然后利用平方差公式计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．若，且满足，则______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，先由，利用完全平方公式得，再开方得，然后根据得，即可得出答案． 【详解】解：∵，且满足， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴ 故答案为：． 16．已知实数满足，那么__________． 【答案】2026 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质．先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简得，然后两边平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故． 故答案为：2026． 17．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形面积与边长的关系，二次根式的计算和面积的和差关系，先根据正方形面积公式求出两个小正方形的边长，进而得到大正方形的边长，再根据正方形面积公式求出大正方形的面积，最后用大正方形的面积减去两个小正方形的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 18．如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例： ，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则__． 【答案】33或127/127或33 【分析】根据“神奇区间”的定义，还有二元一次方程正整数解这两个条件，寻找符合的情况． 【详解】解：“神奇区间”为， 、为连续正整数， ，， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解， 符合条件的，有，，；，，． ，，时，，， ， ， ，，时，，， ， ， 故的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查新定义，估算无理数大小，二元一次方程整数解相关知识，综合考查学生分析、计算能力． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂、立方根，正确计算是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先计算算术平方根、零次幂、立方根，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： 20．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键. （1）原式先化简各二次根式，再合并即可； （2）原式先计算二次根的乘法和除法，再合并即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ； （2）解：根据题意可知：， ∴， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ． 21．解方程 (1)； (2)；（用公式法） 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程——因式分解法，公式法，熟练掌握各自解法是解题的关键． （1）先用乘法公式去括号，合并同类项，再用因式分解法解方程； （2）找出的值，先用判别式判断方程有多少个实数根，再用求根公式求出方程的解． 【详解】（1） 解： 或 或 （2） 解： 或 22．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 23．先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． （）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 24．如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，求点D在数轴上表示的数； (3)在（2）的基础上以数1对应的点为折点，将数轴向右对折，则点D与数________对应的点重合． 【答案】(1)的长在2和3之间 (2) (3) 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点D表示的数； （3）设点D与数对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：， ∵， ∴， ∴的长在2和3之间； （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：； （3）解：设点D与数对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 25．阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 (1)当时，化简：_______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，理解例题的解题思路是解题的关键． （1）根据已知可得，，然后利用二次根式的性质，进行计算即可解答； （2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴原式 ， ， 故答案为：3； （2）解：由题意可知：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时，，， ∴， ∴，故符合题意； 当时，，， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，a的取值范围是， 故答案为：； （3）解：原方程可化为：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时， ∴，， ∴， ∴此方程无解，故不符合题意； 当时，，， ∴原方程化为：， ∴，符合题意； 综上所述，或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版八年级上册第19~21章。 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列各数：、、、、、，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．在下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．2a 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．的平方根是__________． 8．比较大小：___________（用“>”、“<”或“=”填空） 9．若与互为相反数，则的值是______． 10．如果为整数，要使得和都有意义，那么的值为__________． 11．如果方程是一元二次方程，那么m的值为______． 12．已知m是方程的根，则代数式的值为______． 13．已知是2的算术平方根，那么不等式的解集为__________． 14．计算：____． 15．若，且满足，则______． 16．已知实数满足，那么__________． 17．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为_____． 18．如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例： ，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则__． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．计算： (1)； (2)． 20．计算： (1) (2) 21．解方程 (1)； (2)；（用公式法） 22．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 23．先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 24．如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，求点D在数轴上表示的数； (3)在（2）的基础上以数1对应的点为折点，将数轴向右对折，则点D与数________对应的点重合． 25．阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 (1)当时，化简：_______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $