七年级数学上学期9月学情自测（新教材沪教版第10-11章，高效培优·强化卷）

**基本信息** 聚焦整式与乘法公式，通过矩形镶嵌（第6题）、正方形剪拼（第23题）等几何情境考查知识应用，渗透数形结合思想，适配七年级学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/12|同类项判断（第1题）、乘法公式运用（第4题）|抽象能力（符号意识）| |填空题|12/36|单项式次数（第7题）、完全平方式（第14题）|运算能力（公式应用）| |解答题|7/52|化简求值（第20题）、几何与代数结合（第23题验证平方差公式）|几何直观（图形分析）、推理意识（第24题最值推理）|

2026-2027学年七年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：90分钟，分值：100分) 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D A 1.B 2.D 3.C 4.C 5.A 6.A 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7.6 8.36 9.2x23x+1 10.2 11.16 12.-12.x8y7 14.±70 15.29 16.1 17.5009 18.90 三、解答题（本大题共7小题，1922每题6分，23-24每题9分，第25题10分，共52分) 19.(本题6分) 答案第1页（共2页） 【详解】 1)解：3mm-(2m-m0+m =3m8-4m8-m8 =-2m8 3分 (2)解：(a-b)(a+b} =[(a-b)(a+b)] =(a2-b2y月 =a-2a2b2+b.…6分 20.(本题6分) 【详解】(1)解：原式=3x2+2x2-3x+x-5x2 =(3+2-5)x2-(3-1)x =-2x;3分 当x=314时，原式=-2×314=628： (2)解：原式5w-8r2+12x2-4y =(5-4）y-(8-12)x2 =y+4x2 当x= y2时照024-10 1 6分 21. (本题6分) 【详解】(1)原式=-x2+5x+x2-2x-3 =3x-3;…3分 (2)原武[4-广-42+4-y]4 答案第2页（共2页） =[-2y2+4xy]÷4y 2y+x, 把x=-2y=4代入上式得：×4)小+(-2)=0 6分 22.(本题6分) 【详解】(1)解：：x+y=-3,y=2, .(x-y) =(x+y)2-4xy =(-3)2-4×2 =9-8 =1；…3分 (2)解：·x+y=-3,y=2 .(2x-1)(2y+1)(2x+1(2y-) =(2x-1)(2x+1)(2y-1)(2y+1) =(4x2-10(4y2-) =16x2y2-4x2-4y2+1 =16x2y2-4(x2+y2）+1 =16x2y2-4(x2+2y+y2-2xy)+1 =16x2y2-4x+y)2-2.y]+1 =16×22-4×[(-3)2-2×2+1 =16×4-4×(9-4)+1 答案第3页（共2页） =64-4×5+1 =64-20+1 =45..6分 23. (本题9分) 【详解】(1)解：图①的剩余面积为a2-b2,图②拼接得到的图形面积为(a+b)(a-b) a2-b2=(a+b)(a-b) 因此有， 故选：A;…3分 x2-y2=(x+y)x-y)=16x+y=8 (2)解： .x-y=16÷8=2 ;…6分 g思赋-凯-0-引a0 13.243.5 2023202520242026 223344 2024202420252025, 1.2026 -× 22025, 1013 2025· …9分 24.(本题9分) 【详解】(4)解：-4+15=(x-2}+11 .当x=2时，有最小值11： 故答案为：2,11；…3分 (2)解：y=+6x-15=-(x-3}-6 ∴.当x=3时有最大值-6： 故答案为：3，大，一6；…6分 (3)解： -x2+5x+y+10=0 x+y=r-4r-10=(x-2}2-14 答案第4页（共2页） (x-2)2≥0 ÷（x-2y-14≥-14 当x=2时，y+尤的最小值为-14.9分 25.(本题10分) 【详解】(1)解：设1-x)=a,(x-5)=b,则1-xx-5)=ab=2,a+b=(1-x)+(x-5)=4, ∴.1-x)2+(x-5)2=a2+b2 =(a+b}-2ab =(-4)}-2×2 =16-4 =12;3分 (2)解：设30-2x=m,x-20=n,则mn=(30-2x)(x-20)=-25,m+2n=30-2x+2(x-20)=-10, :30-2x)2+4x-20y2 =m2+(2n)月 =(m+2n）}2-4mn =(-10)}-4×(-25) =100+100 =200;…6分 (3)解：正方形ACFG的边长为13-m,面积为13-m,正方形ABDE的边长为10-m,面积为 (10-m)2 则有3-m°+(10-m2=117 设l13-m=P,10-m=9,则P2+g=03-m+(0-m=117,p-q=13-m-10+m=3 答案第5页（共2页） 所以长方形AEPC的面积为： pg-+90--17-954 2 2 答：长方形AEPC的面积为54.…10分 答案第6页（共2页） 2026-2027学年七年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版七年级上册第10~11章。 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列说法正确的是（   ） A．的系数是，次数是3 B．多项式的次数是2，项数是3 C．单项式与是同类项 D．多项式按x的降幂排列为 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 4．下列乘法公式的运用中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．不论、为何实数，代数式的值（   ） A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数 6．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．单项式的次数是___________． 8．已知，且，则________． 9．在横线上填入适当的整式：（_____）． 10．展开后不含的一次项，则______． 11．若，的值为_____． 12．计算：______． 13．计算：的结果是______． 14．整式是完全平方式，则______． 15．计算：___________．（结果用幂的形式表示） 16．已知实数a、b、c满足 ，则______． 17．若，则的值是___________． 18．如图，在长方形中放入一个边长为8的正方形和两个边长为6的正方形．若阴影部分的面积满足，则长方形的面积为_________． 三、解答题（本大题共7小题，19-22每题6分，23-24每题9分，第25题10分，共52分） 19．计算： (1)； (2)； 20．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 21．按要求完成各题： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中，． 22．如果，求 (1)的值； (2)的值 23．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)若，求的值； (3)计算：． 24．我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，∴当时，的值最小，最小值是， ∴，∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 请你根据上述方法，解答下列各题． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是______； (2)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (3)知识拓展：若，求的最小值． 25．我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： (1)算法赏析：若满足，求的值． 解：设，则 ……请继续完成计算； (2)算法体验：若满足，求的值； (3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为117，求长方形的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版七年级上册第10~11章。 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列说法正确的是（   ） A．的系数是，次数是3 B．多项式的次数是2，项数是3 C．单项式与是同类项 D．多项式按x的降幂排列为 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的项、系数、次数，同类项．根据单项式与多项式的项、系数、次数，同类项的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、的系数是，次数是4，故本选项说法错误； B、多项式中，是常数项，因此它的次数是2，项数是3，故本选项的说法正确； C、单项式与中，a的指数不同，b的指数不同，它们不是同类项，故本选项的说法错误； D、多项式按x的降幂排列为，故本选项的说法错误． 故选：B 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及单项式的乘法．利用幂的运算性质，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为，该选项错误，不符合题意； B、幂的乘方，底数不变，指数相乘，应为，该选项错误，不符合题意； C、积的乘方，需将每个因式分别平方，应为，该选项错误，不符合题意； D、单项式相乘，系数相乘，同底数幂相乘，，该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是积的乘方、幂的乘方运算及科学记数法，掌握积的乘方及幂的乘方运算法则是解题关键，根据运算顺序及法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 4．下列乘法公式的运用中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式的法则． 根据完全平方公式和平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A错误，不符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C正确，符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故选：C． 5．不论、为何实数，代数式的值（   ） A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的概念，由完全平方式的非负性是解决本题的关键． 对代数式分别对对部分配方和对部分配方得到完全平方式，再通过配方法转化为平方和的形式，结合非负性即可确定其取值范围． 【详解】解：原式可分解为： 对部分配方：； 对部分配方：； 代入原式得：， 由于且，故， 因此原式的最小值为， 综上，代数式的值总不小于2． 故选：A． 6．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式、平方差公式与几何图形，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 先得到大正方形边长为，小正方形边长为，即可得到，；再由四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积得到，即可判断③；再由和判断④⑤． 【详解】解：∵大正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9， ∴大正方形边长为，小正方形边长为， ∴，， 故①②正确； ∵四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积， ∴， ∴， 故③正确； ∴， 故④正确； ∴， 故⑤正确， ∴不正确的有0个， 故选：A． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．单项式的次数是___________． 【答案】6 【分析】本题考查了单项式的次数，掌握单项式的次数概念是解题的关键． 根据单项式的次数是指所有字母的指数之和，与系数无关，解答即可． 【详解】解：单项式 中，字母的指数是3，字母的指数是2，字母的指数是1，因此次数为． 故答案为 6． 8．已知，且，则________． 【答案】36 【分析】本题考查了完全平方公式，利用和的完全平方公式与差的完全平方公式的关系求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴ ． 故答案为：36． 9．在横线上填入适当的整式：（_____）． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法公式，掌握除法运算是解题的关键． 根据“因子积另一个因子”，将右边多项式除以即可得到横线上的整式． 【详解】设横线上的整式为，则， 所以， 因为，，， 所以， 故答案为：． 10．展开后不含的一次项，则______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，将原式展开后按照的降幂排列，由整式不含的一次项得出其系数为可得答案，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵不含的一次项， ∴，解得， 故答案为：． 11．若，的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，首先根据，可得：，把写成，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：原式，从而可得：结果为． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，根据相关运算法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 13．计算：的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用，逆用积的乘方和幂的乘方进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 14．整式是完全平方式，则______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的结构特征求解即可，熟练掌握完全平方式的结构是解题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 15．计算：___________．（结果用幂的形式表示） 【答案】299 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，根据同底数幂的乘法的逆运算求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 16．已知实数a、b、c满足 ，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质：绝对值，偶次方，代数式求值，根据非负数的性质求出a、b、c的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ，，， ，，， ， 故答案为： 17．若，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查整体代入求值，解决此题的关键是利用已知条件对所求代数式进行变形，构造出与已知条件相关的形式，从而整体代入求值，变形已知式子得，然后对所求式子变形后，整体代入即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ， 18．如图，在长方形中放入一个边长为8的正方形和两个边长为6的正方形．若阴影部分的面积满足，则长方形的面积为_________． 【答案】90 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键． 设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积如何表示，根据，可整体求得的值，即长方形的面积． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为：，宽为：，故 的长为：，宽为：，故； 的长为：，宽为：，故． ∵， 解得 故答案为：90． 三、解答题（本大题共7小题，19-22每题6分，23-24每题9分，第25题10分，共52分） 19．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同底数幂乘除法、幂的乘方、积的乘方法则化简，然后再合并同类项即可； （2）先利用积的乘方计算，然后再运用完全平方公式计算即可； 【详解】 （1）解： ． （2）解： ． 20．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：原式 ； 当时，原式； （2）解：原式 ； 当时，原式； 21．按要求完成各题： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)，0 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ， 把代入上式得：． 22．如果，求 (1)的值； (2)的值 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，以及代数式的变形和整体代入思想，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的变形应用以及整体代入的方法是解题的关键． （1）可先根据完全平方公式，再将已知条件代入该公式进行计算． （2）先利用乘法交换律和结合律将式子重新组合为，然后根据平方差公式分别计算中括号内的式子，得到，再展开式子，最后将和的值代入计算． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 23．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)若，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)A (2)2 (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何意义及应用，因式分解，掌握公式的结构特征是正确应用的前提，利用公式进行适当的变形是得出答案的关键． （1）根据拼接前后的面积相等可得出答案， （2），即，又，可求出的值， （3）利用平方差公式将算式转化为分数的乘积的形式，根据数据规律得出答案． 【详解】（1）解：图①的剩余面积为，图②拼接得到的图形面积为 因此有，， 故选：A； （2）解：，， ； （3）解：原式， ， ， ． 24．我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，∴当时，的值最小，最小值是， ∴，∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 请你根据上述方法，解答下列各题． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是______； (2)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)， (2)，大， (3) 【分析】（1）根据完全平方公式将原式整理后即可确定最小值； （2）将等式右边配方后即可确定当取何值时能取到最小值； （3）首先得到有关的关系式，根据完全平方公式将原式整理后确定最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴当时有最大值； 故答案为：，大，； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为． 【点睛】本题考查完全平方公式及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 25．我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： (1)算法赏析：若满足，求的值． 解：设，则 ……请继续完成计算； (2)算法体验：若满足，求的值； (3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为117，求长方形的面积． 【答案】(1)12 (2)200 (3)54 【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提． （1）根据完全平方公式可得可求得此题结果； （2）设，，则，，再利用完全平方公式求解即可； （3）正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为，可得，设，，则，，利用可求出答案． 【详解】（1）解：设，则， ； （2）解：设，，则，， ∴ ； （3）解：正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为， 则有， 设，，则，， 所以长方形的面积为： ， 答：长方形的面积为54． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $