第20章 二次根式 单元检测提升卷 2026～2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

**基本信息** 沪教版五四制八年级上册二次根式单元检测提升卷，120分钟120分，24题覆盖概念、性质、运算及应用，梯度合理，融入数学眼光、思维与语言，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|二次根式概念、性质、规律探究|如第5题通过等式规律培养推理意识，第10题根整数定义考查抽象能力| |填空|6/18|大小比较、化简求值、规律归纳|第13题类比观察培养几何直观，第16题式子规律发展创新意识| |解答|8/72|运算、实际应用、阅读理解|第21题高空抛物问题体现模型意识，第24题配方法应用发展运算能力与应用意识|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026~2027年沪教版五四制新教材数学八年级上册 · 第20章二次根式章节检测提升卷 · 考试时间：120分钟        满分：120分 · 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列各式：①；②；③；④．其中是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的定义，即可求解． 【详解】解：①无意义，不是二次根式； ②不是二次根式； ③当时无意义，不是二次根式； ④是二次根式； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握形如的式子是二次根式是解题的关键． 2．根据以下程序，当输入时，输出结果为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】先计算的结果，若结果小于2，则输出结果，若结果大于或等于2，则把结果作为x的值重新输入到进行计算，据此逐步求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴输出的结果为． 3．如果等式在实数范围内成立，那么（    ） A． B． C． D．取任意实数 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的乘法计算，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵等式在实数范围内成立， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图是小明用6个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成的一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（　　）    A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为96 【答案】C 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的乘法、二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据图形特征、长方形的面积周长公式以及二次根式的混合运算，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵小长方形的长为，宽为，∴，故该选项不符合题意； B、∵小长方形的长为，宽为，∴，故该选项不符合题意； C、∵大长方形的长为，大长方形的宽为，∴，故该选项符合题意； D、∵大长方形的长为，大长方形的宽为，∴，故该选项不符合题意； 故选：C 5．观察下列各组等式： （1）； （2）； （3）； … 根据上述规律，第2018个式子的值是（   ） A．8068 B．8069 C．8070 D．8071 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律，观察等式结构，左边为，右边为，其中为式子的序号，代入即可得第2018个式子的值． 【详解】规律分析：每个式子的左边为，右边为，其中为式子的序号． 第1个式子：； 第2个式子：； 展开左边验证：，与右边一致，规律成立。 第2018个式子中，，因此值为：； 故选：D． 6．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算、异分母分式加减法 【分析】先对所求分式通分变形，再计算与的值，代入化简后的式子即可求值，利用平方差公式简化计算过程. 【详解】解：先对通分变形，得： ， ， ， 将代入， 得： 7．代数式＋＋的最小值是（    ） A．0 B．1＋ C．1 D．2 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的应用 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再结合算术平方根的性质求代数式的最小值． 【详解】解：要使代数式有意义，需满足，，．解得． ∵ 被开方数越大，算术平方根越大， ∴ 当时，，，的值均随的增大而增大． ∴ 代数式的值随的增大而增大． ∴ 当时，代数式取得最小值．代入得最小值为． 8．已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的乘除混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解：，， ， 原式， 故选：C． 9．若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法，（，）． 利用二次根式的乘法，将分解成，得到，进而根据，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 10．对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下三种说法：①若，则满足题意的的整数值有4个；②；③只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】新定义下的实数运算、求一个数的算术平方根、无理数的大小估算 【分析】本题考查定义新运算，无理数的估算，根据新定义逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则：， ∴， ∴整数的值为，共5个；故①错误； 当时，，，，故②错误； ， ， ∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大值为255，最小值为， ∴最大值与最小值之差为239；故③正确； 故选B． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．比较大小：（1）_____，（2）_____．（填“”，“”或“”） 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小： （1）首先把两个数平方，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大，据此解答即可； （2）先求出两个数的差，再比较差与0的大小关系，即可求解． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 故答案为： （2）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 12．已知，则___________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二次根式的混合运算、已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 13．观察：，，，…计算，其结果为_________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了数字规律、有理数的加减运算、加法运算律等知识点，发现规律成为解题的关键． 先观察发现规律将根号去掉，然后运用加法运算律以及裂项法求解即可． 【详解】解：， ， ， …… ， ． 14．已知一个长方形的长是宽的倍，面积是，则这个长方形的周长为__________． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用及一元二次方程的应用，能够将图形的面积公式和二次根式熟练的结合在一起是解答本题的关键．设长方形的宽为，则长方形的长为，则，解出方程，再进行计算即可． 【详解】解：设长方形的宽为，则长方形的长为， 则， 解得（舍去）， 长方形的长为， 长方形的周长为． 故答案为： 15．计算的结果是_________． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 16．观察下列各式，第一个为，第二个为，第三个为，类比上述式子，根据规律，第七个式子为________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】根据规律，列出关于的式子，代入，即可求解， 本题考查了，列代数式，二次根式的性质与化简，解题的关键是：找出规律，列出代数式． 【详解】解：根据规律可得：， 当时，，即：， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、零指数幂 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． （1）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，先算乘除，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的性质和零次幂的性质化简，最后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．已知实数a，b满足，且是17的算术平方根，是的立方根． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)21 (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查算术平方根、立方根，完全平方公式，代数式求值． （1）由算术平方根、立方根的定义得出，，再利用完全平方公式将变形为即可求解； （2）结合（1）中结论，利用完全平方公式计算出，再根据，得出，再将变形为即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 因为， 所以 ； （2）解：因为， 所以， 因为，即， 所以， 所以． 19．若成立，求． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、二次根式有意义的条件、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及代数式求值，关键是根据二次根式被开方数非负的性质确定的取值．先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入的表达式计算出，最后将、代入计算结果． 【详解】解：∵， ∴，解不等式得，解不等式得， ∴， ∴． 则． 故答案为：． 20．阅读理解题： 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如：和，和，和等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简：①______，②______； (2)计算：； (3)已知，，试比较，，的大小． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是理解清楚分母有理化的方法． （1）利用分母有理化的方法进行运算即可； （2）对各分母进行分母有理化运算，从而可求解； （3）取各数的倒数，再对分母进行分母有理化运算，从而可求解． 【详解】（1）解：①； ②， （2） ； （3）， 同理：， ， ∵， ∴． 21．行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空坠物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）． (2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：不正确，理由如下： ∵小明住的高度是小亮家的倍， ∴． 将的值代入公式中，得： ∴，   即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是倍．因此，小明的说法不正确． 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的运算及自由落体运动中速度与高度关系公式的应用以及，解题关键是准确代入公式中各物理量的值，并熟练运用二次根式运算法则进行计算与化简 。 （）根据小亮家楼层高度代入高空抛物下落速度公式，通过二次根式运算得出结果，。 （2）先根据小明家高度是小亮家2倍，算出小明家高度，再代入速度公式然后，与小亮家物品落地速度相比，即可得出结论. 【详解】（1）解：根据题意得，． 把，，代入得 ， ∴该楼层落地时的速度为． （2）略 22．阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：_________；___________． (2)是正整数，，且，求． (3)已知满足，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】已知条件式，化简求值、分母有理化 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式和利用分母有理化把分式进行化简． （1）把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）先把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式求出，，从而求出，然后根据列出关于m的方程，解方程即可； （3）设，，根据已知条件求出，再求出，然后利用完全平方公式求出，最后根据完全平方公式求出即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：， （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：设 ， ， ， ，即：， ， 由题易知 即： 23．某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)购买装饰画大约需要花费元 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． 【详解】（1）解：由题得， （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解：由题意得，其余区域的面积为 平方米， ∴总花费为元， 答：购买装饰画大约需要花费元． 24．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为1． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【挑战应用】（4）如图，在四边形中，，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于 ． 【答案】（1）2； （2）解：， ∵， ∴， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）； （4） 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、通过对完全平方公式变形求值、线段中点的有关计算、不等式的性质 【分析】（1）根据配方法将平方形式，结合其非负性即可求得最小值； （2）根据配方法将配成形式，结合其非负性即可求得最小值为正数，即可知无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）根据已知得，由面积公式得展开配成平方形式，结合非负性和不等式的性质求得最大值即可； （4）连结，由中点的性质得和，则 ，进一步得到=，结合 和 ，得到，结合（3）知四边形的面积最大值为 ，即可求得面积的最大值． 【详解】（1）解： ， 无论取何实数，都有， ，即的最小值为； 故答案为：； （2）略 （3）∵，， ∴， ∴ ∵， ∴当，四边形的面积最大，最大值为． （4）连结，如图， ∵点M是的中点， ∴，， ∴ ， ∵点M是的中点，点N是的中点， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ∵ 四边形的面积最大值为 ， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，涉及配方法和非负性、不等式的性质、中点的性质，解题的关键是熟悉配方法和中点的性质． 试卷第4页，共22页 试卷第3页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危光多笔 20262027年沪教版五四制新教材数学八年级上册 第20章二次根式章节检测提升卷 考试时间：120分钟 满分：120分 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1.下列各式：①V-2x(x>0):②4；③V1-m(m>0):④V9ab.其中是二次根式的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2根据以下程序，当输入V7 时，输出结果为() 输入x 计算Vx2-I →果是/输出结果 否 A.1 B V2 C.v3 D.2 3.如果等式vava-2=Va(a-2 在实数范围内成立，那么() A.a20 B.0≤a≤2 C.a≥2 D.a取任意实数 4.如图是小明用6个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成的一个大长方形，已知小 长方形的长为V52 宽为8 ，下列对大长方形的判断不正确的是() A.大长方形的长为85 B.大长方形的宽为6N5 试卷第1页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 14V2 C.大长方形的周长为 D.大长方形的面积为96 5.观察下列各组等式： (1)4×12-12=4×1-1: (2)4×22-32=4×2-1: (3)4×32-52=4×3-1: 根据上述规律，第2018个式子的值是() A.8068 B.8069 C.8070 D.8071 11 6.已知m=5+2,n=5-2,则m+n的值为（) 5 A,√5 B.25 C.2 D.-V5 7.代数式F+2】 的最小值是() A.0 B.1+V2 C.1 D.2 8.已知a>0,那么Vb可化简为() A.bab C.-bV-ab D.b 9.若万=a,而=b则 10 的值为() b A.a B.b C.a D. 10,对于一个正实数m,我们凝定：用衍号[]表示不大于m的最大整数，称[为 m的根整数，如：[4]=2.[]=3 如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止. 试卷第2页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 例如：对11连续求根整数2次，【可-3→[]-1，这时候结果为1.现有如下三种说 法：①若[V网]-2，则满足题意的m的整数值有4个@[-(m]-m,③只需 进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大值与最小值之差为239.其中 正确说法的个数有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） V2+1 6 11.比较大小：(1)25，(2)25.（填“>”，“<”或“= ”) b 12.已知a+h=-5,ab=3,则a+a6 ix2,++=1+, ,11 ,11 13.观察： *2x3,V++年=1+3 3×4,…计算 11 11 11 1.1 下+2+1+ 32+1 2+ 32+ 1+ +10,其结果为 14.已知一个长方形的长是宽的2倍，面积是10，则这个长方形的周长为 15.计算VW2025-2024的结果是 3 …类比上述式子，根据规律，第七个式子为 三、解答题（共8小题，满分72分） 17.计算： 试卷第3页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 a)4x 6V5+V48 1V5 √2 (22-(3-π)°-2-5) 18.已知实数a,b满足a>b,且a+b是17的算术平方根，ab是-8的立方根. Q求+6 的值： )求4b-a6 的值. 19老=Vx-4+、4-x-2 2 成立，求(x+). 20.阅读理解题： 像5+25-2=l,axa=a(a≥0)，（6+6-=6-16≥0)，两个含有二次 根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如： 5和v5,（不5+和（5-，25+35)和2(5-35)等都是互为有理化因式，进行 二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： 2 1 (1)化简：①32，②7-5 1 1 1 1 2+1+5+N2+4+5+…+2024+V2023 (√2024+1) (2)计算： （6)尼知a=2023-v202h=2024-2025,c=V2025-2024试比较0,6，C的大 小. 21.行文明之举，向高空抛物说“不”·近年来，因高空坠物造成伤害的事件频繁发生， 为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度V(单位： ms)和高度A(单位：m)近似满足公式"=2g0(不考虑风速的影响，8=10ms). 试卷第4页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡笔 30m 已知小亮家所住楼层的高度是 国决00 高空抛物 高案抛物危及他人安全 ③先盘湿 (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）. (2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家 坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的 说法正确吗？判断并说明理由 22.阅读下列材料，然后回答问题. 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我 a+b=2,ab=-3a2+b 们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已 ,求 我们可以把a+b 和b看成是一个整体，令x=a+by=ab,则+b=(a+b-2ab=产-2y=4+6=10这 样，我们不用求出a,b,就可以得到最后的结果 V5+25-√2 √5+√2,5-√2 (1)计算：√3-√2V3+√2 ;√3-V2'√3+V2 √m+1-m,√m+1+m a= ,b= (2)m是正整数， Vm+1+VmVm+1-Vm,且2a2+1829ab+2b2=2025,求m. B已知×满是V15+-19-=2,求5+r+19-r的值. 23.某学校有一块长方形的文化长廊区域4BCD(如图)，该区域的长BC为6N5米，宽 B为V4 米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为 试卷第5页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 (25-米 (I)求该长方形文化长廊区域ABCD的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元/平 方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 24.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如： 已知x可取任何实数，试求二次三项式x2-4x+5的最小值、 解：-4r+5=r-4x+4+1=(x-2+1 “无论x取何实数，都有x-2)≥0， :(-2+121,即2-4x+5的最小值为1. 【尝试应用】(1)请直接写出 2x2-8x+10 的最小值： 【拓展应用】(2)试说明：无论x取何实数，二次根式V+x+2 都有意义： 【创新应用】(3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD,若AC+BD=10,求四边形 ABCD的面积最大值。 【挑战应用】(4)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD,AC+BD=10,点M和点N分 别是BD和AC的中点，BA和CD的延长线交于点P,则△PMN面积的最大值等于_， 试卷第6页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 图危先乡笔 M N 试卷第7页，共22页