第二十章 二次根式（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次根式单元提升卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖二次根式概念、运算及应用，适配单元复习，强化抽象能力与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/12|二次根式有意义条件、最简二次根式|基础概念辨析，考查抽象能力| |填空题|12/36|化简、分母有理化、海伦公式应用|结合文化素材（海伦公式），体现数学眼光| |解答题|7/52|混合运算、材料阅读（第24题）、综合证明（第25题）|分层设计，材料题培养推理意识，综合题提升创新应用能力|

第二十章 二次根式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C D A C C 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7． 8． 9． 10．/ 11．0.3173 12． 13．2 14．/ 15． 16．， 17． 18． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根，二次根式的混合运算； （1）根据算术平方根和立方根的求解方法求解即可； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则，进行计算即可； （2）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键． （1）先分母有理化，然后根据二次根式加减混合运算法则，进行计算即可； （2）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，完全平方公式的应用，先利用分母有理化得出，再将分式化简，代入求解即可． 【详解】解： ， ， 将代入，原式 ． 23．【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式化简求值，由二次根式有题意得条件得，，即得，进而可得，即等式可变为，得到，再代入分式化简即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得，，， ∴， 又∵，， ∴且， ∴， ∴等式可变为， ∴， ∴原式 ． 24．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、求代数式的值，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先将原式配方变形后，将的值代入计算即可求出值； （2）把所求的式子变形为，然后再把和的值代入进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ∵， ∴，， ∴原式 ． 25．【答案】(1) 证明：∵三个正数a，b，c满足， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2)①；②当时，；当时，；当时，即． 【分析】本题考查的是应完全平方公式分解因式，算术平方根的含义，利用平方根的含义解方程； （1）利用完全平方公式把原式化为，进一步可得答案； （2）①由两式相加可得，再利用两式相减即可得到答案；②根据作差法得到，分三种情况：当时；当时；当时进行讨论即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵，， ∴两式相加得，， ∴； 两式相减得，． ②∵（，且n是整数）， ∴， ∴， 又由①中，， 而，， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴两式相加得， ∴， ∴， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 二次根式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．如果二次根式 有意义，那么实数 满足条件的范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子称为二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵二次根式 有意义， ∴， ∴． 故选：B． 2．下列根式中， 最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，关键是熟练应用定义． 由最简二次根式需满足：①被开方数不含能开方的因数或因式；②被开方数不含分母，进行判断即可得到答案． 【详解】解：A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：无法分解为因数或因式的平方且不含分母，是最简二次根式，符合题意； D：被开方数含分母，不符合题意． 故选：C． 3．下列各选项中，的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理化因式，根据进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则的有理化因式是， 故选：D 4．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式的定义，解题的关键是将二次根式化为最简二次根式后，判新被开方数是香相同． 将每个选项中的二次根式化为最简二次根式，再比按被开方数是香相同，从而确定是香为同类二次根式． 【详解】解：A、；．两者最简二次根式的被开方数都是2，属于同类二次根式； B、；．被开方数分别为3和2，不是同类二次根式； C、；．被开方数分别为和，不是同类二次根式； D、（已是最简）；，被开方数分别为和，不是同类二次根． 故选：A． 5．若 ，则 的值是 （     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质及化简，由已知可得，再根据二次根式的性质即可得到，进而得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ． 故选：C． 6．等式 成立的条件是 （     ） A． 且 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件可得且，解不等式组即可． 本题主要考查了二次根式的除法，被开方数要大于等于0，分母不能为0． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故选：C 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．有意义的条件是________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式、分式有意义的条件，根据被开方数大于等于0，分母不为，列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 8．比较大小： _____ ． （填“”“”“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较．比较两个数的平方，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴． 故答案为： 9．化简：________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义和化简，熟练掌握二次根式的化简是解题关键． 直接根据二次根式的化简方法即可得． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： ． 10．分母有理化：_____________ 【答案】/ 【分析】本题考查分母有理化，涉及平方差公式，掌握相关知识是解题关键． 分子，分母同乘以，利用平方差公式化简解题即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 11．已知，，则________ 【答案】0.3173 【分析】把被开方数0.1007变形为10.07×，故，进而求解即可. 【详解】， 故答案为：0.3173 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题关键在于能够把所求的二次根式进行变形. 12．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 _____． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式与最简二次根式的定义，掌握定义是解题的关键． 根据两个二次根式是同类二次根式，被开方数就应该相等，由此可得出关于a的方程，进而可求出a的值，再判断是否是最简二次根式即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 当时，，，它们是最简二次根式． 因此,最简二次根式 与 是同类二次根式． 故答案为：． 13．已知的结果为正整数，则正整数的最小值为___． 【答案】2 【分析】由题意可知8n是一个完全平方数，从而可求得答案． 【详解】解：， ∵n是正整数，也是一个正整数， ∴n的最小值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，根据题意先化简再分析，从最小的平方数开始考虑． 14．化简： _____． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，先由二次根式有意义的条件计算得出，从而得出，再根据二次根式的性质化简即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．不等式的解集是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，熟练掌握解不等式的一般步骤，是解题的关键．先移项，合并同类项，然后将系数化为1即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 故答案为：． 16．一元二次方程的解是________． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 通过移项，因式分解的方法来求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：，． 故答案为：，． 17．已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式，其中；我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了海伦公式和秦九韶公式，运用海伦公式或秦九韶公式求三角形面积是解题的关键． 根据秦九韶公式求三角形面积即可． 【详解】解：一个三角形的三边长分别为2，3，4， ， 故答案为：． 18．如果，并且表示当时的值，即， ，那么的值是 _____． 【答案】 【分析】根据已知表达式，求出，进而求得，再进一步求解原式值． 【详解】 解：∵，   ∴ 又 ∴ 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查根据已知条件求代数式值、分式运算及规律探索；解题的关键在于分式运算法则的熟练运用及规律探索． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根，二次根式的混合运算； （1）根据算术平方根和立方根的求解方法求解即可； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．计算： (1) (2)（，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则，进行计算即可； （2）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键． （1）先分母有理化，然后根据二次根式加减混合运算法则，进行计算即可； （2）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．先化简，再求值：已知 ，求 的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，完全平方公式的应用，先利用分母有理化得出，再将分式化简，代入求解即可． 【详解】解： ， ， 将代入，原式 ． 23．设等式在实数范围内成立，其中、、是两两不同的实数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式化简求值，由二次根式有题意得条件得，，即得，进而可得，即等式可变为，得到，再代入分式化简即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得，，， ∴， 又∵，， ∴且， ∴， ∴等式可变为， ∴， ∴原式 ． 24．请阅读下列材料． 问题：已知，求代数式的值． 解：根据，得， ． ． ． 总结：把已知条件适当变形，再整体代入可快速地解决问题． 应用： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、求代数式的值，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先将原式配方变形后，将的值代入计算即可求出值； （2）把所求的式子变形为，然后再把和的值代入进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ∵， ∴，， ∴原式 ． 25．已知三个正数a，b，c满足（温馨提示：、 对于任意正数 x， 都有） (1)求证：； (2)a 是大于1的整数，且有，， ①若 ，求的值； ②当（，且n是整数）时，比较b与的大小，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵三个正数a，b，c满足， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2)①；②当时，；当时，；当时，即． 【分析】本题考查的是应完全平方公式分解因式，算术平方根的含义，利用平方根的含义解方程； （1）利用完全平方公式把原式化为，进一步可得答案； （2）①由两式相加可得，再利用两式相减即可得到答案；②根据作差法得到，分三种情况：当时；当时；当时进行讨论即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵，， ∴两式相加得，， ∴； 两式相减得，． ②∵（，且n是整数）， ∴， ∴， 又由①中，， 而，， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴两式相加得， ∴， ∴， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 二次根式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．如果二次根式 有意义，那么实数 满足条件的范围是 （    ） A． B． C． D． 2．下列根式中， 最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 3．下列各选项中，的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 4．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．若 ，则 的值是 （     ） A．2 B． C． D． 6．等式 成立的条件是 （     ） A． 且 B． C． D． 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．有意义的条件是________． 8．比较大小： _____ ． （填“”“”“”） 9．化简：________． 10．分母有理化：_____________ 11．已知，，则________ 12．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 _____． 13．已知的结果为正整数，则正整数的最小值为___． 14．化简： _____． 15．不等式的解集是________． 16．一元二次方程的解是________． 17．已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式，其中；我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是_______． 18．如果，并且表示当时的值，即， ，那么的值是 _____． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．计算： (1) (2) 20．计算： (1) (2)（，） 21．计算： (1) (2) 22．先化简，再求值：已知 ，求 的值． 23．设等式在实数范围内成立，其中、、是两两不同的实数，求的值． 24．请阅读下列材料． 问题：已知，求代数式的值． 解：根据，得， ． ． ． 总结：把已知条件适当变形，再整体代入可快速地解决问题． 应用： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 25．已知三个正数a，b，c满足（温馨提示：、 对于任意正数 x， 都有） (1)求证：； (2)a 是大于1的整数，且有，， ①若 ，求的值； ②当（，且n是整数）时，比较b与的大小，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $