专题01 二次根式的综合（高效培优专项训练）数学新教材沪教版八年级上册

**基本信息** 该专项以二次根式概念为起点，通过意义、性质、最简根式、分母有理化到运算的递进式题型设计，系统构建知识逻辑链，强化抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式的意义|10题（含选择、填空、解答）|考查被开方数非负性及自变量取值范围|概念基础，构建二次根式核心定义| |二次根式的性质|10题（含数轴结合题）|聚焦√a²化简及非负性应用|概念延伸，深化根式性质推理理解| |最简二次根式|10题（含化简与同类根式）|强调化简标准与同类根式判断|性质应用，为运算奠定化简基础| |分母有理化|10题（含有理化因式及求值）|训练有理化方法及代数变形|运算关键步骤，提升代数变形能力| |二次根式的运算|10题（含混合运算）|综合加减乘除及化简技巧|知识综合应用，培养运算能力与应用意识|

专题01 二次根式的综合 参考答案 题型一： 二次根式的意义 1．C 2．D 3．A 4．． 5．． 6． 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，列出不等式并求解即可． 【详解】解：二次根式 在实数范围内有意义，需满足被开方数 ， 解不等式 ，得， 故答案为：． 7．【答案】(1) (2) (3) (4)任意实数 【详解】（1）解：由，得． 所以，当时，有意义． （2）解：由，得． 所以，当时，有意义． （3）解：由，得． 所以，当时，有意义． （4）解：不论是什么实数，都有． 所以，当是任意实数时，都有意义． 8．【答案】 【分析】先根据平方和绝对值的非负性求出，，再根据二次根式的定义求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：， ，， 解得，， 、满足， ，， 解得，， ， ， ． 9．【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）解不等式组中的两个不等式可求出x的值，进而可求出y的值，最后可得的值； （2）根据二次根式有意义的条件是被开方数非负得到关于x的不等式组，解不等式组求出x的值，进而得到y的取值范围，再化简即可； （3）根据二次根式有意义的条件是被开方数非负得到关于m的不等式组，解不等式组求出m的值，进而求出n的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：由题意得， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∴， ∴ ． 10．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的被开方数非负确定的取值范围． （2）利用非负数的性质得到的值，代入计算即可． （3）先由算术平方根的非负性确定的范围，化简绝对值后变形求解． 【详解】（1）解：∵的被开方数为非负数， ∴， 此时成立， 故的取值范围是． （2）解：∵，，且， ∴， ， ∴， ∴． （3）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ， ∴ ， 原式化为， 整理得， 两边平方得， ∴ ． 题型二：二次根式的性质 1．B 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．1 8． 9．2027 10． 题型三：最简二次根式 1．1 2．②③/③② 3． 4．因此符合题意．(不唯一) 5． 6．【答案】(1) (2) 【分析】根据二次根式的性质和乘除运算法则，化简计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 7．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据进行计算即可求解； （2）根据进行计算即可求解； （3）根据进行计算即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 8【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据二次根式的性质化简成最简根式即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 9．【答案】(1)①  ②  ③ (2) 【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简； （2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简． 【详解】（1）解：①． ②． ③． （2）解：把中根号外的因式移到根号内： 由有意义，得，即． 将变形为，再平方移入根号内： 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简． 10．【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查化简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可； （3）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型四：分母有理化 1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6． 7． 8． 9．【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，分母有理化，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 10．【答案】(1)35 (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式、代数式求值以及二次根式运算，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先计算的值，进而得到的值，然后根据代入计算即可； （2）根据平方，结合，再开算术平方根即可． 【详解】（1）解：， ， 故， ， ； （2）解：， 且， ． 题型五：二次根式的运算 1．B 2．D 3．B 4． 5． 6．【详解】解： 故答案为：． 7．【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解∶ ． （2）解： ． 8．【答案】(1) (2) 【分析】（）先计算零次幂、化简根式，对分式分母有理化，最后合并同类二次根式求值； （）分别化简根式、用完全平方公式展开平方项，合并同类项消去根号项得到整数结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．【答案】(1) (2) 【分析】（）先化简所有二次根式，再计算括号内，最后算除法； （）按二次根式运算规则，依次计算乘法、化简根式、去绝对值、分母有理化，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据二次根式的乘法，分母有理化进行计算，再计算加减即可； （2）先根据平方差公式，二次根式的乘法进行计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式的综合 题型一 二次根式的意义 题型二 二次根式的性质 题型三 最简二次根式 题型四 分母有理化 题型五 二次根式的运算 题型一： 二次根式的意义 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、，不是二次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、是三次根式，不是二次根式，不符合题意； 故选C． 2．（25-26八年级上·上海·期中）下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一般地，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案． 【详解】解：被开方数为负，根指数为3，均不是二次根式． 当时，的被开方数小于0，不是二次根式． ∵， ∴ ∴一定是二次根式． 3．在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查函数自变量的取值范围．根据二次根式有意义以及分母不为0的条件即可求解． 【详解】解：依题意得， ∴， 故选：A． 4．（25-26八年级上·上海·期中）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得关于的不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 5．（25-26八年级上·上海·期末）如果代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是：_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件及解不等式，熟记二次根式有意义的条件、分式有意义的条件是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数必须是非负数、分式的分母不能为零，列不等式组求解即可得到答案． 【详解】解：对于代数式在实数范围内有意义，需要被开方数，且分母 ， 解得； 要使，需要，解得； 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，列出不等式并求解即可． 【详解】解：二次根式 在实数范围内有意义，需满足被开方数 ， 解不等式 ，得， 故答案为：． 7．设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)任意实数 【详解】（1）解：由，得． 所以，当时，有意义． （2）解：由，得． 所以，当时，有意义． （3）解：由，得． 所以，当时，有意义． （4）解：不论是什么实数，都有． 所以，当是任意实数时，都有意义． 8．已知、满足，、满足，求的值． 【答案】 【分析】先根据平方和绝对值的非负性求出，，再根据二次根式的定义求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：， ，， 解得，， 、满足， ，， 解得，， ， ， ． 9．问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． (1)例：已知，求的值． 解：由得，________，________，________； (2)尝试应用：若x，y为实数，且，化简：________； (3)拓展创新：已知，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）解不等式组中的两个不等式可求出x的值，进而可求出y的值，最后可得的值； （2）根据二次根式有意义的条件是被开方数非负得到关于x的不等式组，解不等式组求出x的值，进而得到y的取值范围，再化简即可； （3）根据二次根式有意义的条件是被开方数非负得到关于m的不等式组，解不等式组求出m的值，进而求出n的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：由题意得， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∴， ∴ ． 10．【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是 【知识应用】 (2)若，求的值． 【拓展提升】 (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的被开方数非负确定的取值范围． （2）利用非负数的性质得到的值，代入计算即可． （3）先由算术平方根的非负性确定的范围，化简绝对值后变形求解． 【详解】（1）解：∵的被开方数为非负数， ∴， 此时成立， 故的取值范围是． （2）解：∵，，且， ∴， ， ∴， ∴． （3）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ， ∴ ， 原式化为， 整理得， 两边平方得， ∴ ． 题型二：二次根式的性质 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：． 2．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根、算术平方根的定义与二次根式的性质，由定义和性质计算各选项即可判断正误． 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，，C错误； ，D正确． 3．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，结合绝对值的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 解得． 4．实数 ， 在数轴上对应，点的位置如图所示，则化简代数式的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴可得，从而可得，再根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 5．下面计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用二次根式运算结果的非负性排除错误选项，再验证剩余选项的开方运算是否正确． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：由，可得，故C正确； D：，错误． 6．如图，数轴上点表示的数是，化简为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，则， ∴． 7．化简的值为________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定自变量的取值范围，再利用二次根式的性质，化简，最后合并同类项得到结果． 【详解】 解：要使有意义，可得 解得 由，可得 化简原式： ． 8．已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则___________． 【答案】 【分析】由数轴可得，，从而可得，，，再结合二次根式的性质、绝对值的性质化简即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴ ． 9．若，则______． 【答案】2027 【分析】首先根据二次根式的意义确定m的取值范围，进而确定出的符号，然后对条件中的等式化简整理即可得解． 【详解】由 有意义，得， ， . ， 可化简为， ，即． 10．若实数x，y同时满足，，则的值为___________． 【答案】 【分析】由绝对值的非负性可判断，则化简第二个式子可得，与第一个式子消元可得 ，分类讨论的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， 此时， ∴； 当时， （舍）； ∴ 题型三：最简二次根式 1．在二次根式，，，中，属于最简二次根式的有________个． 【答案】 【分析】满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式，1 被开方数不含分母；2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对所给二次根式逐个判断即可得到答案． 【详解】解：，原被开方数含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式， 是最简二次根式， ，原被开方数含有分母，故不是最简二次根式， ，原被开方数含有分母，故不是最简二次根式， ∴最简二次根式只有，共1个． 2．下列二次根式中：①；②；③；④；是最简二次根式的是______（填序号）． 【答案】②③/③② 【分析】最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开得尽的因数和因式. 【详解】解：①，不是最简二次根式； ②满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； ③满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； 综上，是最简二次根式的有②③. 3．在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断所给二次根式即可． 【详解】解：满足两个条件，是最简二次根式； 中被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 中被开方数含分母，不是最简二次根式； 中，被开方数可开得尽方，不是最简二次根式； 中，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 因此符合条件的最简二次根式共个． 4．若是最简二次根式，则整数的值可以是__________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 （答案不唯一，任意符合条件的整数均可） 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数需不含能开得尽方的因数，被开方数不含有分母，且被开方数非负，据此找出符合要求的整数即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，为整数， ∴，且不含能开得尽方的因数， 当时，，满足条件，因此符合题意． 5．与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故答案为： 6．化简下列二次根式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据二次根式的性质和乘除运算法则，化简计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 7．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据进行计算即可求解； （2）根据进行计算即可求解； （3）根据进行计算即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 8．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据二次根式的性质化简成最简根式即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 9．请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【答案】(1)①  ②  ③ (2) 【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简； （2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简． 【详解】（1）解：①． ②． ③． （2）解：把中根号外的因式移到根号内： 由有意义，得，即． 将变形为，再平方移入根号内： 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简． 10．化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查化简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可； （3）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型四：分母有理化 1．下列各数中，与互为倒数的是（   ） A． B．2 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据倒数定义得到所求表达式，再利用平方差公式化简即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为， ， 对表达式分母有理化，将分子分母同乘， 得 ． 2．下列各式中不是的有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理化因式的定义，两个含根式的代数式相乘，若积不含有根式，则二者互为有理化因式，将各选项与相乘，判断积是否含根式即可得到结果． 【详解】解：A：，积不含根式，是有理化因式； B：，积不含根式，是有理化因式； C：，乘积仍含有根式，不是有理化因式； D：，积不含根式，是有理化因式． 3．下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题根据有理化因式的定义解题，即两个含有根式的代数式相乘，若乘积不含有根式，则两个代数式互为有理化因式，计算各选项中两个代数式的乘积，判断乘积是否含有根式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，乘积仍含有根式，因此A不符合题意； 对选项B， ，乘积是不含根式的整式，因此B符合题意； 对选项C，，乘积仍含有根式，因此C不符合题意； 对选项D，，乘积仍含有根式，因此D不符合题意． 4．已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对进行分母有理化化简，再对比化简后与的关系即可. 【详解】解：. 5．设的整数部分是a，小数部分是b，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意可知，，继而得出本题答案． 【详解】解：∵， 又∵的整数部分是a，小数部分是b， ∴，， ∴． 6．分母有理化：______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的分母有理化，关键是确定分母的有理化因式，通过分子分母同乘该因式消去分母中的根号． 【详解】解：分子分母同乘，得原式． 故答案为：． 7．化简： _____． 【答案】 【详解】解： ． 8．为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式． 根据有理化因式的定义，两个根式的积不含有根号时互为有理化因式． 【详解】解：∵，为有理数， ∴为有理数，的有理化因式是． 故答案为：． 9．解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，分母有理化，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 10．已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式、代数式求值以及二次根式运算，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先计算的值，进而得到的值，然后根据代入计算即可； （2）根据平方，结合，再开算术平方根即可． 【详解】（1）解：， ， 故， ， ； （2）解：， 且， ． 题型五：二次根式的运算 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 观察选项，只有的被开方数为， 故选：B ． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则逐一计算各选项即可得到正确结果． 【详解】解：A选项：， A错误， B选项：， B错误， C选项：， C错误， D选项：， D正确． 3．下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，立方根，二次根式的乘法，熟练掌握定义是解题的关键．根据二次根式的性质，立方根的性质，二次根式的乘法公式逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：∵ 中，即， ∴， ∴ A选项错误； 对于选项B：∵ ， ∴ B正确； 对于选项C：∵ 中，且和分别要求、， ∴当且仅当且时，成立， ∴ C选项错误； 对于选项D：∵ 是一个值，而表示两个值， ∴ D选项错误． 因此，等式一定成立的是B， 故选：B． 4．若，，则________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 5．计算：的结果是______． 【答案】 【分析】先拆分指数，逆用积的乘方法则，再结合平方差公式化简计算，即可得到结果． 【详解】解： ， ∴的结果是． 6．计算：________． 【答案】/ 【分析】先运用完全平方公式展开完全平方式，再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解∶ ． （2）解： ． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先计算零次幂、化简根式，对分式分母有理化，最后合并同类二次根式求值； （）分别化简根式、用完全平方公式展开平方项，合并同类项消去根号项得到整数结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（）先化简所有二次根式，再计算括号内，最后算除法； （）按二次根式运算规则，依次计算乘法、化简根式、去绝对值、分母有理化，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据二次根式的乘法，分母有理化进行计算，再计算加减即可； （2）先根据平方差公式，二次根式的乘法进行计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式的综合 题型一 二次根式的意义 题型二 二次根式的性质 题型三 最简二次根式 题型四 分母有理化 题型五 二次根式的运算 题型一： 二次根式的意义 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海·期中）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 5．（25-26八年级上·上海·期末）如果代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是：_____． 6．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围为__________． 7．设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4) 8．已知、满足，、满足，求的值． 9．问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． (1)例：已知，求的值． 解：由得，________，________，________； (2)尝试应用：若x，y为实数，且，化简：________； (3)拓展创新：已知，求的值． 10．【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是 【知识应用】 (2)若，求的值． 【拓展提升】 (3)若，求的值． 题型二：二次根式的性质 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．实数 ， 在数轴上对应，点的位置如图所示，则化简代数式的结果是（     ） A． B． C． D． 5．下面计算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，数轴上点表示的数是，化简为（    ） A． B．2 C． D． 7．化简的值为________． 8．已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则___________． 9．若，则______． 10．若实数x，y同时满足，，则的值为___________． 题型三：最简二次根式 1．在二次根式，，，中，属于最简二次根式的有________个． 2．下列二次根式中：①；②；③；④；是最简二次根式的是______（填序号）． 3．在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 4．若是最简二次根式，则整数的值可以是__________．（写出一个符合题意的数即可） 5．与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为__________． 6．化简下列二次根式： (1)． (2)． 7．化简： (1)； (2)； (3)． 8．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 10．化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 题型四：分母有理化 1．下列各数中，与互为倒数的是（   ） A． B．2 C．5 D． 2．下列各式中不是的有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 4．已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 5．设的整数部分是a，小数部分是b，则的值为（   ） A． B． C． D．2 6．分母有理化：______． 7．化简： _____． 8．为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 9．解不等式：． 10．已知，求下列代数式的值． (1) (2) 题型五：二次根式的运算 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．若，，则________． 5．计算：的结果是______． 6．计算：________． 7．计算： (1)； (2)． 8．计算： (1)； (2)． 9．计算： (1)； (2)； 10．计算： (1)； (2) 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $