专题03 二次根式的化简（七大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版”构建二次根式化简的系统性方法体系，覆盖从概念应用到创新拓展的完整逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |解题通法+题型归纳+压轴挑战|核心解法+7类典型题（含例与变式）+高难压轴题|三大核心（根式条件/化简法则/新定义运算）+两条底线原则（被开方数非负/绝对值判符号），各题型特征-方法对应（如双重非负性联立方程、取值范围判符号）|从根式非负性（概念）→化简法则应用（原理）→复合/创新题型（拓展），形成概念生成-原理推导-应用拓展的逻辑闭环，发展应用意识。

专题03 二次根式的化简 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次根式的双重非负性应用 题型二、结合字母取值范围化简二次根式 题型三、复合二次根式的化简运算 题型四、含二次根式的字母化简求值 题型五、二次根式中的规律探究问题 题型六、二次根式阅读材料类问题 题型七、二次根式新定义创新题型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次根式问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕根式有意义条件、根式化简法则、规律与新定义运算三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是二次根式被开方数必须为非负数，二是化简必须利用绝对值性质判断符号，严禁直接去根号。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次根式的双重非负性应用 题型模版 1.特征：题目给出多个二次根式相加、根式与平方、根式与绝对值相加等于0的形式，式子无未知数单独等式，利用非负性唯一解的特性求字母参数的值。 2.方法：依据二次根式、平方、绝对值的非负性，令每一项分别等于0，联立方程求出字母的值，代入验证保证所有被开方数均非负。 【例1】化简（     ） A． B． C． D． 【例2】已知，则的值为__________． 【变式1-1】若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】化简后等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】化简___________（所有字母为非负数）． 题型二、结合字母取值范围化简二次根式 题型模版 1.特征：题目给出字母的取值范围、隐含大小关系或数轴位置，需要化简含根号平方、多重根号的代数式，易出现直接去根号的错误。 2.方法：先根据取值范围判断根号内式子的正负，利用去根号，正数直接开方、负数变相反数，化简后保证结果为非负数。 【例3】实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【例4】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是________． 【变式2-1】实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】若，则化简的结果是（     ）． A． B． C． D． 【变式2-3】已知三角形的三条边的长分别为5，，，化简的结果是____________． 题型三、复合二次根式的化简运算 题型模版 1.特征：式子含多重根式、根式加减乘除混合运算、分母带根号，结构复杂，需要分步化简、分母有理化。 2.方法：先化简每一个最简二次根式，再统一同类二次根式进行合并；分母含根式时规范有理化，运算全程保证被开方数非负，最终结果化为最简根式。 【例5】先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 【例6】有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 【变式3-1】利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 【变式3-2】化简 (1)； (2)； (3)． 【变式3-3】小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 题型四、含二次根式的字母化简求值 题型模版 1.特征：给出含根式的代数式与字母取值，或整体代换条件，要求先化简、后代入求值，直接代入计算量大、易出错。 2.方法：先对原式进行因式分解、通分、根式化简，简化式子结构，再代入字母数值计算；代入前验证字母取值使原式根式有意义。 【例7】已知，则=______． 【例8】已知，求的值，小明是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以 ，即， 所以， 所以 ． 请你根据小明的分析过程，解决下列问题： (1)化简：__________； (2)计算：； (3)若，求 的值． 【变式4-1】先化简，再求值：，其中，． 【变式4-2】先化简，再求值：，其中：，． 【变式4-3】在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小宇的解题过程，解决如下问题： (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 题型五、二次根式中的规律探究问题 题型模版 1.特征：给出一组根式等式、运算式子，存在固定变化规律，要求归纳通项公式、续写式子或直接求值。 2.方法：观察式子结构、根号内数字、结果的变化特征，拆分对比前后变化，总结通用规律，用代数式表示规律，代入验证规律成立。 【例9】已知一列数：，，，，，，，根据其规律，第35个数是___． 【例10】请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出第个等式： ；（用含的等式表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式： 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题： (3) ； (4) （用含的式子表示）； (5)计算：； 【拓展应用】： (6)计算：． 【变式5-1】阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 【变式5-2】观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 【变式5-3】观察下列等式，并回答下列问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ………… (1)请直接写出第4个等式 ； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ，并计算： 题型六、二次根式阅读材料类问题 题型模版 1.特征：题目给出全新的根式运算方法、化简技巧、数学结论等阅读材料，结合材料信息解题，无固定课本公式可直接套用。 2.方法：仔细研读材料，提取核心运算规则与解题步骤，模仿材料思路变形、化简、运算，严格按照题干给定规则解题，不套用固有公式。 【例11】人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数、，使得． 两边平方，得， 即．① 由是偶数，得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入①，得______，即______． 所以也是偶数．则，都是偶数，不互质，这与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的【阅读与思考】，推理说明：不是有理数． 【例12】按要求进行二次根式的有关计算： （1）阅读：，反之，； ，反之，． 应用： ______． （2）阅读：，； 应用：方程的解是______． （3）阅读：已知，，试比较x，y的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且x，y都是正数，故． 应用：比较大小：______，______． 【变式6-1】阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明： 左边右边． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题 (1)若正数x，则的最小值为______． (2)若正数a，b满足，，n为的最小值，求； (3)若正数a，b满足，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【变式6-2】阅读与思考 阅读下面的材料，解答后面给出的问题． 对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，往往会发现有价值的东西，这是解决数学问题的一个重要策略．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式．例如与，与． 化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法． 例如． (1)写出一个的有理化因式：_____． (2)仿照上面的解题过程，化简：． (3)计算：． 【变式6-3】阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时_____； (2)当时，求的最小值，并求此时的值； (3)如图，某兴趣小组计划开垦矩形地块种植农作物，四边用木栏围住，已知木栏总长为，求矩形地块面积的最大值，并求此时矩形地块的长与宽的值． 题型七、二次根式新定义创新题型 题型模版 1.特征：题干自定义根式新运算、新符号、新规则，结合二次根式性质出题，题型灵活，规则仅适用于本题。 2.方法：精准理解新定义的运算逻辑和取值要求，将新运算转化为常规二次根式运算，结合根式有意义条件计算，检验结果符合新定义规则。 【例13】定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或或 【例14】阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，记为有序实数对 若满足，则称该有序数对为“望一”数对； 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤ (3)若有序数对是“望音”数对，求整数x的值． (4)计算 的值． 【变式7-1】对于任意非负实数，若定义新运算则下列说法： ①；②；③；④若，则的取值范围为．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-2】定义：若，是有理数，则称与是关于的“美好数”．例如：，则称与是关于1的“美好数”． (1)与________是关于2的“美好数”； (2)化简：； (3)若与是关于9的“美好数”，求的值． 【变式7-3】定义：若二次根式可以表示成的形式（其中a，b，m，n都是正整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是的完整平方根，并说明理由； (2)已知完整根式的完整平方根是，求x的值； (3)若的完整平方根是，证明：是完全平方数． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．化简：__________． 2．若，则的取值范围为_________________． 3．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 4．已知，，求的值． 5．如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 6．观察下列各等式，并用含n（n为整数，且）的式子表示其中体现的规律______． ；；…… 7．观察下列算式：，，，…，它具有一定的规律性，若把第个算式的结果记为，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 9．已知实数满足，求的值． 10．阅读下列材料： 材料：若无理数的被开方数满足（其中、均为正整数）， 则称无理数的“整数区间”为； 同理：无理数的“整数区间”为． 例：若，则， 则的“整数区间”为，的“整数区间”为． 材料：若（是整式）有意义，则且． 解决问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，无理数的“整数区间”是，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求无理数的“整数区间”． 11．阅读类比，定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效地去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决. 例如，已知，求的值，可以这样解答： 又， . (1)已知，求的值为________． (2)结合已知条件和第（1）问的结果，请运用解“二元一次方程组”的思想解方程：． (3)计算：． 12．阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 13．在处理形如的嵌套二次根式时，我们可以利用完全平方公式和二次根式的性质，将其化简为不含根号的形式，核心思路是：把根号内的式子配成完全平方式，再开方化简． (1)比如化简二次根式．可以将转化为的形式， 因为，，若，可得___________，___________， 再根据，则可得到化简： (2)化简二次根式： (3)若，解方程． 14．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是_____；的“整数区间”是____． (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的“整数区间”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次根式的化简 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次根式的双重非负性应用 题型二、结合字母取值范围化简二次根式 题型三、复合二次根式的化简运算 题型四、含二次根式的字母化简求值 题型五、二次根式中的规律探究问题 题型六、二次根式阅读材料类问题 题型七、二次根式新定义创新题型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次根式问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕根式有意义条件、根式化简法则、规律与新定义运算三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是二次根式被开方数必须为非负数，二是化简必须利用绝对值性质判断符号，严禁直接去根号。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次根式的双重非负性应用 题型模版 1.特征：题目给出多个二次根式相加、根式与平方、根式与绝对值相加等于0的形式，式子无未知数单独等式，利用非负性唯一解的特性求字母参数的值。 2.方法：依据二次根式、平方、绝对值的非负性，令每一项分别等于0，联立方程求出字母的值，代入验证保证所有被开方数均非负。 【例1】化简（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 有意义． ∴ 且． ∴ ． ∴ ． 【例2】已知，则的值为__________． 【答案】2 【分析】 【详解】解：由 ， 移项得 ， 即 ． ， ， ， ， 解得 ，． 则 ． 故答案为：． 【变式1-1】若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 【变式1-2】化简后等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵被开方数非负， ∴， ∵， ∴，即， ∴且， ∴， 故选：C． 【变式1-3】化简___________（所有字母为非负数）． 【答案】 【详解】解：． 题型二、结合字母取值范围化简二次根式 题型模版 1.特征：题目给出字母的取值范围、隐含大小关系或数轴位置，需要化简含根号平方、多重根号的代数式，易出现直接去根号的错误。 2.方法：先根据取值范围判断根号内式子的正负，利用去根号，正数直接开方、负数变相反数，化简后保证结果为非负数。 【例3】实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ ． 【例4】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是________． 【答案】 【详解】由数轴可知： ，，且 ， ， 原式 ． 【变式2-1】实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴ . 【变式2-2】若，则化简的结果是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， 原式， ， ，， 去掉绝对值化简得，． 【变式2-3】已知三角形的三条边的长分别为5，，，化简的结果是____________． 【答案】 【分析】 【详解】解：由三角形三边关系，得． ，． ∴原式． 故答案为：． 题型三、复合二次根式的化简运算 题型模版 1.特征：式子含多重根式、根式加减乘除混合运算、分母带根号，结构复杂，需要分步化简、分母有理化。 2.方法：先化简每一个最简二次根式，再统一同类二次根式进行合并；分母含根式时规范有理化，运算全程保证被开方数非负，最终结果化为最简根式。 【例5】先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 【答案】 【分析】 【详解】解：首先将写成，这里，，即，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【例6】有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)a的值为8或16． 【分析】 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ； （3）解：∵，， ， ∵、均为整数，且， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴或． 【变式3-1】利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 【答案】 【详解】解：， 原式 【变式3-2】化简 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3-3】小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解：， ； （3）解：由 可知：，    ，b，m，n均为正整数，为无理数， ，     由可得：， ，        ， ， 正整数a，b可取或， 又∵b，m，n均为正整数，为无理数， ， ． 题型四、含二次根式的字母化简求值 题型模版 1.特征：给出含根式的代数式与字母取值，或整体代换条件，要求先化简、后代入求值，直接代入计算量大、易出错。 2.方法：先对原式进行因式分解、通分、根式化简，简化式子结构，再代入字母数值计算；代入前验证字母取值使原式根式有意义。 【例7】已知，则=______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴a、b均为负数， ∴ ． 【例8】已知，求的值，小明是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以 ，即， 所以， 所以 ． 请你根据小明的分析过程，解决下列问题： (1)化简：__________； (2)计算：； (3)若，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：； （2）解：设n为正整数， 则， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式4-1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． 【变式4-2】先化简，再求值：，其中：，． 【答案】 ， 【详解】解：原式 ； 当，代入得： 原式． 【变式4-3】在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小宇的解题过程，解决如下问题： (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）设n为正整数， 则 ， ∴ ； （3）解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 题型五、二次根式中的规律探究问题 题型模版 1.特征：给出一组根式等式、运算式子，存在固定变化规律，要求归纳通项公式、续写式子或直接求值。 2.方法：观察式子结构、根号内数字、结果的变化特征，拆分对比前后变化，总结通用规律，用代数式表示规律，代入验证规律成立。 【例9】已知一列数：，，，，，，，根据其规律，第35个数是___． 【答案】 【详解】解：，，，，，，， 观察可知，该列数的符号为“负，负，正”三个为一组进行循环，分子为，分母为， ∵， 故第35个数的符号为负，分子为，分母为， 故第35个数是. 【例10】请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出第个等式： ；（用含的等式表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式： 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题： (3) ； (4) （用含的式子表示）； (5)计算：； 【拓展应用】： (6)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； （2）解：由（1）归纳可得： 第个等式：. （3）解：第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， ； （4）解：第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， 观察可知，等式右边最后一个乘数为， ∴； （5）解： ； （6）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； 第99个等式：； 个等式的和为：； ∴ ； . 【变式5-1】阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：理由如下： ； （3）解：原式． 【变式5-2】观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) ；见解析 【分析】 【详解】（1）解：； （2）解：，，， ， ， ， ∵， ． 【变式5-3】观察下列等式，并回答下列问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ………… (1)请直接写出第4个等式 ； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ，并计算： 【答案】(1) (2)（的自然数）； 【分析】 【详解】（1）解： （2）解：（的自然数） 原式 ． 题型六、二次根式阅读材料类问题 题型模版 1.特征：题目给出全新的根式运算方法、化简技巧、数学结论等阅读材料，结合材料信息解题，无固定课本公式可直接套用。 2.方法：仔细研读材料，提取核心运算规则与解题步骤，模仿材料思路变形、化简、运算，严格按照题干给定规则解题，不套用固有公式。 【例11】人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数、，使得． 两边平方，得， 即．① 由是偶数，得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入①，得______，即______． 所以也是偶数．则，都是偶数，不互质，这与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的【阅读与思考】，推理说明：不是有理数． 【答案】(1)； (2) 假设是有理数，那么必定存在一组互质的正整数、，使得， 两边立方，得， 即①， ∵是的倍数， ∴是的倍数，即包含质因数和， ∴也包含质因数和，即也是的倍数， 设（为正整数），代入①，得， ，即， 同理，也是的倍数，则与存在公因数，这与、互质矛盾， ∴假设不存在，不是有理数． 【分析】 【详解】（1）解：设（是正整数），代入①，得，即， 故答案为：；． （2）解：略． 【例12】按要求进行二次根式的有关计算： （1）阅读：，反之，； ，反之，． 应用： ______． （2）阅读：，； 应用：方程的解是______． （3）阅读：已知，，试比较x，y的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且x，y都是正数，故． 应用：比较大小：______，______． 【答案】（1）；（2）；（3）<，> 【分析】 【详解】解：（1）由题可得：， 故答案为：； （2）由题可得：， 整理得：， 移项得：， 解得：， 故答案为：； （3）由题可得：令，， ∴，， ∴， ∴； 令，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：<，>． 【变式6-1】阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明： 左边右边． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题 (1)若正数x，则的最小值为______． (2)若正数a，b满足，，n为的最小值，求； (3)若正数a，b满足，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵ ∴的最小值为 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）∵正数a，b满足， ∴ ∵不等式恒成立， ∴ ∴①或② ∴解不等式组①无解，解不等式组②得 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，二次根式的性质化简，分式的加减运算，负整数指数幂，理解题意，利用好不等式的性质是解题的关键 【变式6-2】阅读与思考 阅读下面的材料，解答后面给出的问题． 对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，往往会发现有价值的东西，这是解决数学问题的一个重要策略．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式．例如与，与． 化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法． 例如． (1)写出一个的有理化因式：_____． (2)仿照上面的解题过程，化简：． (3)计算：． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)4 【分析】 【详解】（1）解：∵， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：． （3）解：原式 ． 【变式6-3】阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时_____； (2)当时，求的最小值，并求此时的值； (3)如图，某兴趣小组计划开垦矩形地块种植农作物，四边用木栏围住，已知木栏总长为，求矩形地块面积的最大值，并求此时矩形地块的长与宽的值． 【答案】(1)2，1 (2)的最小值为5， (3)矩形地块面积的最大值为，此时矩形地块的长与宽的值均为 【分析】 【详解】（1）解：当时，， 当时，即1，取最小值，最小值为2， 故答案为：2，1； （2）解：， ， 的最小值为5 此时，． （3）设，则， ， ， ， ， ． ∴矩形地块面积的最大值为． 此时矩形地块的长与宽的值均为． 题型七、二次根式新定义创新题型 题型模版 1.特征：题干自定义根式新运算、新符号、新规则，结合二次根式性质出题，题型灵活，规则仅适用于本题。 2.方法：精准理解新定义的运算逻辑和取值要求，将新运算转化为常规二次根式运算，结合根式有意义条件计算，检验结果符合新定义规则。 【例13】定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或或 【答案】D 【详解】设（为整数）， 则方程可化为． 因为， 所以． 那么，即． 先看，移项可得， 因式分解为， 解得． 再看， 展开可得，移项得到， 对于二次函数， 其判别式， 且二次项系数大于0，所以恒大于，为任意整数都成立． 当时，，即，解得，此时，符合题意． 当时，，即，解得，所以符合题意． 当时，，即，解得，，所以符合题意． 当时，，即，解得，所以符合题意． 综上，方程的解为或或或． 答案选． 【例14】阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，记为有序实数对 若满足，则称该有序数对为“望一”数对； 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤ (3)若有序数对是“望音”数对，求整数x的值． (4)计算 的值． 【答案】(1)1 (2)“望一”数对的有③④，“望音”数对的有①⑤ (3)0，1，2 (4) 【分析】 【详解】（1）解：； （2）解: ①∵ ∴是“望音”数对； ②∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ③∵, ∴是“望一”数对； ④∵， ∴是“望一”数对； ⑤∵， ∴是“望音”数对； 故“望一”数对的有③④，“望音”数对的有①⑤； （3）解：∵有序数对是“望音”数对， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴整数x的值为0，1，2； （4）解：∵，，， ，，，，， ，，，，，，， ……， ， ， ∴ 设， 当不是完全平方数时，存在整数m使得，此时， 则该项的值为； 当是完全平方数时，设 (m为正整数)， 则， ∵是偶数， ∴m必为偶数， 此时, ∴该项的值为． 因此，我们只需计算原式中值为的项的个数， ∵且， ∴， 又∵m为偶数， ∴m可取2，4，6，8，10，m的个数为5个， ∴原式的值为． 【变式7-1】对于任意非负实数，若定义新运算则下列说法： ①；②；③；④若，则的取值范围为．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①计算： ，由定义得， ∴①正确； ②化简求和验证： 对任意正整数，， ， 则 左边 右边，左边右边， ∴②正确； ③当时，， 当时，， ，故③正确； ④解方程，分情况讨论： 情况1：，化简得，此时原式， 若，则，等式成立；若，则，解得，不在此区间，不成立， 情况2：，化简得，此时原式， 若，则，等式成立；若，则，解得，不在此区间，不成立， 综上，方程的解为或，与命题给出的不符，故④错误． 因此正确的命题共3个． 【变式7-2】定义：若，是有理数，则称与是关于的“美好数”．例如：，则称与是关于1的“美好数”． (1)与________是关于2的“美好数”； (2)化简：； (3)若与是关于9的“美好数”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于2的“美好数”； （2）解： ； （3）解：∵， ∴与是关于9的“美好数”， ∴， ∴， ∴ ． 【变式7-3】定义：若二次根式可以表示成的形式（其中a，b，m，n都是正整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是的完整平方根，并说明理由； (2)已知完整根式的完整平方根是，求x的值； (3)若的完整平方根是，证明：是完全平方数． 【答案】(1) 解：是的完整平方根，理由如下： 由题意得， ， ∴是的完整平方根； (2)x的值为4 (3) 证明：由题意得， ∴， ∴ ， ∵为正整数， ∴是完全平方数， ∴是完全平方数． 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：由题意得， ， ∴ ∴，即， ∵为正整数， ∴或， ∴或， ∴； （3）略 【点睛】本题为二次根式新定义题型，以“完整根式”为载体，融合完全平方公式、对应相等、代数变形等知识，考查对新定义的理解与应用，体现化归的数学思想． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．化简：__________． 【答案】0 【分析】 【详解】解：由题意，，即 ； ；； 当 时，； 故原式 ． 故答案为：． 2．若，则的取值范围为_________________． 【答案】 【详解】解：由二次根式的性质，得： ． 已知， ∴． 根据绝对值的非负性，的条件是， ∴． 解不等式得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与绝对值的化简，解题关键是利用将等式转化为绝对值不等式，再根据绝对值的定义确定变量的取值范围． 3．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 【答案】 【详解】解：由数轴可知：， ∴ ∴原式 . 4．已知，，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ． 5．如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】前行的数据的个数为， 所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是， 所以，第10行从左向右数第7个数是． 故选B． 6．观察下列各等式，并用含n（n为整数，且）的式子表示其中体现的规律______． ；；…… 【答案】 【详解】解：观察已知等式： 当整数为时，带分数的整数部分与分子相等，均为，分母为，满足； 当整数为时，带分数的整数部分与分子相等，均为，分母为，满足； 当整数为时，带分数的整数部分与分子相等，均为，分母为，满足； ∴，其中为整数，且． 7．观察下列算式：，，，…，它具有一定的规律性，若把第个算式的结果记为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：D． 8．先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【分析】 【详解】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式 9．已知实数满足，求的值． 【答案】 【详解】解：由二次根式有意义的条件得，得， ∴， ∴， ∴． ∴代入原式得，， 移项，得， ∴两边同时平方，得． ∴． 【点睛】二次根式具有双重非负性，绝对值具有非负性，利用非负性判断的取值范围，从而化简整理代入求解． 10．阅读下列材料： 材料：若无理数的被开方数满足（其中、均为正整数）， 则称无理数的“整数区间”为； 同理：无理数的“整数区间”为． 例：若，则， 则的“整数区间”为，的“整数区间”为． 材料：若（是整式）有意义，则且． 解决问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，无理数的“整数区间”是，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求无理数的“整数区间”． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的“整数区间”是； ∵， ∴， ∴的“整数区间”是； （2）解：∵无理数（为正整数）的“整数区间”为， ∴， ∴， ∴， ∵无理数的“整数区间”是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ①②，得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴无理数的“整数区间”为． 11．阅读类比，定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效地去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决. 例如，已知，求的值，可以这样解答： 又， . (1)已知，求的值为________． (2)结合已知条件和第（1）问的结果，请运用解“二元一次方程组”的思想解方程：． (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3)5 【分析】 【详解】（1）解：∵ ， 又∵， ∴； （2）解：由（1）可得： ， ，得， 解得：， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 12．阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 【答案】 【详解】解： ． 13．在处理形如的嵌套二次根式时，我们可以利用完全平方公式和二次根式的性质，将其化简为不含根号的形式，核心思路是：把根号内的式子配成完全平方式，再开方化简． (1)比如化简二次根式．可以将转化为的形式， 因为，，若，可得___________，___________， 再根据，则可得到化简： (2)化简二次根式： (3)若，解方程． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：由题意得：， ，． （2）解：． （3）解：， ， ． ∴原方程转化为，解得． 14．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是_____；的“整数区间”是____． (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的“整数区间”． 【答案】(1)； (2)或3 (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴的“整数区间”是，的“整数区间”是； （2）解：∵无理数的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，． 综上所述，的值为或3． （3）解：∵， ∴、， ∴， ∴， ∵ ∴、， 两式相减，得，即， ∴， ∵， ∴， ∴的“整数区间”是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $