等差数列及其前n项和专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦等差数列核心素养，以题载法构建“定义-性质-应用”逻辑链，融合构造转化与实际建模，系统性强。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|4题|基本量法、Sₙ公式|从通项公式到前n项和，夯实概念生成| |性质应用|4题|中项性质、Sₙ片段和|通过“杨辉三角”等情境深化性质迁移| |构造证明|3题|倒数/变形构造法|递推关系转化为等差数列定义，培养推理意识| |实际应用|2题|数列建模、不等式求解|设备获利等问题体现数学语言表达现实世界|

等差数列及其前n项和 一、单项选择题 1．若数列为等差数列，且，则（   ）A．66 B．22 C．11 D．33 2．记为等差数列的前项和，若，，则（   ）A． B．C．D． 3．已知等差数列中，，，则的前10项和（    ） A． B． C．100 D．50 4．已知正项数列的前项和为，且，则（   ） A．4047 B．4044 C．4042 D．4045 5．一个屋顶的某一个斜面呈等腰梯形，最上面一层铺了块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了层瓦片，共铺了瓦片（   ） A．块 B．块 C．块 D．块 6．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第项，则的值为（    ） A．208 B．209 C．210 D．211 7．一个等差数列前3项和为34，最后3项和为146，且所有项的和为390，则这个数列有　　 A．13项 B．12项 C．11项 D．10项 8．已知非常数数列满足，为数列的前项和，若，，则　　 A．2028 B．-2028 C．-2029 D．2029 二、多项选择题 9．已知等差数列的前n项和为，若且，则下列说法正确的有（    ） A．B．C．D． 10．已知数列的前项和为，且满足，，，则　　 A．B． C．D．数列为递减数列 11．两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列命题中正确的是　　 A．若为等差数列，则 B．若为等差数列，则 C．若为等差数列，则 D．若，则也为等差数列，且公差为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在数列中，，，则数列的通项公式为________． 13．把数列中的各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，进行排列，得到如下排列：（3），，，11，，，17，19，，，，，31，，，37，39，，，，则第100个括号内各数之和为 　 　． 14．数列的前项和为，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是　 　． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元．若2021年为第1年，且该公司第年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和（单位：万元）的情况如图所示．（1）求；（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？ 16．已知数列满足，（），令. (1)求的值；(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 17．已知数列满足，且.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式； 18．在数列中，，.(1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式；(3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 19．已知数列满足，其中． （1）求证是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设．若对任意的恒成立，求的最小值． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若数列为等差数列，且，则（   ） A．66 B．22 C．11 D．33 【答案】D 【分析】根据已知及等差数列的通项公式有，即可求值. 【详解】若数列的公差为，则，得. 故选：D 2．记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的基本性质可知，、、成等差数列，由此可求得的值. 【详解】因为为等差数列的前项和，则、、成等差数列， 则，所以，. 故选：B. 3．已知等差数列中，，，则的前10项和（    ） A． B． C．100 D．50 【答案】D 【分析】由等差数列性质求得数列前项的和. 【详解】. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列性质，属于基础题. 为等差数列，若，则 ． 4．已知正项数列的前项和为，且，则（   ） A．4047 B．4044 C．4042 D．4045 【答案】A 【分析】由求解可以得到为等差数列，将代入即可. 【详解】①， ∴当时，②， ①-②可得， ， ，，， ∴当时，，解得， 是首项为1，公差为2的等差数列，则， 于是有． 5．一个屋顶的某一个斜面呈等腰梯形，最上面一层铺了块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了层瓦片，共铺了瓦片（   ） A．块 B．块 C．块 D．块 【答案】C 【分析】根据题意得出等差数列前项和公式，再求前项和． 【详解】由题意可知，每层所铺瓦片数构成一个公差为1，首项为的等差数列， 则， 共铺瓦片数为块，故C正确． 故选：C． 6．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第项，则的值为（    ） A．208 B．209 C．210 D．211 【答案】C 【分析】设第个数为，观察图中数据可得，，，，利用叠加法可求. 【详解】设：第个数为， 则， ， ， ， ， 叠加可得： ， ， 故选：C 7．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有　　 A．13项 B．12项 C．11项 D．10项 【解答】解：依题意， 又 故选：． 8．已知非常数数列满足，为数列的前项和，若，，则　　 A．2028 B．-2028 C．-2029 D．2029 【解答】B． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．已知等差数列的前n项和为，若且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 10．已知数列的前项和为，且满足，，，则　　 A． B． C． D．数列为递减数列 【解答】解：，， ，则， ，故正确； 由，得， 数列是首项为，公差为的等差数列， ，则，故错误； 当时，， 又符合上式，，故正确，错误．故选：． 11．两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列命题中正确的是　　 A．若为等差数列，则 B．若为等差数列，则 C．若为等差数列，则 D．若，则也为等差数列，且公差为 【解答】解：对于：因为为等差数列，所以， 即， 所以， 化简得，所以，故正确； 对于：因为为等差数列， 所以， 所以， 所以，故正确； 对于：因为为等差数列， 所以， 所以， 化简得，所以或，故不正确； 对于：因为，且， 所， 所以， 所以也为等差数列，且公差为，故不正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在数列中，，，则数列的通项公式为________． 【答案】 【分析】根据给定条件可得数列是等差数列，求出其通项即可计算作答. 【详解】由得：，而， 于是得数列是以为首项，为公差的等差数列， 则有， 所以数列的通项公式为：. 故答案为： 13．把数列中的各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，进行排列，得到如下排列：（3），，，11，，，17，19，，，，，31，，，37，39，，，，则第100个括号内各数之和为 　 　． 【解答】解：由题意数列中的各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，， ， 第100个括号内有4个数， 第一个数：当时，， 即第100个括号内各数为，497，499，， 所以第100个括号内各数之和为， 故答案为：1992． 14．数列的前项和为，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是　 　． 【解答】解：数列的前项和为，，且满足， 整理得（常数）， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列． 所以， 整理得， 由于对于任意，都有恒成立， 故，即， 由于，解得， 故，即的最小值为2． 故答案为：2． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元．若2021年为第1年，且该公司第年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和（单位：万元）的情况如图所示． （1）求； （2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？ 【解答】解：（1）由题意知，数列是，公差的等差数列， ； (4分) （2）设引进这种设备后，净利润与年数的关系为， 则， (8分) 令，得，解得， (10分) 又，，3，4，，18，即第二年该公司开始获利． (12分) 16．已知数列满足，（），令. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 【答案】(1)， (2) 因为， 所以， 两边同时取倒数有： ， 令，有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 【分析】（1）采用迭代法，可求，; （2）将转化为，即可证明数列是等差数列，算出数列的通项公式后即可计算数列的通项公式. 【详解】（1）因为，且， 当时，， 当时，. （2）略 17．已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； 【详解】（1）由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：， 故. 18．在数列中，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明:将整理得， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列. (2) (3) 【分析】（1）将整理得，根据等差数列的定义即可证明； （2）由（1）中结论及等差数列的通项公式即可求解； （3）由（2）知对的整数恒成立，即对的整数恒成立，整理得.令，研究数列的单调性求出其时的最小项即可求解. 【详解】（1）略； （2）由（1）可得，所以. （3）由（2）可知对的整数恒成立，即对的整数恒成立， 整理得. 令，则 . 因为，所以，即数列为单调递增数列，所以最小，. 所以的取值范围为. 19．已知数列满足，其中． （1）求证是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设．若对任意的恒成立，求的最小值． 【解答】（1）证明：，，（1分） 由于，，（2分） 是以1为首项，1为公差的等差数列．（3分） ，．（4分） （2）， ， 即，对任意恒成立， （6分） 而， 设，8分 ， ， （9分） ， 数列单调递减，（10分） 时，（1），故． 的最小值为1． （12分） 学科网（北京）股份有限公司 $