4.3.2 等比数列的前n项和公式专项训练（八大题型）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦等比数列前n项和公式的系统性应用，从基础计算到性质拓展再到实际建模，构建“概念-性质-应用”完整知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求前n项和|3题|直接应用公式求Sₙ，结合通项公式|公式直接应用，强化运算能力| |基本量计算|4题|已知Sₙ、aₙ等求q、a₁，含参数讨论|核心量关系推导，培养推理意识| |片段和性质|4题|利用Sₙ、S₂ₙ-Sₙ等成等比数列|性质应用，深化逻辑思维| |奇偶项和性质|3题|项数偶时奇偶项和关系，求q或项数|分类讨论，提升数学思维| |其他性质|4题|Sₙ与q关系、最值等综合判断|性质拓展，构建知识网络| |前n项和特点|4题|由Sₙ形式判断数列特征，含结论辨析|符号意识与抽象能力结合| |前n项和与通项关系|4题|已知Sₙ求aₙ，等差等比综合|转化思想，强化联系观| |简单应用|4题|塔灯、传染模型、分期付款等实际问题|模型意识，实现数学表达现实世界|

4.3.2 等比数列的前n项和公式 题型一 求等比数列的前n项和 1．记等比数列的前项和为，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据等比数列的性质计算可得. 【详解】根据等比数列的性质：等比数列中，连续相邻相同项数的和仍成等比数列， 所以，，构成新的等比数列. 因为，，因此新等比数列的公比为 ，所以. 所以数列的前项和. 因此. 2．数列满足，，其前n项和为，则（   ） A． B．是递减数列 C．若，则满足条件的最小正整数n为6 D．若，为数列的前n项和，则 【答案】ACD 【详解】由，得， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以，所以，故A正确； 由，可得是递增数列，故B错误； ， 因为是递增数列，且，所以也单调递增， 又，， 所以若，则满足条件的最小正整数n为6，故C正确； 当时，因为，所以， 所以 ，故D正确. 3．设等比数列的前项和为，已知，，则________． 【答案】5 【分析】根据等比数列的通项公式以及前项和公式，将题中所给条件用表示，然后建立方程求出的值，最后再利用等比数列前项和公式求出即可. 【详解】，解得.所以. 4．已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列． (1)求数列的通项； (2)设，且的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)由（1）得， 则， 于是， 两式相减得，， 因此，因为，所以． 【分析】（1）借助等差中项建立方程求出等比数列的公比，再结合前三项和得到首项，最后根据等比数列通项公式即可得到； （2）先化简，根据的特点利用错位相减法进行求和，最后通过放缩即可证明. 【详解】（1）设是等比数列的公比， 由题可得，即，则，解得， 由，得，解得， 所以数列的通项． （2）略 题型二 等比数列的前n项和的基本量计算 5．设等比数列的前n项和为，若，，则公比 q=（    ） A．2 B． C．1或 D．2 或 −1 【答案】C 【详解】若，则，， 符合； 若，则，解得， ，代入， 得到，即得 即，因，则得， 解得. 综上可得，或. 6．已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B．数列有最小项 C． D． 【答案】ACD 【详解】设正项等比数列的公比为， 由，得，所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以等比数列的通项公式为. 对于A，，故A正确； 对于B，由，可得数列单调递减，所以数列无最小项，故B错误； 对于C，又，所以，故C正确； 对于D，因为， ，所以，故D正确. 7．已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____． 【答案】 【分析】先利用建立首项关系，再由时，推出公比，结合数列各项为正整数的整除性约束，得，，最终求得． 【详解】因为等差数列的各项均为正整数，所以公差为非负整数， 由等差数列的通项公式可得，所以 当时，，则， 因为等比数列的各项均为正整数，所以， 若，则，不成立， 故，且， 当时，， 整理得，即， 由等比数列的定义可得， 则， 因为与互质，所以要使对于任意正整数，均为整数，必须满足分母能够整除首项， 若，则必然存在某个正整数使得，此时不可能为整数， 所以，则， 所以，，则． 8．已知正项等比数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式． (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】（1）根据等比数列前n项和公式进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为q，由题意可知， 若等比数列的公比，则，，不符合题意，                所以等比数列的公比，                则，                即，                解得或（舍），                所以．                故数列的通项公式为， （2）由（1）知，                所以，                ，                即．                所以数列的前n项和，． 题型三 等比数列片段和性质及应用 9．已知等比数列的前项和为，，，则（     ） A．120 B．210 C．220 D．850 【答案】D 【分析】根据为等比数列计算. 【详解】由题意得，为等比数列， 则为等比数列，得公比为， 则，，得，. 10．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则（   ） A．，的等差中项为 B．，的等比中项为 C．，，，，…为等差数列 D．，，，，…为等比数列 【答案】AC 【分析】利用等差中项和等比中项的定义即可判断AB，利用等差数列前项和的性质和等比数列前项和的性质即可判断CD. 【详解】对于A，由为等差数列，所以的等差中项为，故A正确； 对于B，由为等比数列，所以的等比中项为，故B错误； 对于C，设等差数列的首项为，公差为， 所以， ， ， 所以， 所以，，，，…为等差数列，故C正确； 对于D：设等比数列的公比为， 当时，， 当为偶数时，， 所以，，，，…不是等比数列，故D错误. 11．已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则 ________. 【答案】 【分析】由等比数列的性质进行求解． 【详解】数列是等比数列，则，，也成等比数列， 且首项为，公比为，则． 12．记为等比数列的前n项和，． (1)若，求的值； (2)若，求证：． 【答案】(1)60； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据等比数列前项和的性质列方程求得，然后可得； （2）利用等比数列前项和的性质求出，然后整理变形即可得证. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 因为，所以， ，所以, 故，，成等比数列，且公比为， 所以， 整理得， 因为，故， 解得， 所以． （2）因为，所以，由（1）知，， 因为数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以 又， 则 所以 题型四 等比数列奇、偶项和的性质及应用 13．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 【答案】C 【详解】因为，所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 所以. 14．已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 【答案】120 【分析】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为，则可得，，解出即可得. 【详解】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为， 则， 故，故、， 则数列的所有项之和是. 15．已知数列为等比数列，，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若为单调递增数列，且，求数列的前项和. 【答案】(1)，或. (2) 【分析】(1)利用等差数列中项性质建立关于公比的方程，求解得到等比数列的通项公式； (2)拆分为奇数项等比数列和偶数项等差数列，分别求和再相加得到前项和. 【详解】（1）∵，，成等差数列， ∴， 又为等比数列，设公比为， ∴， 解得，或， 当时，； 当时，； 综上所述，，或. （2）由题意，可知， ∴ ∴ ， ， . 题型五 等比数列的前n项和的其他性质 16．等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 【答案】A 【分析】按与两种情况分类讨论，根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，当时，，不合题意； 当时，等比数列前项和公式， 依题意，得：，解得：. 故选：A 17．已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用等比数列的基本量运算判断A，利用等比数列前n项和公式判断B，利用等比数列的性质判断C，利用等比数列的性质并结合等差数列的求和公式判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，则，故A正确； 对于B，由，可得，解得， 由等比数列前项和公式得， 得到，故B正确； 对于C，由等比数列性质得，，成等比数列， 且，，得到， 即，故C错误； 对于D，由等比数列性质得， 则，故D错误. 故选：AB． 18．已知等比数列的前项和为，若，则______． 【答案】 【分析】法一：利用求通项公式，结合等比数列的定义求参数值，法二：应用等比数列前n项和公式求参数值. 【详解】（方法一）因为， 当时，，可得，， 当时，． 因为数列为等比数列，所以，解得． （方法二）若数列公比为，当，则不可能恒相等, 所以，则，所以． 故答案为：. 19．设数列的前n项和为．数列为等比数列，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）先根据等比数列通项公式写出，然后根据成等差可以求出，即可求出数列的通项公式. （2）先根据可知将n分奇偶性进行讨论，然后根据数列单调性求出取值范围即可知的最小值. 【详解】（1）解：由题意得： 设数列的公比为．由，得 ，即 成等差数列 ，即，解得，或（舍去） ． （2）由，当时，，两式相减得，，对也成立 所以 设 当n为奇数时，可递减数列，所以 当n为偶数时，为递增数列，所以 所以的最小值为4． 题型六 前n项和特点 20．已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列的前项和公式的特征，求的值. 【详解】因为，所以． 时，，所以前的系数和常数项互为相反数， 所以，所以． 故选：D 21．已知数列是等比数列，以下结论正确的是（    ） A．是等比数列 B．若，，则 C．若，则数列是递增数列 D．若数列的前项和，则 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义、性质逐项分析判断作答. 【详解】令等比数列的公比为，则， ，且，则是等比数列，故A正确； 由，，得，即，所以，故B错误； 由知，则，即，，所以数列是递增数列，故C正确； 显然，则，而，因此，，，故D正确. 故选：ACD. 22．已知等比数列的前项和为，若，则______. 【答案】 【分析】根据等比数列前项和公式特征求解即可. 【详解】设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为，所以. 故答案为： 23．设数列的前项和为，且，，． (1)求数列的通项公式； (2)记，设数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）对变形得到，故可以得到是公比为2，首项为4的等比数列，进而利用累加法求出，进而得到数列的通项公式；（2）在第一问的基础上，得到，利用错位相减法求和，再利用，证明，从而得到证明. 【详解】（1）当时，，即，且，所以当时，是公比为2，首项为4的等比数列，故，所以当时， 所以当时，，又因为，所以. （2），所以①；②； ①－②得：，所以，显然，又，所以，综上：. 题型七 前n项和与通项关系 24．已知数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件求出数列前项的和以及前项的和，然后求解即可. 【详解】因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 又， 所以， 所以，， 所以. 故选：A 25．下列命题正确的有（   ） A．若是等比数列，（c为常数），则必有 B．若数列为等差数列，则为等比数列； C．数列满足：，则 D．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 【答案】BD 【详解】对于A，因为（c为常数），所以当时，， 当时，， 因为是等比数列，则也满足上式，即，解得，故A错误； 对于B，设数列为等差数列的公差为，则，又因为(常数)， 所以为等比数列，故B正确； 对于C，因为①，当时，， 当时， ②， 由得，则，当时，，不满足上式， 所以，故C错误； 对于D，因为，所以当时，，即， 当时，，则，即， 故数列是以3为首项，2为公差的等差数列，所以，故D正确. 26．记为等比数列的前项和，若（为常数），则___________． 【答案】2 【分析】根据条件，求出，的值，根据等比中项的性质，即可得答案. 【详解】因为，所以， ， 因为为等比数列， 所以，即，解得. 故答案为：2 27．已知等差数列的前项和为，且，，等比数列的前项和为，且. (1)求数列，的通项公式. (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式、求和公式、 与的关系，计算即可得出结果； （2）利用等比数列的求和公式计算即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为． 由得，即．① 由得，解得． 代入①得，故． 等比数列满足()． 当时， ． 当时，，， 相减得， 即 ()． 故从第2项起为等比数列，公比， 则．代入得，解得． 从而，对也成立． （2）,是首项为公比为的等比数列, 故． 题型八 等比数列的简单应用 28．在重大节日里，从古至今我国有悬挂灯笼增加节日气氛的习俗．据文献记载，古代有一座层的塔共挂了盏灯笼，相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的倍，顶层有盏灯笼，问共有多少层塔？（     ） A．层 B．层 C．层 D．层 【答案】C 【详解】设从上至下，第层的灯笼数为盏， 由题意可知，数列是首项为，公比为的等比数列， 设该数列的前项和为，则，即，解得. 故共有层塔. 29．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（即每个感染者7天内感染3人），则下列说法正确的是（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）（   ） A．第5轮新增感染人数为243 B．由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为 C．感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6轮传染 D．感染人数由1个初始感染者增加到2026人大约需要49天 【答案】ACD 【分析】由题意可得第轮感染人数成等比数列，求得其通项公式为，前项和为，再逐一判断即可. 【详解】设第轮感染人数为， 由题意可知数列为等比数列，其首项，公比， 所以， 对于A,当时，，故A正确； 对于B，由题意可得， 所以由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为，故B错误； 对于C，由B可知由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为， 令， 得， 又因为，， 又， 所以， 即感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6轮传染，故C正确； 对于D，令， 得， 因为，， 所以， 所以感染人数由1个初始感染者增加到2026人大约需要7轮，约需要天，故D正确. 故选:ACD. 30．小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为_______元．（最后结果保留4位有效数字，参考数据：） 【答案】 【详解】设每期还款x元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带息总共为元， 则，可得， 整理可得，所以每月还款金额为元． 31．2025年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池．该厂2025年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨． (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2026年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？ 【答案】(1)2026年9月 (2)2026年的11月 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式得到不等式，解出即可； （2）设从2025年7月起第个月深度净化的废水量为，由已知条件，，当时，数列是首项为5，公比为1.2的等比数列，而从2025年7月起第个月废水存量为：，再结合等比数列的前项和公式求解． 【详解】（1）设从2025年7月起第个月处理后的废水排放量为， 则数列是首项为4，公差为1的等差数列， 所以， 令，整理得， 解得或， 又因为是正整数，则， 当时，处理后的废水排放量大于新产生的6吨废水，所以不会有废水存积. 故该厂在2026年9月底第一次将废水池中的废水排放完毕； （2）设从2025年7月起第个月深度净化的废水量为吨， 由已知条件，， 当时，数列是首项为5，公比为1.2的等比数列， 则数列的前项和， 而从2025年7月起第个月废水存量为：， 当时，， 当时，， 所以2026年的11月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.2 等比数列的前n项和公式 题型一 求等比数列的前n项和 1．记等比数列的前项和为，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．数列满足，，其前n项和为，则（   ） A． B．是递减数列 C．若，则满足条件的最小正整数n为6 D．若，为数列的前n项和，则 3．设等比数列的前项和为，已知，，则________． 4．已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列． (1)求数列的通项； (2)设，且的前项和为，求证：． 题型二 等比数列的前n项和的基本量计算 5．设等比数列的前n项和为，若，，则公比 q=（    ） A．2 B． C．1或 D．2 或 −1 6．已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B．数列有最小项 C． D． 7．已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____． 8．已知正项等比数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式． (2)设，求数列的前n项和． 题型三 等比数列片段和性质及应用 9．已知等比数列的前项和为，，，则（     ） A．120 B．210 C．220 D．850 10．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则（   ） A．，的等差中项为 B．，的等比中项为 C．，，，，…为等差数列 D．，，，，…为等比数列 11．已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则 ________. 12．记为等比数列的前n项和，． (1)若，求的值； (2)若，求证：． 题型四 等比数列奇、偶项和的性质及应用 13．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 14．已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 15．已知数列为等比数列，，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若为单调递增数列，且，求数列的前项和. 题型五 等比数列的前n项和的其他性质 16．等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 17．已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 18．已知等比数列的前项和为，若，则______． 19．设数列的前n项和为．数列为等比数列，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值． 题型六 前n项和特点 20．已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．3 B．1 C． D． 21．已知数列是等比数列，以下结论正确的是（    ） A．是等比数列 B．若，，则 C．若，则数列是递增数列 D．若数列的前项和，则 22．已知等比数列的前项和为，若，则______. 23．设数列的前项和为，且，，． (1)求数列的通项公式； (2)记，设数列的前项和为，求证：． 题型七 前n项和与通项关系 24．已知数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 25．下列命题正确的有（   ） A．若是等比数列，（c为常数），则必有 B．若数列为等差数列，则为等比数列； C．数列满足：，则 D．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 26．记为等比数列的前项和，若（为常数），则___________． 27．已知等差数列的前项和为，且，，等比数列的前项和为，且. (1)求数列，的通项公式. (2)若，求数列的前项和. 题型八 等比数列的简单应用 28．在重大节日里，从古至今我国有悬挂灯笼增加节日气氛的习俗．据文献记载，古代有一座层的塔共挂了盏灯笼，相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的倍，顶层有盏灯笼，问共有多少层塔？（     ） A．层 B．层 C．层 D．层 29．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（即每个感染者7天内感染3人），则下列说法正确的是（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）（   ） A．第5轮新增感染人数为243 B．由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为 C．感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6轮传染 D．感染人数由1个初始感染者增加到2026人大约需要49天 30．小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为_______元．（最后结果保留4位有效数字，参考数据：） 31．2025年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池．该厂2025年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨． (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2026年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $