等差数列专项巩固训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章数列----等差数列专项巩固训练 一、单选题 1．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，已知，，若，则（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 3．设是等差数列，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，（），则（   ） A． B．9 C．11 D．13 5．已知数列的前项和为，且，则（   ） A．65 B．105 C．210 D．230 6．数列的前n项和，则（    ） A．70 B．120 C．40 D．14 7．已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 8．设等差数列的前项和为，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．成立的最大正整数的值为15 10．设数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．是等差数列 D． 11．对于数列，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等差数列 C．数列是等差数列 D． 三、填空题 12．已知数列满足，且．设，则数列的前5项和_____． 13．已知等差数列满足，则的通项公式为_____． 14．已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 四、解答题 15．已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等差数列； (2)求证：． 16．记为等差数列的前项和，已知． (1)求和的通项公式； (2)求． 17．已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 18．已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，． (1)求和； (2)求． 19．设数列满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据，可得，根据等差数列通项公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以数列为首项，公差为3的等差数列， 所以，所以. 故选：D 2．C 【分析】根据等差数列的性质，结合通项公式的基本量求法求解即可 【详解】由等差数列的性质得，，则， 所以公差，由等差数列的通项公式得，， 解得. 故选：C. 3．D 【分析】根据等差数列性质可知，，成等差数列，由此可构造方程求得结果. 【详解】是等差数列，，，成等差数列， ，. 故选：D. 4．C 【分析】由题可知数列是公差为的等差数列，则，再代入计算即可． 【详解】，， 数列是公差为的等差数列， ， ． 故选：C． 5．B 【分析】根据题意证明数列为等差数列，公差为，首项为，进而求得通项公式，再计算对应项并求和即可. 【详解】因为，所以，即， 又因为，所以，， 所以，即数列为等差数列，公差为，首项为， 所以，， 所以，，，，， 所以 故选：B. 6．A 【分析】通过，先求出，当时，构造，得出，然后求出即可. 【详解】由， 所以当时，， 当时，， 所以 ， 当时，满足， 所以， 故选：A. 7．B 【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】是等差数列的前n项和，则数列是等差数列． ，， 则数列的公差，首项为， ，． 故选：B． 8．B 【分析】根据等差数列的性质，可以判断等差数列的特点，确定何时最小. 【详解】在等差数列中，由等差数列的性质可得：， 又因为，所以， 由等差数列的前项和可得：， 由等差数列的性质可得：， 所以， 又因为，所以，即， 所以，即， 所以等差数列是单调递增数列， 当时，，所以会越来越小， 当时，，所以会越来越大， 所以当，最小. 故选：B. 9．AD 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质可得，进而求得，再结合等差数列前项和公式及性质逐一判断. 【详解】在等差数列中，由，得， 则，即，因此， 对于A，由，得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，等差数列是首项为正，公差为负的递减等差数列， 且是开口向下的二次函数，无最小值，C错误； 对于D，由选项C知，，当时，，当时，， 因此成立的最大正整数的值为15，D正确. 故选：AD 10．ACD 【分析】代入计算判断A；由求解判断B；利用等差数列定义判断C；结合选项C利用等差数列通项公式求得，代入题干即可求解判断D. 【详解】当时，，解得，故A正确； 由，得，上述两式作差，得， 即，故B错误； 由，得，所以是公差为1的等差数列，故C正确； 因为，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11．ACD 【分析】由，得，两式相减得，结合可知数列所有奇数项和所有偶数项各自构成等差数列，从而即可对选项进行逐一判断. 【详解】由，， 得，， ，所以A选项正确； 又，， 两式相减得， 令，可得， 所以不是等差数列，是等差数列， 故B选项错误，C正确； 同理，令，则， 所以是以为首项，公差为2的等差数列， 所以，故D正确. 故选：ACD 12．/0.3125 【分析】利用等差数列求出通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，由，得数列是公差为3的等差数列，而， 则，， 所以数列的前5项和. 故答案为： 13． 【分析】先列出等差数列的通项，结合已知条件求出公差，进而得出通项公式． 【详解】已知是等差数列，设公差为，则， ， ，解得， ． 故答案为：． 14．/ 【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列下标和性质计算求解. 【详解】等差数列与的前项和分别为，，且， 则. 故答案为：. 15．(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】(1)对递推式进行同除变形，构造出新数列，通过证明其相邻两项的差为常数，从而证明该数列为等差数列. (2)先由第一问的结论求出原数列的通项，再对通项的倒数裂项，用裂项相消法求和，最后通过放缩证明和式小于. 【详解】（1）已知，两边同时除以，得：， 令，则上式可写为：，则是公差为的等差数列， 首项，因此，数列是首项为，公差为的等差数列. （2）由上一小问可知，即：， 因此， 对和式进行裂项相消：， 继续化简可得， 因为，所以，即. 16．(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得，即可求得和的通项公式； （2），当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以数列的通项公式为， 数列的通项公式为． （2）由（1）知，，则， 由，得， 则当时，，当时，， 故 ． 17．(1)； (2)； 【分析】（1）根据等差数列通项公式及求和公式列方程求解即可； （2）利用裂项相消法求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，则， 解得， 所以． （2）由，可得， 所以， 所以． 18．(1)， (2) 【分析】（1）根据题意设等差数列的公差为，列出方程组，解得，得到数列的通项公式，结合等差数列的前项和公式即可求出， （2）由（1）知，得到，结合等差数列的前项和公式即可求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得， 所以. （2）由（1）知， ， . 19．(1) (2) 【分析】（1）通过递推公式判断数列为等差数列，进而可求解； （2）由裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由，得， 所以数列是公差为2，首项为的等差数列， 即． 所以． （2）设数列的前n项和为， 由（1）知， 则． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $