24.第七章 图形的变化-第三节 图形的对称（含折叠）、平移与旋转-【加速度中考】2026年贵州中考数学总复习

第三节 图形的对称（含折叠）、平移与旋转 【教材链接】北师：七下P115~P134,八上P68~P70,八下P64~P90; 人教：七下P28~P33P75~P78,八上P57~P74,九上P58~P77. 一题多练过基础 1.对称变换已知四边形ABCD是矩形. 与CF的数量关系为 ,∠ACB ∠DFE; (2)若BE=3,则BF的长为 ,四边形 ABFD的周长为 ,四边形DHCF的面积 图① 图② 为 3.旋转变换已知正方形ABCD,AB=4.E为DC 边上一动点，连接BE,将△BCE绕点C旋转得 图③ 到△GCF. 第1题图 (1)冀教八下P159改编如图①，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B落在AD边上的F处，折痕为EC, 若∠BCE=15°，AB=1,则∠DFC= BC 图① 图② 的长为 ,AF的长为 第3题图 (2)如图②，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠， (1)图①中与∠BCG相等的角为 使，点B落在平面上的B处，AB交CD于点E. (2)如图①，若△ECF为等边三角形，则∠CGF= ①若∠EAC=25°，则∠BCE ,BE与CF的位置关系为 (3)若B,C,F三点共线，DE=3,则FG与BE ②若AD=4,tan∠DEA= 3,则EB 的位置关系为 ,BF= S△AB= (4)如图①，连接BG,则图中与△BCG相似的三 (3)如图③，在矩形纸片ABCD中，AB=10, 角形有 AD=12,E是AB的中点，F是边AD上的一个 (5)如图①，若BC=√3EC,且GF过点E,则 动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到 ∠BGE= ,BG= ,CF= △A'EF,则线段AC的最小值是 (6)如图②，点E以每秒1个单位长度的速度从 2.人教七下P31改编-平移变换如图，△ABC为直 点C向点D运动（不与点D,C重合），设点E的 角三角形，∠ABC=90°， 运动时间为t秒.将△BEC绕点C旋转90°得 将△ABC沿BC方向平移 H 到△GFC. 得到△DEF,DE与ACB ①GF= (用含t的式子表示)： 交于点H,连接AD,AB 第2题图 ②连接EF,记△DEF的面积为S1,△BEF的 =3,BC=4. (1)AD与CF的位置关系为 ,AD 面积为S,当S=号S,时，t的值为 129 教材知识构体系 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图 图示 形与中心 对称图形 [2024.2 (1)有对称轴（直线）： (1)有对称中心（一点）； 判断 (2)图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图 (2)图形绕对称中心旋转180°，旋转前后 方法 形能够完全重合 的图形完全重合 轴对称 中心对称 图示 轴对称与 中心对称 称（含折叠） (1)成中心对称的两个图形是全等图形； (1)成轴对称的两个图形是全等图形 性质 (2)对称点所连线段都经过对称中心，并 (2)对称点所连线段被对称轴垂直平分 且被对称中心平分 平移 (1)位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称 图形的折叠 (2)折叠前后的两个图形全等，对应的边、角、线段、周长、面积均相等 转 (3)折叠前后，对应点的连线被折痕垂直平分 要素：① 平移距离 图形的 (1)平移前后的对应线段、对应角分别② 平移 性质 (2)平移前后的对应点所连线段③ (3)平移变换不改变图形的形状和大小，平移前后的两个图形④ 概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形 运动称为旋转.这个定点叫做⑤ ,转动的角叫做⑥ 图形的 三要素：旋转中心、旋转方向和⑦ 旋转 (1)对应，点到旋转中心的距离相等 性质 (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于⑧ (3)旋转前后的图形⑨ (1)找出图形中的关键点 网格作图(2)把关键点进行平移、对称或旋转得到每个点的对应点 (3)按原图依次连接得到的对应点，从而得到所求图形 130 练透真题明考向 命题点刀图形的对称 5.[2024毕节金沙县期末]将Rt△ABC沿BC边向 1.[2024贵州，2]“黔山秀水”写成下列字体，可以看 右平移得到Rt△DEF,AB=8,BE=6,DG=3, 作是轴对称图形的是 则阴影部分的面积为 黔山秀水 80m 60 2.[2024遵义播州区二模]如图，在菱形ABCD的 DC边上有一点E,连接AE,沿AE翻折 第5题图 第6题图 △ADE,得到△ADE,连接DC.若AB=4, 6.[2024安顺平坝区月考]如图，在长为80m、宽为 ∠DED'=90°，∠DAE=15°，则线段DC的长 60m的矩形地块上，有几条纵横交错的小路，宽 为 ( 度均为4m,其他部分均种植花草，则种植花草 A.8-4/5B.4-2/5C.43-4D.4 的面积是 m2. 0 命题点☒旋转的性质及相关计算 7.[2024毕节织金县期末]如图，在△ABC中，将△ABC 绕点A顺时针旋转68°，点B和C旋转后的对 第2题图 应点分别是B和C',连接BB,则∠ABB的度 第3题图 数是 ( 3.[2024贵阳观山湖区二模]如图，把Rt△ABO放 A.57° B.54° C.55° D.56° 置在平面直角坐标系中，已知∠OAB=30°，点 B的坐标为(0,1)，将△ABO沿斜边AB翻折后 得到△ABC,则，点C的坐标是 A.(5,2)B.(1,√3) 命题点②平移的性质及相关计算 第7题图 第8题图 4.[人教七下P30第3题改编]如图，将△ABC平移 8.[人教九上P60改编]如图，△ABC为等边三角 到△DEF的位置，连接BD,则下列说法错误的 形，D是△ABC内一点，若将△ABD旋转到 是 △ACP的位置，则旋转角的度数为 A.15° B.30° C.45 D.60° 9.[2024贵州模拟]如图，O A E 是矩形ABCD对角线的 交点，点E在AD边上， 第4题图 连接OE,将线段OE绕 B 第9题图 A.∠ACB=∠DFE 点O逆时针旋转90°得 到线段OF(点F在矩形ABCD内部)，连接 B.AD∥BE AF,EF.若AB=2,AD=4,则△AEF面积的 C.AB=DE 最大值是 D.平移距离为线段BD的长 131 课后作业 基础巩因 6.[2025凉山州]如图，将周长为20的△ABC沿 1.传统文化[2025遂宁]汉字作为中华优秀传统文 BC方向平移2个单位长度得△DEF,连接 化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种 AD,则四边形ABFD的周长为 字体，给人以美的享受.下面是“遂宁之美”四个 字的篆书，能看作是轴对称图形的是 缘廪业养 B D 第6题图 第7题图 2.[2025重庆改编]下列图案中，是中心对称图形的 是 7.[2025甘肃]如图，把平行四边形纸片ABCD沿 M B & 对角线AC折叠，点B落在点B'处，BC与AD A B 相交于点E,此时△CDE恰为等边三角形.若 C D 3.[2025苏州]如图，将直角三角形绕它的一条直角边 AB=6cm,则AD= cm 所在直线旋转一周后形成的几何体是 拓展提升 8.如图，△ABC的三个顶点都在一圆上，将△ABC 绕点A顺时针方向旋转得到△AB'C',且B会落 在同一圆上，其中AB与AC'的夹角为x°.若BC 所对圆心角为54°，CA所对圆心角为62°，则x 的值为 第3题图 A.27 B.31 C.32 D.37 4.[2025自贡]如图，在平面直角坐标系xOy中，正 方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B(0, 2).若将正方形ABCD绕，点O逆时针旋转90°，得 E C 到正方形A'BCD',则点D的坐标为 () 第8题图 第9题图 A.(-3,5) B.(5,-3) 9.[2025河南]如图，在菱形ABCD中，∠B=45°， C.(-2,5) D.(5,-2) AB=6,点E在边BC上，连接AE,将△ABE沿 D'_ Y AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处， 则CF的长为 () A.2 B.6-3/2 第4题图 第5题图 C.2/2 D.6/2-6 10.[2025上海]已知矩形ABCD中，点E在边CD 5.[2025长沙]如图，将△ABC沿折痕AD折叠，使 上，F是点E关于直线AD的对称点，连接 点B落在AC边上的点E处.若AB=4, EF,AF,BE.若四边形ABEF是菱形，那么 BC=5,AC=6,则△CDE的周长为 ( AB. A.5 B.6 C.6.5 D.7 AD的值为 132 11.[2025江西]如图，在矩形纸片ABCD中，过点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB',折痕与边BC 交于点P.当AB与AB,AD中任意一边的夹角为15时，∠APB的度数可以是 H G B E 第11题图 第12题图 12.[2025重庆（有改动）]如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点，连接DE,将△DCE沿直线 DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE,延长DF交AB于点G.∠ADG和∠DAG的平 分线DH,AH相交于点H,连接GH,则△DGH的面积为 13.[2024烟台节选]在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为直线BC上任意一点，连接 AD.将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED,连接BE. 【尝试发现】 (1)如图①，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为 【类比探究】 (2)当点D在线段BC的延长线上时，先在图②中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并 证明. 图① 图② 第13题图 加使度 133 14.[2025山东【图形感知】 如图①，在四边形ABCD中，已知∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，AD=2,AB=4. (1)求CD的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图①所示的纸片进行了折叠探究. 在线段CD上取一点E,连接BE.将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A'BED',其中A',D'分 别是A,D的对应点 (2)其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点D'恰好落在边BC上，延长A'D'交CD于点F,如图②.判断四边形DBA'F的形状，并说明 理由； ②乙：点A'恰好落在边BC上，如图③.求DE的长； (3)如图④，连接DD'交BE于点P,连接CP.当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小 值？若存在，直接写出最小值；若不存在，请说明理由 图① 图② 图③ 图④ 第14题图 加使度碧 134 核心专题5利用对称解决线段的最值问题 1.[2024遵义绥阳县期末]如图，在△ABC中，AD⊥BC于点 学法点拨 D,AD=BC,P为直线BC上方的一动点，△PBC的面积 利用对称求线段和的最小值 是△ABC面积的，则当PB十PC最小时，∠PBD的度数 (1)“一动两定”型 如图①，定点A,B在直线l同侧，P为 为 直线L上一动点，作点B关于直线1的对 称点B',连接AB交L于点P1,则当点P 位于P,处时，AP十BP的值最小. B 第1题图 第2题图 2.[2024贵阳南明区校级模拟]如图，在四边形ABCD中，∠A= 图① (2)“一定两动”型 ∠C=90°，M,N分别是BC,AB边上的动点，∠B=56°，当 如图②，P为∠AOB内一定点，C,D △DMN的周长取得最小值时，∠MDN 分别为边OA,OB上的动，点，分别作点P 3.[2024遵义期末]如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB 关于OA,OB的对称点P',P",连接PP", AC=2,D是BC边上一动点，连接AD,过点A作AE⊥AD, 则当C,D两点分别在P'P"与OA,OB的 且AE=AD,连接BE,则AE十BE的最小值为 交点上时，△PCD的周长最小 A D E D 图② 第3题图 第4题图 (3)三角形中三动点背景下的周长最 4.[2024遵义绥阳县校级月考如图，四边形ABCD是正方形， 小值 边长为2，E,F分别是AB,BC上的动点，且AE=BF,则 如图③，D,E,F分别为△ABC中 DE十DF的最小值为 BC,AC,AB边上的动点，分别作，点D关于 5.[2024贵阳观山湖区二模]如图，在正方形ABCD中，AB=2, AC,AB的对称，点D1,D2,则AD1=AD2= P是正方形ABCD内部的一个动点，且满足∠PAB=AD,∠DAD2=2∠CAB,DE+DF+EF= ∠PBCM是BC上的一个动点，连接PM,MD,则PM+DE+DF+EF≥DD2,.当D,E,F, MD的最小值为 D2四点共线时，△DEF的周长最小 B M 第5题图 图③ 135三 加 294 第三节图形的对称（含折叠）、平移与旋转 一题多练过基础 1.(1)30°22-5(2)①40°②310(3)8 2.(1)AD∥CF AD=CF=(2)7188 45 3.(1)∠ECF(2)30°BE∥CF (3)FG⊥BE3或5(4)△ECF (5)90°4 4/3 3 (6)① √16+平②2 教材知识构体系 ①平移方向■②相等③平行（或在同一条直线上）且相等 ④全等⑤旋转中心⑥旋转角⑦旋转角⑧旋转角 ⑨全等 练透真题明考向 1.B2.C3.D4.D5.396.42567.D8.D 【解析】连接BD,则O为BD的中点，取AD的中点M, 连接OM,过点F作FH⊥AD于点H,作FN⊥OM于点N. 第一种情况：如答图①，当点E在M右侧，或与点M重合时， 设ME=x,OM为△DAB的中位线，.OM∥AB,.OM⊥ AD,OM=号AB=L.在R△ME0中，∠MBO+∠M0E-90. ∠NOF+∠MOE=∠EOP=90°，∴.∠MEO=∠NOF.又： ∠OME=∠FNO=90°，OE=FO,.△MEO≌△NOF (AAS),∴ME=NO=x,MO=NF=1,∴.MN=MO-ON= I一x.又FN⊥NM,HFLHM,NM⊥HM,.FN⊥HF,四 边形HFNM为矩形，∴.HF=MN=1-x.又，AE=AM什ME 2+5=号AEH=+号+号抛物 线的时称轴为直线x=号，开口向下.：≥0>-号，Sa 随x的增大而减小，.当x=0时，S△r有最大值，最大值为 合×（宁+号-1.第二种情况：如答因@，当点E在M点左 侧时，设EM=y,同理可证△EMO≌△ONF,∴.EM=ON= y,AE=AM-EM=2-y,HF=MN=OM+ON=1+y,. Ss=AE·HF=0-+是-<0，当y 号时，Saw有最大值，最大值为号综上所速，△AEF面积的 最大位是号 图① 图② 第9题答图 课后作业 1.D2.A3.A4.A5.D6.247.128.D9.D 10.25【解析】如答图，：E,F关于直线AD对称.DF= 3 DE.设DF=DE=m,则EF=DE+DF=2n.四边形 AFEB是菱形，.AB=AF=EF=2,:四边形ABCD是 矩形，.∠ADC=90°，.∠ADF=180°-∠ADC=90°，. A0=A=原=8高-9 B 第10题答图 11.82.5°或52.5或37.5°【解析】四边形ABCD是矩形， ∠B=∠BAD=90,由折叠得∠PAB=∠PAB= 2∠BAB 如答图①，∠BAB'=15R.∴∠PAB=号∠BAB=7.5, ∠APB=90°-∠PAB=82.5°.如答图②，∠DAB=15°，且 点B'与点B在直线AD同侧.∴∠BAB=∠BAD一 ∠DAB'=75,∠PAB=号∠BAB=37.5,∴∠APB 90°-∠PAB=52.5°.如答图③，∠DAB=15°，且点B与点 B在直线AD异侧.∴.∠BAB=∠BAD十∠DAB=105°， ∠PAB=号∠BAE=52.5,.∠APB=90°-∠PAB= 37.5°.综上所述，∠APB的度数可以是82.5°或52.5°或 37.5°. B B P 图① 图② P C 图③ 第11题答图 2.号【〖解析】如答图，连接GE:四边形ABCD是正方形， ∠B=∠C=∠BAD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA= 2.E是BC边的中点，∴.BE=CE=1.将△DCE沿直线 DE翻折得△DFE,∴.∠EFD=∠C=90°，FE=CE=BE= 1,DF=DC=2,.∴.∠GFE=∠GBE=90°.又.GE=GE,∴. Rt△EFG≌Rt△EBG(HL),.GF=GB.设GB=GF=x,则 AG=2-x,DG=2+x.在Rt△DAG中，根据勾股定理可得 AC+AD=DC,即(2-x)+2=(2+),解得x=号… DG=号，AG=是.：∠ADG和∠DAG的平分线DH,AH 相交于点H,∴点H到AD,AG,GD的距离相等，∴.SDH GD GD+AG+AD·Sa= 2 ×(合××2)= ++2 第12题答图 13.解：(1)BE=√2CD 【解析】如答图①，过点E作EM LCB交CB的延长线于，点 M.由旋转的性质得AD=DE,∠ADE=90°， .∴.∠ADC+∠EDM=90° ∠ACB=90°， ∴.∠ACD=∠DME,∠ADC+∠CAD=90, ∴.∠CAD=∠MDE .△ACD≌△DME(AAS), .'.CD=ME,AC=DM. .AC=BC, ∴.BM=DM-BD=AC-BD =BC-BD-CD. .'BM=EM. ,EML CB,.BE=√2EM=√2CD (2)补全图形如答图②，BE=√2CD.证明如下： 过点E作EMBC于点M. 由旋转的性质得AD=DE,∠ADE=90°， ∴.∠ADC+∠EDM=90°. ∠ACB=90°， ∴.∠ACD=∠DME,∠ADC+∠CAD=90°， .∠CAD=∠MDE,∴.△ACD≌△DME(AAS), ∴.CD=ME,AC=DM. .AC=BC,.'.DM=BC, ..DM-CM=BC-CM, .CD=BM,∴.EM=BM ,EM⊥CB, .BE=√2EM=√2CD. 图① 图② 第13题答图 295 14.解：(1).∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°， .AD∥BC,.∠ADB=∠DBC △ADB△DBC08 ∠BAD=90°，AD=2,AB=4, BD=√AD+AB=2W5, 2 “25CD…CD=45. .4 (2)①四边形DBA'F是矩形.理由如下： 由折叠的性质得∠A'=∠A=90°，∠ABD=∠A'BD', :∠ABD+∠DBC=∠ABC=90, ∴·∠A'BD=∠A'BD'+∠DBC=90, ∴.四边形DBAF是矩形. ②如答图①，延长AD和A'D相交于点Q,连接BQ, 由折叠的性质得A'B=AB=4,∠BA'Q=∠A=90°，∠ABD =∠A'BD',∠EBD=∠EBD. :点A'恰好落在边BC上， .∠ABA'=90°， ∴.四边形ABA'Q是矩形 .A'B=AB=4, .四边形ABA'Q是正方形. :∠ABE=∠ABD+∠EBD=∠A'BD'+∠EBD'=45°， .点E在对角线BQ上， ∴.DQ=AQ-AD=2,BC=√BD+CD=10. ,四边形ABA'Q是正方形， .AQ∥CB,.△DQEP△CBE ·DE_DQ_2_1 CE BC 105 DE-君CD=5 3 (3)存在.线段CP的最小值为√85-5 【解析】由折叠的性质得∠EBD=∠EBD',BD=BD BE是线段DD'的垂直平分线 ∴.∠BPD=90°， 如答图②，点P在以BD为直径的⊙O上，连接OC,OP, ∴CP≥OC-OP,当，点P在线段OC上时，线段CP取得最 小值 OC=√OD+CD=√85， .线段CP的最小值为√85-5. 图① 图② 第14题答图 核心专题5利用对称解决线段的最值问题 1.452.68 296 3.2/5【解析】如答图，连接CE,作AMLBC于点M,作EN= BE交BC的延长线于点N,连接AN,则∠AMN=90°，AE+ BE=AE+EN≥AN.:AE⊥AD,∴.∠DAE=90°.∠BAC =90°，.∠BAC=∠DAE,∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE ∠DAC,∴∠BAD=∠CAE.:AB=AC=2,AE=AD,.BC =22,∠ABC=∠ACB=45°，△ABD≌△ACE(SAS),. ∠ABD=∠ACE=45°，∴.∠BCE=90°，.CE⊥BN,.CN= BC=22.AB=AC,AM⊥BC,∴.M是BC的中，点，.CM= √2，.MN=3/2.又∠BAC=90°，∴.AM=√2.当点A,E,N 在同一条直线上时，AE十BE的值最小，最小值为AN= √AM+MN=25. D M 第3题答图 4.25【解析】如答图，作点A关于BC的对称点A',连接AF, AF,A'D.AB=A'B.AF=A'F..AD= D BA=2,∠DAE=∠ABF=90°，AE=BF, ∴.△DAE≌△ABF(SAS),∴.DE=AF,. DE+DF=AF+DF=A'F+DF≥A'D,当 A',F,D三点共线时，DE十DF取得最小 值，最小值为A'D的长.，AA'=AB十A'B 3 =4,AD=2,∠DAA'=90°，.A'D= 第4题答图 √AA+AD=2/5,∴.DE+DF的最小值 为2/5. 5.√I3-1【解析】：∠PAB=∠PBC,.∠PAB十∠PBA= ∠PBC+∠PBA=∠ABC=90°，∴∠APB=90°，∴.点P在 以AB中点O为圆心，AB为直径的圆上.如答图，以，点O为 圆心，OA长为半径作⊙O,延长DC到点D,使CD=CD=2, 连接MD,连接OD交⊙O于点P,过，点O作OE⊥CD于点E, 连接P'M,则MD=MD,OP'=OA=1,四边形AOED和四 边形BCEO都是矩形，.PM+MD=PM+MD≥P'M+ MD≥P'D'=OD'-OP'=OD'-1,∴.PM+MD的最小值是 OD'-1.在Rt△ODE中，OE=AD=2,DE=CD'+CE=3, .OD=√OE2+DE=/13,.PM+MD的最小值是 /13-1. D 第5题答图