20.第六章 圆-第二节 与圆有关的位置关系-【加速度中考】2026年贵州中考数学总复习

第二节与圆有关的位置关系 【教材链接】北师：九下P89~P96 人教：九上P92P104, 一题多练过基础 人教九（上）P98改编已知AB是⊙O的直径，D是(2)如图②，过点D作⊙O的切线，交BA的延长 ⊙O上一点，连接BD. 线于点E. ①若DE=BD=43,则∠B= ,⊙O的半 径为 ②若DE=8,AE=4,则AB= (3)如图③，分别过点A,D作⊙O的切线，两条切 线相交于点P,连接OP,AD. 图① 图② 图③ ①已知∠APD=60°，PD=2,则△PAD的周长为 (1)如图①，过点A作⊙O的切线，与射线BD交 DBA ,点O到弦AD的距离为 于点C,连接DO. ①若∠C=55°，则∠AOD= ②OP与BD的位置关系为OP BD: ②若⊙O的半径为4，AC=6,则CD ③若BD=3,AD=4,则OP的长为 教材知识构体系 (设圆的半径为r,平面内任一点到圆心的距离为d) 点与圆的点在圆外台→d① r,如右图中点A 位置关系 点在圆上台→d② r,如右图中点B 点在圆内台d③ r,如右图中点C 位置关系 相离 相切 相交 d与r的关系 d④ d⑤ d⑥ 直线与圆的位置关系 有关 (设圆的半径为r,圆 d 的 图示 心到直线的距离为d) 置 关系 交点的个数 0 2 切线的性质∫1)圆心到切线的距离等于⑦ [2024.23] 1(2)切线⑧ 于过切点的半径 (1)若已知直线与圆有公共点，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可， 可简述为：有交点，连圆心，证垂直 切线的判定 (2)若未知直线与圆有公共点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半 径即可，可简述为：无交点，作垂直，证相等 106 切线长定理（如图①）：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这 一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，如图①，过⊙O 外一点P可引两条切线PA,PB,则PA=PB,PO平分 与圆有关的 ∠APB 图① 定义：与三角形各边都相切的圆 圆心（内心）：三角形三个内角平分线的交点 置 性质：三角形的内心到三角形⑨ 的距离相等 三角形的内切圆 系 (如图②) 角度关系：∠B0C-90+号∠A 图② 【知识拓展】直角三角形内切圆的半径，=Q十)S(其中口，b分别为两直角边 2 长，c为斜边长) 练透真题明考向 命题点切线的相关证明及计算 1.[2024安顺西秀区二模]如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O 于点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E (1)写出DE与BC的位置关系 (2)求证：DE是⊙O的切线； (3)若DE=3,CE=2,求⊙O的半径 加速度碧 第1题图 107 2.[2024仁怀模拟]如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E,交AC于点C, 使∠BED=∠C. (1)求证：AC与半圆O相切； (2)若AC=8,cos∠BED-号，求AD的长. 第2题图 加使度碧 108 3.[2024贵州，23]如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆O上，点P在AB的延长线上，PC与半圆O 相切于点C,与OF的延长线相交于点D,AC与OF相交于点E,DC=DE. (1)写出图中一个与∠DEC相等的角：； (2)求证：OD⊥AB; (3)若OA=2OE,DF=2,求PB的长， 第3题图 加速度碧 109 4.[2025贵州，23]如图，在⊙O中，∠ACB是直角，D为BC的中点，DE为⊙O的切线交AB的延长线于 点E.连接CD,BD (1)点O与AB的位置关系是 线段CD与线段BD的数量关系是 (2)过E点作EF⊥AE,与AD的延长线交于点F.根据题意补全图形，判断△DEF的形状，并说明理 由； (3)在(2)的条件下，若⊙O的半径为3，DE=4,求CD的长. 第4题图 速度碧 110 课后作业 基罐巩固 7.[2024贵阳观山湖区二模]如图，以边长为2的等 1.[2025云南改编]已知⊙O的半径为5cm.若点P 边△ABC的顶点A为圆心、一定的长为半径画 在⊙O上，则点P到圆心O的距离为 ( 弧，恰好与BC边相切，分别交AB,AC于点D, A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm E,则图中⊙A的半径长是 2.[2025自贡]PA,PB分别与⊙O相切于A,B两 点，点C在⊙O上，不与点A,B重合.若∠P= 80°，则∠ACB的度数为 ( A.50 B.100° C.130° D.50°或130° 第7题图 3.[2025福建]如图，PA与⊙O相切于点A,PO的 8.[2025广东]如图，点O是Rt△ABC斜边AC边 延长线交⊙O于点C.AB∥PC,且交⊙O于点 上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于 B.若∠P=30°，则∠BCP的大小为 点D.求证：AD平分∠BAC. D 第3题图 第8题图 A.30° B.45° C.60° D.759 4.[2025安徽]如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相 切于点B,圆心O在线段PA上.已知∠P 50°，则∠PAB的大小为 速度碧 第4题图 5.[2025龙东地区]如图，PA,PB是圆O的切线， A,B为切点，AC是直径，∠BAC=35°，∠P= B 第5题图 6.[2025上海]已知平面内有一个角，一个圆与这个 角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截 得的两条弦恰好是某正五边形的两边，那么这 个角的度数为 度 111 9.[2025山东]如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C,AD⊥OB于点D.AC是∠BAD 的平分线. (1)求证：AB为⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为2，∠AOB=45°，求CB的长. D IC B 第9题图 加使度碧 112 拓展提升 10.[2025泸州]如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=10,⊙O与梯形ABCD的各边都相切，且 ⊙O的面积为16π，则点B到CD的距离为 A 0 第10题图 11.[2025湖北]如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=45°.过点O作DF⊥AB,垂足为E,交AC于 点D,交⊙O于点F.过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G (1)求证：FD=FG; (2)若AB=12,FG=10,求⊙O的半径， 0 第11题图 速度書 113第二节 与圆有关的位置关系 一题多练过基础 (1)①70° ②18 (2)①30°4②12(3)①660° √3 @1⑧号 教材知识构体系 ①>②= ③<④>⑤=⑥<⑦半径⑧垂直 ⑨三条边 练透真题明考向 1.(1)DE∥BC (2)证明：如答图，连接OD,交BC于 点F AD平分∠BAC交⊙O于点D, ∴∠BAD=∠CAD,∴BD=CD, A ∴.OD垂直平分BC. 第1题答图 DE∥BC, ∴∠ODE=∠OFC=90°. 290 OD是⊙O的半径，且DE⊥OD, DE是⊙O的切线. (3)解：，∠CFD=∠FDE=∠E=90°， 四边形CFDE是矩形， .'.BF=CF=DE=3,DF=CE=2 ∠OFB=90°，OD=OB, ..OF2+BE2=OB2.OF=OD-2=OB-2. ∴(OB-2+3=0B解得0B=品 :00的半径长为号 2.(I)证明：，BD是∠BAD与∠BED所 对的弧， ∴.∠BAD=∠BED. OC⊥AD, ∴·∠AOC平∠BAD=90°， 第2题答图 ∴.∠BED+∠AOC=90°. :∠BED=∠C, .∴∠C+∠AOC=90°， ∠OAC=90°，∴.AB⊥AC 又，OA是⊙O的半径， .AC与半圆O相切. (2)解：如答图，连接BD ,AB是⊙O的直径，∴.∠ADB=90°. 由(I)得∠C=∠BAD=∠BED, ∴osC=Os∠BAD=c0s∠BED-号， 在Rt△OAC中， AC=8.cOs C=AC-4. OC 5■ .OC-AC=10. cos C .∴OA=√OC-A=6,∴.AB=12. 在Rt△ABD中， “o∠BAD-0- AD=AB·cOs∠BAD=4S. 3.(1)∠DCE(答案不唯一) (2)证明：如答图，连接OC :PC与半圆O相切于点C, ∴.∠OCD=90°， 第3题答图 ∠DCE+∠ACO=90°. OA=OC,.∠A=∠ACO. :∠DCE=∠DEC=∠AEO, ∴∠A+∠AEO=90°， .∠AOE=90°，.OD LAB. (3)解：设OE=x,,OA=2OE,∴.AO=OC=2x, ..EF=OF-OE=x, DE=CD=x+2,OD=2x+2. .OC+CD2=OD2, .(2x)2+(x+2)2=(2x+2)2, ∴.x=4或x=0(舍去)， .OD=10,0℃=OB=8,CD=6. ∠DOP=∠OCD=90, .∠D+∠DOC=∠DOC+∠COP=90°， ∠D=∠COP. 又.∠OCD=∠PCO=90°， ∴.△CDOX∽△COP, 品品品=合解特op 3， ∴PB=0P-OB=9 4.解：(1)O在线段AB上CD=BD (2)补全图形如答图，△DEF为等腰三 角形.理由如下： 连接OD. ,DE为⊙O的切线交AB的延长线于 第4题答图 点E, .∠ODE=90°，∴.∠ADO+∠EDF=90°. .OA=OD,.∠OAD=∠ODA, ∴.∠DAO+∠EDF=90°. AE⊥EF,.∠F+∠DAO=90°， ∠F=∠EDF,ED=EF, ∴△EDF是等腰三角形. (3)如答图，过点D作DH⊥AB于点H. ,⊙O的半径为3，DE=4,∠ODE=90°， .0E=√32+4=5. :S△DE= 2 ODXDE=-2DHOE. :合×3X4-X5×DH, DH-号0H=vOD-DF=号， BH=3号-9， ∴BD=V√BH+DH=65 .CD-BD-6/5 5 课后作业 1.A2.D3.C4.20°5.70° 6.108或367.3 8.证明：如答图，连接OD, ,以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D, .OD⊥BC ∠ABC=90°，.OD∥AB, .∴.∠ODA=∠BAD. OA=OD,∴∠ODA=∠OAD, ∠BAD=∠OAD,AD平分∠BAC. 第8题答图 9.(1)证明：：AD⊥OB于点D, .∠ADB=∠ADO=90°. AC是∠BAD的平分线，∴.∠DAC=∠BAC .'OA=OC,.∴.∠OAC=∠OCA '∠OAC=∠OAD+∠DAC=∠OAD+∠BAC,∠OCA= ∠B+∠BAC, ∴∠OAD+∠BAC=∠B+∠BAC, ∠OAD=∠B, '.∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=∠ADO =90° OA是⊙O的半径，且OA⊥AB, .AB为⊙O的切线. (2)解：∠OAB=90°，∠AOB=45°， ∴∠B=45=∠AOB.∴.AB=OA. ⊙O的半径为2，.AB=OA=OC=2, ∴.OB=√AB+OA=√2OA=22, .CB=OB-OC=2/2-2. 1兽【解析如答图，过点A作AELC于点E,过点D作 DF⊥BC于点F,连接BD,过点B作BH⊥DC于点H,则四 边形AEFD为矩形，AD=EF,DF=AE.:⊙O的面积为 16π，∴⊙O的半径为4，AE=8,∴.DF=8.由勾股定理得 BE=√AB-AE=√10-8=6.：⊙O与梯形ABCD 的各边都相切，AB=CD=10,易和AD+BC=AB+CD= 20,AD=EF=7×(20-6×2)=4,BC=6+4+6= 16.:Sam=2BC.DF=CD·BH,∴BH=16X8 10 64 51 E 第10题答图 11.(1)证明：·DF⊥AB,GF是⊙O的切线，即DF⊥GF, .ABGF,∴∠G=∠BAC=45°， .∴.∠FDG=90°-2G=45°， 即△DFG是等腰直角三角形，∠DFG=90°， ∴FD=FG. 291 (2)解：DF⊥AB, ·AE=BE=AB=6. :∠BAC=45°， ∴.∠ADE=90°-∠BAC=45°， 即△ADE是等腰直角三角形，∠AED=90°， ∴.ED=EA=6. 由(1)得FD=FG=10, ∴.EF=DF-DE=10-6=4. 如答图，连接OA.设OE=x, 则OA=OF=OE+EF=x+4. 在Rt△AOE中，OA=AE+OE, (十40=6+，解得=号， :0A=x十4=+4=号9 2 2 :©0的半径为号 第11题答图 加速度碧 292