19.第六章 圆-第一节 圆的基本性质-【加速度中考】2026年贵州中考数学总复习

第六章 圆 第一节 圆的基本性质 【教材链接】北师：七上P123~P125,九下P65~P88、P97~P99: 人教：九上P78~P91、P105~P110. 题多练过基础 浙教九上P93改编如图，⊙O是△ABC的外接圆，(2)若∠ADC=60°，则∠AOC= AD是⊙O的直径，AD与BC相交于点E,连接 ∠CAD= CD,OC. (3)若∠BCA=60°，∠BAD=； (4)若OC=5,AC=8,则CD=;过点O作 OH⊥AC于点H,则cos∠AOH= (5)若BC⊥AD于点E,CB=6,∠CAD=30°，则 DE= (1)∠ACD= (6)连接BD,若∠BAC=65°，则∠BDC= 教材知识构体系 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中 定点称为① ,定长称为② ,以点O为圆心的圆 记作③ 弧：圆上任意两点间的部分，如图中的AC,BC,ACB.④ 半 圆的弧叫做劣弧，如图中的AC,BC;⑤ 半圆的弧叫做优 相关 概念 弧，如图中的ABC 弦：连接圆上任意两点的线段，如图中的AC.经过⑥ 的弦叫 圆的基本性 做直径，直径是最长的弦，如图中的AB 圆心角：顶，点在⑦ 的角叫做圆心角，如图中的∠BOC 圆周角：顶点在⑧ 并且两边都与圆⑨ 的角叫做圆 圆的相关概念及性质 周角，如图中的∠BAC (1)圆是轴对称图形，任何一条⑩ 所在直线都是圆的对称轴 性质 (2)圆也是中心对称图形，① 是它的对称中心 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧② 所对的弦也③ (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角④ ,所 弦、弧、圆 对的弦⑤ 心角的关系推论 (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角⑥ ,所 对的弧⑦ 100 定理：垂直于弦的直径⑧ 弦，并且© 弦所对的两条弧 推论：平分弦（不是直径）的直径②四 于弦，并且① 弦所对的 两条弧 (1)AC=@ (2)③ BD (3)AE=④ 垂径定理与推论的延伸 垂径定理及其推论 (4)AB⊥CD 「2023.23 (根据圆的对称性) (5)CD是直径 只要满足其中的两个结论，另外三个结论一定成立， 即知二推三 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的⑤ 的一半 圆 圆周角定理 (1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 及其推论 推论(2)半圆（或直径）所对的圆周角是⑥ ,90°的圆周角所对的弦是 @ 质 定义：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，如图中的⊙O 圆心：（外心）三角形三条边⑧ 的交点 性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的外接圆角度关系：∠BOC=2∠A 圆内接四边(1)圆内接四边形的对角②四 形的性质(2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角 名称 公式 中心角 3609 0= 心角0 半径R 边心距” a 边心距 r√R-(受 圆内接正n边形 周长 I=na (n≥3) 面积 练透真题明考向 命题点刀垂径定理的有关计算 (3)连接OA,OB,判断四边形OAEB的形状， 1.[2023贵州，23]如图，已知⊙O 并说明理由. 是等边三角形ABC的外接圆， 2 连接CO并延长交AB于点D, D B 交⊙O于点E,连接EA,EB. E (1)开放性设问写出图中一个度 第1题图 数为30的角：，图中与△ACD全等的三 角形是 (2)求证：△AEDp△CEB; 101 命题点②圆周角定理的相关证明与计算 5.[2024黔东南州榕江县校级模拟]如图，AB是⊙O 2.[2024黔东南州剑河县校级模拟]如图，将一块直 的直径，弦CD与AB相交于点E,∠BOD= 角三角板的一个锐角的顶点放在圆心O处，这 2∠A. 个锐角的两边分别与⊙O相交于点A、点B,P (1)写出图中一对你认为全等的三角形 是优弧AB上一点（点P与点A,B不重合），则 (2)求证：AB⊥CD: ∠APB的度数为 ( (3)若⊙0的半径为4铝-3，求CD的长。 A.15° B.30° C.45° D.90° E B D 30s 第5题图 第2题图 第3题图 3.[2024遵义一模]如图，在⊙O中，半径OC垂直弦 AB于点D,点E在⊙O上，连接AE,CE,OB 若∠E=30°，AB=6,则OB的长是 A.3 B.23 C.4 D.3/3 4.[2024铜仁石阡县模拟]如图，△ABC中，AB AC,以AB为直径作⊙O,交BC边于点D,交 CA的延长线于点E,连接AD,DE. (1)求证：BD=CD; (2)若AB=5,DE=4,求AD的长 度 第4题图 102 课后作业 基础巩因 5.[2025黔东南州二模]如图①，筒车是我国古代发 1.[2025新疆]如图，CD是⊙O的直径，AB是弦， 明的一种水利灌溉工具.如图②，简车⊙O与水 AB⊥CD,∠ADC=30°，则∠BOC= ( 面分别交于点A,B,筒车上均匀分布着若干盛 A.30° B.45 C.60 D.75 水筒，点P表示筒车的一个盛水筒，PC是⊙O 的直径，连接PA,PB,点M在AB的延长线上. 若∠PBM=110°，则∠APC= () 0 B 第1题图 第2题图 M B 水面 2.如图，在4×4的网格中，以点O为圆心作圆，点 图① 图② A,B,C都在圆周上，其中A,C为格点，则 第5题图 ∠ABC的正切值为 A.20° B.30° C.55° D.70° A B. 6.[2024凉山州门数学活动课上，同学们要测一个如 图所示的残缺圆形工件的半径.小明的解决方 C.1 案是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作 3.[2025泸州]如图，四边形ABCD内接于⊙O,BD AB的垂直平分线CD交AB于点D,交AB于点 为⊙O的直径.若AB=AC,∠ACB=70°，则 C,测出AB=40cm,CD=10cm,则圆形工件的 ∠CBD= 半径为 ( A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm 第3题图 A.40° B.50° C.60° D.70° 第6题图 第7题图 4.[2025黔南州平塘县一模]如图，正六边形ABCDEF 7.2025扬州门如图，点A,B,C在⊙O上，∠BAC= 内接于⊙O,点P在AB上，Q是DE的中点，则 50°，则∠OBC= ∠CPQ的度数为 ) 8.[2025内江]如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB 于点D,且AB=8,OC=5.则DC的长是. 第4题图 A.30° B.45° C.36° D.60° 第8题图 103 9.[2025安徽]如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC,∠DAB十2∠ABC =180°. (1)求证：OC∥AD: (2)若AD=2,BC=25,求AB的长. D 0 第9题图 加使度碧 104 拓展提升 10.[2025南充]如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A,OD交⊙O于点C,AE⊥OD于点E,交⊙O 于点F,F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4,则PE十PF的最小值是() 0 第10题图 A.4 B.27 C.6 D.43 11.[2025福建节选]如图，四边形ABCD内接于⊙O,AD,BC的延长线相交于点E,AC,BD相交于点 F.G是AB上一点，GD交AC于点H,且AB=AC,BG=DG. (1)求证：∠ABC=∠DBE+∠E; (2)求证：AH=HF·HC. G 0. D 第11题图 速度碧 105第六章圆 第一节 圆的基本性质 一题多练过基础 (1)90°(2)120°30°(3)30°(4)6 5 (5)5 (6)115° 教材知识构体系 ①圆心②半径③⊙O④小于⑤大于⑥圆心 ⑦圆心⑧圆上⑨相交⑩直径①圆心配相等 3相等④相等⑤相等⑥相等⑦相等⑧平分 0平分④垂直@平分②BC⑧AD④BE 四圆心角西直角⑦直径⑧垂直平分线四互补 练透真题明考向 1.(1)解：∠1（答案不唯一）△BCD (2)证明：：∠ADE=∠CBE=90° ∠3=∠CAE-∠CAB=90°-60°=30 =∠2， ,.△AEDX∽△CEB. D (3)解：四边形OAEB为菱形.理由如下： 6B 如答图，，△ABC为等边三角形， ∴∠2=30°， 第1题答图 .∠EOB=60° OE=OB,∴△EOB为等边三角形. 同理，△AOE为等边三角形， .'.AO=OB=BE=AE, ∴.四边形OAEB为菱形 2.B3.B 4.(1)证明：AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°，.AD⊥BC. AB-AC. .△ABC为等腰三角形，.BD=CD (2)解：由题意得AB=AC=5,∠B=∠C ∠B=∠E, .∠E=∠C,.DE=DC=4. :AB是⊙O的直径，∠ADB=90°， 5.(1)解：△OCE≌△ODE (2)证明：：∠BOC=2∠A,∠BOD=2∠A, ∴.∠BOC=∠BOD. OC=OD, 在△OCE和△ODE中，∠EOC=∠EOD, OE=OE, .△OCE≌△ODE(SAS), .∠OEC=∠OED=90°， AB⊥CD. 3解能-子0A=0B,器-呈 .OB=OC=4,..OE=EB=2. AB⊥CD,∴.CE=OC-OE=25, ∴.CD=2CE=43. 课后作业 1.C2.C3.B4.B5.A6.C7.40°8.2 9.(1)证明：∠AOC=2∠ABC,∠DAB+2∠ABC=180° .∠DAB+∠AOC=180°， .OC∥AD. (2)解：如答图，连接BD,交OC于点E, AB是半圆O的直径，∴.∠ADB=90°， 0CWAD8器-是 OA=OB,.EB=DE,■ .OC⊥BD,且OE是△ABD的中位线， OE-2AD=1. 设半圆O的半径为r,则CE=r一1， 在R△OEB中，BE=OB2-OE2=2-1, 在Rt△CEB中，BE=BC2-CE2=12-(r-1)2, .r2-1=12-(x-1)2, 解得r1=3,r2=-2(舍去)， ∴.AB=2r=6. 第9题答图 10.C【解析】如答图，延长DO交⊙O于，点M,连接PM,PF, PE,OF.AE⊥OD于点E,交⊙O于点F,F为BC的中点， .AC=CF=BF,∴.∠AOC=∠COF=∠BOF.∠AOC+ ∠COF+∠BOF=180°，∴.∠AOC=∠COF=∠BOF=60°， ,.∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF,.,点F关于AB的对称 289 点为点M,∴.PM=PF,.PE十PF=PE+PM≥EM,∴.当 E,P,M三点共线时，PE十PF取得最小值，最小值为线段 EM的长..∠AOC=60°，AD⊥AB,.∠D=30°，.OD= 20A..CD=4,..OD=0C+4=20A=20C,p OC=4,. OA=OB=OM=OF=OC=4.AF⊥OC,∠AOC=60°，∴ ∠0AE-30,OE-20A=2,PE+PF的最小值为EM =OE+OM=2+4=6.故选C 第10题答图 11.证明：(1)AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. ∠ACB=∠ADB,.∠ABC=∠ADB. '∠ADB=∠DBE+∠E, ∴∠ABC=∠DBE+∠E. (2).BG=DG,∴.∠ABD=∠GDB. 由(1)知∠ABC=∠ADB. ·∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠ADB=∠GDB+∠GDA, .∠DBE=∠GDA. :∠DBE=∠CAD,∴.∠CAD=∠GDA, ..AH=HD. :∠ACD=∠ABD,∴.∠ACD=∠GDB. ∠CHD=∠DHF,.△CHD△DHF, 0品H-HC,H, AH=HF·HC 店座度碧 290