16.第四章 三角形-第四节 解直角三角形及其应用-【加速度中考】2026年贵州中考数学总复习

第四节解直角三角形及其应用 【教材链接】人教：九下P60~P85: 北师：九下P1P2Z 一题多练过基础 人教九下P69改编如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. 下列等式： (1)若AB=13,BC=5,则AC= ①a=c·sinA,②6=c·cosB:③c=s曲B@c= sin A= cos A= cosA:⑤a·sinB=b·sinA.其中正确的有 a tan A= (2)若snA=号，BC=4,则AB的长为 (填序号)： (5)若BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿直 (3)若以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在 线BD翻折，点C落在点E处，AB=5,AC=4,则 直线为y轴建立平面直角坐标系，平面内一点P sin∠ADE的值是，DE= 的坐标为(3,1)，则cos∠ACP (4)若a,b,c分别是∠A,∠B,∠C所对的边，观察 (6若sinA=子，BC-CD.AB=7,则AD的长为 教材知识构体系 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A为一锐角，则有： 正弦：sinA= ∠A的对边 斜边 =① 锐角三角函数的定义 余弦：cosA /A的邻边二② 斜边 正切：tanA A的对边=③ ∠A的邻边 解直角三 三 角」 角a 游值 30° 45° 60° 图示 形及其应 三角函数 sin a 2 ④ 特殊角的三角函数值 60° 300 5 cos a ⑤ 2451 tan a 3 3 ⑥ 5 45 B 79 (1)两锐角之间的关系：∠A十∠B=⑦： (2)三边关系：a2+b2=⑧ 边角 关系 (3)边角关系：sinA=g=cosB:cosA=b=⑨ tanA=⑩ tan B a 视线 解直角三角 俯角、仰角：在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平 铅 垂 线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角 等水+线 视线 解直角三角形 [2024.221[2023.22] 坡度（坡比）、坡角：坡面的垂直高度h和水平宽度1之 比叫做坡度（坡比），用字母i表示，坡面与水平面的夹 其应用 实际 角α叫坡角，坡度i=h:l,坡度越大，坡角越大，坡面 应用 ① ↑北偏东30° 北偏西70° 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 、709 30° 90的角叫做方向角 →东 4545 西南方向东南方向 练透真题明考向 命题点刀锐角三角函数 1.[人教九（下）P65例2改编]在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=7,则sinB的值为 ( ) A号 3 D高 2.[2024遵义红花岗区一模]在△ABC中，AC=6,∠B=45°，∠C=60°，尺规作图方式如图所示，则AB= () A.√6+1 B.3/3 C.22 D.36 0 第2题图 第3题图 3.[2024黔东南州榕江县校级模拟]如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴 上，点C在OB上，瓷连接AC,过点O作OP/AB交AC的延长线于点R若点P坐标为1.1. 则tan∠OAP的值是 () A号 R号 c号 D.3 80 命题点2解直角三角形的应用 4.[2024贵州，22]综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性 学习 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与 水槽内壁AC的夹角为∠A; 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水（直线NN'为法线，AO为入射光线， OD为折射光线). 【测量数据】 如图，点A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面内，测得AC=20cm,∠A=45°，折射角∠DON=32°. 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求BC的长； (2)求点B,D之间的距离（结果精确到0.1cm.参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）. AN 空气 E 32 D B 第4题图 加速度考 81 5.[2023贵州，22]贵州旅游资源丰富.某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观 光索道.设计示意图如图②所示，以山脚A为起，点，沿途修建AB,CD两段长度相等的观光索道，最终 到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m.索道AB与AF的夹角为15°， CD与水平线夹角为45°，A,B两处的水平距离AE为576m,DF⊥AF,垂足为F(图中所有点都在同 一平面内，点A,E,F在同一水平线上) (1)求索道AB的长（结果精确到1m): (2)求水平距离AF的长（结果精确到1m). (参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，W2≈1.41) BCKAS 器① 图② 第5题图 速度碧 82 6.[2025贵州，22]某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心.设计示意图如 图②所示，已知BD=28m,CD=21m,该地冬至正午太阳高度角a为35°.如果你是建筑设计师，请 结合示意图和已知条件完成下列任务. 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离AB的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳 光，需将活动中心沿BD方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米（参 考数据：sin35°≈0.57，c0s35°≈0.82，tan35°≈0.70.结果保留小数点后一位)？ 阳光 活 宅 oo 楼 a 动中 D 图① 图② 第6题图 速度碧 83 课后作业 基础巩固 么BD长为 m(结果保留1位小数.参考 1.[人教七上P138改编]如图，点A在点O的正北 数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈ 方向，点B在点O南偏东61°50'的方向上，则 1.33). ∠AOB的度数为 ( ) A.118°10 B.11850 C.28°10 D.2850 北 D B A 第4题图 第5题图 西 0 5.[2025眉山]人字梯为现代家庭常用的工具.如 图，若AB,AC的长都为2m,当a=65°时，人字 梯顶端离地面的高度是 m(结果精确到 第1题图 第2题图 0.1m.参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42， 2.[2025云南]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若 tan65°≈2.14). AB=13,BC=5,则sinA= 6.[2025成都在综合与实践活动中，某学习小组用 A清 B D 无人机测量校园西门A与东门B之间的距离. 如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C 3.[2025浙江]无人机警戒在高速公路场景中的应 处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞 用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方 行60m到达D处，在D处测得西门A的俯角 向.如图，在高速公路上，交警在A处操控无人 为63.4°.求校园西门A与东门B之间的距离 机巡查，无人机从A处飞行到P处悬停，探测到 (结果精确到0.1m参考数据：sin63.4°≈0.89， 它的正下方公路上B处有汽车发生故障.测得 c0s63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，W3≈1.73). A处到P处的距离为500m,从点A观测点P 30° 的仰角为a,cosa=0.98,则A处到B处的距离 63.4 为 m 第6题图 第3题图 4.[2025上海]如图，某公司安装了一个人脸打卡 器，AB是高2.7m的门框，某人身高CD 1.8m,只有当∠CAB=53°时，他才能开门，那 7.[2025安徽]某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与9.[2025遂宁]在综合实践活动中，为了测得摩天轮 乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如图 的高度CF,在A处用高为1.6m的测角仪AD 所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线 测得摩天轮顶端C的仰角α=37°，再向摩天轮 段AB和CD表示，彩带用线段AD表示.工作 方向前进30m至B处，又测得摩天轮顶端C的 人员在A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D 仰角B=50°.求摩天轮CF的高度（结果精确到 的仰角为36.9°.已知AB=13.20m,求AD的 0.1m.参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈ 长（精确到0.1m.参考数据：sin23.8°≈0.40， 0.80,tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈ cos23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈ 0.64,tan50°≈1.19) 0.60,cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75) D 369 DSa E3B 4 23.89 B A B 第9题图 地面 第7题图 速度考 拓展提升 8.[2025扬州门如图①，棱长为9cm的密封透明正 方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM= 7cm.将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时 水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图②所 示，则tana A A(M) A M B a B 图① 图② 第8题图 . 85教材知识构体系 ①a②b ③号④%6 ,⑥1⑦90°⑧2 ⑨sinB0号 ①越陡 练透真题明考向 1.C2.D3.C 4.解：(1)在Rt△ABC中，∠A=45°，∠C=90°， ∠ABC=45°，.BC=AC=20, ∴.BC长为20cm. (2)由题意得ON=EC=2AC=10, .BN=ON=10. ∠DON=32°， .DN=ON.tan∠DON≈6.2， .BD=BN-DN≈3.8(cm). 答：点B,D之间的距离约3.8cm 5.解：(1)在R△ABE中，∠AEB=90°，∠A=15°，AE=576, ∴AB=AE=576 Cos A cos15≈594(m). 答：索道AB的长约594m. (2)如答图，延长BC交DF于点G BC∥AF,∠AEB=90°， ∴·∠CBE=90°，∠BEF=90°. DF⊥AF,∴∠AFD=90°， 四边形BEFG为矩形， ∴.EF=BG,∠CGD=∠BGF=90°. ,CD=AB594,∠DCG=45°， ,∴.CG=CD·cos∠DCG≈297/2 ..AF-AE+EF-AE+BG=AE+BC+CG =576+50+297/2≈1045(m). 答：水平距离AF的长约1045m. B CA4S--G F 第5题答图 6.解：任务一：如答图①，过点A作AE⊥CD于点E. 结合题意可得：四边形AEDB为矩形，∠AEC=90°. .BD=28,CD=2l, .'.AE-BD-28,AB-DE. :∠CAE=a=35°， .在Rt△ACE中，CE=AE·tana=19.6, 第四节解直角三角形及其应用 .'.AB=DE=CD-CE=1.4. 一题多练过基础 任务二：如答图，过点B作AC的平行线，过C作BD的平行 ①12是号是(2103)3四 线，两线交于点Q,BQ,AE交于点T,过Q作QK⊥BD于 5125 10 (4)①③⑤ 点K, 283 ∴.∠QBK=∠ATB=∠CAE=35°，四边形CDKQ为矩形， ∠AEF-,ana=am∠DAN--号 .CD=QK=21(m), QK 21 六在Rt△BKQ中，BK=tan /QBK=an35=30(m, A(M) .DK=30-28=2. 答：该活动中心移动了2米. 住 住 活 宅 第8题答图 楼 动 a 中 9.解：如答图，连接DE并延长交CF于点G, 心 A 心 B .DGI CE 图① 图② :DA⊥AF,BE⊥AF,CF⊥AF, 第6题答图 .四边形DEBA和四边形EGFB是矩形， 课后作业 ..DE=AB=30,BE=GF=AD=1.6. 1.A2.D3.4904.1.25.1.8 设CG=xm. 6.解：由题意得∠CAB=∠ACD=90°，∠ABC=30°，CD=60. 在Rt△CEG中，tan∠CEG=tanB= CG 在Rt△ACD中，AC=CD·tan63.4°. 在R△Mc中，AB==12g≈2Z6m .'.EG= CG tan50≈1.19' 答：校园西门A与东门B之间的距离约207.6m ..DG-DEEG-30 1.19 7.解：如答图，过点A作AE⊥CD于点E, 则四边形ABCE为矩形， 在R△CDG中，an∠CDG=ama-光， ∴.CE=AB=13.20. 0.75,解得x≈60.85， 在Rt△ACE中，tan∠CAE-CE 30十1.19 CE .CF=CG+GF≈62.5(m), .'.AE= tan∠CAE 答：摩天轮CF的高度约62.5m. 在R△ADE中，cOs∠DAE=E, AD ∴.AD= AE cos∠DAE入37.5(m). 答：AD的长约37.5m. B 第9题答图 .8 77777777777777777 B地面 C 第7题答图 8号 【解析】如答图，延长AN交直线BC于点E.由题意得 AD=BC=CD=9,∠D=90°，AD∥BC,AN∥FG,设DN= xcm,则CV=CD-DN=9-x.,密封透明正方体容器水平 放置在桌面上与放在坡角为。的斜坡上，容器里水的体积不 变；且放在坡角为a的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽 为9cm、高为(9一x)cm的长方体的体积与长为9cm、宽为 9cm、高为xcm的长方体的体积的一半之和，，9×9×(9- x)+号×9X9=9X9×7,解得x=4,即DN=4cm :AN∥FG,∴.∠AEF=∠F=a.,AD∥BC,.∠DAN= 284