15.第四章 三角形-第三节 全等、相似三角形-【加速度中考】2026年贵州中考数学总复习

第三节全等、相似三角形 【教材链接】北师：七（下）第四章P92~P104、P108~P113;九（上）第四章P75~P123; 人教：八（上）第十二章P30~P56;九（下）第二十七章P23~P59 题多练过基础 1.人教八上P44改编如图，在△ABC和△DEF (1)若AC=4,E为AC边上靠近点A的黄金分 中，FC=3,∠A=∠D,AC=DF,FE和AC在 割点，则AE= ； 同一条直线上. (2)若EF∥AB,CE=3,AE=1,BC=8,则 (1)要使△ABC≌△DEF,可添加条件 CF- EF_ (写出一个即可)，判定依据为 AB ,图中的相似三角形有 (2)若△ABC≌△DEF,则： ①若BC=6,DF=11,则AC= EF- (3)在(2)的条件下，连接AF,BE,AF与BE交 ,AE= 于点O,则OE与OB的数量关系为 ②若∠A=30°，∠ACB=110°，则∠E (4)若将△CEF沿EF翻折，点C的对应，点D恰 D 好落在AB上，△CEF与△ABC相似. ①当EF∥AB,且AC=BC=22时，DE的长为 第1题图 第2题图 ②当AC=6,BC=8时，AD的长为 2.北师九上P79改编如图，在Rt△ABC中，∠C 90°，点E,F分别在边AC,BC上 教材知识构体系 1.全等、相似三角形的性质 对应关系 全等三角形 相似三角形 角 ② 边 中位线 中线 ① 等于③ 高线 角平分线 周长 面积 等于④ 70 2.全等、相似三角形的判定 三角形相似的 三角形全等的 已知条件 示意图 增加条件 示意图 判定方法 判定方法 两角及其⑥ 对应相等(ASA) 两角对应 组对应 两角 ⑤ 边相等 两角及其一角所对边 对应相等(AAS) 两边对应成比 两边及其⑦ 两边一角 例且夹角相等 相等(SAS) 三边对应 三边 三边对应相等(SSS) ⑧ 斜边和直角边对 斜边和一条 斜边和一条直角边分 直角 应成比例（应用 直角边分别 别相等的两个直角三 三角形 时需证明) 相等 角形(HL) 3.图形的位似 性质 位似变化与坐标的关系 (1)位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质； 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画 (2)对应点的连线经过同一点； 出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似 (3)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之 比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形 比等于相似比； 上的点的坐标为（一kx,一y)或(kx,ky)(注：有两 (4)位似图形中的对应边平行（或在同一条直线上）■ 种情况) 4.常见全等、相似类型 类型 模型解读 对称型全等 B △ABC≌△ABD ∧ABC2∧DBE D 平移型全等 △ABC≌△DEF B A 8字型相似 △AOB∽△DOC △AOBO△COD 71 续表 类型 模型解读 A字型相似 D D R C(E)BA AADE∽△ABC △ADE∽△ACB,△BMD△EMC 旋转型 绕A点旋转△ADE,连接BD,CE,则△ADEP△ABC,△ABD△ACE. 特别地，当AB=AC或AD=AE时，△ABD≌△ACE 练透真题明考向 命题点刀全等、相似三角形的证明与计算 A.5 cm B20 cm c号m D.13 cm 1.[2024毕节金沙县期末]如图，已知AE=AC,∠C 4.[2024六盘水二模]如图，D,E两，点分别在△ABC ∠E,下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的 是 的边AB:Ac上，且∠ADE=∠C,架， A.∠B=∠D B.BC=DE 若△ADE的面积是3，则四边形BCED的面积 C.∠1=∠2 D.AB=AD 彩 () D 第1题图 第2题图 第4题图 2.[2025贵州，9]如图，已知△ABC△DEF;AB: A.6 B.9 C.12 D.15 DE=2:1,若DF=2,则AC的长为 ( )5.[2024黔东南州从江县二模]如图，将一副直角三 A.1 B.2 C.4 D.8 角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角 3.[2024黔东南州榕江县一模]如图，在矩形ABCD 的直角三角板DCB)按图示方式叠放，斜边交 中，AB=6cm,BC=9cm,点E,F分别在边 点为O,则△AOB与△COD的面积之比等 AB,BC上，AE=2cm,BD,EF交于点G,若G是 于 EF的中点，则线段BG的长度是 ) E G B B 第3题图 第5题图 72 命题点2全等、相似三角形的应用 9.[2024黔东南州从江县月考]如图是小明设计用手 6.[2024黔东南州剑河县一模]如图①，是生活中常见 电简来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一 的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行 水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后 工作的一类登高工具.因其使用时，左右的梯杆 刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD, 及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人” CD⊥BD,且测得AB=1.2m,BP=1.8m,PD= 12m,则该古城墙的高度是 m. 字，因而被称为“人字梯”.如图②是其工作简 图，AB=AC,拉杆EF/BC,AE=石AB,EF= 0.35m,则两梯杆跨度B,C之间距离为( B 拉杆 第9题图 10.[2024黔东南州从江县月考]九年级(1)班课外活 动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标 杆高度CD=3m,标杆与旗杆的水平距离BD= 图① 图② 15m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6m,人 第6题图 与标杆CD的水平距离DF=2m,求旗杆AB 10 的高度 A.2m B.2.1m C.2.5 m D.3 m 7.跨物理学科[2024黔南州一模]如图是小孔成像的 原理示意图，如果物体AB的高度为30cm,那 么它在暗盒中所成像的高度CD为 cm. 25 cm 第10题图 B 20 cm 第7题图 度 8.如图，两根旗杆CA,DB相距20m,且CA AB,DB⊥AB,某人从旗杆DB的底部B点沿 BA走向旗杆CA底部A点.一段时间后到达点 M,此时他分别仰望旗杆的顶点C和D,两次视 线的夹角∠CMD=90°，且CM=DM.已知旗杆 BD的高为12m,此人的运动速度为2m/s,则 此人从点B到点M所用时间是 S. M 第8题图 73 课后作业 A.全等三角形 基础巩因 3.[2025福建]如图，点E,F分别在AB,AD的延 1.[2025山西]如图，小谊将两根长度 D 长线上，∠CBE=∠CDF,∠ACB=∠ACD.求 不等的木条AC,BD的中点连在 证：AB=AD. 一起，记中点为O,即AO=CO, B BO=DO.测得C,D两点之间的距 离后，利用全等三角形的性质，可 得花瓶内壁上A,B两点之间的距 第1题图 离.图中△AOB与△COD全等的依据是( 第3题图 A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 2.[2025云南]如图，AB与CD相交于点O,AC= BD,∠C=∠D. 求证：△AOC≌△BOD. 第2题图 4.[2025陕西]如图，D是△ABC的边BC延长线 上一点，BD=AB,DE∥AB,DE=BC.求证： BE=AC 度碧 第4题图 74 5.[2024内江]如图，点A,D,B,E在同一条直线7.[2025遂宁节选]如图，在四边形ABCD中， 上，AD=BE,AC=DF,BC=EF AB∥CD,点E,F在对角线BD上，BE= (1)求证：△ABC≌△DEF: EF=FD,且AF⊥AB,CE⊥CD. (2)若∠A=55°，∠E=45°，求∠F的度数， 求证：△ABF≌△CDE. 第5题图 第7题图 拓展提升 6.[2025凉山州门如图，AB=AC,AE=AD,点E在 BD上，∠EAD=∠BAC,∠BDC=56°，则 ∠ABC的度数为 () B 第6题图 A.56 B.60° C.62° D.64° 75 8.[2025河北]如图，四边形ABCD的对角线AC,9.[2024遵义模考]如图，公路上A,B两站相距250 BD相交于点E,AC=AD,∠ACB=∠ADB,点 m,C,D为两所学校，DA⊥AB于点A,CB⊥AB F在ED上，∠BAF=-∠EAD. 于点B,DA=150m.现在要在公路AB上建一 (1)求证：△ABC2△AFD: 报亭H,使得C,D两所学校到H的距离相等， (2)若BE=FE,求证：AC⊥BD 且∠DHC=90°，请问报亭应建在距离A站多远 处？学校C到公路的距离是多少米？ H 第8题图 第9题图 中考新考法 10.新定义[2025威海我们把两组邻边分别相等的 四边形称之为“筝形”.在四边形ABCD中，对 角线AC,BD交于点O.下列条件中，不能判断 四边形ABCD是筝形的是 () B 第10题图 A.BO=DO,AC⊥BD B.∠DAC=∠BAC,AD=AB C.∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA D.∠ADC=∠ABC,BO=DO 76 B.相似三角形 基础巩因 △ABC剪成面积相等的两部分，则瓷的值为 1.[2025云南]如图，在△ABC中，已知D,E分别 ) 是AB,AC边上的点，且DE∥BC若架-号 2 A.1 B.2 C.3 D.4 则恶 ( ) 5.[2025成都]若号-3，则古的值为 6.[人教九下P31改编]如图，直线AB∥EF∥CD, EF分别交AD,BC于点E,F.若AE=1, ED-2,则的值为 第1题图 E F A B司 c D. 2.跨学科试题·物理[2025内江]阿基米德曾说过： D “给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生 第6题图 动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂 7.[人教九下P35改编]如图，P为△ABC边AB上 长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生 点，要使△ACP∽△ABC,只需添加条件 活中随处可见.如图①，这是用杠杆撬石头的示 (写出一个条件即可). 意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头 如图②所示，动力臂OA=150cm,阻力臂OB 50cm,BD=20cm,则AC的长度是 B 第7题图 B D 8.传统文化[2025甘肃]“儿童散学归来早，忙趁东 图① 图② 风放纸鸢”.风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时 第2题图 期，风筝制作技艺已被列人国家非物质文化遗产 A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.40 cm 名录.为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动， 3.[人教九下P51改编]如图，在□ABCD中，点E在 小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝， 边BC上.若S△DF=9,S△Er=4,且AD=9,则 风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD.已知 CE的长为 ( 大、小风筝的对应边之比为3：1，如果小风筝两条 A.3 B.4 C.5 D.6 对角线的长分别为30cm和35cm,那么大风筝两 条对角线长的和为 cm. 第3题图 第4题图 4.[2025宜宾]如图，一张锐角三角形纸片ABC,点 C D,E分别在边AB,AC上，AD=2DB,沿DE将 第8题图 77 拓展提升 念碑高度的活动，记录如下 9.[2025连云港]如图，在△ABC中，∠ACB=90°， 活动 ∠CAB=30°，AD平分∠CAB,BE⊥AD,E为垂 测量纪念碑的高度 主题 足，则哈品的值为 实物图 和测量 示意图 MD 第9题图 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC 上，在太阳光下，其顶端A的影子落在D A.25 c. D 3 处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E 测量 10.[2025威海]如图，△ABC的中线BE,CD交于点 的影子落在F处，位于M处的观测者眼睛 说明 F,连接DE.下列结论错误的是 所在位置为点N,点N,E,A在一条直线 上，纪念碑底部点B在观测者的水平视 A.SADEF= 4 线上 B.SANE=之S西边形D 测量 DE=2.1m,DF=2.1m, 数据 DM=1 m,MN=1.2 m 1 C.SAUF-7SAuF 备注 点F,M,D,C在同一水平线上 D.SMI-SAAEB 根据以上信息，解决下列问题 (I)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等， 可得CD=CA,请说明理由； (2)求纪念碑AB的高度， 第10题图 11.[2025苏州门如图，在△ABC中，AC=3,BC=2,∠ =60°，D是线段BC上一点（不与端点B,C重合）， 连接AD,以AD为边，在AD的右侧作等边三角 形ADE,线段DE与线段AC交于点F,则线段 CF长度的最大值为 B D C 第11题图 12.[2025河南节选]焦裕禄纪念园是全国重点革命烈 士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪 念园南部的中心.某综合与实践小组开展测量纪0店 第三节全等、相似三角形 一题多练过基础 1.(1)AB=DE SAS(2)①11614②40° 2.(I)6-2/5(2)6△ABCn△EFC,△EFO△BA0 (3)0E=0B(④①巨②9或5 教材知识构体系 ①相等②相等③相似比④相似比的平方 ⑤相等⑥夹边⑦夹角⑧成比例 练透真题明考向 1.D2.C3.D4.B5.1:36.B7.24 8.49.8 10.解：如答图，EH与CD交于点G. 由题意得EF=HB=GD,EG=FD,DB= GH. .CD⊥FB,AB⊥FB, .CD∥AB,.△CGE∽△AHE, 鼎爵 第10题答图 即CDES FD AH FD+BD' 3-16 2 AH 2千15，解得AH=11.9, ..AB=AH+HB=AH+EF=13.5(m). 答：旗杆AB的高度为13.5m. 课后作业 A.全等三角形 1.B 2.解：在△AOC和△BOD中， 1∠AOC=∠BOD, ∠C=∠D, AC=BD, ∴.△AOC≌△BOD(AAS). 3.证明：，∠CBE=∠CDF, .180°-∠CBE=180°-∠CDF. ∠ABC=∠ADC. ■ ∠ABC=∠ADC, 在△ABC和△ADC中，∠ACB=∠ACD, LAC=AC, .△ABC≌△ADC(AAS), ..AB=AD. 4.证明：D是边BC延长线上一点，DE∥AB, ∴.∠D=∠ABC 在△BDE和△ABC中， (BD=AB, ∠D=∠ABC, DE=BC, △BDE≌△ABC(SAS),.BE=AC. 5.(1)证明：AD=BE, ..AD+BD=BE+BD, ..AB=DE. 在△ABC和△DEF中， (AB=DE, AC=DF, BC=EF, 281 ∴.△ABC≌△DEF(SSS) (2)解：由(1)可知△ABC≌△DEF, .∠A=∠FDE=55°. ∠A=55°，∠E=45°， .∠F=180°-（∠FDE+∠E)=80° 6.C【解析】如答图，设AC与BD相交于点O.·∠EAD= ∠BAC,.∴.∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD,.∴.∠BAE= AB=AC, ∠CAD.在△BAE和△CAD中， ∠BAE=∠CAD,. AE-AD, △BAE≌△CAD(SAS),∴.∠ABE=∠ACD.:∠BOC是 △ABO和△CDO的外角，.∠BOC=∠ABE+∠BAC= ∠ACD+∠BDC.,∠BDC=56°，.∠BAC=∠BDC=56° :AB=AC,∠ABC=∠ACB=2180°-∠BAC)=62. 故选C. 第6题答图 7.证明：AB∥CD,.∠ABF=∠CDE AF⊥AB,CE⊥CD. ∴∠BAF=∠DCE=90° .BE=EF-FD. ∴.BE+EF=FD+EF,即BF=DE ∠BAF=∠DCE=90 在△ABF和△CDE中， ∠ABF=∠CDE BE=DE. .∴.△ABF≌△CDE(AAS). 8.证明：(1)：AC,BD相交于点E,∠ACB=∠ADB,点F在 ED上，.∠ACB=∠ADF. :∠BAF=∠EAD, ∴.∠BAF-∠CAF=∠EAD ∠CAF, ∴∠BAC=∠FAD. ∠BAC=∠FAD, 在△ABC和△AFD中，AC=AD, ∠ACB=∠ADF, ∴.△ABC≌△AFD(ASA). (2).△ABC2△AFD,.AB=AF .BE=FE, ∴.AC⊥BF,即AC⊥BD 9.解：，∠DHC=90, ∠AHD+∠CHB=90°. 282 DA⊥AB,∴∠D+∠AHD=90°， .∠D=∠CHB. (∠A=∠B, 在△ADH和△BHC中，{∠D=∠CHB, DH-HC. .△ADH≌△BHC(AAS), ..AD=BH=150,AH=BC. .AB=250,.'.BC=AH=AB-BH=100(m). 答：报亭应建在距离A站100m处，学校C到公路的距离是 100m. 10.D【解析】.BO=DO,AC⊥BD,∴.AC是BD的垂直平分 线，AB=AD,CB=CD,.四边形ABCD是筝形，.A选项 (AD-AB, 不符合题意；在△ACD与△ACB中，3∠DAC=∠BAC,. LAC=AC, △ACD≌△ACB(SAS),.CD=CB,∴.四边形ABCD是筝 形，.B选项不符合题意；在△ACD与△ACB中， I∠DAC=∠BAC, AC=AC, ·△ACD≌△ACB(ASA),.AD=AB, ∠DCA=∠BCA, CD=CB,.四边形ABCD是筝形，.C选项不符合题意；由 ∠ADC=∠ABC,BO=DO,不能证明四边形ABCD是筝 形，.D选项符合题意.故选D B.相似三角形 1A2B3A4.C546号 7.∠ACP=∠B(答案不唯一)8.195 9.A【解析】如答图，延长AC,BE相交于点F.:∠ACB= 90°，∠CAB=30°，AD平分∠CAB,.∴.∠BCE=90°=∠ABC= ■60°，∠CAE-15.:∠AEB=90°，∴∠ABE=∠F=75,BE= EF,∴∠CBF=∠ABF-∠ABC=l5°，.∠CAD=∠CBF, △CD△CB架瓷：∠AC-0架-长 =an∠ABC=3, 能-，即品-2故进A 第9题答图 10.B【解析】BE,CD为△ABC的中线，.F为△ABC的重 心，DE/BC,DE-=BC∴△DEF△CBE,∴E ·SF (器)=子Sm=子5am,A递项不特合题意.：DE/ C△ADB△ABC,S=(8)=子∴SaE S△Ax SD.B选项符合题意.：F为△ABC的重心，DF 1 =号CF,Sam=号SmC速项不特合意意.DE/BC ,.S△r=SAB.D选项不符合题意.故选B. 山是【解析】如答图，过点A作AHL BC于点H.在Rt△AHC中，∠C 60°，∠AHC=90°，AC=3,.AH= AC,nC-要：△ADE是爷边三 BH D C 角形，.∠ADE=60°=∠C.又 第11题答图 “∠AC=∠FAD.△DAGAFAD.0-6AF C=g:CF=AC-AF当AF聚得最小值时，F取 得最大值，.当AD取得最小值时，AF取得最小值，.当AD LBC时，AD取得最小值，即AF取得最小值，此时点D与点 352 H重合，AD的最小值为3y 2 2 ,AF的最小值为 3 号CF的最大值为3-是-是 9 12.解：(1)：太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻， 签直放蛋的标杆DE顶编E的影丁落在点F处“品-器 .DE=DF, ∴.CD=CA. (2)如答图，记BN与DE的交点为H 则四边形BCDH和MNHD是矩形. 又.DE=2.1,DF=2.1,DM=1,MN=1.2, .'.CD=BH,BC=DH=MN=1.2.NH=DM=1 ∴.EH=DE-DH=0.9. 设AB=x,则AC=AB+BC=1.2+x ∴.BH=CD=1.2+x, ∴.NB=BH+NH=2.2+x 速度碧 EH∥AB,△NEH△NAB, 器温09 x2.2+x1 解得x=19.8. 答：纪念碑AB的高度为19.8m. FMD 第12题答图 283