12.第三章 函数-第五节 二次函数的实际应用-【加速度中考】2026年贵州中考数学总复习

第五节二次函数的实际应用 练透真题明考向 1.解：(1)：水流的最高点到0A的水平距离是m,最高 水面品 “抛物线的顶点坐标为（宁，号）】 设抛物线的解析式为y=(x一十)'+ 将点A(o,号)代入y=a(x-）广+6 得a(0-子)广+品=号，解得a=-1, 六抛物线的解析式为y=-+2x十号 1 (2)今=0，得一+之+之-0， 解得=1=一（合去）. 答：水池的半径至少为1m,才能使喷出的水流不落在池外. 2.解：(1)当a=一 合=时.Cy=2+ :点F坐标为(2,0)， 0=2×2+号×2+c=1, 2 “抛物线C的表达式为)=一之+x+1. (2)不能理由如下： ,FG=4,点F坐标为(2,0)，.G(6,0), .C2:y= 吉x-0x-6)=-+2 5 点A的坐标为(4.5,0)，AB=1, B(5.5,0), :将xi5代人y言+2z得易05 ∴此时石块沿抛物线C。运动时不能越过障碍物 (3):四边形MNPQ是正方形，M(号，1D,N1,1D,Q(号， 3 如答图. ,抛物线开口向下，a<0. a越小开口越大，a越大开口越小，点F在(3,0)和(4,0) 之间（包括这两点）， 由图象可得，当抛物线顶点为点M,且经过点(4,0)时，开口 最大，此时a最大， ■ 设C的表达式为y=a(x-之)+1. 将40代人得0a64之1解得a-一看： 由图象可得，当抛物线顶点为点P,且经过点(3,0)时，开口 最小，此时a最小， “设C的表达式为y=a(x-1)2+之， 3 点离 将3,0代入，0=a(3-10°+号，解得a=一是， 3 4 a的取值范围为一8≤≤一 y↑ O P -2-10 234 -1f 第2题答图 3.解：(I)设y与x的函数解析式为y=kx十t(k≠0). 将(12,56)，(14,52)代入y=k.x+t(k≠0)， 279 12k+t=56, k=一2， 6.解：(1)设抛物线L,的函数表达式为y=ax2+4. 得 解得 14k+t=52, t=80, AC=16,O为AC的中点，∴.C(8,0). y与x的函数解析式为y=一2x十80. 将C(8,0)代入y=a.x2+4, (2)设日销售利润为元. 得64a十4=0，解得a=一6， 1 由题意得心=(x一10)(-2x十80》 =-2(x-25)2+450. “抛物线L的函数表达式为)=十4 .-20, .当x=25时取得最大值，最大值为450. (2:Q=多六r+4-[是x40]=号解得 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利 =x2=6, 润是450元. .xv=6,.MN=12. (3)设日销售利润为元，由题意得 7.解：(1)y=x2-2bx十c=(x-b)2+c-b2, =(x-10-m)(-2x+80) 顶点坐标为(bc一b). =-2x2+(100+2m)x-800-80m. ,抛物线y=x2一2bx十c的顶点为该函数图象上的一个不 ,-2<0,最大利润为392元， 动点， :4X(-2)(-80080m〉-100+2m=392, ..b=c-62 4×(-2) (2)根据题意得y=(x一6)(12一x)=一x2+18x一72， 解得m1=2,m2=58. .令x=-x2+18.x-72, 当m=58时，w=(x-10-58)(-2x+80) 整理得x2一17x+72=0, =-2x2+216x-5440, 解得x1=8,x2=9, =54, 当利润最大时x=一 该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段 .每盒糖果的利润为54一10一58=一140（不符合实际，舍 时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价 去)： 相等 当m=2时，=(x-10-2)×(-2x+80) =-2x2+104x-960, ∴.当利润最大时，x= b=26, 2 .每盒糖果的利润为26-10一2=14>0， m=2. 课后作业 1.B2.B3.D4.8 5.解：(1)由题意得，顶点为(6,8). 鹿度 设抛物线的函数解析式为y=@ (x-6)2+8(a≠0). 将点(12,0)代入，得a(12-6)2 甲 +8=0, 0 12 解得a=一号 第5题答图 ∴抛物线的函数解析式为y=一 。(x-6)+8(0≤x≤12. (2)能安全通过.理由如下： 如答图，记车的边缘为点A. 由据旅得号兰一3=2 将x=2代人y=号(-6)+8， 得y=号×2-6)+8= 9· :9-3.5-0>0.5小能安全通过. 17 280第五节二次函数的实际应用 【教材链接】人教：九上P49~P52: 北师：九下P46~P50. 练透真题明考向 命题点二次函数的实际应用 1.[北师九（下）P60第17题改编]如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA,OA= m,从A处向外喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.小星同学根据水流的路 1 径建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x()之间的解析式是y= ar+b十c(>0),已知水流的最高点到OA的水平距离是}m,最高点离水面是m (1)求抛物线的解析式： (2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不落在池外？ y/m 16 x/m 第1题图 加速度碧 53 2.[2025贵州，24]用石块打水漂是一项有趣的活动.抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近 似地形成一组抛物线的运动路径.如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中 飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示.石块第一次与水面接触于点F,运动路径近似为 抛物线C,且C:y=ax2十bx十c,石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点G,运动路径近似为抛 物线C,且C:y一号+mx十（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小，空气阻力等 因素忽略不计). (1)如图②，当a=一，b=时，若点F坐标为(2,0)，求抛物线G的表达式： (2)在(1)的条件下，若FG=4,在水面上有一个截面宽AB=1,高BC=0.5的矩形ABCD的障碍物， 点A的坐标为(4.5,0)，判断此时石块沿抛物线C2运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若C1的顶点需在一个正方形MNPQ区域内（包括边界），且点F在(3,0)和 (4,0)之间（包括这两点），其中M(弓，1)，N1,1).Q(,多，求a的取值范围.（在抛掷过程中正方形 与抛物线C在同一平面内) A B G 图 图② 第2题图 加使度碧 54 3.[2024贵州，24]某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售.经市场调查发现：销售单价不低于 进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 销售量y/盒 56 52 48 44 40 (1)求y与x的函数解析式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种 糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值. 速度碧 55 课后作业 基础巩因 发，沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ 1.[2025甘肃]如图，一个圆形喷水池的中央竖直 为x(单位：km)(0≤x≤n),PQ为y(单位： 安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M向外喷 km).如图②，y关于x的函数图象与y轴交于 水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路 点C,最低点D(m,81),且经过E(1,225)和 径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出 F(,225)两点.下列选项正确的是 的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式 是)y-一2+2x+子(>0)，则水流喷出的最大 225 高度是 81 y/mt 01 m n x 图① 图② 第3题图 A.m=12 x/m B.n=24 第1题图 B.2.75m C.点C的纵坐标为240 A.3m D.点(15,85)在该函数图象上 C.2 m D.1.75m 2.[2025山东]在水分、养料等条件一定的情况下， 4.[2025连云港]如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿 某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x 抛物线y=a(x一3)2+2.5运行，其中x是铅球 (勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范 离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高 围(200≤x<1000)内，y与x近似成一次函数 度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m, 关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与 则铅球掷出的水平距离OB为 m. x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示 根据图象，下列结论正确的是 0.6 0.3 第4题图 020010003000x 第2题图 A.当x≥1000时，y随x的增大而减小 B.当x=2000时，y有最大值 C.当y≥0.6时，x≥1000 D.当y=0.4时，x=600 3.[2025浙江]为了实时规划路径，卫星导航系统需 要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图 ①，点P是一个固定观测点，动点Q从A处出 56 拓展提升 5.[2025新疆]天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提 升区域交通效率，促进经济发展.如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分.若隧道 底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系. (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在 隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）.若宽3米，高3.5 米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由， -12 第5题图 速度碧 57 6.[2025陕西]某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1,左、右门洞L2,L3均呈抛物线型，水 平横梁AC=16m,L的最高点B到AC的距离BO=4m,L2,L3关于BO所在直线对称.MN,MP, NQ为框架，点M,N在L上，点P,Q分别在L2,L3上，MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC.以O为原点，以 AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系 (1)求抛物线L的函数表达式； (2)已知抱物线L的表达式为y=一高（x一4，NQ-号m,求MN的长. 第6题图 速度碧 58 中苦新苦法 7.[2025江西节选]问题背景：对于一个函数，如果存在自变量xo=m时，其对应的函数值y=m,那么我 们称该函数为“不动点函数”，点(m,m)为该函数图象上的一个不动点.例如：在函数y=x2中，当x 1时，y=1,则我们称函数y=x2为“不动点函数”，点(1,1)为该函数图象上的一个不动点.某数学兴 趣小组围绕该定义，对二次函数进行了相关探究， (1)对二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答.若抛物线y= x2一2bx十c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b,c满足的关系式； (2)某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(12一x)件，获得利润y 元.请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动 点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义. 速度碧 59