11.第三章 函数-第四节 二次函数的图象与性质-【加速度中考】2026年贵州中考数学总复习

第四节 二次函数的图象与性质 【教材链接】人教：九上P28P48； 北师：九下P29~P45、P51~P57. 一题多练过基础 人教九上P37改编已知抛物线y= 7x-6x+21, (7)若4≤x≤7时，则y的最小值为 ,最 大值为 :若5≤y≤11，则x的取值范围 请回答下列问题： 为 (1)抛物线的开口向 (8)若A(2,y1),B(8,y2)是该抛物线上的两点，则 (2)抛物线经过第 象限； y2的大小关系为 (用“>”连接)； (3)抛物线的对称轴为直线 (9)将该抛物线先向左平移4个单位长度，再向下 (4)抛物线的顶点坐标为 平移4个单位长度，平移后的抛物线表达式 (5)抛物线与x轴有 个交点，且与y轴的交 为 点坐标为 ;将抛物线向 (10)该抛物线关于原点对称的抛物线表达式 移 个单位长度，抛物线与x轴恰好只有1个 为 ,关于直线x=5对称 交点； 的抛物线表达式为 (6)当x= ,y有最 (填“大”或“小”) 值为 教材知识构体系 定义：一般地，形如y=ax2+bz+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.特别地，当a≠0，b= c=0时，y=ax2 二次函数y=a.x2十b十c(a≠0)》 a(决定开 a>0 开口向① 口方向) a<0 开口向② b=0 对称轴为y轴 次 a,b(决定 <0（会0）.即，6同号 b 对称轴在y轴③ 侧（左同） 对称轴 根据表达 图式判断函 判 位置) b>0(b<0）,即a,b异号 2a 对称轴在y轴④ 侧（右异） 断 \a 象与 数的图象 与性质 c(决定与 c=0 抛物线过原点 图 [2024.127 y轴交点 c>0 抛物线与y轴交于⑤ 半轴 质 位置) c<0 抛物线与y轴交于⑥ 半轴 b-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点（顶点） (决定与 x轴交 b2-4ac0 与x轴有⑦ 交点 点的个 数) b2-4ac<0 与x轴没有交点 47 续表 (1)直接运用公式x=⑧ 求解； (2)将一般式配方转化为顶点式y=a(x一h)2十k(a≠0)，则对称轴为直线x= 对称轴 ⑨ ； (3》利用x=十严(，2为抛物线上y值相等的两点的横坐标)求对称轴 2 (1)直接运用顶点坐标公式⑩ 求解； 根据表达 判 顶点坐标 (2)将一般式配方转化为顶点式y=a(x一h)2+(a≠0)，则顶点坐标为① 式判断函 (3)将对称轴x=代入函数表达式求得对应的y 数的图象 函 与性质 性质 当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增 当a<0时，在对称轴左侧，y随x的 增减性 大而② ；在对称轴右侧， 增大而④ ；在对称轴右侧， y随x的增大而③ y随x的增大而⑤ 最值 当a>0时，y有最小值.当x= 2a 当a<0时，y有最大值.当x= 2a 时，y的最小值为⑥ 时，y的最大值为⑦ 二次函数y=a.x2十ba+c(a≠0】 二次函数的图象与性质 象 a>0,b@ 0, 根据图象 8 a0,b80, a>0.b20=0 a>0,b=0, 0,■ 特征判断 论c© 0,}-4ac>0 c=0,}-4ac>0 ④ 0,-4ac=0 b一4ac28 0 系数的相 关结论 [2023.10] 图 象 a<0,b5 0 a<0,b8 0 a<0,b3@ 0, 家 a<0,b38 0 论 c2 0, c<0, c① 0, c④ 0, b- 4ac②⑦ 0 b-4ac②四 b-4ac2_0 b-4ac5_0 般式：y=a.x2+bx十c(a≠0) 表达式的三种形式 顶点式：y=a(x-h)2十k(a≠0) 表达 交点式：y=a(x-x1)(x一x2)(a≠0) 式的 (1)设二次函数表达式 确定 确定表达(2)代入点的坐标：用待定系数法把图象上的点的坐标代入所设表达式中，得到关 式的步骤 于待定系数的方程（组） (3)求解：解方程（组），求得待定系数的值，将其代回所设表达式中即可 (1)平移二次函数图象前，一般将其表达式化为顶点式y=a(x一h)2十k,确 平移的方法 定其顶点坐标 (2)保持抛物线的形状不变，平移顶点(h,k) 二次函数 平移前的表达式 平移方式(m>0) 平移后的表达式 规律 图象的平移 向左平移m个单位长度 y=a(x-h+m)2+k 左加 平移规律 y=a(x-h)2+k 向右平移m个单位长度 y=a(x-h-m)2+k 右减 (a≠0) 向上平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k+m 上加 向下平移m个单位长度 y=a(x-h)2k-m 下减 二次函数的 (1)如果抛物线y=a.x2十bx十c与x轴有公共点，公共点的横坐标是xo,那 么当x=x时，函数值是 ,因此，x=x0是方程a.x2十bx十c=0的 一个根 象与性 (2)二次函数y=a,x2+bx十c的图象与x轴的交点个数及相应的一元二次 与一元二 方程根的情况都由△=b一4ac决定： 二次函数与 次方程的 当△>0时，抛物线与x轴有⑦ 交点，方程ax2十bx十 关系 一元二次方 c=0有两个不相等的实数根； 程、不等式 当△=0时，抛物线与x轴有图 交点，方程a.x2+bx十c=0有两 的关系 个相等的实数根； 当△<0时，抛物线与x轴无交点，方程a.x2十b.x十c=0四 实数根 (1)ax2+bx十c>0的解集：函数y=a.x2十bx+c的图象位于x轴上方部分 与不等式 对应点的横坐标的取值范围 的关系 (2)a.x2+bx+c<0的解集：函数y=a.x2十bx十c的图象位于x轴下方部分 对应点的横坐标的取值范围 练透真题明考向 命题点刀二次函数的图象与性质 A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 1.[2024黔东南州榕江县校级模拟]已知二次函数 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标 y=x2-2mx+1(m为常数)的图象经过点 是2 A(m-1,y1),B(m十1，y2),则y1,y2的大小关 : C.当x<一1时，y随x的增大而减小 系是 ( D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 A.y1>2 B.y<y2 3.[2023贵州，10]已知二次函数y=ax2十bx十c的图 C.y1=2 D.随m的值变化 象如图所示，则点P(a,b)所在的象限是() 2.[2024贵州，12]如图，二次函数y=a.x2+bx十c的 部分图象与x轴的一个交点的横坐标是一3，顶 点坐标为（一1,4），则下列说法正确的是( y 第3题图 7-30 A.第一象限 B.第二象限 第2题图 C.第三象限 D.第四象限 49 4.[2024黔东南州从江县校级模拟]如图，将二次函 (2)若该二次函数图象开口向上，当0≤x≤4时， 数y=一x2+x十5的图象x轴上方的部分沿x y的最小值是3，求当0≤x≤4时，y的最大值： 轴翻转到x轴下方，图象的其余部分不变，得 到一个新图象，则新图象与直线y=一5的交 点个数为 (3)若点A(n+1,y1),B(n-1,y2)在二次函数 y=ax2-2ax+3a-1(a<0)的图象上，且y< 第4题图 y2,求n的取值范围. A.1 B.2 C.3 D.4 5.[2023遵义期末]在平面直角坐标系中，函数y= a.x2十bx十c(a≠0)的图象与坐标轴交于A,B,C 三点，则下列说法正确的是 ①b2-4ac<0; ②若△ABC是周长为23的等边三角形，c>0, 则函数图象经过点(1，一2)； 命题点2二次函数与一元二次方程的关系 ③若a,c的值不变，则△ABC的面积随b的增 7.[2024贵阳南明区二模]已知二次函数y=一x2十 大而减小： ④若△ABC是直角三角形，则a.x2+bx十c=0 ax十3图象的对称轴为直线x=2,关于x的方 的判别式△≥4. 程-x2+ax十3-m=0(m为实数)在-1<x<3 A.①③ B.②③ C.②④ D.③④ 的范围内有实数根，则m的取值范围是() B.m<7 6.[2024黔东南州从江县校级二模]已知二次函数 A.6≤m<7 C.-2≤m<6 D.-2<m≤7 y=a.x2-2a.x+3a-1. (1)求这个二次函数图象的对称轴： 8.[2020毕节大方县校级模拟]已知二次函数y= a.x2十bx十c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直 线x=2.若x1,x2是一元二次方程ax2十bx十 c=0(a≠0)的两个根，且x1<x2,一1<x1<0, 则下列说法正确的是 () o12345 第8题图 A.x1+x2<0 B.4<x2<5 C.b2-4ac<0 D.ab 50 课后作业 基础巩因 8.[2025上海]抛物线y=3x2向下平移2个单位长 1.下列抛物线开口向上的是 度所得的抛物线表达式为 A.y=-x2+4x-6B.y=3.x2+1 9.[2024长春]若抛物线y=x2一x十c(c是常数)与 C.y=-2(x+2)2 D.y=5-x2 x轴没有交点，则c的取值范围是 2.抛物线y=2(x一1)2+3的对称轴是直线( A.x=-1 B.x=1 10.结论开放[2025广东]已知二次函数y=一x2十 bx十c的图象经过点(c,0),但不经过原点，则 C.x=2 D.x=3 该二次函数的表达式可以是 3.[2024包头改编]抛物线y=x2+2x的顶点所在 的象限是 (写出一个即可) ( 11.[2024徐州门在平面直角坐标系中，将二次函数 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 y=(x一2023)(x-2024)+5的图象向下平 4.[2024哈尔滨]二次函数y=2(x十1)2十3的最 移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公 共点P,Q,则PQ= 小值是 ( 12.在同一平面直角坐标系内，抛物线y=ax2与 A.-1 B.1 C.2 D.3 5.[2025威海]已知点(-2，y1),(3,y2),(7,y)都 直线)-号十6相交于A,B两点，其中点A 在二次函数y=一(x一2)十c的图象上，则y1, 的坐标是(2,3) yy的大小关系是 (1)求点B的坐标； A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y% (2)连接OA,OB,求△AOB的面积. C.y2>y1>y3 D.ys>y2y 6.[北师九下P41改编]抛物线y=一2x2+1通过变 换可以得到抛物线y=一2(x十1)2十3，以下变 换过程正确的是 A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个 单位长度 度者 B.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个 单位长度 C.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个 单位长度 D.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个 单位长度 7.[2025陕西]在平面直角坐标系中，二次函数y= a.x2一2ax十a-3(a≠0)的图象与x轴有两个交 点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关 于该函数的结论正确的是 ( A.图象的开口向下 B.当x>O时，y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于一3 D.当x=2时，y<0 51 拓展提升 ③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39 13.[2025福建]已知点A(-2,y1),B(1,y2)在抛物 cm.其中，正确结论的个数是 () 线y=3x2+bx十1上，若3<b<4,则下列判断 A.0 B.1 C.2 D.3 正确的是 ( 17.[2025连云港]已知二次函数y=x2+2(a+1)x+ A.1<y1<y2 B.y<1<y2 3a2一2a+3,a为常数. C.1<y2<y1 D.y2<1<y1 (1)若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个 14.[2024乐山]已知二次函数y=x2-2x(-1≤ 交点，求a的取值范围； x≤t一1)，当x=一1时，函数取得最大值；当x (2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a =1时，函数取得最小值，则t的取值范围是 的值； ( (3)求证：该二次函数的图象不经过原点. A.0<t≤2 B.0<t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥>2 15.[2025安徽]已知二次函数y=a.x2+bx+c (a≠0)的图象如图所示，则 第15题图 A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b+c<0 16.[2025天津]四边形ABCD中，AD∥BC,∠B 90°，AB=8cm,AD=10cm,BC-16cm.动点 M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA,边 AD向终点D运动；动点N从点C同时出发， 以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动.规定 其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之 停止运动.设运动的时间为ts.当t=2s时，点 M,N的位置如图所示. 有下列结论： C 第16题图 ①当t=6s时，CN=DM; ②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为 26cm; 52第四节二次函数的图象与性质 一题多练过基础 (1)上(2)一、二 (3)x=6(4)(6,3)(5)0(0,21) 下 3(6)6小3(7)352≤x≤4或8≤x≤10(8)y (9)y= x2一2x+1(10)y= x-621y-4+ 教材知识构体系 ①上 ②下③左④右⑤正⑥负 ⑦两个不同的⑧一 ⑨h@(一会，如 2a 2a' Aa ①(h,k)②减小⑧增大@增大 ⑤减小 ⑥4acb Aa 1acb2 4a ⑧<四<⑩<①> ②>8<④= 5> 西> 0>⑧<@0>@=@> 3 4女5<50⑦两个不同的8一个9无 练透真题明考向 1.C2.D3.D4.D 5.C【解析】，函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象与坐标轴交 于A,B,C三点，∴.b2-4ac>0,∴.①错误.c>0,函数y= ax2十bx十c(a≠0)的图象与x轴有两个交，点，△ABC是周长 为23的等边三角形，则抛物线的对称轴为y轴，函数y= ar+h征十c(a≠0)的图象与x轴的两个文点为(-怎，0， 号，0)函数的解析式为y=一32十1.当x=1时，y=一 2,,点（1，一2)在抛物线上，.②正确.设抛物线与x轴交点 为A(x1,0),B(x2,0),与y轴交于点C(0,c),c≠0，由抛物线 )=ax+6x+ca≠0)可得a十=合x=台，则AB a -x2 /g.0C=ll∴s=20c.AB=X a2 F4如c.若a,c的值不变，当b增大时，△ABC的面积也 a2 277 增大，∴.③错误.设点A(x1,0),B(x2,0),C(0,c),∴.AB= (1-x2)2,AC2=x2+c2,BC2=x22+2.在Rt△ABC中，只 能是AC⊥BC,则有AC2+BC2=AB2,即x2+c2+x22+c2= (x1-x2)2=x-2x1x2十x2,整理得2c2=-2x12,.c2=-C c=是ac=-1,则方程az+bz叶c=0的荆别式为 =b一4ac=b+4>4,.④正确.综上所述，说法正确的有② ④.故选C 6.解：(1)二次函数图象的对称轴为直线x=一 一2a=1. 2a (2)当0≤x≤4时，y有最小值3， ∴.当x=1时，ym=a-2a十3a-1=3, ∴.a=2,.二次函数表达式为y=2x2一4x十5. ,该二次函数图象开口向上，且直线x=4到对称轴的距离大 于直线x=0到对称轴的距离，0≤x≤4， ∴.当x=4时，y有最大值，yx=2×42-4×4十5=21. (3)由题意得点A,B在二次函数图象上，且y<y2. ,y=ax2-2ax十3a-1(a<0)的对称轴为直线x=1,开口方 向向下， .当点A,B在对称轴右侧时，n-1≥1，…n≥2； 当点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧时，1一(n一1)n十 1-1,.n>1, .n的取值范围是n>1. 7.D【解析】.抛物线的对称轴为直线 1(2,7) 6 x=一2x-D=2,a=4,抛物 y=m 线解析式为y=一x2十4x十3.如答 图，当x=2时，y=-4十8+3=7， O↓3 抛物线的顶点坐标为(2,7)；当x= x=2 1时，y=-1-4十3=-2；当x=3 第7题答图 时，y=-9+12+3=6.:关于x的方程-t2+ax+3一m=0 (m为实数)在一1<x<3的范围内有实数根，根据图象，当 一2m≤7时，抛物线y=一x2十ax十3与直线y=m在-1< x<3的范围内有交点，∴m的取值范围为一2<m≤7. 8.B【解析】：，x2是一元二次方程ax2十bx十c=0的两个根， ,2是抛物线与x轴交点的横坐标.抛物线的对称轴 为直线=2，飞十型=2，即x1十0=4>0，A错误：< 2 2,-1<x1<0,.-1<4-2<0,解得4<x2<5,B正确. 抛物线与x轴有两个交点，∴.b2-4ac>0,C错误.，抛物线开 b=2 口向下，a<0.:抛物线的对称轴为直线x=2,心一品 .b=-4a>0,∴.ab<0,D错误.故选B. 课后作业 1.B2.B3.C4.D5.C6.D7.D 8=32-29> 10.y=一x2十x十2（答案不唯一） 278 11.1【解析】将二次函数y=(x-2023)(x一2024)+5的图象向 下平移5个单位长度，所得抛物线的表达式为y=(x一2 023)(x-2024),令y=(x-2023)(x-2024)=0,∴.x=2023 或2024，..PQ=2024-2023=1. 12.解：(1将点A的坐标代入y=a,解得a=至 将点A的坐标代人y=2x+b,解得b=2. 联立整理得子2=2， 解得x=2,x=一 (-) (2)如答图，设直线y=x+2与y轴的交点为C,则C0, 2), 10 SAoB=SAXx+S△C=3 第12题答图 13.A【解析】：y=3x2+x十1，.抛物线的开口向上，对称轴 b 为1=一2×3 合当x=0时y=1,抛物线上的点商 对称轴越远，函数值越大..抛物线过点(0,1).，3<b<4, 1<台∴点A(一2y到对称轴的距高大于点(010到对 称轴的距离，小于点B(1,y2)到对称轴的距离，∴1<y,<y2 故选A 14.C【解析1.y=x2-2x=(x一1)2-1，∴.抛物线的对称轴 为直线x=1,顶点坐标为(1，一1).，1-(-1)=3-1，x =一1和x=3时的函数值相等.：-1≤x≤t-1,当x=-1 时，函数取得最大值，∴.t一13.又，当x=1时，函数取得 最小值，.t一1≥1，.1≤t一1≤3，解得2t≤4.故选C 15.C【解析】由图象可知抛物线交x轴于点(2,0)，另一个交点 横坐标在一1和0之间，根据对称性可知对称轴宁<一名< 1,.b>-2a,即2a十b>0,∴.B选项错误；当x=-1时，由 图象可知y>0,即a-b十c>0,∴.D选项错误；观察图象易 知a>0,b0,c0,∴.abc>0,∴.A选项错误；由对称轴的范 围可知b-a,即b+a0,.4b十4a<0①，把，点(2,0)代入 y=a.x2+bx十c中，得4a十2b+c=0,.4a=-2b-c,再代入 ①式中，可得4b一2b一c0,整理，得2b一c<0,.C选项正 确.故选C 16.C【解析】极据题意得点M在AB上的运动时间为号-4s, 点M在AD上的运动时间为9=5s点N在CB上的运动 时间为16s.当t=6s时，点M在AD上，此时AM=2×6- 8=4 cm,CN=6 cm,.'.DM=AD-AM=6 cm,.'.CN= DM,∴.①正确：当1≤t≤2时，点M在AB上，此时BM=2t cm,CN=1amBN=(I6-)cm∴.San=号BMX BN=- 号×21X16-)=-f+161=-(-82+64:-1<0对 称轴为直线x=8,∴.当t<8时，S△N随t的增大而增大，∴ 当t=2时，S△取得最大值，最大值为一(2-8)2+64=28， 即当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2,∴.②错误； 当，点M在AB上时，△BMN的面积为39cm2,.S△N= 2 BMXBN=-2×21(16-t)=-f+16t=39,解得t=3,t =13(舍去)；当点M在AD上时，AD∥BC,∠B=90°， ∠A=180°-∠B=90°，即AB⊥AD,此时Sa=2 ABXBN =6一=39.解得1=孕综上所速1有两个不同的准满足 △BMN的面积为39cm2.故选C. 17.(1)解：在y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3中，1>0， .二次函数的图象开口向上 ,二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点 ∴.函数的最小值小于2a2, 43a-2a+3)-4(a+1D2<2a, 4 即2d-如+2<2a,解得a> (2)解：二次函数的图象与x轴有交点， △=4(a+1)2-4×1×(3a2-2a+3)=-8(a-1)2≥0， ∴.8(a-1)20. 又8(a-1)2≥0， ∴.8(a-1)2=0, 解得a=1. 度碧 (3证明：当x=0时y=3a一2a十3=3(a号）广号 >0, 二次函数的图象不经过原点。 279