四川省资阳市某中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

**基本信息** 高2025级第三学期入学数学试卷，以真实情境（如测量塔高、知识竞赛统计）融合复数、向量、立体几何等核心知识，通过基础辨析与综合应用，考查数学眼光、思维与语言，适配开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、向量运算、分层抽样、三角函数频率相位|基础概念辨析，如第3题分层抽样考查统计应用| |多选题|3/18|向量关系、线面位置关系、正方体中点线面|多角度辨析，如第10题线面关系考查推理意识| |填空题|3/15|中位数与平均数、圆锥体积、正方体动点最值|空间想象与计算，如第14题动点最值考查空间观念| |解答题|5/77|复数分类、统计直方图、向量运算、三棱锥证明与二面角、平面四边形面积与托勒密定理|综合应用，如16题统计直方图求上四分位数与方差体现数据观念；19题结合托勒密定理求最值培养创新意识|

高2025级第三学期入学考试 数 学 试 卷 考试时间：120分钟；满分：150分； 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，务必将自己的姓名、座位号、班级和考籍号填写在答题卡规定的位置上. 3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 5．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 6．考试结束后，只将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. 5 D. 11 3. 某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（ ） A. 6人 B. 16人 C. 22人 D. 28人 4. 某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（ ） A. ， B. 2， C. ， D. 2， 5.下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形，则该圆柱侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量的坐标为 10. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 11. 在正方体中，分别是的中点，则（ ） A. B. 与所成角的余弦值为 C. 平面 D. 到平面的距离为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知有从小到大的四个数1，a，b，9，这四个数的中位数和平均数相等，则________． 13. 若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为__________. 14. 在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 复数，当实数m取什么值时 （1）z为实数； （2）z为纯虚数； （3）复数z在复平面内对应点在第三象限． 16. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的上四分位数； （3）已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 17. 如图，在矩形ABCD中，已知，，，，相交于点N，，相交于点P． （1）若，求的值； （2）求的余弦值． 18. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，M，N，D分别是，，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若，，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 19. 如图，平面凸四边形ABCD外接圆半径为1，． （1）求的大小； （2）求面积的最大值； （3）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理：圆的内接凸四边形的两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $