四川省安岳中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（强基班）

安岳中学高2024级第三学期强基班入学考试 数 学 试 卷 满分：150分；考试时间：120分钟 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求. ） 1. 已知向量，，且，则值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知一个圆锥的母线长为3，表面积为，则该圆锥的底面半径为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 4.三角形的三边分别为a，b，c，秦九韶公式和海伦公式是等价的，都能用来求三角形的面积.印度数学家婆罗摩笈多在他的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四条边分别为a，b，c，d，则其中，为一组对角和的一半.已知四边形四条边长分别为1，2，3，4，则四边形最大面积为（   ） A. B. C. D. 5.已知点在确定的平面内，是空间任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A. B. C. 1 D. 2 6.如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（ ） A. B. C. 0 D. 7.设函数，则曲线与所有交点横坐标之和为（ ） A. 8 B. 10 C. 14 D.12 8.已知函数，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题正确的是（    ） A. 若为非零向量，且，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则在上的投影向量为 D. 两个非零向量的夹角是锐角的充要条件是 10.下列说法正确的是（    ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若、，直线过且与线段相交，则的斜率 11.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，P为的中点，点满足，则下列结论正确的是（    ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 若，则点的轨迹为一段圆弧 C. 若的外心为O，则为定值2 D. 若且，则存在点E在线段上，使得的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某汽车4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿. 已知这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人，若总样本量为100人，则应从小区抽取_________人. 13. 已知，在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为_________. 14.如图，边长为4的等边，动点P在以BC为直径的半圆上，若，则的取值范围是 . 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点. (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 16. 已知函数的两条相邻对称轴的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象. 若，且，求的值； 17. 已知分别为三个内角对边，且. （1）求； （2）若是边的中点，，求面积的最大值. 18. 象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比察.比赛分为初赛和决策、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图： (1)根据直方图，求a的值： (2)估计这次知识能力竞赛的平均数和中位数； (3)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率. 19. 如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面平面，. (1)证明：； (2)设直线CP与平面ABCD所成角为. （i）求四棱锥的体积； （ii）若点M为棱CP上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $