24.3 一元二次方程根与系数的关系（教学课件）数学新教材冀教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习因式分解法解方程导入，从具体方程观察根与系数关系，逐步推广到一般形式，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接根的判别式形成知识脉络。 其亮点是以探究式教学引导学生经历观察猜想验证过程，培养抽象能力和推理意识。典例分析强调“一化二找三判四算”步骤，随堂练习分层设计，帮助学生用数学语言表达数量关系，提升运算能力和应用意识，教师可直接用于课堂教学提高效率。

【新教材】冀教版·九年级上册 第二十四章 一元二次方程 24.3 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系 章节导读 24.1一元二次方程 24.2解一元二次方程 因式分解法 配方法 一元二次方程的根 公式法 24.3一元二次方程根与系数的关系 直接开平方法 根与系数的关系 一元二次方程的应用 根的判别式 24.4一元二次方程的应用 认识一元二次方程 学 习 目 标 1 2 3 探索一元二次方程的根与系数的关系； 理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系； 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单的问题. 复习回顾 因式分解法解一元二次方程的步骤： 一移：方程的右边 = 0； 二分：方程的左边分解因式，； 三化：方程化为两个一元一次方程（）； 四解：解出方程的两个解. 回顾训练 用因式分解法解下列方程： . 新知探究 一元二次方程的根与系数的关系 （1）对于方程，可以通过十字相乘的方法进行因式分解。 解：因式分解， 解得，. 观察方程的两根和，与方程的系数有什么关系？ 思考 , , x2 7x + 10 = 0 相反数 相等 二次项系数为1 一次项系数 常数项 猜想：对于任意一个二次项系数为1的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？和同桌一起列几个方程试试吧。 一起探究 二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系： 设一元二次方程 的两根为， 那么. 文字描述：在二次项系数为1的一元二次方程中，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 归纳总结 归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 一元二次方程的根与系数的关系 （2）对于方程的两根，是否仍有这样的结论呢？ 分析：先将方程化为二次项系数为1的形式. 一起探究 二次项系数不为1，应该怎么办呢？ （2）方程两边同除以 2 ，得 设两根为，可得 新知探究 你能运用题（2）的方法，探索一元二次方程一般形式的根与系数的关系吗？ 一般形式下一元二次方程的根与系数的关系 解：方程两边同除以 ，得 由二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系， 一起探究 尝试利用求根公式验证结论。 一元二次方程的根与系数的关系： 如果一元二次方程的两根为， 那么. 文字描述：在一元二次方程中，两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得商的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数所得商。 归纳总结 归纳总结 适用于所有一元二次方程，也叫韦达定理. 一般形式下一元二次方程的根与系数的关系 典例分析 例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根的和与积. （1）; （2） 根与系数的关系 解：（1）这里，且 所以， 需要判断原方程是否有根！ 典例分析 例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根的和与积. （1）; （2） 根与系数的关系 解：（2）这里，且 所以， 你能总结求一元二次方程两根之和与两根之积的步骤吗？ 求一元二次方程两根之和与两根之积的步骤： 归纳总结 归纳总结 (1) 一化：把方程化为一般形式； (2) 二找：确定系数的值； (3) 三判：计算的值，判断方程是否有实数根； (4) 四算：若方程有实数根，则根据根与系数的关系计算. 根与系数的关系 新知探究 已知关于的一元二次方程（为常数）的两个实数根分别为 ，且,求 及的值.（P61） 做一做 利用根与系数的关系求未知数的值 解：根据根与系数的关系，得; 所以； 即； 所以; 所以 典例分析 例2 设是方程 的两个实数根， 且，求的值. 利用根与系数的关系求未知数的值 解：由方程有两个实数根，得 即 . 由根与系数的关系得,. ∴ . 由 ，得 , 解得 . 经检验，不合题意，舍去。所以. 14 几种常见的求值公式: 归纳总结 归纳总结 利用根与系数的关系求未知数的值 (1)；(2) (3；(4) (5) ; (6 随堂练习 1.判别下列方程根的情况.若有两个实数根，求出两根的和与积： （1） ; （2）; （3）; （4）. 基础过关(P61) 解：(1) , Δ ＝ ， 所以方程有两个不相等的实数根. 设两根分别为 ， 则 . 随堂练习 1.判别下列方程根的情况.若有两个实数根，求出两根的和与积： （1） ; （2）; （3）; （4）. 基础过关(P61) 解：(2) , Δ ＝ ， 所以方程有两个相等的实数根. 设两根分别为 ， 则 . 随堂练习 1.判别下列方程根的情况.若有两个实数根，求出两根的和与积： （1） ; （2）; （3）; （4）. 基础过关(P61) 解：(3) , Δ ＝ ， 所以方程没有实数根. 随堂练习 1.判别下列方程根的情况.若有两个实数根，求出两根的和与积： （1） ; （2）; （3）; （4）. 基础过关(P61) 解：(4) , Δ ＝ ， 所以方程有两个不相等的实数根. 设两根分别为 ， 则 . 随堂练习 2.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根. （1）的值；（2）两根的和与积. 基础过关(P61) 解：(1)因为原方程有两个相等的实数根, , 解得， （2） 原方程为 所以， 随堂练习 能力提升 3.已知方程 的一个根是1，求它的另一个根及的值. 解：将x = 1代入方程中： . 解得 , 设另一个根为x1,则： ∴ 随堂练习 能力提升 4.已知关于的一元二次方程有两个实数根， （1）求实数的取值范围；（2）当时，求的值。 解：（1）由题意,得； 解得，即实数的取值范围是. （2）由，得, 若,即,解得 因为，所以不合题意，舍去. 若,即,,由(1)知； 故当时，. 课堂小结 一元二次方 程根与系数 的关系 使用 条件 设二次项系数为 1 的一元二次方程 x2 + px + q ＝ 0 的 两根为 x1 、x2，那么 x1 + x2 ＝－p，x1x2 ＝ q ①方程是一元二次方程，且要化为一般形式； ②方程有实数根，即 Δ ≥ 0 对于一元二次方程 ax2 + bx + c ＝ 0 ( a ≠ 0)， 当 b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，设这两个实数根 分别为x1 、x2 ，这两个根与系数的关系是 x1 + x2 ＝－，x1 x2 ＝ . 感谢聆听! 【新教材】冀教版·九年级上册 $