2.2 分式的加法和减法 课时作业 2026-2027学年湘教版数学 八年级上册

**基本信息** 初中数学八年级上册第2章“分式的加法和减法”同步练，以A、B、C三级分层设计构建“基础巩固-能力提升-拓展探究”的知识进阶路径，融合运算能力与模型意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础达标|同分母/异分母分式加减、最简公分母确定|选择/填空/解答题夯实运算规范，如分子多项式添括号训练| |B组能力提升|符号变换、裂项技巧、整体代入|通过裂项相消计算、分式化简求值发展推理意识| |C组拓展探究|工程问题、规律探究|结合实际情境（如往返时间计算）与规律猜想，培养模型意识与创新意识|

2.2　分式的加法和减法 湘教版八年级上册　第2章　课时作业 班级：____________　姓名：____________　学号：________　得分：________ 　一、知识梳理 知识点1　同分母分式的加减法 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用式子表示为： ，　　（） 重要提醒：当减号后面的分子是多项式时，一定要先给它添上括号再去括号，否则容易漏掉变号。例如 。若写成 就错了。 知识点2　异分母分式的加减法 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算。用式子表示为： 　（，） 知识点3　运算的一般步骤 图2-3　分式加减运算的一般步骤 知识点4　确定最简公分母 （1）先把每个分母分解因式； （2）系数取各分母系数的最小公倍数； （3）凡是出现过的因式都要取，相同因式的指数取最高的。 例如：、、 的最简公分母是 ； 与 的最简公分母是 。 知识点5　常用的变形技巧 （1）符号变换： 与 互为相反数，即 。遇到互为相反数的分母，先统一，通分就简单了； （2）整式看作分母为 1 的分式：如 ； （3）整体代入：由 可知，已知 与 ，就能求出 ； （4）裂项：，常用于一串分式的求和。 知识点6　结果的要求 分式加减的结果必须化为最简分式或整式，即分子与分母不再有公因式。计算完后要养成"再约一次"的习惯。 　二、典例精析 例1　同分母分式的加减 计算：（1）；（2）。 （1）原式 （2）原式 【点拨】结果一定要约分，化到最简为止。 例2　分子是多项式时先添括号 计算：。 原式 例3　异分母分式的加减 计算：（1）；（2）。 （1）原式 （2）原式 例4　分母互为相反数 计算：。 【解析】，先把第二个分式的分母统一为 。 原式 例5　整式与分式相加减 计算：。 原式 例6　先化简，再求值 先化简，再求值：，其中 。 【解析】先把 分解为 ，确定最简公分母。 原式 当 时，原式 。 例7　整体代入求值 已知 ，求 的值。 【解析】由 得 ，再整体代入。 原式 　三、课时作业 A组　基础达标 （一）选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1．计算 的结果是（　　） A．1　　B．　　C．　　D．0 2．计算 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D．0 3．计算 的结果是（　　） A．1　　B．　　C．　　D． 4．分式 、、 的最简公分母是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．化简 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．若 ，，则 的值为（　　） A．5　　B．10　　C．2.5　　D．7 7．计算 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．已知 ，则 的值是（　　） A．7　　B．9　　C．11　　D．5 （二）填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．计算：________。 10．计算：________。 11．计算：________。 12．计算：________。 13．计算：________。 14．分式 与 的最简公分母是________。 15．若 ，则 ________。 16．计算：________。 （三）解答题（共 52 分） 17．（24分）计算： （1）；　　　　　（2）； （3）；　　　　　　　（4）； （5）；　　　　　（6）； （7）；　　　　　　（8）。 18．（8分）先化简，再求值： （1），其中 ； （2），其中 。 19．（12分）计算： （1）；　　　　　（2）； （3）；　　　　（4）。 20．（4分）已知 ，求 的值。 21．（4分）某人骑自行车从 A 地到 B 地，全程 千米。去时的速度是 千米/时，返回时的速度是 千米/时。 （1）用含 、、 的式子表示往返一次共用的时间； （2）当 ，， 时，求往返一次共用的时间。 B组　能力提升 22．（8分）说明：对于任意正整数 ，都有 ；并利用这个结论计算 23．（8分）计算：。 24．（8分）已知 ，求 与 的值。 （提示：因为 ，可把方程两边同除以 ） 25．（8分）化简：。 26．（8分）【阅读理解】由 可以把一个分式"拆开"，这种方法叫做裂项。请利用裂项计算： C组　拓展探究 27．（10分）【工程问题】一项工程，甲队单独完成需要 天，乙队单独完成需要 天。 （1）分别用式子表示甲、乙两队每天完成的工作量； （2）用式子表示两队合作时每天完成的工作量； （3）当 ， 时，求两队合作每天完成的工作量，并求出合作完成这项工程需要的天数。 28．（10分）【规律探究】观察下列等式： ，　，　， （1）猜想：________（ 为正整数），并加以验证； （2）计算：。 　四、参考答案与解析 A组　基础达标 （一）选择题 1．A。【解析】同分母相加，分母不变、分子相加：。 2．B。【解析】最简公分母是 ，。注意分子相减的顺序，容易写反。 3．A。【解析】。 4．A。【解析】系数取 2、4、6 的最小公倍数 12； 取最高次幂 ， 取 。故最简公分母为 。 5．A。【解析】。结果必须约分到最简，所以选 A 而不是 C。 6．B。【解析】，所以 。 7．A。【解析】，原式 。 8．A。【解析】，所以 。 （二）填空题 9．。 10．1。【解析】。 11．。【解析】最简公分母为 。 12．1。【解析】。 13．。【解析】，原式 。 14．（即 ）。【解析】先把 分解为 ，它已含有因式 。 15．2。【解析】由 得 ，即 。 　　分子 ，分母 ，所以原式 。 16．。【解析】原式 。 （三）解答题 17．（1）原式 ； 　　（2）原式 ； 　　（3）原式 ； 　　（4）原式 ； 　　（5）原式 ； 　　（6）原式 ； 　　（7）原式 ； 　　（8）原式 。 18．（1）原式 。当 时，原式 ； 　　（2）原式 。当 时，原式 。 19．（1）原式 ； 　　（2）原式 ； 　　（3）原式 ； 　　（4）原式 。 20．7。【解析】由 得 。 　　原式 。 21．（1）去时用时 小时，返回用时 小时，往返共用 小时； 　　（2）当 ，， 时，共用时间 （小时）。 B组　能力提升 22．【说明】，等式成立。 　　【计算】原式 　　。中间的项两两相消，这种方法叫做"裂项相消"。 23．。【解析】原式 。 　　注意：把 看成整体通分时，分子要加括号。 24．【解析】因为 不满足方程，所以 ，方程两边同除以 得 ， 　　所以 ； 　　又 ，所以 。 25．。【解析】先分解分母：，，最简公分母为 。 　　原式 。 26．。【解析】按裂项公式拆开： 　　原式 。 C组　拓展探究 27．（1）甲队每天完成 ，乙队每天完成 ； 　　（2）两队合作每天完成 ； 　　（3）当 ， 时，，即两队合作每天完成这项工程的 ，所以合作完成需要 12 天。 28．（1）。 　　验证：； 　　（2）原式 。 　五、易错警示与课堂小结 易错点1　减号后面的分子不加括号 如 ，若写成 就错了，正确写法是 。 易错点2　通分时分子忘记同乘 如 是错的，分子也要乘 ，即 。 易错点3　把加减当成乘除 ，也不等于 。分式加减必须通分。 易错点4　结果没有化到最简 如算出 就停笔，应继续约分得 。养成"算完再约"的习惯。 课堂小结 （1）同分母：分母不变，分子相加减，分子是多项式时先添括号； （2）异分母：先通分，关键是找最简公分母； （3）分母互为相反数时，先用 统一符号； （4）结果必须是最简分式或整式。 　六、中考链接（选做） 1．（202X·湖南）计算：________。 2．（202X·长沙）计算：________。 3．（202X·衡阳）化简：________。 4．（202X·岳阳）若 ，，则 ________。 5．（202X·邵阳）先化简，再求值：，其中 。 【参考答案】 1．。 2．1。因为 。 3．。原式 。 4．15。由 得 。 5．原式 ，与 的取值无关，所以当 时，原式 。 本课时小结：分式加减的核心是"通分"，而通分的核心是"分解因式找最简公分母"。第 1 章学的提公因式法与公式法，正是这里的基本工具，两章内容要联系起来复习。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $