1.3 公式法 课时作业 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学八年级上册第1章“公式法”同步练，分层设计清晰，从基础达标到拓展探究，覆盖公式应用全路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础达标|公式识别与直接应用|选择、填空、基础分解题，巩固“一提二套三检查”步骤| |B组能力提升|综合公式与代数变形|多步骤分解、非负性应用，发展推理能力| |C组拓展探究|几何直观与实际应用|图形面积验证公式、实际问题建模，体现模型意识与创新意识|

1.3　公式法 湘教版八年级上册　第1章　课时作业 班级：____________　姓名：____________　学号：________　得分：________ 　一、知识梳理 知识点1　平方差公式分解因式 把乘法公式 反过来，就得到因式分解的平方差公式： 使用条件（"两项、平方、异号"）： （1）多项式必须是两项（或可整理成两项）； （2）这两项都能写成某个整式的平方； （3）这两项的符号相反（一正一负）。 公式中的 、 既可以是数，也可以是单项式或多项式。例如 。 知识点2　平方差公式的几何解释 在边长为 的大正方形中挖去一个边长为 的小正方形，剩下部分的面积是 ；把剩下部分剪成两块后拼成一个长为 、宽为 的长方形，面积是 。两者相等，即 。 图1-4　平方差公式的几何解释 知识点3　完全平方公式分解因式 把乘法公式 反过来，就得到因式分解的完全平方公式： 　　　 能写成上面形式的多项式叫做完全平方式。识别完全平方式要看"三项、两平方、中间是积的 2 倍"： （1）多项式有三项； （2）其中有两项能写成平方的形式且符号相同（都为正）； （3）另一项是这两个底数乘积的 2 倍（可以带正号，也可以带负号）。 知识点4　完全平方公式的几何解释 图1-5　(a+b)²=a²+2ab+b² 大正方形的边长为 ，面积为 ；它由一个边长为 的正方形、一个边长为 的正方形和两个长 宽 的长方形组成，面积和为 。 知识点5　因式分解的一般步骤 分解因式要按"一提、二套、三检查"的顺序进行： 第一步：先看各项有没有公因式，有就先提取公因式； 第二步：再看剩下的因式是两项还是三项——两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式； 第三步：检查每个因式能否继续分解，直到不能分解为止，最后可乘开验证。 特别提醒： 还没有分解完，因为 仍可用平方差公式分解，最后结果是 。而 在有理数范围内不能再分解。 知识点6　两个公式的常见用途 （1）简便计算：如 ； （2）整体代入求值：如由 可得 ； （3）利用"平方数非负"判断三角形形状或求字母的值； （4）说明整除性。 　二、典例精析 例1　直接运用平方差公式 把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）。 【解析】先把每一项写成平方的形式，再确定公式中的 、。 （1）原式 （2）原式 （3）原式 例2　直接运用完全平方公式 把下列各式分解因式：（1）；（2）。 【解析】（1） 与 9 分别是 与 3 的平方，中间项 ，符合完全平方式；（2），，。 （1）原式 　　（2）原式 例3　先提公因式，再用公式 把下列各式分解因式：（1）；（2）。 （1）原式 （2）原式 例4　分解到不能再分解为止 把 分解因式。 原式 例5　利用公式简便计算 计算：（1）；（2）。 （1）原式 （2）原式 例6　利用非负性求值 已知 ，求 的值。 【解析】把左边配成两个完全平方式的和。因为任何数的平方都不小于 0，两个非负数的和为 0，则它们都为 0。 ，即 所以 且 ，得 ，，。 　三、课时作业 A组　基础达标 （一）选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．把 分解因式，结果是（　　） A．　　B． C．　　D． 3．下列各式是完全平方式的是（　　） A．　　B． C．　　D． 4．若 是完全平方式，则 的值为（　　） A．4　　B．8　　C．　　D． 5．把 分解因式，结果是（　　） A．　　B． C．　　D． 6．计算 的值是（　　） A．1　　B．4047　　C．2024　　D．2023 7．若 ，，则 的值是（　　） A．2　　B．4　　C．6　　D．8 8．已知 ，，则 的值是（　　） A．13　　B．16　　C．19　　D．4 （二）填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．分解因式：________。 10．分解因式：________。 11．分解因式：________。 12．分解因式：________。 13．若 是完全平方式，则 ________。 14．计算：________。 15．若 ，，则 ________。 16．分解因式：________。 （三）解答题（共 52 分） 17．（24分）把下列各式分解因式： （1）；　　　　　　　　　（2）； （3）；　　　　　　（4）； （5）；　　　　　　　（6）； （7）；　　　（8）。 18．（12分）利用因式分解计算： （1）；　　　　　　　（2）； （3）；　（4）。 19．（6分）先分解因式，再求值：，其中 ，。 20．（6分）已知 ，，求 与 的值。 21．（4分）说明：对于任意整数 ， 的值一定能被 8 整除。 B组　能力提升 22．（8分）把下列各式分解因式： （1）；　　（2）。 23．（8分）已知 、、 是 的三边长，且满足 ，试判断 的形状，并说明理由。 24．（8分）已知 ，，求 与 的值。 25．（8分）已知 ，，求下列各式的值： （1）；　　（2）；　　（3）。 C组　拓展探究 26．（10分）【图形探究】如图，在边长为 的大正方形中挖去一个边长为 的小正方形（），再把剩下的部分剪成两块，拼成一个长方形。 第 26 题图 （1）用含 、 的式子表示图①中阴影部分的面积； （2）用含 、 的式子表示图③中长方形的长、宽和面积； （3）由（1）（2）写出一个关于因式分解的等式； （4）利用所得等式计算：。 27．（8分）【拓展】说明：无论 取什么值，多项式 的值总是正数。 （提示：把 写成 的形式，再用完全平方公式） 28．（8分）【实际应用】有一块边长为 米的正方形铁皮，在它的四个角上各剪去一个边长为 米的小正方形（）。 （1）用含 、 的式子表示剩下部分的面积，并把结果分解因式； （2）当 ， 时，求剩下部分的面积。 　四、参考答案与解析 A组　基础达标 （一）选择题 1．C。【解析】平方差公式要求两项一正一负且都是平方形式。A 两项同号；B、D 两项都是负的；只有 C 符合，。 2．B。【解析】，，所以原式 。 3．B。【解析】，是完全平方式。A 中常数项为负；C 中 ；D 中常数项 2 不是某个有理数的平方（若为完全平方式，常数项应是 4）。 4．D。【解析】，中间项应为 ，所以 。容易漏掉负值，注意"完全平方式"包括 。 5．B。【解析】先提公因式 ：。A 分解不彻底，C 符号错误，D 不符合平方差公式。 6．B。【解析】原式 。 7．D。【解析】。 8．B。【解析】。 （二）填空题 9．。 10．。 11．。【解析】，。 12．。【解析】先提公因式 2，再用平方差公式，注意分解要彻底。 13．。【解析】中间项 ，故 。 14．9800。【解析】。 15．13。【解析】。 16．。【解析】把 看作一个整体使用平方差公式。 （三）解答题 17．（1）； 　　（2）。先提公因式 ，再用平方差公式； 　　（3）。先提公因式 ，得 ； 　　（4）。第一次分解得 ， 还能继续分解； 　　（5）； 　　（6）。先提 ，得 ； 　　（7）。原式 ； 　　（8）。先提公因式 ，得 。 18．（1）原式 ； 　　（2）原式 ； 　　（3）原式 ； 　　（4）原式 。 19．原式 。 　　当 ， 时，原式 。 20．。 　　又 ，所以 ，。 21．【解析】。 　　因为 是整数，所以 一定能被 8 整除。 B组　能力提升 22．（1）。原式 ； 　　（2）。原式 。 23． 是等边三角形。【解析】两边同乘 2 得 ， 　　即 ， 　　也就是 。 　　因为平方都是非负数，三个非负数的和为 0，所以它们都等于 0，得 ，，，即 ， 是等边三角形。 24．； 　　。 25．（1）； 　　（2）； 　　（3）由 得 。注意结果有两个，不要漏解。 C组　拓展探究 26．（1）阴影部分面积为 ； 　　（2）长方形的长为 ，宽为 ，面积为 ； 　　（3）因为剪拼前后面积不变，所以 ； 　　（4）。 27．【解析】。 　　因为无论 取什么值都有 ，所以 ，即多项式的值总是正数。 28．（1）剩下部分的面积为 （平方米）； 　　（2）当 ， 时，面积 （平方米）。 　五、易错警示与课堂小结 易错点1　把不能分解的式子硬套公式 在有理数范围内不能分解因式，不能写成 或 。 易错点2　忘记先提公因式 如 ，若直接看成两项就套平方差公式会出错。正确做法是先提 2，再用公式：。 易错点3　分解不彻底 如 只分解到 就停止。凡是括号内还是"两项平方差"或"三项完全平方"的，都要继续分解。 易错点4　完全平方式判断中漏掉负号 若 是完全平方式，则 （对应 与 ），只写 会丢解。 课堂小结 （1）两项想平方差：； （2）三项想完全平方：； （3）顺序是"一提、二套、三检查"； （4）常用变形：，。 　六、中考链接（选做） 1．（202X·湖南）分解因式：________。 2．（202X·长沙）分解因式：________。 3．（202X·湘西）分解因式：________。 4．（202X·岳阳）已知 ，，则 ________。 5．（202X·常德）若 是完全平方式，则 ________。 【参考答案】 1．。 2．。先提公因式 3，再用平方差公式。 3．。先提公因式 ，再用完全平方公式。 4．10。。 5．7 或 。由 得 ，所以 或 。 本课时小结：公式法的关键在"识形"——先数项数，两项找平方差、三项找完全平方；再看能不能先提公因式；最后一定要检查是否分解彻底。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $