1.2 空间向量基本定理同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量基本定理，通过基础理解、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念辨析到几何建模的知识进阶，培养数学抽象与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|共面判定、基底概念|单选形式考查四点共面条件（如1题），夯实空间向量基本定理应用| |综合应用|共线共面综合、基底性质辨析|多选结合平行六面体（如3题），深化向量表示与位置关系判定| |拓展探究|几何模型应用、实际问题解决|解答题融入正方体（如13题）及《九章算术》阳马情境（如5题），提升空间几何建模能力|

1.2 空间向量基本定理 1.已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为( ) A.0 B.-2 C.-1 D.2 2.已知空间向量不共面，，，，若A，C，D三点共线，则实数( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.（多选）在平行六面体中，记，，，设，则下列结论中正确的是( ) A.若点P在直线上，则 B.若点P在直线上，则 C.若点P在平面内，则 D.若点P在平面内，则 4.正四棱锥中，点M在线段PC上，且，记，，，则用基表示为( ) A. B. C. D. 5.中国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面ABCD，且，若，，，则( ) A. B. C. D. 6.（多选）已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是( ) A. B. C. D. 7.在棱长为1的正方体中，P为正方体内一动点（包括表面），若，且，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.（多选）给出下列命题，其中是真命题的是( ) A.若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可以作为空间的一个基底 B.已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底 C.己知A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面 D.己知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 9.（多选）关于空间向量，以下说法正确的是( ) A.非零向量，，若，则 B.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C.设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D.若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线 10.如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为__________. 11.已知是空间的一个基底，若，则_______. 12.在四面体OABC中，，，，平面FAB，平面DBC，平面EAC交于点P，则向量用，，表示为______. 13.如图，在平行六面体中，，E是棱的中点，记，，. （1）用表示向量； （2）若，，点M满足，且，求. 14.如图，N是三棱柱的棱AB的中点. （1）若，求的值； （2）若，，平面ABC，点M在棱上，，求的值. 答案以及解析 1.答案：D 解析：由条件可知，Q，A，B，C四点共面，又，所以，解得. 2.答案：C 解析：由，，得，因为A，C，D三点共线，所以，则存在唯一的实数，使得，则解得 3.答案：BCD 解析：如图，在平行六面体中，若点P在直线上，则，则，由三点共线，得，A错误；若点P在直线上，则，，由，，得，内，则四点共面，由，得，C正确；若点P在平面内，则P，B，D，四点共面，即，则，由，得，D正确. 4..答案：D 解析：由题意 .故选D. 5.答案：D 解析：连接 . 6.答案：AC 解析：对于选项ACD，由，可得M，A，B，C四点共面，即，，共面，所以选项A中，，，不共面，可以构成基底；选项C中，，，不共面，可以构成基底；选项D中，因为，所以，可得M，A，B，C四点共面，即，，共面，无法构成基底，故选项D错误；对于选项B，根据平面向量基本定理，因为，得，，共面，无法构成基底，故选项B错误.故选AC. 7.答案：D 解析：满足条件的点P在三棱柱内.如图，设O为的中点，连接，相交于点E，连接，，，，因为，，且，，平面，所以平面，又，所以平面.因为，，所以，所以.因为，所以的取值范围为.故选D. 8.答案：ABCD 解析：对于选项A：可以作为空间的一个基底，，，不共面，与共线，，，，不共面，故正确． 对于选项B：向量，，与任何向量都共面，，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故正确． 对于选项C：，，不能构成空间的一个基底，，，共面，A，B，M，N共面，故正确． 对于选项D：是空间的一个基底，，，不共面，，，，不共面，也是空间的一个基底，故正确． 故选：ABCD． 9.答案：AD 解析：对于A项：非零向量，，若，则，故A项正确； 对于B项：若对空间中任意一点O，有， 则， 化简得：， 由空间向量基本定理可知P，A，B，C四点不共面，故B项错误； 对于C项：由是空间中的一组基底，则向量，，不共面， 而， 所以向量，，共面不能作为基底，故C项错误； 对于D项：若空间四个点P，A，C，D，， 则，即， 所以，共线，又因为有公共点A，所以A，B，C三点共线，故D项正确. 故选：AD. 10.答案：1 解析：因为，所以.因为，，，所以.因为M，D，E，F四点共面，所以，所以.因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值为1.故答案为1. 11.答案：0 解析：是空间的一个基底，，，为不共面的向量.又，，. 12.答案： 解析：设.由，点P是平面FAB内一点，得，且①；由，点P是平面DBC内一点，得，且②；由，点P是平面EAC内一点，得，且③.由①②③，解得，，，所以. 13.答案：（1） （2） 解析：（1）连接. 由题意可得. （2） . 因为，所以，解得，所以，故. 14.答案：（1） （2） 解析：（1） ， 而， 则，，， 所以. （2）设， 则. 由题意可设， 因为平面，平面ABC，平面ABC， 所以，. 又，， 则，. 由（1）知， 因为，所以， 即， 所以 . 所以， 即，解得，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $