第1章 1.2 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 聚焦空间向量核心知识，通过基础概念辨析、中档运算应用、拔高综合探究三层设计，构建从单一到综合的巩固路径，培养空间观念与推理运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|基底判断、向量共面|以正方体为情境，如第1题判断基底，强化空间观念| |中档|线性运算、数量积|结合线段中点、比例关系，如第3题向量表示，提升运算能力| |拔高|综合应用|融入正四面体、三棱锥，如第10题求长度与角度，发展模型观念与推理能力|

1．(2026·内蒙古期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列向量能与向量，构成空间的一个基底的是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量∥∥，∥，因此向量，与向量，共面，向量与向量，共面，A，B，C不符合题意；而DD1⊥平面ABCD，即向量，，不共面，D符合题意． 2．若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列也可作为空间的一个基底的是(　　) A．{a，2b，3c} B．{2a，a＋b，a－b} C．{a－c，a－b，b－c} D．{a＋c，a＋b，b－c} 解析：选A.对于A，因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以向量a，b，c不共面，因此a，2b，3c也不共面，因此{a，2b，3c}可以作为空间的一个基底，即A正确；对于B，易知2a＝(a＋b)＋(a－b)，因此向量2a，a＋b，a－b共面，不能作为空间的一个基底，即B错误；对于C，显然a－c＝(a－b)＋(b－c)，因此a－c，a－b，b－c共面，不能作为空间的一个基底，即C错误；对于D，显然a＋c＝(a＋b)－(b－c)，因此a＋c，a＋b，b－c共面，不能作为空间的一个基底，即D错误． 3．(2026·梅州期末)如图，直线AB和CD异面且AB⊂平面α，点D∈平面α，E是线段AB的中点，＝2，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a－b＋c B．a＋b＋c C．a－b＋c D．a＋b＋c 解析：选D.因为E是线段AB的中点，＝2，所以＝，＝，连接AF，DB(图略)，由空间向量的线性运算法则得＝－＝＋－＝＋－＝＋(＋)－＝＋(－＋)－＝＋＋＝a＋b＋c. 4．已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋2b－3c，n＝x(a＋b)－y(b＋c)＋3(a＋c)，若m∥n，则＝(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 解析：选B.m＝a＋2b－3c，n＝x(a＋b)－y(b＋c)＋3(a＋c)＝(x＋3)a＋(x－y)b＋(3－y)c，因为m∥n，所以存在实数λ，使n＝λm，所以(x＋3)a＋(x－y)b＋(3－y)c＝λ(a＋2b－3c)， 所以所以 解得所以＝3. 5．如图，ABC-A1B1C1是一个由棱长为2a的正四面体沿中截面所截得的几何体，则异面直线A1C与BB1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：选D. 将题中几何体补形成正四面体PABC，如图．记＝a，＝b，＝c，则＝a－c，由正四面体的性质和题意可知，〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝，|a|＝|b|＝|c|＝2a， 所以||＝＝＝＝a， ·＝(a－c)·b＝a·b－c·b＝a2－a2＝－a2， 所以cos 〈，〉＝－＝－， 所以异面直线A1C与BB1所成角的余弦值为. 6．(多选)在四面体PABC中，PA⊥PB，∠APC＝∠BPC＝60°，D，E分别为棱PB，AC的中点，且PB＝1，PA＝2，PC＝3，则(　　) A．＝－(－－) B．·＝ C．＝－(－＋) D．·＝－2 解析：选AB.因为D，E分别为棱PB，AC的中点，所以＝＋＝－＋(＋)＝－(－－)，A正确，C错误； 因为PA⊥PB，∠APC＝∠BPC＝60°，且PB＝1，PA＝2，PC＝3，所以·＝·(－)＝·－·＝1×3×cos 60°－1×2×cos 90°＝，B正确； ·＝·(－)＝·－·＝3×1×cos 60°－3×2×cos 60°＝－，D错误． 7．已知P是△ABC所在平面外一点，3＝2，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________． 解析：由3＝2，得3(＋＋)＝2(＋＋)， 即＝－＋＋， 所以x＝－1，y＝，z＝，故x＋y＋z＝0. 答案：0 8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是__________． 解析：由题可设＝t(0≤t≤1)，则＝＋＝＋t＝＋t(＋＋)＝(1－t)＋t＋t. 所以·＝[(1－t)＋t＋t]·＝(1－t)2＝1－t. 因为0≤t≤1，所以0≤1－t≤1. 所以·的取值范围是[0，1]. 答案：[0，1] 9．如图，在正四棱锥P-ABCD中，＝，＝2，设平面AEF与直线PC交于点G，＝λ，则λ＝________． 解析：因为＝，＝2，所以＝2，＝，所以＝＋＝＋＝＋－＝＋2－，又＝λ，所以＝，所以＝＋－，因为A，E，F，G四点共面，所以＋－＝1，解得λ＝. 答案： 10．(13分)如图，在三棱锥P-ABC中，若AB＝AC＝3，AP＝4，∠BAC＝∠PAC＝∠BAP＝60°，点D为棱BC上一点，且CD＝2BD，点M为线段AD的中点． (1)求PM的长度；(6分) (2)求异面直线PM与AC所成角的余弦值．(7分) 解：(1)因为M为线段AD的中点，CD＝2BD，所以＝，＝， 所以＝＋＝＋ ＝＋(＋)＝＋(＋) ＝＋[＋(＋)] ＝＋(－＋) ＝－＋＋， 又因为·＝·＝4×3×cos 60°＝6，·＝3×3×cos 60°＝， 所以||2＝(－＋＋)2＝2－·－·＋2＋·＋2＝，所以||＝. 所以PM的长度为. (2)由(1)得·＝(－＋＋)·＝－·＋·＋2 ＝－6＋×＋×32＝－3，所以cos 〈，〉＝＝＝－，即异面直线PM与AC所成角的余弦值为. 11．已知点M是正四面体PABC底面ABC内一点，满足＝x＋y＋z，其中x，y，z∈R，当||最小时，3x＋2y＋z的值为(　　) A．2 B． C．2 D．1 解析：选C.当||最小时，此时PM⊥平面ABC，故M为等边三角形ABC的中心，记BC的中点为D，连接AD，PD(图略)， 则＝，＝(＋)， 故＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋ ＝＋×(＋)＝＋＋， 故x＝y＝z＝，因此3x＋2y＋z＝2. 12．如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点A′，E和点A，F，使AA′⊥a，且AA′⊥b.已知A′E＝1，AF＝2，EF＝3，则线段AA′的长为________． 解析：由已知，得·＝1×2×cos ＝1或·＝1×2×cos (π－)＝－1， 设AA′＝d(d>0)，因为·＝0，·＝0，而＝＋＋， 则||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·， 当·＝1时，可得1＋d2＋4＋2＝9， 解得d＝(负值已舍去)； 当·＝－1时，可得1＋d2＋4－2＝9， 解得d＝(负值已舍去). 综上可知，线段AA′的长为或. 答案：或 13．(15分) 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，设＝a，＝b，＝c，底面边长为. (1)若|c|＝1，求证：⊥；(7分) (2)若〈，〉＝，求|c|.(8分) 解：(1)证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，＝＋＝a＋c，＝－＝＋－＝b＋c－a. 由题意可知|a|＝|b|＝，|c|＝1，〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°， 所以a·b＝|a|·|b|cos 60°＝()2×＝1，a·c＝b·c＝0， 所以·＝(a＋c)·(b＋c－a)＝a·b＋b·c＋c2－a2＝1＋0＋1－2＝0， 故⊥. (2)由(1)知·＝(a＋c)·(b＋c－a)＝a·b＋b·c＋c2－a2＝1＋0＋|c|2－2＝|c|2－1， 因为ABC-A1B1C1是正三棱柱， 所以||＝||＝＝＝， 故cos 〈，〉＝＝＝cos ＝，解得|c|＝2. 14．(15分)在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，∠AOB＝60°，∠COB＝90°，∠AOC＝120°，点D在棱BC上，且BD∶DC＝1∶2. (1)计算a·b，a·c，b·c的值；(3分) (2)用向量a，b，c表示向量；(5分) (3)在线段AD上是否存在一点P，使得OP⊥BC？若存在，求AP∶PD的值，若不存在，请说明理由．(7分) 解：(1)a·b＝|a||b|cos ∠AOB＝2×3×cos 60°＝3， a·c＝|a||c|cos ∠AOC＝2×4×cos 120°＝－4， b·c＝|b||c|cos ∠COB＝3×4×cos 90°＝0. (2)＝＋＋＝＋＋ ＝＋＋(＋) ＝－＋＋＝－a＋b＋c. (3)设＝λ(0≤λ≤1)， 则＝＋＝a＋λ ＝a＋λ(－a＋b＋c) ＝(1－λ)a＋b＋c， 又＝－＝c－b，若在线段AD上存在一点P，使得OP⊥BC， 则·＝[(1－λ)a＋b＋c]·(c－b) ＝(1－λ)a·c＋b·c＋c2－(1－λ)a·b－b2－b·c ＝－4(1－λ)＋×16－3(1－λ)－×9 ＝－7＋＝0， 解得λ＝，因为λ＝>1，故线段AD上不存在一点P，使得OP⊥BC. 15．在四面体OABC中，＝，＝2，＝2，平面FAB、平面DBC与平面EAC交于点P，则向量用，，表示为__________________________________． 解析：设＝x＋y＋z， 因为＝，＝2，＝2， 点P是平面FAB内一点，则＝x＋y＋3z，且x＋y＋3z＝1， 点P是平面DBC内一点，则＝2x＋y＋z，且2x＋y＋z＝1， 点P是平面EAC内一点，则＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1， 联立解得 所以＝＋＋. 答案：＝＋＋ 学科网（北京）股份有限公司 $