第一次月考压轴题汇总（二次函数与反比例函数）（压轴题专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建二次函数与反比例函数综合突破体系，聚焦方法迁移与逻辑推理，培养抽象能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|8条核心通法|涵盖表达式优化（顶点式/交点式）、符号判断路径、方程与交点转化、存在性分类讨论等|从基础通法到综合应用，构建“方法-问题”对应逻辑链| |题型归纳|6类题型（含典例+变式）|针对k几何意义、图象综合判断、存在性问题等提炼解题套路|按“基础应用-综合辨析-压轴突破”递进，典例覆盖高频考法与易错点| |压轴挑战|选择/填空/解答题|融合跨知识点综合题，强化复杂问题推理与模型构建|衔接中考压轴命题趋势，提升高阶思维与问题解决能力|

第一次月考压轴题汇总 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数 k 几何意义 + 面积压轴（填空压轴高频） 题型二、二次函数与反比例函数图象综合判断（选择压轴） 题型三、二次函数存在性问题（压轴最难） 题型四、反比例 + 一次函数综合大题 题型五、二次函数与反比例函数混合压轴（月考解答压轴） 题型六、二次函数区间最值、与反比例结合的最值压轴 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 【通法1】「顶点+一个点」必设顶点式；「与x轴两交点+一个点」必设交点式，可大幅减少计算量。 【通法2】判断代数式符号有三条路径：①a、b、c各自与图象特征对应；②Δ与交点个数对应；③特殊自变量函数值（a±b+c、4a±2b+c）对应图象上的点。 【通法3】「方程⇌交点」双向转化是本章最重要的桥梁；与水平直线y=k的交点个数问题，转化为比较k与顶点纵坐标的大小。 【通法4】直角三角形存在性按「三个顶点分别作直角顶点」分类，用勾股定理列方程，是压轴题最常用的套路；第（3）问本质是将军饮马，用对称性把折线化为直线段。 【通法5】比较大小三步：看象限→同象限用增减性、不同象限看正负→综合排序。 【通法6】矩形面积=|k|是反比例函数最重要的结论；先写绝对值，再由图象所在象限定号，避免漏符号。 【通法7】两函数交点问题先联立方程组；求△AOB的面积可用「割补法」（以坐标轴上的截距点为顶点分割）或坐标公式，掌握两种方法以便相互验证。 【通法8】反比例应用题本质是「由点定k→代值求量→解不等式求范围」三步；注意V>0这一隐含条件，解不等式时不能随意变号。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数 k 几何意义 + 面积压轴（填空压轴高频） 【典例1】．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）双曲线、在第一象限的图象如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于C，则的面积是___________． 【典例2】．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知A，B两点在双曲线上，A、B两点关于O点对称，垂直于y轴于C点，若的面积为6，则_______． 【典例3】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点在反比例函数的函数图象上，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为．连接．若，面积为9，则_____． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，矩形与反比例函数()的图象交于点M，N，与反比例函数()的图象交于点B，连接，，则四边形的面积为_______． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，是双曲线上的一点，点是的中点，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点，且的面积是2，则_____． 【变式3】．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴，取中点C，点D在y轴上，连接，，若的面积为3，则k的值是________． 【变式4】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图所示，已知点是轴正半轴上的一点，过点作轴，分别交反比例函数和的图像于点，以为对角线作．若点在轴上，的面积为18，则的值为___________． 题型二、二次函数与反比例函数图象综合判断（选择压轴 ） 【典例4】．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）已知二次函数与反比例函数的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（2024·安徽马鞍山·一模）已知二次函数的图象如图所示，图象与x轴交于，顶点是，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（　　）    A．   B．   C．    D．   题型三、二次函数存在性问题（压轴最难） 【典例5】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线顶点为，且过原点． (1)求抛物线的解析式； (2)过抛物线上一点向直线作垂线，垂足为点． （ⅰ）已知在线段的中垂线上．当时，求的最大值及此时点的坐标； （ⅱ）对于抛物线上任意点，是否存在点，使恒成立？若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 【典例6】．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)点P在线段上，过点P作x轴的垂线交直线于点M，交抛物线于点N，求线段的最大值； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例7】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线 （）与 轴交于 、 两点，与 轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一动点，且点在直线的下方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，过点作 轴于点 ，交直线于点，点是抛物线上一动点，点是直线上一动点，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】．已知二次函数的图象经过点，，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接、、，求； (3)在该抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线的对称轴与直线的交点，点F是抛物线的顶点，求的长； (3)设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（请在图2中探讨） 【变式3】．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． (1)求线段的长； (2)若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 题型四、反比例 + 一次函数综合大题 【典例8】．（2025·安徽合肥·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)根据图像，请直接写出一次函数值大于反比例函数值时的取值范围． 【典例9】．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，一次函数与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积． 【典例10】．（2025·安徽·一模）已知一次函数与反比例函数的图象都经过点，． (1)求一次函数表达式； (2)在图中画出一次函数的图象，并根据图象，写出一次函数值大于反比例函数值时的取值范围． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，一次函数（）与反比例函数（，）的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【变式3】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，一次函数与函数为的图象交于，两点，点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q． (1)求这两个函数的解析式； (2)当时，x的取值范围是________； (3)若点P的横坐标为2，求的面积． 【变式4】．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、B两点．垂直于y轴，垂足为D，连接． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)求的面积． (3)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围． 题型五、二次函数与反比例函数混合压轴（月考解答压轴） 【典例11】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象交于点． (1)求的值； (2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 【典例12】．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，二次函数与反比例函数的图象交于． (1)求k的值； (2)根据图象，写出二次函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽六安·期末）2021年体育中考，增加了考生进入考点需进行体温检测的要求，防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表，该校共有考生810名． 时间x（分钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数y（人） 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 (1)根据表中数据变化规律及学过的“一次函数、二次函数、反比例函数”知识，请判断前9分钟内考生进入考点的累计人数y是关于时间x的什么函数？并求出y与x之间的函数表达式； (2)如果考生进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？ 【变式2】．实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y＝﹣200x2+400x表示；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y＝（k＞0）表示（如图所示）． （1）喝酒后多长时间血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ （2）求k的值． （3）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由． 【变式3】．（2024·安徽池州·模拟预测）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务． 【阅读】 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？通过思考，小丽得到以下两种方法：方法1：方程的两根为，，可得函数的图象与x轴的两个交点横坐标分别为–4，5，画出函数图象，观察该函数图象在x轴下方的点．其横坐标的范围就是不等式的解集． 方法2：除了转化为二次函数可解，还可转化为一次函数和反比例函数．当时，不等式无意义；当时，同除以x，不等式变为；当时，同除以x，不等式变为．问题转化为研究一次函数与反比例的图象关系……同样可解． 【任务】 (1)不等式的解集为 ； (2)两种方法都运用了 的数学思想方法（填选项字母）； A．分类讨论    B．数形结合    C．特殊到一般 (3)请你根据方法2的思路，在给出的平面直角坐标系中画出函数图象的简图，并结合图象直接写出不等式的解集．    题型六、二次函数区间最值、与反比例结合的最值压轴 【典例13】．（25-26九年级下·安徽池州·阶段检测）已知二次函数，将点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上． （1）___________； （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，则的取值范围是___________． 【变式1】．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． (1)求m的值； (2)若点在的图象上，当时，求该二次函数的最大值与最小值． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）二次函数的图象与轴交于点，且． (1)当，且时， 求，的值； 当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值； (2)若，求的最值． 【变式3】．初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在中，，，，点D是边上一动点（不与A、B重合），沿着运动，过点D作交于点E，作交于点F，设，的长为x，能反映y与x之间函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽淮南·三模）如图，二次函数与轴，轴分别交于，两点，对称轴为直线，一次函数的图象也经过，两点，则下列结论错误的是(     )    A． B．当时， C．方程有两个不相等的实数根 D．二次函数的图象的最低点的坐标为 4．（2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级·安徽芜湖·自主招生）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点和点，过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点．当四边形的面积为12时，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点O为坐标原点，点A在双曲线（）上，点B在双曲线（）上，点C在x轴的正半轴上，若四边形是平行四边形，且面积为4，则k的值为（    ） A．2.5 B．4 C．5 D．6 7．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，的面积为，点从点出发，以的速度沿路线匀速移动，同时，点从点出发，以的速度沿路线匀速移动，直到两个点都到达终点即停止运动，若点的运动时间为的面积为，则关于的函数的大致图像是（   ）． A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，线段的端点为，抛物线与线段有交点时，的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 9．（25-26九年级上·安徽池州·期末）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，有下列结论： ①； ②经过两点的直线一定不经过第三象限； ③若方程有两个根，且，则一定满足； ④若方程有四个根，则这四个根的和为． 其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③ C．①③④ D．②④ 10．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知关于的函数（其中是常数）的图象经过点，点，点和点，且不经过第二象限，以下说法正确的是（    ） A．若，则函数图象关于直线对称； B．若，对于任意的，当时，有，则； C．若，则代数式有最大值； D．若，则函数图象与轴有2个交点． 二、填空题 11．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）新定义：若函数图象上存在点，将其横坐标变为原来的倍（），纵坐标不变得到点，则称点为点的“倍横变点”，所有“倍横变点”构成的函数称为原函数的“倍横变函数”．例如：函数图象上的点的“3倍横变点”为，函数的“3倍横变函数”为． （1）点在一次函数的图象上，点是点的“倍横变点”，则点的坐标为_____； （2）点在反比例函数的图象上，点是点的“倍横变点”，若线段的中点在直线上，则点的坐标为_____． 12．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）． （1）抛物线的对称轴为直线______； （2）点，为该抛物线上的两点，当，时，均满足，则t的取值范围为______． 13．（2026·安徽马鞍山·三模）定义：如果二次函数：（，，，为常数）与：（，，，为常数）满足，且图象过相同的两个点，那么称这两个函数，为“友好二次函数”．二次函数：的图象与轴交于，两点，且点在点的左侧，若二次函数是的“友好二次函数”，且的顶点是点． （1），的另一个公共点坐标为_______； （2）若将二次函数的图象向下平移个单位得到，，仍然是“友好二次函数”，则的范围是_______． 14．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，直线与反比例函数交于点是直线上的两点，是反比例函数上的两点，点位于点上方，点位于点上方，已知，连接． （1）___________； （2）若，则___________． 15．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）已知二次函数：． （1）若该二次函数的图象开口向下，当时，的最小值是，则a的值为___________； （2）若对于该抛物线上的两点，当时，均满足，则的取值范围是___________． 16．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，A为x轴正半轴上一点、B为y轴正半轴上一点，连接，另有一反比例函数图象． （1）若该反比例函数图象与线段只有一个交点，且，则=______； （2）若该反比例函数图象与线段交于C、D两点（C点在D点的左侧），若，则k的值为______． 三、解答题 17．已知，反比例函数和反比例函数如图所示． (1)点A在反比例函数的图象上，过点A作y轴的垂线交反比例函数的图象于点B，交y轴于点M，点P在x轴上，连接，求的面积； (2)直线交反比例函数的图象于点C，交反比例函数的图象于点D，若，求n的值． 18．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出关于的不等式的解集； (3)连接，求的面积． 19．（2026·安徽·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，过点作交轴于点，与抛物线的另一交点为． （i）求点的坐标； （ii）点为直线下方抛物线上一动点，直线交轴于点，设点的横坐标为，求面积的最大值． 20．（25-26九年级·安徽合肥·期中）已知抛物线，抛物线的顶点在抛物线上，且在y轴上的截距为6． (1)求抛物线的函数解析式． (2)抛物线与抛物线另一个交点为B，P在抛物线上且在之间，Q在抛物线上且在之间．若轴，求的最大值． (3)点与点（，为定值）分别抛物线、上．若（为定值）为定值c，求定值a、b、c． 21．（2025·安徽亳州·三模）已知二次函数，． (1)当时，求此函数图象的对称轴； (2)若点，均在该函数图象上； （i）是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ⅱ）令，若该函数在时，y随x的增大而减小，在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围． 22．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为， （i）求该二次函数的表达式； （ii）若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考压轴题汇总 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数 k 几何意义 + 面积压轴（填空压轴高频） 题型二、二次函数与反比例函数图象综合判断（选择压轴） 题型三、二次函数存在性问题（压轴最难） 题型四、反比例 + 一次函数综合大题 题型五、二次函数与反比例函数混合压轴（月考解答压轴） 题型六、二次函数区间最值、与反比例结合的最值压轴 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 【通法1】「顶点+一个点」必设顶点式；「与x轴两交点+一个点」必设交点式，可大幅减少计算量。 【通法2】判断代数式符号有三条路径：①a、b、c各自与图象特征对应；②Δ与交点个数对应；③特殊自变量函数值（a±b+c、4a±2b+c）对应图象上的点。 【通法3】「方程⇌交点」双向转化是本章最重要的桥梁；与水平直线y=k的交点个数问题，转化为比较k与顶点纵坐标的大小。 【通法4】直角三角形存在性按「三个顶点分别作直角顶点」分类，用勾股定理列方程，是压轴题最常用的套路；第（3）问本质是将军饮马，用对称性把折线化为直线段。 【通法5】比较大小三步：看象限→同象限用增减性、不同象限看正负→综合排序。 【通法6】矩形面积=|k|是反比例函数最重要的结论；先写绝对值，再由图象所在象限定号，避免漏符号。 【通法7】两函数交点问题先联立方程组；求△AOB的面积可用「割补法」（以坐标轴上的截距点为顶点分割）或坐标公式，掌握两种方法以便相互验证。 【通法8】反比例应用题本质是「由点定k→代值求量→解不等式求范围」三步；注意V>0这一隐含条件，解不等式时不能随意变号。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数 k 几何意义 + 面积压轴（填空压轴高频） 【典例1】．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）双曲线、在第一象限的图象如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于C，则的面积是___________． 【答案】3 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解决本题的关键是掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的三角形的面积就等于． 根据，列式子求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：3． 【典例2】．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知A，B两点在双曲线上，A、B两点关于O点对称，垂直于y轴于C点，若的面积为6，则_______． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，利用面积求反比例函数参数，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 关于原点对称得出相等的线段，求出，然后根据直角三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵A、B两点关于O点对称， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∵垂直于y轴， ∴， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴， 故答案为：． 【典例3】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点在反比例函数的函数图象上，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为．连接．若，面积为9，则_____． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．过点A作轴，垂足为E，先求出，，再结合，求得，由此列方程求解即可． 【详解】解：过点A作轴，垂足为E， ， ， 令，则， 解得， 令，则， 解得， ，， ，，， ， 由题意得， 则， ， 解得． 故答案为：． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，矩形与反比例函数()的图象交于点M，N，与反比例函数()的图象交于点B，连接，，则四边形的面积为_______． 【答案】3 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查矩形性质、反比例函数（）中的几何意义，解题的关键是用的几何意义求相关三角形面积，再通过矩形与三角形面积关系算四边形面积． 设，由在得（矩形面积）；、在上，用的几何意义得、面积均为；矩形面积减两三角形面积和即得四边形面积． 【详解】解：设（）． ∵ 在上， ∴ ，即（矩形面积为）． ∵ 在上且在上，横坐标为，纵坐标为， ∴ 面积． 同理，在上且在上，面积 ∴ 四边形面积． 故答案为：． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，是双曲线上的一点，点是的中点，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点，且的面积是2，则_____． 【答案】4 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、根据三角形中线求面积 【分析】根据中点的意义，三角形面积，反比例函数k的几何意义，解答即可． 本题考查了三角形中线的性质、反比例函数的几何意义等知识点，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：由点是的中点， 得， 故， 故， 由的面积是2， 故， 故， 解得或（舍去）， 故， 故答案为：4． 【变式3】．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴，取中点C，点D在y轴上，连接，，若的面积为3，则k的值是________． 【答案】 【知识点】利用平行线间距离解决问题、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行线的性质与判定，连接，可证明得到，再由三角形中线平分三角形面积得到，最后根据反比例函数比例系数的几何意义可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴轴，即， ∴， ∵点C为的中点， ∴， ∵点A在反比例函数的图像上，轴， ∴， ∵反比例函数图像在第一象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图所示，已知点是轴正半轴上的一点，过点作轴，分别交反比例函数和的图像于点，以为对角线作．若点在轴上，的面积为18，则的值为___________． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，理解反比例函数系数的几何意义是正确应用的前提．连接，根据同底等高的三角形面积相等，得到，由平行四边形的面积为18可求出，利用反比例函数系数的几何意义可得，进而求出答案． 【详解】解：连接， ∵轴， ， 又 ∵四边形是平行四边形，为对角线， ， ∵， ∴由反比例函数系数的几何意义得，， ， ， 解得：（舍去）， 故答案为：． 题型二、二次函数与反比例函数图象综合判断（选择压轴 ） 【典例4】．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数图像性质及共存问题，根据二次函数开口及顶点判断a，c的正负根据反比例函数图像判断k的正负，结合一次函数图像性质即可得到答案； 【详解】解：由图像可得， ，，， ∴一次函数过一、二、四象限， 故选：C． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）已知二次函数与反比例函数的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数图象的综合判断． 根据二次函数、反比例函数图象得到，，进而判断即可． 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵反比例函数的图象经过二、四象限， ∴， ∵中， ∴一次函数经过二、四象限， ∵中， ∴一次函数经过第三象限， 即一次函数经过二、三、四象限． 故选：D． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查反比例函数、二次函数的图象与性质；先根据反比例函数图象确定的值，再分析二次函数图象是否符合，逐一判断即可 【详解】A、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向上，且与轴交于负半轴，故此选项错误； B、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项正确； C、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项错误； D、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误； 故选：B． 【变式3】．（2024·安徽马鞍山·一模）已知二次函数的图象如图所示，图象与x轴交于，顶点是，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（　　）    A．   B．   C．    D．   【答案】A 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数的图像，一次函数和反比例函数的图像，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由二次函数的图像来确定，的符号，再由顶点坐标的位置确定的符号即可 【详解】解：图象与x轴交于，顶点是， ∴对称轴为直线， ∴图像与x轴另一交点为， ∴设， 化简得：， ∴， 有图像可知，，与x轴有两个交点， ∴， ∴， 而， ∴图像经过第一、二、四象限， ∵顶点在第三象限，∴，∴ 而， ∴反比例函数解析式为， ∴图像过第一、三象限， 综上，可知A选项符合题意． 故选：A． 题型三、二次函数存在性问题（压轴最难） 【典例5】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线顶点为，且过原点． (1)求抛物线的解析式； (2)过抛物线上一点向直线作垂线，垂足为点． （ⅰ）已知在线段的中垂线上．当时，求的最大值及此时点的坐标； （ⅱ）对于抛物线上任意点，是否存在点，使恒成立？若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）最大值为，；（ⅱ）存在， 【知识点】已知两点坐标求两点距离、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数解析式、最值问题、勾股定理、二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）设顶点式，代入原点坐标即可得解； （2）（i）易得；进而根据二次函数最值即可得解； （ii）过作与直线的垂线，垂足为，先表示出和，再根据化简，利用无关项可得解． 【详解】（1）解：由题可设， 将代入得， 解得， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：（i）如图， ∵在线段的中垂线上 ∴， ∴； 所以，当时，有最大值，最大值为， 代入得，解得（舍去）， 所以； （ii）当时，恒成立． 理由：过作与直线的垂线，垂足为， 在Rt中，， ∵是抛物线上的点， ； ， 移项，合并同类项得：， 对任意恒成立， 且， ， 故时，恒成立． 存在这样的点． 【典例6】．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)点P在线段上，过点P作x轴的垂线交直线于点M，交抛物线于点N，求线段的最大值； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A坐标为；点B坐标为；点C坐标为 (2)4 (3)点Q的坐标为或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、线段周长问题(二次函数综合)、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】（1）根据二次函数性质，当时，，当时，，解得或，即可求解；      （2）设直线的函数表达式为，将点，点， 得，设点P坐标为，点M坐标为，点N坐标为，即可求解；         （3）在该抛物线的对称轴上存在点Q，设点Q坐标为，使，即，代入即可求解. 【详解】（1）解：当时，， ∴点C坐标为； 当时，，解得或， ∵点A在点B的左侧， ∴点A坐标为 ∴点B坐标为； （2）解：设直线的函数表达式为， ∵点，点， ∴，解得， ∴； 设点P坐标为， ∴点M坐标为，点N坐标为， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为4； （3）解：在该抛物线的对称轴上存在点Q，设点Q坐标为， 使，即， ∴，解得， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查一元二次方程配方法、二次函数图象性质相关知识．熟练掌握二次函数图象性质，将问题转化，是解此题的关键． 【典例7】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线 （）与 轴交于 、 两点，与 轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一动点，且点在直线的下方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，过点作 轴于点 ，交直线于点，点是抛物线上一动点，点是直线上一动点，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积最大为，此时 (3)存在，点坐标为或或或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式，将、、代入，求出、、的值，进而可求出抛物线的解析式； （2）过点作 轴于点 ，交直线于点，则，设点，则点，用含的代数式表示后，可求出面积，化为顶点式后即可求出面积最大值及点的坐标； （3）分是平行四边形的边与对角线两种情况考虑；设，用含的代数式表示后，根据平行四边形对边相等及对角线互相平分，建立关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：将、、代入得： ， ， ； （2）解：过点作 轴于点 ，交直线于点， 则， ，点是抛物线上一动点， 设点， 设直线， 将点，代入得： ， ， ， 点， ， ， ， 时，取得最大值，此时， 面积的最大值为，此时； （3）解：由（2）可得，， ， 当点、、、为顶点的四边形是平行四边形时， 若是四边形的边，则且， 设，则， ， 得， ①时，， ，， ，， ②时，， ，， ，， 若是平行四边形的对角线，则的中点为， 设，则， 则， 整理得：， 解得：，， ，， 综上，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、铅垂法求三角形的面积、平行四边形存在性问题、抛物线与坐标轴的交点，掌握相关知识是解题的关键． 【变式1】．已知二次函数的图象经过点，，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接、、，求； (3)在该抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再将抛物线解析式化为顶点式得出，作轴于，则，从而可得，，，，，再由计算即可得解； （3）由（2）可得，从而得出，设，由，得出，整理可得或，分别计算即可得解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， 解得：或， ∴， ∵， ∴， 如图，作轴于，则， ， ∴，，，，， ∴ ； （3）解：存在， 由（2）可得， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，整理可得，此时，此方程无实数解，不符合题意； 当时，整理可得，此时， 解得：， ∴点的坐标为或． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线的对称轴与直线的交点，点F是抛物线的顶点，求的长； (3)设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（请在图2中探讨） 【答案】(1) (2) (3)存在，，，， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据，，表示成两根式，利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线的解析式，进而求出点坐标，根据抛物线的解析式求出顶点坐标，两点间的距离公式求出的长即可； （3）根据，求出，进而求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为，， ∴． ∴所求抛物线的解析式为． （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，则， 又， ∴， 设直线BC的解析式为，把代入，得， 解得，则该直线的解析式为． 故当时，，即， ∴，即． （3）解：设点，由题意，得， ∴， ∴， 时，， ∴，， 当时，， ∴，， ∴当点P的坐标分别为，，，时，． 【变式3】．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． (1)求线段的长； (2)若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ） ；（ⅱ）或． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质． （1）由待定系数法求出抛物线表达式，进而求解； （2）（Ⅰ）由题意知点的坐标为，点的坐标为，即可求解； （Ⅱ）由得到当时，为等腰直角三角形，再根据点在对称轴右侧或左侧分情况讨论，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． 令，得，解得，， ，， ； （2）解：（ⅰ）由（1）知抛物线的解析式为． 令，得， ． 设直线的解析式为， 将，代入，得 解得， 直线的解析式为， 由题意知点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，线段的长有最大值， 此时， 点的坐标为； （ⅱ）， ， 即当时，为等腰直角三角形． ①如图1，点在对称轴右侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ； ②如图2，点在对称轴左侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 存在，的值为或． 题型四、反比例 + 一次函数综合大题 【典例8】．（2025·安徽合肥·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)根据图像，请直接写出一次函数值大于反比例函数值时的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】（1）先将代入反比例函数中，求得的值，即可求得反比例函数的解析式；再把、两点代入反比例函数中，求出点坐标，最后将把、两点代入一次函数中，求出、的值，即可得到一次函数的解析式； （2）结合函数图像即可得到一次函数值大于反比例函数值时的取值范围． 【详解】（1）把、两点代入反比例函数中，得， 解得，， 故反比例函数解析式为． 把、两点代入一次函数中，得 ，解得， 故一次函数解析式为． （2）由函数图像可知： 一次函数值大于反比例函数值时的取值范围为：或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数综合题，熟练掌握相关知识点及对应的解题方法是解题的关键． 【典例9】．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，一次函数与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（）代入点求反比例函数解析式，求出点坐标，再代入两点求解一次函数解析式； （）求出直线与轴交点，分割三角形，利用纵坐标为高计算两小三角形面积之和． 【详解】（1）解：把点代入，得，解得， ， 把点代入，得， 解得， ∴， 把点代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（）可知一次函数 令，则， 解得， ∵一次函数与轴交于点， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴ ． 【典例10】．（2025·安徽·一模）已知一次函数与反比例函数的图象都经过点，． (1)求一次函数表达式； (2)在图中画出一次函数的图象，并根据图象，写出一次函数值大于反比例函数值时的取值范围． 【答案】(1) (2)下图为所求： 或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）利用待定系数法解题即可； （2）先画出一次函数的图象，然后结合图象，求得，观察得出一次函数值大于反比例函数值时的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数得： ∴． 将点代入得：． ∴， ∴一次函数表达式为． （2）解： 当时，， 过，画出一次函数的图象， 从图象可知， 一次函数值大于反比例函数值时的取值范围：或． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，一次函数（）与反比例函数（，）的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是 (2)16 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，三角形的面积问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键； （1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m，进而可求出a，得到点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）设与y轴交于点C，先求出点C的坐标，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数（，）的图象过，两点， ∴，， ∴， ∴，反比例函数的解析式是； 把，代入一次函数中， 得，解得：， ∴一次函数的解析式是； （2）解：设与y轴交于点C，如图， 则当时，， ∴点C的坐标是，即， ∴ ． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数解析式为； (2) 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查一次函数与反比例函数几何综合． （1）将代入反比例函数中，即可求得，再将代入反比例函数解析式求得，最后将点、代入一次函数中求解，即可解题． （2）根据一次函数解析式得出点C，再利用，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ， 反比例函数解析式为， 点在上，则， ， 把、代入， 得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：把代入，得， ， ， ． 【变式3】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，一次函数与函数为的图象交于，两点，点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q． (1)求这两个函数的解析式； (2)当时，x的取值范围是________； (3)若点P的横坐标为2，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)3 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出反比例函数解析式，求出点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）求出的坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴， ∴， 把，代入，得 ，解得， ∴； （2）由图象可知：当时，x的取值范围是或； （3）∵，， ∴当时，，， ∵点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，点P的横坐标为2， ∴，， ∴，， ∴的面积为． 【变式4】．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、B两点．垂直于y轴，垂足为D，连接． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)求的面积． (3)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）直接根据待定系数法求两个函数解析式即可； （2）求出点的坐标，则可知，然后得出边上的高根据三角形面积公式计算即可； （3）根据函数图像找出一次函数在反比例函数上方的部分即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于， ∴将分别代入，， 得，即， ∴一次函数解析式为， 反比例函数解析式为； （2）联立， 即， 解得：，（即为点）， 经检验，，是原方程的解， ∴点， ∴，边上的高为， ∴； （3）根据函数图像可得反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围即为一次函数在反比例函数上方的部分， ∴反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，根据函数图像求不等式的解集等知识点，熟练掌握反比例函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 题型五、二次函数与反比例函数混合压轴（月考解答压轴） 【典例11】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象交于点． (1)求的值； (2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)5；8 (2)； 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、求反比例函数值 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，熟练掌握函数图象上点的坐标特征、二次函数的配方法是解题的关键． （1）先利用反比例函数解析式求出点的纵坐标，再将点坐标代入二次函数解析式求出； （2）通过配方法将二次函数化为顶点式，进而得到对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点坐标为． ∵点在二次函数图象上， ∴， 解得； （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． 【典例12】．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，二次函数与反比例函数的图象交于． (1)求k的值； (2)根据图象，写出二次函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据交点确定不等式的解集、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与二次函数综合，图象法求不等式的解集．熟练掌握反比例函数解析式反比例函数与二次函数综合，图象法求不等式的解集是解题的关键． （1）将代入得，可求，则，将代入，计算求解可得的值； （2）根据二次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围为二次函数图象在反比例函数图象上方部分所对应的的取值范围，结合图象作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴k的值为； （2）解：由图象可知，二次函数值大于反比例函数值时x的取值范围为或． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽六安·期末）2021年体育中考，增加了考生进入考点需进行体温检测的要求，防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表，该校共有考生810名． 时间x（分钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数y（人） 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 (1)根据表中数据变化规律及学过的“一次函数、二次函数、反比例函数”知识，请判断前9分钟内考生进入考点的累计人数y是关于时间x的什么函数？并求出y与x之间的函数表达式； (2)如果考生进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？ 【答案】(1) (2)排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟． 【知识点】用描点法画函数图象、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）利用描点法作函数图象判断即可，然后利用待定系数法确定函数解析式即可得； （2）根据某时刻剩余人数=进入人数－已检测人数，结合二次函数的性质求最值即可；由总人数和每分钟检测人数可求检测完全部考生的时间； 【详解】（1）解：由表格中数据可得函数图象如图， 由图可知是的二次函数， ∵当时，， ∴二次函数的关系式可设为：， 将（1，170），（2，320）代入可得： ， 解得：，， ∴二次函数关 系式为：； （2）解：设第分钟时的排队人数为人，由题意可得：， ∵当时，的最大值， ∴排队人数最多时是490人， 要全部考生都完成体温检测，根据题意得：， 解得：， 答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟． 【点睛】本题考查了描点法作函数图像，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质；掌握二次函数的图象特征是解题关键． 【变式2】．实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y＝﹣200x2+400x表示；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y＝（k＞0）表示（如图所示）． （1）喝酒后多长时间血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ （2）求k的值． （3）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】（1）x＝1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升；（2）k=225；（3）不能驾车上班. 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、其他问题(实际问题与二次函数)、实际问题与反比例函数 【详解】试题分析：（1）①利用y=-200x2+400x=-200（x-1）2+200确定最大值； ②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）求出x=11时，y的值，进而得出能否驾车去上班． 试题解析：（1）①y=-200x2+400x=-200（x-1）2+200， ∴x=1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）； ②∵当x=5时，y=45，y=（k＞0）， ∴k=xy=45×5=225； （2）不能驾车上班； 理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时， ∴将x=11代入y=，则y=＞20， ∴第二天早上7：00不能驾车去上班． 考点：1.二次函数的应用；2.反比例函数的应用． 【变式3】．（2024·安徽池州·模拟预测）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务． 【阅读】 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？通过思考，小丽得到以下两种方法：方法1：方程的两根为，，可得函数的图象与x轴的两个交点横坐标分别为–4，5，画出函数图象，观察该函数图象在x轴下方的点．其横坐标的范围就是不等式的解集． 方法2：除了转化为二次函数可解，还可转化为一次函数和反比例函数．当时，不等式无意义；当时，同除以x，不等式变为；当时，同除以x，不等式变为．问题转化为研究一次函数与反比例的图象关系……同样可解． 【任务】 (1)不等式的解集为 ； (2)两种方法都运用了 的数学思想方法（填选项字母）； A．分类讨论    B．数形结合    C．特殊到一般 (3)请你根据方法2的思路，在给出的平面直角坐标系中画出函数图象的简图，并结合图象直接写出不等式的解集．    【答案】(1) (2)B (3)； 或 【知识点】图象法解一元二次不等式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用题干中的方法1，画出函数的图象，观察图象解答即可； （2）依据解答过程体现的数学思想方法解答即可； （3）画出函数和函数的大致图象，结合图象即可求得． 【详解】（1）解：解方程， 得，， 函数的图象与轴的两个交点横坐标为、5， 画出二次函数的大致图象（如图所示）， 由图象可知：当时函数图象位于轴下方，此时，即． 所以不等式的解集为：． 故答案为：； （2）解：两种方法都运用了数形结合的数学思想方法， 故选：B； （3）解：当时，不等式不成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为． 画出函数和函数的大致图象如图， 当时，解得或， ∴， 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为， 不等式的解集为：或． 题型六、二次函数区间最值、与反比例结合的最值压轴 【典例13】．（25-26九年级下·安徽池州·阶段检测）已知二次函数，将点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上． （1）___________； （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，则的取值范围是___________． 【答案】 4 【知识点】由平移方式确定点的坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）先求出平移后点的坐标，代入求解即可； （2）根据二次函数解析式得出图象开口向上，顶点坐标为，当时，，再根增减性对进行分类讨论，列式计算即可； 【详解】（1）点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度， 平移后的点为， 点在的图象上， ， 或（舍去）． ． （2）由题意，得， 图象开口向上，顶点坐标为， 当时，， ①当时，最大值与最小值的差为， ，不符合题意，舍去． ②当时，最大值与最小值的差为，符合题意． ③当时，最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意． 综上，的取值范围为． 【变式1】．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． (1)求m的值； (2)若点在的图象上，当时，求该二次函数的最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)二次函数的最大值为，最小值的为． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）点在二次函数的图象上，得到，解得，则二次函数的解析式为，根据对称轴求解即可； （2）求出，，得到抛物线的解析式为，再根据二次函数的性质分别求出最大值与最小值即可； 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， ∴； （2）∵， ∴点即为点， ∵点在的图象上，， ∴，解得， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为， 当时，函数有最大值，最大值为， ∴二次函数的最大值为，最小值的为． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）二次函数的图象与轴交于点，且． (1)当，且时， 求，的值； 当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值； (2)若，求的最值． 【答案】(1)①，；② (2)的最小值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）①依题意，，解方程组即可求解； ②根据①得出解析式，对称轴为直线，进而分，，，三种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解； （2）由题意得：，，将代入，得出  ，得出，代入得，进而，即可得解． 【详解】（1）解：①依题意，， 解得，； ②， 对称轴为直线，，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 依题意，， 方程无解； 当时， 最大值为， 最小值为， ，故不符合题意，舍去； 当时， 最小值为， 最大值为， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，； （2）解：∵，，   ∴，   ∴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵，　 ∴，即， ∴把，代入， 得； ∴， ∴有最小值． 【变式3】．初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）减小，无； （2）最小，3； （3）存在最大值，最大值为； （4）函数不存在最值，理由如下： 令，则， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为4， 即， ∵当时，y随u的增大而减小，当时，y随u的增大而减小， ∴函数无最值， 即函数不存在最值． 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了二次函数和反比例函数的性质，利用类比思想解答是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质解答即可； （2）根据二次函数的性质解答即可； （3）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可； （4）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴对于函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小， ∴当且时，该函数无最值； 故答案为：减小，无； （2）∵，， ∴当时，函数有最小值，其最值为3； 故答案为：最小；3； （3）存在最大值，最大值为； 根据题意得：，此时， ∴y随u的增大而减小， ∴当时，函数存在最大值，最大值为； 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的图象，确定a，b，c的符号，再确定一次函数，反比例函数的图象分布即可 本题考查了二次函数与一次函数图象，反比例函数图象的综合，熟练掌握图象的分布规律是解题的关键． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在原点的右边， ∴， 故， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在负半轴， ∴， ∴反比例函数的图象分布在第二、第四象限， 一次函数的图象分布在第一，第二，第三象限， 故选：A． 2．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在中，，，，点D是边上一动点（不与A、B重合），沿着运动，过点D作交于点E，作交于点F，设，的长为x，能反映y与x之间函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作于点，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，设，则，，根据勾股定理得到，证明四边形是矩形，得到，可知． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 在中，，，， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形， ， ． 3．（2026·安徽淮南·三模）如图，二次函数与轴，轴分别交于，两点，对称轴为直线，一次函数的图象也经过，两点，则下列结论错误的是(     )    A． B．当时， C．方程有两个不相等的实数根 D．二次函数的图象的最低点的坐标为 【答案】D 【分析】由抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，得到，，由抛物线的对称轴为直线得到，即可判断A选项；求出A，B的坐标，结合图象即可判断B选项；根据抛物线与直线有两个交点即可判断C选项；由得到二次函数，进而求出图象的最低点的坐标，即可判断D选项． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴．故A选项正确． ∵与y轴交于点A，与x轴交于点B ∴令，则， 令，则，解得， ∴，， ∴由图象可得，当时，．故B选项正确． ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程，即有两个不相等的实数根．故C选项正确． ∵， ∴， ∴二次函数， 当时，， ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴二次函数的图象的最低点的坐标为．故D选项错误． 4．（2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 5．（24-25九年级·安徽芜湖·自主招生）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点和点，过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点．当四边形的面积为12时，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，，根据四边形的面积为12，得出，联立得出，根据根与系数的关系得出，代入进行求解即可． 【详解】解：设， ∴，，． ∵四边形的面积为12， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴，化简整理得， 又联立，消去得：， ∴和是方程的两根． 由一元二次方程根与系数的关系可知， ∴， ∴， 解得． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点O为坐标原点，点A在双曲线（）上，点B在双曲线（）上，点C在x轴的正半轴上，若四边形是平行四边形，且面积为4，则k的值为（    ） A．2.5 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设点A坐标为，由点B在双曲线上，四边形是平行四边形可得点B坐标为，根据四边形的面积为4列方程即可得解． 本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，解题关键是掌握函数与方程的关系，掌握平行四边形的性质． 【详解】解：设点A坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点B纵坐标为， 将代入， 得， ∴点B坐标为， ∴四边形的面积为， 解得， 故选：C． 7．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，的面积为，点从点出发，以的速度沿路线匀速移动，同时，点从点出发，以的速度沿路线匀速移动，直到两个点都到达终点即停止运动，若点的运动时间为的面积为，则关于的函数的大致图像是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、正弦的定义、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 如图：过C作于D，根据题意可得，；然后再分当点P在上、、点P在上三种情况分别求得函数解析式，进而确定函数图像即可解答． 【详解】解：如图：过C作于D， 在中，的面积为， ∴，， ∴，解得：， ∴； 如图：当点P在上时，即时，此时，过P作于E， ∵，即， ∴的面积为，即函数图像是关于y轴对称、开口向上，上的一部分； 当时，，即点P与点C重合，点Q与点B重合，的面积与的面积相等，即； 如图：当点P在上时，即时，此时，点Q与点B重合，，过P作于E， ∵，即， ∴的面积为，即函数图像是y随x增大而减小的一次函数，在上的一部分． 综上，B选项符合题意． 故选B． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，线段的端点为，抛物线与线段有交点时，的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据得，线段平行于轴，得出对称轴，然后根据临界点代入求参数即可． 【详解】解：由得，线段平行于轴， ， 对称轴为直线； 将线段的端点代入得， ， 解得； 将线段的端点代入得， ， 解得； ∴， 故选：C． 9．（25-26九年级上·安徽池州·期末）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，有下列结论： ①； ②经过两点的直线一定不经过第三象限； ③若方程有两个根，且，则一定满足； ④若方程有四个根，则这四个根的和为． 其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③ C．①③④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识； 根据时，，代入可得，①正确；分别求出在正半轴，在第二象限，可知②正确；求出抛物线交x轴于，，进而可得③正确；分别求出，，可得这四个根的和为，④错误． 【详解】解：由函数图象得，当时，， ∴， ∴，①正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴，， ∴，， ∵抛物线开口向上， ∴，，， ∴在正半轴，在第二象限， ∴经过两点的直线一定不经过第三象限，②正确； 二次函数的解析式可改写为， 当时， 解得： ∴抛物线交x轴于，， ∴若方程有两个根，且，则，故③正确； 若方程有四个根， 设方程的两根分别为， 则，可得， 设方程的两根分别为， 则，可得， 所以这四个根的和为，④错误； 故选：A． 10．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知关于的函数（其中是常数）的图象经过点，点，点和点，且不经过第二象限，以下说法正确的是（    ） A．若，则函数图象关于直线对称； B．若，对于任意的，当时，有，则； C．若，则代数式有最大值； D．若，则函数图象与轴有2个交点． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，因式分解法解方程等，掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 对于A，由二次函数对称性方程为即可判断；对于B，由二次函数不经过第二象限，可得，再结合函数的增长趋势可得，再解不等式即可；对于C，根据题意得，解函数的增长趋势即可判断；对于D，利用因式分解法解方程即可． 【详解】选项A，∵当时，函数为二次函数， 二次函数对称轴为，而非，故A错误； 选项B，∵时，函数为二次函数，过、， ∴代入得，两式相减得，即， 将代入，得， ， ∵函数不经过第二象限， ，解得， 又∵当时， 对称轴， 即，解得， 结合，得，故B正确； 选项C，∵，将代入， 得， 设，则原式， 当增大时，也增大，原式值无限增大，无最大值，故C错误； 选项D，∵时，函数为， 令，得 两边乘（）得，因式分解得 解得或，三个根均不为0， 即函数图象与轴有3个交点，故D错误． 故选：B． 二、填空题 11．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）新定义：若函数图象上存在点，将其横坐标变为原来的倍（），纵坐标不变得到点，则称点为点的“倍横变点”，所有“倍横变点”构成的函数称为原函数的“倍横变函数”．例如：函数图象上的点的“3倍横变点”为，函数的“3倍横变函数”为． （1）点在一次函数的图象上，点是点的“倍横变点”，则点的坐标为_____； （2）点在反比例函数的图象上，点是点的“倍横变点”，若线段的中点在直线上，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题属于新定义题型，考查一次函数、反比例函数的性质等，理解题意是解题关键． （1）将代入确定，再由题意即可求解； （2）设点，依题意可知点，再由中点坐标得出点，代入函数求解即可． 【详解】解：将代入得；， ， 点B是点A的倍横变点，， 点， 故答案为：； 设点，依题意得点， 点E是线段的中点， 点， 点E在直线上， ， 解得：， ， ， 点， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）． （1）抛物线的对称轴为直线______； （2）点，为该抛物线上的两点，当，时，均满足，则t的取值范围为______． 【答案】 1 【分析】（1）利用对称轴公式进行计算即可； （2）根据对称性得到和时的函数值相等，根据增减性结合题意，得到，进行求解即可． 【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线． （2）∵，抛物线的对称轴为直线， ∴时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，和时的函数值相等． ∵当，时，均满足， ∴， ∴t的取值范围为：． 13．（2026·安徽马鞍山·三模）定义：如果二次函数：（，，，为常数）与：（，，，为常数）满足，且图象过相同的两个点，那么称这两个函数，为“友好二次函数”．二次函数：的图象与轴交于，两点，且点在点的左侧，若二次函数是的“友好二次函数”，且的顶点是点． （1），的另一个公共点坐标为_______； （2）若将二次函数的图象向下平移个单位得到，，仍然是“友好二次函数”，则的范围是_______． 【答案】 【分析】（1）根据友好二次函数的定义先确定，再结合顶点为求出的解析式，联立与的方程求公共点即可得解； （2）写出平移后的解析式，利用友好二次函数需要两个不同公共点的条件，通过一元二次方程判别式求解的范围. 【详解】解：（1）对于二次函数，令，解得或， ∵点在点左侧， ∴； 由题意，，， ∴， ∴的顶点为， ∴， ∴， ∵，代入，解得； ∴的解析式为； 联立，消去整理得，解得； 对应公共点，当时，， ∴另一个公共点坐标为； （2）将向下平移个单位得， 的解析式为， ∴，满足友好二次函数的第一个条件， 若为友好二次函数，则两函数有两个不同公共点，联立方程得： ， 整理得， ∴该一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 解得， 又∵， ∴. 14．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，直线与反比例函数交于点是直线上的两点，是反比例函数上的两点，点位于点上方，点位于点上方，已知，连接． （1）___________； （2）若，则___________． 【答案】 1 4 【分析】（1）将点代入直线与反比例函数，分别计算即可； （2）如图，延长和分别交轴于点和点． ，则，，，则，，根据列方程得到，再代入计算即可． 【详解】解：（1）将点代入直线与反比例函数， 得， ∴， 故答案为：1； （2）如图，延长和分别交轴于点和点． 根据（1）可得， 则， 即和都是等腰直角三角形， 设，则， 同理设，则， 又， 两边同时平方，得， 即， 在中，， 同理， ， 故答案为：4． 15．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）已知二次函数：． （1）若该二次函数的图象开口向下，当时，的最小值是，则a的值为___________； （2）若对于该抛物线上的两点，当时，均满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质， （1）由二次函数开口向下，对称轴为直线，在上，最小值出现在处，代入求值解方程； （2）由条件可知抛物线开口向下，点离对称轴更近，根据当时与时两点关于对称轴对称，结合二次函数性质求的范围即可． 【详解】解：（1）二次函数的对称轴为直线， 由于图象开口向下，在时， 当函数在处取得最小值，， 由题意，解得； 故答案为：； （2）∵二次函数的对称轴为直线，且当时，均满足， ∴抛物线开口向下，点离对称轴更近， ∵当时与时两点关于对称轴对称， 且， 解得， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，A为x轴正半轴上一点、B为y轴正半轴上一点，连接，另有一反比例函数图象． （1）若该反比例函数图象与线段只有一个交点，且，则=______； （2）若该反比例函数图象与线段交于C、D两点（C点在D点的左侧），若，则k的值为______． 【答案】 12 4 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，熟知一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）设，可求出直线的解析式为，联立得，则，可得，据此可得答案； （2）设，可求出直线的解析式为，联立得，设，则；可证明，得到，则可求出，，根据，得到，据此可得答案． 【详解】解：（1）设，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 由题意得，反比例函数的解析式为， 联立得， ∵该反比例函数图象与线段只有一个交点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12； （2）如图所示， 设，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得， 设， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 三、解答题 17．已知，反比例函数和反比例函数如图所示． (1)点A在反比例函数的图象上，过点A作y轴的垂线交反比例函数的图象于点B，交y轴于点M，点P在x轴上，连接，求的面积； (2)直线交反比例函数的图象于点C，交反比例函数的图象于点D，若，求n的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）如图，连接，根据反比例函数比例系数与面积的关系，可得，，根据求的值，根据可得的值； （2）当时，，，，，可得点C的横坐标为，点D的横坐标为，根据，，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵轴， ∴，， ∴， ∵轴， ∴； （2）解：当时，，，，， ∴点C的横坐标为，点D的横坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数与面积的关系，反比例函数与一次函数综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 18．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出关于的不等式的解集； (3)连接，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点、三角形的面积、根据函数图象解不等式、一次函数与坐标轴的交点坐标等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将点代入得，即，再将代入反比例函数解析式求得k的值即可解答； （2）根据一次函数与反比例函数交点，结合函数的图象即可得出关于x的不等式 x的解集即可； （3）求出一次函数与x轴交点C的坐标为，则；再结合坐标系和三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把代入一次函数得：， 点A的坐标为． 把点的坐标代入，得，解得∶， 反比例函数的表达式为． （2）解：把代入一次函数得：， ∴ ∴一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴由函数图象可得：不等式的解集为． （3）解：当时，，解得，即， 又点的坐标为， ． 19．（2026·安徽·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，过点作交轴于点，与抛物线的另一交点为． （i）求点的坐标； （ii）点为直线下方抛物线上一动点，直线交轴于点，设点的横坐标为，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）令可求，求出点，由可求点，运用待定系数法可求出函数解析式； （2）（i）设直线的解析式为，运用待定系数法求出的函数表达式为，直线的函数表达式为，把代入解析式求出，得直线的函数表达式为，联立方程组，求出方程组的解即可得出点的坐标是： （ii）设直线的函数表达式为，代入，，得，求出，，可得．根据三角形面积公式得，运用二次函数性质可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ， 由图象可知点B在点A的右侧， 点， 把，代入得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：（i）设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的函数表达式为， 点在直线上． ，解得 直线的函数表达式为， 令，解得， 当时，． 点的坐标是： （ii）点为直线下方抛物线上一动点， 设且． 设直线的函数表达式为 把，代入直线的函数表达式得： ． 得，， ， ， 对于直线，当时，， ∴， ． ． 当时，面积的最大值为． 20．（25-26九年级·安徽合肥·期中）已知抛物线，抛物线的顶点在抛物线上，且在y轴上的截距为6． (1)求抛物线的函数解析式． (2)抛物线与抛物线另一个交点为B，P在抛物线上且在之间，Q在抛物线上且在之间．若轴，求的最大值． (3)点与点（，为定值）分别抛物线、上．若（为定值）为定值c，求定值a、b、c． 【答案】(1) (2)8 (3)，， 【分析】（1）先求得点，设抛物线的解析式为，根据在y轴上的截距为6即可求解； （2）联立与的解析式求得交点坐标，设，则，表示出，利用二次函数的最值即可求解； （3）将点的坐标代入解析式可得，，结合，可得，根据对任意恒成立即可求解． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线在y轴上的截距为6，即抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为，即． （2）解：联立与的解析式得， 解得，， ∴， 设， ∵轴，Q在抛物线上， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为8． （3）解：点与点（，为定值）分别抛物线、上， ∴，， ∴，即， ∵， ∴，代入上式得， ∴， ∵该式对任意恒成立， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴，，． 21．（2025·安徽亳州·三模）已知二次函数，． (1)当时，求此函数图象的对称轴； (2)若点，均在该函数图象上； （i）是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ⅱ）令，若该函数在时，y随x的增大而减小，在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)（i）存在，；（ii） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）将代入，整理得，即可求解对称轴； （2）（i）将点，代入，求出，，再代入求解即可； （ⅱ）先求出，再由二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 则， ∴， ∴对称轴为直线； （2）解：（i）存在，理由如下： 由题意得，将点，代入， 则，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （ii）将，，代入， 整理得， 可得对称轴为直线，抛物线开口向上， 如图： ∵该函数在时，y随x的增大而减小，在时，y随x的增大而增大， ∴， 解得 ∴a的取值范围为． 22．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为， （i）求该二次函数的表达式； （ii）若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）∵，为该二次函数图象上的不同两点，且，不妨设， ∴二次函数的对称轴为直线 ， 由（1）知，二次函数的对称轴为直线， ∴，， ∴， ∵ ， ∴． 【分析】（1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的对称轴为， ∴， ∴； （2）解：（ⅰ）∵， ∴当时，二次函数的最值为， ∴二次函数图象开口向下，即， ∵二次函数的最大值为， ∴， 化简得，， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或， ∴或（舍去）， ∴二次函数解析式为； （ⅱ）略 【点睛】本题考查了二次函数．熟练掌握待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，二次函数的最值，用分式的减法证明相等关系，是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $