2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考模拟卷拔尖卷

**基本信息** 本卷聚焦一元二次方程与二次函数核心内容，通过基础定义（如选择1）、生活情境（如21题头盔销售）、创新定义（如23题“2倍点”）设计，梯度覆盖知识应用与思维提升，体现抽象能力、模型意识与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、二次函数图像变换|如第8题结合等腰三角形性质考查方程根的判别（推理意识）| |填空题|6/18|配方法、韦达定理、函数取值范围|如15题矩形折叠问题建立方程模型（几何直观）| |解答题|8/72|方程求解、函数综合应用、动态几何|21题用一次函数模型解决利润问题（模型意识），24题抛物线与矩形结合考查动态最值（空间观念）|

人教版2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷拔尖卷 测试范围：第25章一元二次方程、第26章二次函数(考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列关于的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，则方程可变形为（　　） A．（x﹣3）＝ B．3（x﹣1）＝ C．（3x﹣1）＝1 D．（x﹣1）＝ 3．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（   ） A． B． C． D． 4．若，都在二次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．3 B． C．1 D．3或 6．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 7．不解方程，判断方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 8．等腰三角形一边长为2，另外两边长是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是（  ） A．8 B．9 C．8或9 D．12 9．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间．有以下结论：①；②抛物线与轴的另一个交点是；③；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．②③④ C．①③④ D．②④ 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_______． 12．若是关于的方程的两个根，且，则______． 13．利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则mn=______． 14．二次函数，当时，的取值范围是__________． 15．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32 cm2，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意可列方程为________． 16．如图①，在中，，，动点D从点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，过点D作于点E，图②是点D运动时，的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象，则AB的长为__________． 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程： (1) (2)． 18．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 19．已知二次函数的图象与x轴交于． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求自变量x的值． 20． 如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． 21．一人一盔安全守规，一人一带平安常．在某摩托车配件店经市场调查，发现进价为80元的新款头盔每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下： 售价x（元） 100 110 120 130 销售量y（件） 180 160 140 120 (1)试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是__________（填“一次函数”或“二次函数”），直接写出这个函数解析式为____________________； (2)若物价局规定，该头盔最高售价不得超过140元，当售价为多少元时，月销售利润达到3600元？ 22．已知，是关于x的方程的两个实数根． (1)当关于x的方程的一个根是时，求m的值； (2)当时，求代数式的值． 23．定义：若一个函数上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”，例如，点是函数的图象的“2倍点” (1)一次函数的图象的“2倍点”的坐标是_____，二次函数的图象的“2倍点”是_____； (2)若关于的二次函数（为常数）的图象上存在两个“2倍点”，求的取值范围； (3)设关于的函数（为常数）的图象上有且只有一个“2倍点”为，关于的函数（为常数）的图象上有两个“2倍点”为，，求，两点的坐标． 24．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且．点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在抛物线上，点在轴上． (1)求的值； (2)当矩形的周长最大时，求矩形的面积； (3)在（）的条件下，矩形不动，将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点，连接．若恰好平分矩形的面积，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C A A C B B A B 11． 12． 13．6 14． 15． 16．8cm 17．【详解】（1）解： ∴，． （2）解： 或 ∴，． 18．(1)证明：∵是一元二次方程， ∴， 无论取何实数，总有，， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把代入方程， 有， 整理，得． 解得， 此时方程可化为． 解此方程，得，． ∴方程的另一根为． 19．【详解】（1）解：将，代入解析式得： ， 解得：，． 则抛物线解析式为； （2）解：当时，即， 解得：，， 当时，自变量的值为或6． 20．【详解】（1）解：（1）将点A（2，0）、B（0，−6）代入得： ， 解得：， 故这个二次函数的解析式为：． （2）∵二次函数的解析式为：， ∴二次函数的对称轴为x＝4， ∴（4，0），B（0，−6） ∴OC＝4，， ∵点A（2，0）， ∴AC＝2， 故． 21．【详解】（1）解：根据表格信息，当售价x增大10时，销售量y减小20， ∴这个函数是一次函数， 设该一次函数解析式为， 把和，代入得， ， 解得，， ∴一次函数解析式为， 当时，，符合题意， ∴该函数是一次函数，解析式为； （2）解：根据题意得， 解得，， ∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过140元， ∴不合题意舍去， 答：当售价为100元时，月销售利润达到3600元； 22．【详解】（1）解：将代入原方程得：， 解得：， 的值为； （2）解：当时，原方程为， ，是关于x的方程的两个实数根， ，， 23．【详解】（1）解：设一次函数的图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，解得， ∴一次函数的图象的“2倍点”的坐标是； 二次函数的图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，解得或， 当时，；当时，， ∴二次函数的图象的“2倍点”的坐标是和， 故答案为：；和． （2）解：设关于的二次函数（为常数）图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，即， ∵关于的二次函数（为常数）的图象上存在两个“2倍点”， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． （3）解：设关于的函数（为常数）图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，即， ∵关于的函数（为常数）的图象上有且只有一个“2倍点”， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 将点代入函数得：，解得， ∴这个函数的解析式为， 设点的坐标为， 将点代入函数得：， 解得或（即为点的横坐标）， ∴点的坐标为． 24．【详解】（1）解：在抛物线 中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点坐标为， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴抛物线对称轴为， ∴点到对称轴的距离为， 由对称性可知， ∴矩形的周长， ∴当时，矩形周长取最大值， ∴此时， ∴，， ∴矩形的面积为； （3）解：如图，连接，，，设与交于点，过点作的平行线，交于，交于点，则直线将矩形的面积分成相等的两半， 由（）知，抛物线对称轴为，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴ ， ∵， ∴将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点，连接，则恰好平分矩形的面积， ∴的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $