重难点专训02 利用导数解决不等式恒成立及有解问题六大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以核心等价转化逻辑为底层，构建分离参数、分类讨论等四大方法体系，分层突破单区间恒成立、双变量复合型等六大题型，适配上海高考导数压轴突破需求。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法提炼|4大核心方法（含步骤/技巧/易错点）|核心等价转化逻辑（单/双变量模型）、四大解题方法（分离参数法等）|从恒成立/有解等价转化切入，建立方法优先级，形成"模型-方法-技巧"三层解决框架| |题型通法及变式提升|6类题型（每题型3-5题）|单区间恒成立参变分离、存在性问题最值逻辑、双变量独立值域匹配等|从基础单变量到拔高压轴双变量，覆盖上海高频模型（端点归零、洛必达等），体现问题复杂度递进| |分层过关练|巩固11题+创新16题|整数参数估算、创新定义问题转化|通过基础巩固到创新拓展，强化方法迁移与数学思维（推理能力、运算能力）|

重难点专训02 利用导数解决不等式恒成立及有解问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 4 题型1 单区间含参恒成立求参数 4 题型2 存在性（有解）求参数（高频易错，极易与恒成立混淆） 5 题型3 端点归零型恒成立（上海压轴主流模型） 6 题型4 分离后不定式极限问题（洛必达标准题型） 7 题型5 双变量任意/存在复合型（拔高压轴压轴） 9 题型6 整数参数取值问题（填空高频考点） 11 重难专题分层过关练 11 巩固过关 11 创新提升 13 解题方法及技巧提炼 一、核心等价转化逻辑（考场万能底层公式，必背） 设自变量，函数在定义域上可导且存在最值，所有恒成立、有解问题均可通过以下逻辑等价转化，是解题的核心依据。 （一）单变量基础模型 1. 恒成立问题（∀x，定义域内所有自变量均满足条件） 恒成立 恒成立 2. 有解/能成立问题（∃x，定义域内至少一个自变量满足条件） 有解 有解 （二）双变量拔高模型（上海高考压轴高频） 已知，两个独立定义域下的双变量最值关系，四类核心模型杜绝混淆： 1. ：最小值大于等于最大值，即 2. ：最小值大于等于最小值，即 3. ：最大值大于等于最大值，即 4. ：最大值大于等于最小值，即 二、四大核心解题方法（考场优先级排序，最优解题策略） 考场解题优先遵循「能分离不讨论、能探路不全析、能放缩不硬算」原则，以下方法按考场适配度、得分效率排序。 方法一：分离参数法（考场首选，阅卷最友好，计算量最小） 1. 适用场景 参数可完整剥离，分离后得到的新函数无参数、易求导分析单调性与最值；分离后出现型极限，可使用洛必达法则求解边界值（上海高考阅卷认可）。 2. 标准答题模板（满分采分点） ① 明确定义域：第一行书写自变量取值范围，规避基础扣分； ② 等价变形移项：将参数单独置于不等式一侧，移项过程中根据自变量区间正负，判断不等号是否反转； ③ 构造无参函数：设新函数，简化后续求导运算； ④ 求导分析单调性：对求导，因式分解导函数，精准判断单调区间； ⑤ 求最值与极限：求解区间最值，端点无定义时用洛必达法则求极限边界； ⑥ 确定参数范围：结合恒成立/有解逻辑求解参数，最后验证等号是否可取。 3. 高分提速技巧 ① 遇到结构，优先换元，简化复杂函数； ② 半分离适配：参数无法完全分离时，采用形式，先判断正负，再转化为参数与函数的不等关系。 4. 高频易错坑点 自变量区间为时，除以不等号不变，除以不等号反转，极易遗漏讨论导致范围错误。 方法二：分类讨论最值法（分离失效时强制使用，大题标准解法） 1. 适用场景 参数无法分离、分离后函数结构复杂、导函数零点随参数变化而变动，是含参导数压轴的兜底核心解法。 2. 标准解题步骤 ① 构造核心函数：令，书写完整定义域； ② 求导整理因式：求解，彻底因式分解，标注含参零点； ③ 分层分类讨论：以参数为分类标准，依次讨论零点在定义域左侧、内部、右侧、无零点四种情况； ④ 逐段分析单调性：结合零点位置判断函数增减性，求解每一段区间的最值； ⑤ 求解参数范围：根据恒成立（）或有解条件列不等式，取有效区间交集。 3. 提速技巧 求导后优先预判导函数最高次符号、开口方向，提前缩小参数讨论区间，减少无效分类段数，大幅压缩解题时间。 方法三：端点效应（必要性探路，压轴秒杀捷径） 1. 核心原理（闭区间恒成立专属） 若恒成立，则区间端点必然满足；若端点处，则必有，否则右侧邻域函数值小于0，与恒成立矛盾。 2. 考场使用流程 ① 端点探路：代入区间端点，快速得到参数的必要取值范围，大幅压缩讨论区间； ② 充分验证：在压缩后的参数范围内分类讨论，排除不满足条件的无效区间； ③ 结论定型：证明剩余参数区间满足题干恒成立/有解条件。 3. 上海高频模型 定义域为且的恒成立题型，可直接通过锁定参数临界值，一步缩小讨论范围。 方法四：同构变形+切线放缩（证明型恒成立、填空秒杀） 1. 适用场景 不等式同时含与，结构复杂、求导繁琐；无参不等式证明题，可规避繁琐求导运算。 2. 上海高考必背放缩公式（可直接书写，无需证明） ① 指数放缩：取等、取等 ② 对数放缩：取等、取等 ③ 通用不等式链： 3. 同构解题核心 将混合指数、对数不等式变形为统一结构，利用函数单调性脱壳，消去复杂变量，快速证明不等式或求解参数范围。 题型通法及变式提升 题型1 单区间含参恒成立求参数 题干模板：恒成立，求参数取值范围。 最优解题策略：优先参变分离，分离后出现不定式极限用洛必达法则；若分离后函数复杂，改用端点效应压缩参数范围，再简易分类讨论。 高分技巧：识别联动结构，换元简化函数，避免多次求导。 1．已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围为__________. 2．设函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； 3．（2026·上海黄浦·三模）设，已知函数，其中． (1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围； (2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 4．（25-26高三上·上海·期中）已知. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)设，对任意的，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 题型2 存在性（有解）求参数（高频易错，极易与恒成立混淆） 核心区分口诀：恒成立盯最小，有解盯最大；恒成立，有解。 核心扣分点：最值逻辑颠倒，将有解问题等同于恒成立求解，导致参数范围完全相反。 5．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是________. 6．定义在上的函数满足，且，当不等式有解，则正实数的最大值为______. 7．已知函数 (1)求出函数的单调区间； (2)若方程在有解，求实数的取值范围. 8．（25-26高三上·上海黄浦·期中）对于两个定义域均为D的函数和，若存在，使得且，则称和“局部相等”. (1)判断函数与是否“局部相等”，并说明理由； (2)若函数与“局部相等”，求实数m的值； (3)对于给定的实数m，若存在实数n，使得函数与“局部相等”，求实数m的取值范围. 9．（25-26高三上·上海普陀·阶段检测）设是实数，. (1)证明:函数的图像关于点成中心对称； (2)若存在正数，使得成立，求的取值范围； (3)试根据正数的不同取值，讨论经过点且与曲线相切的直线的条数. 题型3 端点归零型恒成立（上海压轴主流模型） 题型特征：恒成立，且端点。 秒杀解题步骤： ① 利用必要条件：，推出，锁定参数临界值； ② 分段讨论：分为临界值、临界值两种情况； ③ 矛盾排除：临界值时，存在右侧小区间使，不满足恒成立，直接舍去。 10．已知，若恒成立，求实数的取值范围为_________. 11．已知函数．当时，恒成立，求的取值范围． 12.已知函数，． (1)若，求的极值点； (2)若，都有，求的取值范围； (3)证明：，有． 题型4 分离后不定式极限问题（洛必达标准题型） 题型模板：恒成立，求范围。 高分技巧：时分子分母均趋近于0，为型不定式，采用两次洛必达法则求出极限值，即为函数最值。 答题规范：大题必须书写“当时，由洛必达法则得极限为XX”，不可直接写结果，否则扣除步骤分。 13．已知函数 (1)当时，若对任意不等式恒成立，求实数a的取值范围. (2)当在有解，求实数k的取值范围. (3)当函数有两个极值点且时，是否存在实数m，总有成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 14．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)若，，点是函数上的动点，设点处切线的倾斜角为，求倾斜角的取值范围； (3)若，对任意的，，都有，求实数的取值范围． 15．（24-25高三下·上海·阶段检测）定义域为的函数存在导函数，如果对于定义域上的任意实数，不等式恒成立，则称函数具有“性质”，其中 为常数. (1)若，判断函数是否具有“2性质”，并说明理由； (2)若，函数的定义域为且具有“1性质”，求实数的取值范围； (3)已知定义域为的函数的表达式为，该函数具有“2性质”，证明：存在实数，对任意，当时，不等式 恒成立. 16.已知函数，曲线在点处的切线方程记为．定义函数． (1)当时求的解析式； (2)当时，判断函数的单调性并说明理由； (3)若满足当时，总有成立，则称实数为函数的一个“点”，求函数的所有点． 题型5 双变量任意/存在复合型（拔高压轴压轴） 解题标准步骤： ① 独立求值域：分别求解、在各自定义域内的值域与最值； ② 匹配核心模型：对照前文四类双变量最值关系，列出不等不等式； ③ 求解参数：解不等式后取交集，得到最终参数范围。 避坑关键：两个函数定义域相互独立，不可混淆变量、合并求导。 17．（2025·上海普陀·一模）设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是___________． 18．（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，a，b为实常数且． (1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； (2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 19．（25-26高三上·上海·期中）已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数； (3)若对于任意总有，求实数的取值范围． 20．（25-26高三上·上海·期中）已知, (1)若，求函数在处的切线方程； (2)令，若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的值和实数的取值范围； (3)记（是自然对数的底数），若对任意，且，均有成立，求实数的取值范围． 21．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，其中. (1)若，求函数的图像在处的切线方程; (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (3)设函数（为自然常数）.若对任意，当时，均有成立，求实数的取值范围. 题型6 整数参数取值问题（填空高频考点） 通过恒成立/有解条件求出参数连续取值范围后，精准估算临界值小数点位，直接筛选整数解，无需精细化简复杂表达式，节省答题时间。 22．（24-25高三上·上海·阶段检测）已知函数，若关于的不等式有且仅有一个正整数解，则实数的取值范围是________． 23．已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是______. 24．（2026·上海·三模）对于函数，将求导次之后所得到的函数记为，并规定.若对任意以及任意自然数k，恒成立，就称是一个“全面压缩”函数.对于所有满足的“全面压缩”函数，若恒成立，则正整数的最大值为_____________. 25．（25-26高三上·上海闵行·期中）设函数，其中.若对任意的，都存在，使得不等式成立，则的最大值为______． 26.设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有个，则的取值范围是________. 27．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知，，关于x的方程有三个实数解，且，若满足不等式恒成立的最大整数m为________. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知，若函数的值域为，则实数的取值范围是 __________． 2．记，若存在实数，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是______. 3．已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数的取值范围是______． 4．（24-25高三上·上海嘉定·阶段检测）设函数，. (1)求方程的实数解； (2)若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围. 5．（25-26高三上·上海宝山·期中）设，（常数）. (1)若曲线在点处的切线与轴平行（或重合），求实数的值； (2)若对任意实数，关于的不等式都成立，求实数的取值范围. 6．已知函数 . (1)求函数的极值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 7．（24-25高三下·上海·阶段检测）设，.已知函数的定义域为，且． (1)若函数是偶函数，求的值； (2)设，若对任意的，均有，求的取值范围． 创新提升 1．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知，设函数，若关于x的不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知， 恒成立，则实数的取值范围是_____. 3．（25-26高三上·上海浦东新·期中）对任意满足的实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 4.已知函数，，若对于任意，的图象恒在图象上方，则实数m可取的最大整数值为____________. 5.已知正项数列的前项和为，若，，数列的前项和为，则下列结论正确的是______. ①；②是等差数列；③；④满足的的最小正整数为10. 6．（25-26高三上·上海杨浦·期末）设，. (1)求证：在上恒成立； (2)若曲线上存在一点（不同于坐标原点），使得曲线在点处的切线与圆（其中）相切，求实数的取值范围； (3)设，点在函数的图像上，且的横坐标，.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. 7．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，． (1)若，求在的切线； (2)若函数在处取到极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围； (3)记（e是自然对数的底数）．若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围． 8．若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”． (1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由； (2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围； (3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：． 9．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数． (1)若是的极小值点，求实数a的值； (2)若在定义域上严格增，求实数a的取值范围； (3)设有两个极值点，若，且恒成立，求实数t的取值范围． 10．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，记． (1)若，求该函数的严格递减区间（写成开区间形式）； (2)若，不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围； (3)若，则曲线上是否存在三个不同的点A，B，C，使得曲线在A，B，C三点处的切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由． 11．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数. (1)当，求函数的驻点； (2)若函数在为单调增函数，求的取值范围； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 12．已知函数，. (1)求函数在点处的切线方程； (2)对任意的时，恒成立，求实数的取值范围； (3)记，若，且，求证：. 13．已知函数的定义域为，导函数为，若对任意的，均有，则称函数为上的“M一类函数”. (1)试判断是否为其定义域上的“M一类函数”，并说明理由； (2)若函数为其定义域上的“M一类函数”，求实数的取值范围. (3)已知函数为其定义域上的“M一类函数”，求实数的最大整数值. 14．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知是定义在上的函数，集合对任意，都有.当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”. (1)若，请判断和是否是集合中的元素，并说明理由； (2)设，且存在实数，使得直线的“距离”不小于，求的取值范围； (3)设的导函数在上严格增.若对任意，都有且直线与的“距离”相等.证明：是偶函数. 15．（25-26高三上·上海虹口·阶段检测）设函数的极小值点组成集合． (1)若，求出集合中所有的元素． (2)若，，求实数a的取值范围． (3)若定义域为的函数的图像是一条连续曲线，且处处可导，记其导函数为，且在上为严格增函数．求证：若存在，使得对任意恒成立，则必有． 16．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)设函数，且存在，分别为函数的极大值点和极小值点． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）若对任意，恒成立，求实数k的取值范围． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 利用导数解决不等式恒成立及有解问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 4 题型1 单区间含参恒成立求参数 4 题型2 存在性（有解）求参数（高频易错，极易与恒成立混淆） 7 题型3 端点归零型恒成立（上海压轴主流模型） 12 题型4 分离后不定式极限问题（洛必达标准题型） 15 题型5 双变量任意/存在复合型（拔高压轴压轴） 21 题型6 整数参数取值问题（填空高频考点） 26 重难专题分层过关练 32 巩固过关 32 创新提升 37 解题方法及技巧提炼 一、核心等价转化逻辑（考场万能底层公式，必背） 设自变量，函数在定义域上可导且存在最值，所有恒成立、有解问题均可通过以下逻辑等价转化，是解题的核心依据。 （一）单变量基础模型 1. 恒成立问题（∀x，定义域内所有自变量均满足条件） 恒成立 恒成立 2. 有解/能成立问题（∃x，定义域内至少一个自变量满足条件） 有解 有解 （二）双变量拔高模型（上海高考压轴高频） 已知，两个独立定义域下的双变量最值关系，四类核心模型杜绝混淆： 1. ：最小值大于等于最大值，即 2. ：最小值大于等于最小值，即 3. ：最大值大于等于最大值，即 4. ：最大值大于等于最小值，即 二、四大核心解题方法（考场优先级排序，最优解题策略） 考场解题优先遵循「能分离不讨论、能探路不全析、能放缩不硬算」原则，以下方法按考场适配度、得分效率排序。 方法一：分离参数法（考场首选，阅卷最友好，计算量最小） 1. 适用场景 参数可完整剥离，分离后得到的新函数无参数、易求导分析单调性与最值；分离后出现型极限，可使用洛必达法则求解边界值（上海高考阅卷认可）。 2. 标准答题模板（满分采分点） ① 明确定义域：第一行书写自变量取值范围，规避基础扣分； ② 等价变形移项：将参数单独置于不等式一侧，移项过程中根据自变量区间正负，判断不等号是否反转； ③ 构造无参函数：设新函数，简化后续求导运算； ④ 求导分析单调性：对求导，因式分解导函数，精准判断单调区间； ⑤ 求最值与极限：求解区间最值，端点无定义时用洛必达法则求极限边界； ⑥ 确定参数范围：结合恒成立/有解逻辑求解参数，最后验证等号是否可取。 3. 高分提速技巧 ① 遇到结构，优先换元，简化复杂函数； ② 半分离适配：参数无法完全分离时，采用形式，先判断正负，再转化为参数与函数的不等关系。 4. 高频易错坑点 自变量区间为时，除以不等号不变，除以不等号反转，极易遗漏讨论导致范围错误。 方法二：分类讨论最值法（分离失效时强制使用，大题标准解法） 1. 适用场景 参数无法分离、分离后函数结构复杂、导函数零点随参数变化而变动，是含参导数压轴的兜底核心解法。 2. 标准解题步骤 ① 构造核心函数：令，书写完整定义域； ② 求导整理因式：求解，彻底因式分解，标注含参零点； ③ 分层分类讨论：以参数为分类标准，依次讨论零点在定义域左侧、内部、右侧、无零点四种情况； ④ 逐段分析单调性：结合零点位置判断函数增减性，求解每一段区间的最值； ⑤ 求解参数范围：根据恒成立（）或有解条件列不等式，取有效区间交集。 3. 提速技巧 求导后优先预判导函数最高次符号、开口方向，提前缩小参数讨论区间，减少无效分类段数，大幅压缩解题时间。 方法三：端点效应（必要性探路，压轴秒杀捷径） 1. 核心原理（闭区间恒成立专属） 若恒成立，则区间端点必然满足；若端点处，则必有，否则右侧邻域函数值小于0，与恒成立矛盾。 2. 考场使用流程 ① 端点探路：代入区间端点，快速得到参数的必要取值范围，大幅压缩讨论区间； ② 充分验证：在压缩后的参数范围内分类讨论，排除不满足条件的无效区间； ③ 结论定型：证明剩余参数区间满足题干恒成立/有解条件。 3. 上海高频模型 定义域为且的恒成立题型，可直接通过锁定参数临界值，一步缩小讨论范围。 方法四：同构变形+切线放缩（证明型恒成立、填空秒杀） 1. 适用场景 不等式同时含与，结构复杂、求导繁琐；无参不等式证明题，可规避繁琐求导运算。 2. 上海高考必背放缩公式（可直接书写，无需证明） ① 指数放缩：取等、取等 ② 对数放缩：取等、取等 ③ 通用不等式链： 3. 同构解题核心 将混合指数、对数不等式变形为统一结构，利用函数单调性脱壳，消去复杂变量，快速证明不等式或求解参数范围。 题型通法及变式提升 题型1 单区间含参恒成立求参数 题干模板：恒成立，求参数取值范围。 最优解题策略：优先参变分离，分离后出现不定式极限用洛必达法则；若分离后函数复杂，改用端点效应压缩参数范围，再简易分类讨论。 高分技巧：识别联动结构，换元简化函数，避免多次求导。 1．已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由已知，则， 又，所以若任意，恒成立， 则，解得， 又当，， 则当时，，即恒成立， 所以此时函数在上单调递增，即恒成立， 综上所述， 故答案为：. 2．设函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； 【详解】（1）时，，对函数求导得. 所以. 所以的图象在处的切线方程为，即. （2）由得. 因为在上单调递增，所以. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以在上恒成立， 若，令得或，且. 当时，，单调递减， 所以，与在上恒成立矛盾， 综上所述，的取值范围是. 3．（2026·上海黄浦·三模）设，已知函数，其中． (1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围； (2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，， 其定义域为，且. 令，则， 所以在上单调递增，所以在上是增函数， 而，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. 因为在处连续，由上知在处取得极小值，也是最小值，为. 当（从右侧趋于）时，； 当时，且的增长速度比快很多，所以. 由存在零点知的图象与直线有交点， 由上知，即实数的取值范围是. （2）令， 则，令， 则. 因为，，所以，所以，即在上单调递增， 所以. （i）当，即时，，在上单调递增， 所以，即，满足题意； （ii）当，即时，，， 若，则，在上单调递减， 所以，即，不满足题意； 若，则，使得，当时，，单调递减， 所以，即，不满足题意. 综上，实数的取值范围是. 4．（25-26高三上·上海·期中）已知. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)设，对任意的，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由函数，可得其定义域为， 且，所以，， 即切线的斜率为，切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知：且定义域为， 令，可得，函数在区间单调递增； 令，可得，函数在区间上单调递减， 所以，函数的单调增区间为，单调减区间为. （3）因为对任意的，总存在，使得不等式成立， 即， 由（2）知，函数在上是增函数，可得的最大值为， 所以对任意的恒成立， 又因为函数为一次函数，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 题型2 存在性（有解）求参数（高频易错，极易与恒成立混淆） 核心区分口诀：恒成立盯最小，有解盯最大；恒成立，有解。 核心扣分点：最值逻辑颠倒，将有解问题等同于恒成立求解，导致参数范围完全相反。 5．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是________. 【答案】 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故，即实数的最小值是. 6．定义在上的函数满足，且，当不等式有解，则正实数的最大值为______. 【答案】/ 【详解】， ， 在有解，， 令，则， 增 极大值 减 故答案为： 7．已知函数 (1)求出函数的单调区间； (2)若方程在有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为； (2) 【详解】（1）定义域为R，， 令得或，令得， 故单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）等价于在有解， 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 其中，，， ，故， 在有解，故. 8．（25-26高三上·上海黄浦·期中）对于两个定义域均为D的函数和，若存在，使得且，则称和“局部相等”. (1)判断函数与是否“局部相等”，并说明理由； (2)若函数与“局部相等”，求实数m的值； (3)对于给定的实数m，若存在实数n，使得函数与“局部相等”，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， 根据题意可令，解得， 所以函数与是“局部相等”； （2）， 若函数与“局部相等”， 则，解得，； （3） 根据题意可得关于m的不等式：有解， 消去n可得关于的不等式有解， 设，所以， 所以的符号为： 所以在单调递增，在单调递减， 所以，且时，；时，， 所以 所以 9．（25-26高三上·上海普陀·阶段检测）设是实数，. (1)证明:函数的图像关于点成中心对称； (2)若存在正数，使得成立，求的取值范围； (3)试根据正数的不同取值，讨论经过点且与曲线相切的直线的条数. 【详解】（1）证明:， ， 函数的图像关于点成中心对称； （2）， ， ， 设， 则，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 的最小值为， ， 的取值范围为 （3）设过的切线与曲线于点， 切线方程为，又其过， ， ， 设， ， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 的极小值为，的极大值为, 当,当， ①当或时，方程有1解， 即过点可以作1条直线与曲线相切； ②当或时，方程有2解， 即过点可以作2条直线与曲线相切； ③当时，方程有3解， 即过点可以作3条直线与曲线相切， 综合可得:当或时，过点可以作1条直线与曲线相切； 当或时，过点可以作2条直线与曲线相切； 当时，过点可以作3条直线与曲线相切. 题型3 端点归零型恒成立（上海压轴主流模型） 题型特征：恒成立，且端点。 秒杀解题步骤： ① 利用必要条件：，推出，锁定参数临界值； ② 分段讨论：分为临界值、临界值两种情况； ③ 矛盾排除：临界值时，存在右侧小区间使，不满足恒成立，直接舍去。 10．已知，若恒成立，求实数的取值范围为_________. 【答案】 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】构造函数，求导判断单调性，求出最小值，进而求得范围. 【详解】令，求导得， 令，求导得. 当时，，此时在上单调递增，由于， 所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以原不等式恒成立，所以符合题意； 时，原不等式矛盾，理由如下：时，，而，或； 故答案为：. 11．已知函数．当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】 【详解】， 设， 则， 当时，， 故在上为单调递增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为单调递减函数， 故在上， 即在上， 即为单调递减函数， 故在上，，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，的取值范围为. 12.已知函数，． (1)若，求的极值点； (2)若，都有，求的取值范围； (3)证明：，有． 【详解】（1）当时，，， ， 令，则，， 解得，（舍去）， 时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以有极小值点，无极大值点． （2），， 由基本不等式知， 当时，，， 则函数在上单调递增， 所以，符合题意； 当时，，， 记， 则是开口向上，对称轴为的二次函数． 又， 所以在上单调递减，则. 所以时，，单调递减，， 不符合题意， 综上． (3)由（2）知， 令，则， 所以， 即， 所以． 题型4 分离后不定式极限问题（洛必达标准题型） 题型模板：恒成立，求范围。 高分技巧：时分子分母均趋近于0，为型不定式，采用两次洛必达法则求出极限值，即为函数最值。 答题规范：大题必须书写“当时，由洛必达法则得极限为XX”，不可直接写结果，否则扣除步骤分。 13．已知函数 (1)当时，若对任意不等式恒成立，求实数a的取值范围. (2)当在有解，求实数k的取值范围. (3)当函数有两个极值点且时，是否存在实数m，总有成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）当时，，令，解得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上的最小值为. 又，所以由对任意不等式恒成立， 即. 所以的取值范围为. （2）令，因为，则，故， 令，则， 故当单调递减；当单调递增， 又，且， 故的值域为，则要满足题意，只需. 即的取值范围为. （3）因为， 因为有两个极值点，故可得， 所以，且. 因为，故， 则，即， 因为，故上式等价于，即， 又当时，，当时，， 令，则， 当时，，故在单调递增，又， 故当时，，当时，，故不满足题意； 当时，令， 若方程对应时，即时，单调递减， 又，故当时，，当时，，满足题意； 若，即时，又的对称轴，且开口向下， 又，不妨取， 故当单调递增，又， 故此时，不满足题意，舍去， 综上所述，的取值范围为. 14．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)若，，点是函数上的动点，设点处切线的倾斜角为，求倾斜角的取值范围； (3)若，对任意的，，都有，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，函数，求导得， 当时，；当时，， 所以函数在处取得极大值，无极小值. （2）当时，函数，求导得， 设曲线上的动点， 则曲线在处切线斜率范围， 当且仅当，即时取等号，因此切线倾斜角的正切值， 所以角的范围为. （3）当时，函数，对任意的，，不妨设， 不等式恒成立， 令，则对恒成立， 因此函数在上单调递增，即恒成立， 而，当且仅当时取等号，则，即， 所以实数的取值范围是. 15．（24-25高三下·上海·阶段检测）定义域为的函数存在导函数，如果对于定义域上的任意实数，不等式恒成立，则称函数具有“性质”，其中 为常数. (1)若，判断函数是否具有“2性质”，并说明理由； (2)若，函数的定义域为且具有“1性质”，求实数的取值范围； (3)已知定义域为的函数的表达式为，该函数具有“2性质”，证明：存在实数，对任意，当时，不等式 恒成立. 【答案】(1)具有“2性质”，理由如下： 因为，所以， 所以， 所以恒成立，所以具有“2性质”； （2）因为，所以， 因为函数在上具有“1性质”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数的取值范围为. (3)因为，所以， 因为函数在上具有“2性质”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，对任意的，上式恒成立，符号题意； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即. 综上所述，. 要证对任意的，当时，都有恒成立， 不妨设，则，则， 即证恒成立， 即恒成立， 令，， 即存在，使得在上为增函数， 即存在，使得， 即对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 又，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意，当时，不等式恒成立. 16.已知函数，曲线在点处的切线方程记为．定义函数． (1)当时求的解析式； (2)当时，判断函数的单调性并说明理由； (3)若满足当时，总有成立，则称实数为函数的一个“点”，求函数的所有点． 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 则函数的图象在处的切线方程为：，即， 所以的解析式为. （2）由（1）知，，而， 曲线在点处的切线方程为， 则 ， 求导得， 令，求导得 ，令， 求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故 当时，，则，即恒成立， 函数在上单调递增，而， 则当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增， 所以当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）当时，总有成立，即与同号， 则当时，，当时，， 而，由（2）知：， ，若，即，则存在使得时，， 函数在上单调递减，，， 在上单调递减，，不合题意； 若，即或，则存在使得时，， 函数在上单调递增，，， 在上单调递减，，不合题意； 因此，即或， 当时，， ，与当时，矛盾； 当时，， 又，令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，当且仅当时取等号，于是，当且仅当时取等号， 因此当时，恒成立，即恒成立， 所以函数的所有点. 题型5 双变量任意/存在复合型（拔高压轴压轴） 解题标准步骤： ① 独立求值域：分别求解、在各自定义域内的值域与最值； ② 匹配核心模型：对照前文四类双变量最值关系，列出不等不等式； ③ 求解参数：解不等式后取交集，得到最终参数范围。 避坑关键：两个函数定义域相互独立，不可混淆变量、合并求导。 17．（2025·上海普陀·一模）设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由恒成立可得：， 解得， 再由或， 令，则， 当时，，所以在和上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，恒有，则， 当时，，则， 即可得， 综上可得，当时，对任意实数，恒有，即满足题意，即这是充分条件. 当，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，满足， 而此时，所以不满足； 又当，可知不等式不恒成立，此时必存在， 而在时，，不等式恒成立，即此时， 所以不满足； 当，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为，，必有，所以不满足； 当时，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为，，必有， 所以不满足； 综上分析可得：是对任意的实数，都有成立的充要条件， 故答案为： 18．（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，a，b为实常数且． (1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； (2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 【详解】（1）由题设， 所以恒成立，则，又， 所以的最小值为4，显然， 又，当且仅当时取等号，则，即， 所以，经检验满足题设，故； （2）由题设，即在R上恒成立， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，故. 19．（25-26高三上·上海·期中）已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数； (3)若对于任意总有，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以，所以，即切线的斜率为， 又，所以所求的切线方程为，即； （2）由得， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ①当，即时，对恒成立， 此时在单调增，故没有极值点； ②当，即时，方程有两个不等正数解， ， 不妨设，则当时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点． 综上所述，当时，没有极值点；当时，有两个极值点． （3）， 由，得对于恒成立，设， 则， 因为，所以时，单调递减， 时，单调递增，所以，所以． 20．（25-26高三上·上海·期中）已知, (1)若，求函数在处的切线方程； (2)令，若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的值和实数的取值范围； (3)记（是自然对数的底数），若对任意，且，均有成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，，则，则， 故函数在处的切线方程为，即. （2）依题意，在处有极值， 因，由解得， 则，， 由可得或，由，可得， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 则在时取得极大值为，在时，取得极小值为， 当时，，当时，. 由题意关于的方程有3个不同的实根，则必有，即， 故实数的值为，实数的取值范围为. （3）因是上的减函数，则对任意，且， 必有，即. 对于，其等价于， 即，即函数在上单调递减，在上单调递增. ① 根据函数在上单调递减，可得在上恒成立， 即得，也即在上恒成立， 设，则，由可得， 由，则得，由，则得， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 则，故可得，即； ② 根据函数在上单调递增，可得在上恒成立， 即，也即在上恒成立， 因在上单调递增，则，故得，即. 综上可得，. 21．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，其中. (1)若，求函数的图像在处的切线方程; (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (3)设函数（为自然常数）.若对任意，当时，均有成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）时，，求导得. 所以，而， 所以函数的图像在处的切线方程为，即. （2）根据题意知，求导得. 因为在处有极值，所以，解得. 所以. 当时，；当或时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极值点，故符合要求. 因为有3个不同的实根，， 根据函数的单调性和极值画出图像为： 所以当时，满足题意，解得. （3）单调递减，对任意且时， . 则对任意且时，均有成立， 转化为，对任意且时，均有成立， 即， 所以函数在上单调递减，函数在上单调递增， ①函数在上单调递减，即在上恒成立， 又因为，故， 得在上恒成立，令，令，得. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，故. ②函数在上单调递增，即在上恒成立， 又因为，故， 得在上恒成立，因为函数在上为单调递增函数， 故，此时. 综上，实数的取值范围为. 题型6 整数参数取值问题（填空高频考点） 通过恒成立/有解条件求出参数连续取值范围后，精准估算临界值小数点位，直接筛选整数解，无需精细化简复杂表达式，节省答题时间。 22．（24-25高三上·上海·阶段检测）已知函数，若关于的不等式有且仅有一个正整数解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意得，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，；当时，； ，，， 且时，，作出函数的图象，如图所示： 直线过定点，要使不等式有且仅有一个整数， 只需 解得， 故答案为:.    23．已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】原不等式可化为：， 令，，显然时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以，且时，，, 同一坐标系中，作出与（过定点的图象： 据图可知，满足题意的整数解为，此时应满足， 解得． 故答案为：． 24．（2026·上海·三模）对于函数，将求导次之后所得到的函数记为，并规定.若对任意以及任意自然数k，恒成立，就称是一个“全面压缩”函数.对于所有满足的“全面压缩”函数，若恒成立，则正整数的最大值为_____________. 【答案】15 【详解】对于，， 而，所以， ，所以， ，所以， ，所以， ，所以， 而当且时， 因为函数是“全面压缩”函数，所以， 即， 则，，，，，， 而当时，， 设， ， ， 故最大值为. 25．（25-26高三上·上海闵行·期中）设函数，其中.若对任意的，都存在，使得不等式成立，则的最大值为______． 【答案】 【详解】对，都，使得不等式成立， 等价于, 当时，，所以， 当时，，所以， 所以恒成立，当且仅当时，， 所以对，恒成立，即对恒成立， 当，成立， 当时，恒成立，即恒成立. 记, 因为恒成立， 所以在上单调递增，且， 所以恒成立，即， 所以，所以的最大值为. 故答案为：. 26.设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有个，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】令，其中，则恒成立， 所以函数在上单调递增，且， 作出函数的图象如下图所示：    由结合图可知，，由，可得， 对任意的，， 所以，故，即， 由绝对值三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 即，即， 令，其中，则， 则不满足， 则， 所以函数为偶函数， 所以当时，由可得，可得， 令，其中，则函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，，则, 由题意可知，当时，满足不等式的整数解有且只有个，如下图所示：    所以，即， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 27．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知，，关于x的方程有三个实数解，且，若满足不等式恒成立的最大整数m为________. 【答案】18 【详解】中，令得，故定义域为， ，令得， 当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 其中，画出的图象如下：    令，则中恒成立， 故有两个不等实根，设为，，则， 而有三个实数解，， 故有1个根，有2个不等实根， 结合，故， ，则在上单调递减， 故， ， 因为，所以， ，其中，代入计算可得， 满足的最大整数m为18. 故答案为：18 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知，若函数的值域为，则实数的取值范围是 __________． 【答案】 【详解】由对数函数的定义和单调性可知，且当时，， 当时因为一元二次函数的对称轴为， 所以当时，， 若函数的值域为，则解得； 当时，， 若函数的值域为，则， 令，所以， 令，表示对称轴为，开口向下的抛物线， 因为，，所以存在使得， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又因为，，所以由解得， 综上， 故答案为： 2．记，若存在实数，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】由题意知在区间内有解， 即，即在区间内有解， 设，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 且，故在上的最大值为， 故，即实数的取值范围是， 故答案为： 3．已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】当时，由可得，则， 令，其中，则， 当时，令，可得，列表如下： 增 极大值 减 且，，，，如图所示：    要使得存在唯一的负整数，使得，即， 只需，即， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高三上·上海嘉定·阶段检测）设函数，. (1)求方程的实数解； (2)若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，代入方程得：， 即，解得，即. （2）不等式即， 原不等式可化为对都成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 所以，即，解得：. 5．（25-26高三上·上海宝山·期中）设，（常数）. (1)若曲线在点处的切线与轴平行（或重合），求实数的值； (2)若对任意实数，关于的不等式都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意得：， 曲线在点处的切线与轴平行，即切线斜率为，故， 代入得：，解得； （2）依题意得：， 令，则需对成立， 对求导得：， 令，则，当时，，故在上单调递增； ，因此，即在上单调递增； 在上单调递增，故， 因此，，即实数的取值范围为. 6．已知函数 . (1)求函数的极值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极大值为1，没有极小值 (2) 【详解】（1）由题意可知的定义域为R，且， 令时，， 则的关系为 0 ＋ 0 － 单调递增 极大值 单调递减 所以当时，取到极大值为1，没有极小值． （2）若，即恒成立， 设，则， ①当时，则恒成立，符合题意； ②当时，则，可知在上单调递增， 因为，所以不恒成立； 当 时，的关系为 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 可知的最小值为，则， 因为，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是 7．（24-25高三下·上海·阶段检测）设，.已知函数的定义域为，且． (1)若函数是偶函数，求的值； (2)设，若对任意的，均有，求的取值范围． 【详解】（1）方法一：由函数是偶函数，，可知，解得， 同时，则，解得， 此时，对任意，显然有. 综上所述：，. 方法二：由函数是偶函数，，可知，解得. 且对任意，有，即， 化简得恒成立，所以. 综上所述：，. （2）根据，，且，则或. 情况1：当时，对任意，， 故要使得，只需. 即，设，， 则，故是上的严格增函数， 故只需，解得，则. 情况2：当时，对任意，， 故要使得，只需. 即，设，， 由情况1可知，是上的严格增函数， 只需，即，与无交集，舍去. 综上所述，的取值范围是. 创新提升 1．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知，设函数，若关于x的不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，满足不等式恒成立； 当时，易得在单调递减，值域为， 令，， 则， 当时，，单调递增，值域为，满足题意； 当，时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时的值域为， 当，即时，， 而在中， 此时存在，不符合题意； 所以，此时要使关于的不等式恒成立， 只需，即，可得． 综上，关于的不等式恒成立，则的取值范围为． 故选：A. 2．已知， 恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】对于，， 则， 得在上单调递减，在上单调递增， 则； 对于，， 则， 得在上单调递减，在上单调递增， 则. 则当时，，满足题意； 当时，令，由， 令，则在上单调递减， 又注意到，则. 下证对，，即，， 由，可得，由，可得. 则，则时，命题成立； 当，令，由， 但此时，，与题意不符，故不满足题意. 综上可得. 故答案为： 3．（25-26高三上·上海浦东新·期中）对任意满足的实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】由不等式中含有可知． 由得，于是 因为，，所以在上单调递减，且当时，． 故当时，；当时，；当时，． 当时，原不等式左边为，恒成立． 下设．原不等式可化为 记并规定． 则． 又 令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，且． 因此当时，，从而，即在上单调递减． 设 若，则，而，所以，原不等式恒成立． 故符合题意． 下面讨论． 因为，且在上单调递增，所以与都在上单调递增． 并且 若，则，而当时，，，所以与在内各有一个零点． 又在内有，故，从而的零点在的零点左侧． 因此在两个零点之间存在，使得且，此时，不符合题意． 若，则． 由于，均单调递增，所以当时，； 当时，．故恒成立，符合题意． 若，则，而当时，，，所以与在内各有一个零点． 又在内有，故，从而的零点在的零点左侧． 因此在两个零点之间存在，使得且，此时，不符合题意． 综上：实数的取值范围是. 4.已知函数，，若对于任意，的图象恒在图象上方，则实数m可取的最大整数值为____________. 【答案】4 【详解】由题设可得对任意的恒成立， 设，则， 若，则恒成立，故在上为增函数， 故， 由在上恒成立，故即. 若，则当时，， 当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故， 设，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 而，， 结合的单调性可知实数m可取的最大整数值为4. 故答案为：4. 5.已知正项数列的前项和为，若，，数列的前项和为，则下列结论正确的是______. ①；②是等差数列；③；④满足的的最小正整数为10. 【答案】②③④ 【详解】对于②，因为，当时，，解得， 当时，，所以，整理得， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列，故②正确. 对于①，，又正项数列的前项和为，所以， 当时，，当时，，即， 又当时，满足，所以， 又，因为， 所以，即，故①不正确； 对于③，令，，当时，恒成立， 所以在区间上单调递增，所以，即， 所以在上恒成立， 令（，），所以，又，故，故③正确； 对于④，因为，所以， 所以， 所以 ， 因为，即，化简整理得， 显然数列递增，当时，； 当时，，所以满足的的最小正整数为10，故④正确. 故答案为：②③④. 6．（25-26高三上·上海杨浦·期末）设，. (1)求证：在上恒成立； (2)若曲线上存在一点（不同于坐标原点），使得曲线在点处的切线与圆（其中）相切，求实数的取值范围； (3)设，点在函数的图像上，且的横坐标，.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. 【答案】(1)令，，，，在上为单调递增函数，， ，所以在上恒成立，即在上恒成立. （2）在曲线上，，， 设， 不同于坐标原点，， ，， 曲线在点 处的切线的斜率为， 切线方程为，即， 圆的圆心为，半径为 ， 曲线在点 处的切线与圆相切， 圆心到切线方程的距离， 即， 令，，，，解得， 则，，时 取最大值，且最大值为， ，， 实数 的取值范围. (3)，， 当时，；当时，； 则点在曲线上，点在上， 当，，， ， 线段的方程为， 即， 在上任取一点， 设， ， ，，， ，， ，，，， 在上是单调递增函数， ， ， ， 线段均在曲线下方， ， 直线与的交点都在轴的上方. 令，则， 当时， ，则在上是单调递增函数， 当时， ，则在上是单调递减函数， 当时，取最小值，且最小值为. 当时，，故，即直线在曲线上方，与折线段无交点； 当时直线与曲线相切于点，与折线段无交点； 当时，，在范围内的根不影响交点个数， 故存在唯一使得. 当时，直线在曲线上方，与折线段无交点； 当时，在这段区间上只有有限条线段，交点个数有限. 综上，直线与的交点不可能有无穷多个. 7．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，． (1)若，求在的切线； (2)若函数在处取到极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围； (3)记（e是自然对数的底数）．若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围． 【详解】（1）（1）时，，∴， ∴，，∴切线方程为． （2）（2）在处取得极值， 因为，则， 故，得； ，此时，， 故和上，单调递增， 上，单调递减， 因为关于x的方程有3个不同的实根， 根据函数的图象，当时，满足题意，得， 故． （3）（3），单调递减，对任意、且时， ，则， 则对任意、且时，均有成立， 转化为，对任意、且时， 均有成立， 即， 所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增， ①函数在上单调递减，即在上恒成立， 又因为，，， 故，得在上恒成立， 令，，令，得， 所以，在上单调递增，在上单调递减， 故，故． ②函数在上单调递增，即在上恒成立， 又因为，，， 故，得在上恒成立， 因为函数在上为单调递增函数，故，此时，． 综上所述，实数a的取值范围为． 8．若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”． (1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由； (2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围； (3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：． 【答案】(1)函数和在上具有性质“”. 理由如下： 因为和在上均为偶函数，且在上单调递增， 所以只需考虑的情况， 令，则， 所以在区间上单调递增，且，所以恒成立， 则，即， 则，再根据函数是偶函数， 即，， 所以函数和在上具有性质“”. （2），在区间单调递增，在上单调递增， 设，若函数和具有性质“”， 则，整理为 设，由以上可知，在区间上单调递增， 即， 当时，恒成立， 令，，，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以； (3)由题意可知，存在，， ，又， 则，即， ，，设，， ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 设，，不妨设，，，且， 设， ， 所以在区间上单调递减，且，即， 即，即，则， 即，则，得，即证. 9．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数． (1)若是的极小值点，求实数a的值； (2)若在定义域上严格增，求实数a的取值范围； (3)设有两个极值点，若，且恒成立，求实数t的取值范围． 【详解】（1）易知，由题意得，即， 此时，可知在上， 在上，满足是的极小值点，所以； （2）由上， 因为在定义域上严格增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 易知，当且仅当时等号成立， 则； （3）由知是的两个不同正根， 即， 所以 ， 因为，则， 设，， 则恒成立，单调递减， 所以， 因为恒成立，则. 10．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，记． (1)若，求该函数的严格递减区间（写成开区间形式）； (2)若，不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围； (3)若，则曲线上是否存在三个不同的点A，B，C，使得曲线在A，B，C三点处的切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）， ； 所以函数的严格递减区间为 （2）由题意得，在上恒成立， 于是． 令，则， 令，则， 所以在上是严格减函数，于是， 由于，于是在上是严格减函数， 所以，因此，即． 综上所述，实数a的取值范围． （3）解法一： 设、、，则曲线在三点处的切线分别为直线 ， ， ． 因为直线互相重合，所以， 且． 因为， 所以，，． ①若，，． 则，，， 于是， 因为， 所以，与三点互不重合矛盾． ②若，，中至少一个成立， 不妨设成立，则， 若，则，矛盾，舍去， 于是，， 所以满足要求的切线方程为或 解法2： 假设存在三个不同点在曲线上满足条件， 则，且互不相同. 曲线在三点处的切线方程分别为： ， ， ， 依题意，有 由①得，. 情形1：若，代入②得， . 即，而，故，， 此时满足条件的切线方程为. 情形2：若，代入②得， . 即，两式相减， 得，由于，故， 此时，与矛盾，舍去. 情形3：若，代入②得， . 即，故， 则，与矛盾，舍去. 情形4：若，与情形3完全类似，舍去. 综上，满足条件的切线方程为. 解法3： 假设存在三个不同点在曲线上满足条件， 则，且互不相同. 曲线在三点处的切线方程分别为： ， ， ， 依题意，有 由①得，， 由②，令， 则， 即有， 平方，得 ， 即 由于互不相同，即， 相减，得，于是，则， 此时满足条件的切线方程为. 11．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数. (1)当，求函数的驻点； (2)若函数在为单调增函数，求的取值范围； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，则， 令，解得或（舍去）， 所以函数的驻点为； （2）因为， 所以， 又函数在为单调增函数，所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，，则，所以在上单调递增， 所以，即的取值范围为； （3）不等式对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 令，其中，则， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以函数在上单调递增， 因为，，故存在，使得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以， 因为，则，因为，则， 令，，则， 所以函数在上单调递增， 由可得，故，可得， 所以， 所以，即实数的取值范围. 12．已知函数，. (1)求函数在点处的切线方程； (2)对任意的时，恒成立，求实数的取值范围； (3)记，若，且，求证：. 【详解】（1）解：因为，所以， 所以，又因为， 所以在点处的切线方程为，即； （2）解：因为，所以， 设，， 则，， 令，，则， 可得在上为增函数，即在上为增函数， 所以， 当时，，此时在上为增函数， 故，即，所以，符合题意． 当时，， 因为在上为增函数，当时，， 故存在满足，则在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，，不合题意； 综上所述，实数a的取值范围为． (3)证明：由题意得，，所以， 由可得， 所以， 又，两边同时除以，得， 因此， 所以， 令，得， 因此， 令，，则， 所以在上为减函数，故，即时，． 因为，， 所以，所以， 又因为，所以，故，得． 13．已知函数的定义域为，导函数为，若对任意的，均有，则称函数为上的“M一类函数”. (1)试判断是否为其定义域上的“M一类函数”，并说明理由； (2)若函数为其定义域上的“M一类函数”，求实数的取值范围. (3)已知函数为其定义域上的“M一类函数”，求实数的最大整数值. 【答案】(1)函数不是其定义域上的“M一类函数”. 理由如下： 的定义域为，存在，使得， 故不是其定义域上的“M一类函数” （2），所以. 若函数在上为“M一类函数”， 则在上恒成立， 即在上恒成立. 因为在上的值域为， 所以，所以实数的取值范围为. （3）， 依题意有对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，，即； 当时，， 令，则， 令，则， 易知时，时，， 即在上是减函数，在上是增函数， 而， 即时，，于是，则在上是减函数， 故，从而. 综上，满足条件的实数的取值范围是，于是的最大整数值为0. 14．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知是定义在上的函数，集合对任意，都有.当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”. (1)若，请判断和是否是集合中的元素，并说明理由； (2)设，且存在实数，使得直线的“距离”不小于，求的取值范围； (3)设的导函数在上严格增.若对任意，都有且直线与的“距离”相等.证明：是偶函数. 【详解】（1）的值域是，即对任意，， 若，当时，，， 会存在使，不满足成立； 当时，，， 也会存在使，不满足条件，所以， 当时，要对任意恒成立，因最小值为-1，故， 则； ，. 所以不是集合中的元素，而是集合中的元素. （2）由题意，直线的距离为函数的最小值， 令，则， 故当时函数严格递增，没有最小值. 从而，且当时严格递减，当时严格递增. 因此直线的距离为. 令，则 同上可知当时最大，从而， ； （3）对任意给定的，记， 其中常数（其中常数），， 则 由严格递增， 当时，，严格递减； 当时，，严格递增， 故，即恒成立， 所以，是直线的距离. 于是且是直线的距离. 记，则恒成立，于是， 因为， 则，故. 因为上述结论对任意成立，所以用替换，得， 故，即是偶函数. 15．（25-26高三上·上海虹口·阶段检测）设函数的极小值点组成集合． (1)若，求出集合中所有的元素． (2)若，，求实数a的取值范围． (3)若定义域为的函数的图像是一条连续曲线，且处处可导，记其导函数为，且在上为严格增函数．求证：若存在，使得对任意恒成立，则必有． 【详解】（1）由于，定义域为， ，令得， 故当，，当，，当，， 故在上为严格减函数；在上为严格增函数， 故为极小值点，所以． （2）定义域为R， ， 由于，所以为的极小值点． 当，有两个解和1，且，结合开口朝向下的二次函数图象， 令可得，令可得， 在上严格减函数，上严格增函数，上严格减函数， 1为极大值点，舍去； 当，， 令得，令得， 在上严格增函数，上严格减函数，1为极大值点，舍去； 当，有两个解和1， 若，，令可得， 令可得， 故在上严格增函数，上严格减函数，上严格增函数， 1为极小值点，满足要求； 若，则，恒成立，故R上单调递增，不满足要求； 若，则，令可得， 令可得， 故在上严格增函数，上严格减函数，上严格增函数， 1为极大值点，舍去；所以． （3）解法一：若，则在上有解，设为， 由于在上为严格增函数，所以当时，， 为严格减函数， 当时，，为严格增函数．所以为极小值点． 当，则结合在上为严格减函数， 即在也为严格减函数，所以存在，使得， 与题意矛盾． 当，由于存在，使得对任意恒成立， 所以存在实数，使得对任意恒成立， 且满足随着x从连续减小趋近于，函数的函数值从逐渐连续减小趋近于0， 所以为的渐近线，则有，． 由于的定义域为，在上为严格减函数，在上为严格增函数， 所以当， 有， ， 与不等式的传递性矛盾． 所以不存在这样的使得在上有解，故． 解法二：先证明：当在上为严格增函数时， 任取、，均有，等号当且仅当时成立． 设，则， 所以当，即时，，函数为严格增函数； 当，即时，，函数为严格减函数， 所以， 即，等号当且仅当时成立． 再证明：． 若，则在上有解，设为，由于在上为严格增函数， 所以当时，，为严格减函数， 当时，，为严格增函数．所以为极小值点． 当，则结合在上为严格减函数，即在也为严格减函数， 所以存在，使得，与题意矛盾． 当，令， 则，由于的任意性，取， 则，故． 再取实数满足且， 有 ， 与“”对任意恒成立．矛盾． 所以不存在这样的使得在上有解，故． 16．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)设函数，且存在，分别为函数的极大值点和极小值点． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）若对任意，恒成立，求实数k的取值范围． 【详解】（1）若为偶函数，有恒成立，则， 若为奇函数，有恒成立，则， 故时为偶函数，时为奇函数， 且时既不是奇函数也不是偶函数； （2）（i）， ， 因为函数既存在极大值，又存在极小值，则必有两个不等的实根，则， 令可得或，所以，解得且． 令，则有： 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可知分别在和取得极大值和极小值，符合题意． 综上，实数的取值范围是． （ii）由，可得， 所以且有， 由题意可得对恒成立， 由于此时，则， 所以，则， 令，其中， 则， 令，则． ①当，即时，在上是严格增函数， 所以，即，符合题意； ②当，即时， 设方程的两根分别为且， 则，则， 则当时，，则在上单调递减， 所以当时，，即，不合题意． 综上所述，的取值范围是． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $