精品解析：黑龙江绥化市望奎县四中等校联考 2026-2027学年八年级上学期开学摸底考试数学试题

初三开学摸底考试数学试题 （时间：120分钟 总分：120分） 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 为了描述我市昨天一天的气温变化情况，应选择（ ） A. 扇形统计图 B. 条形统计图 C. 折线统计图 D. 直方图 2. 若点M的坐标为，则点M在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列调查中，适合用普查方法的是（ ） A. 军工厂对该厂生产的某种型号的炮弹爆炸范围的调查 B. 环保部门对长江水域的水污染情况的调查 C. 质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查 D. 学校在做校服前对八年级学生的衣服尺寸大小的调查 4. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 平行于同一条直线的两直线平行 6. 估计的值（ ） A. 在1到2之间 B. 在2到3之间 C. 在3到4之间 D. 在4到5之间 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 25的平方根是_____． 8. 如图，直线，相交于点，若，则______________． 9. 如图，已知，，则________． 10. 如图所示，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是_____． 11. 命题“若，则”是______________命题．（选填“真”或“假”） 12. 若x和y互为相反数，则______________． 13. 若是关于、的方程的解，则______________． 14. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______________． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 计算：． 16. 解方程组：． 17. 解不等式：． 18. 解不等式组：． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，已知：，．求证：． 将下面证明过程补充完整： 证明：（已知）， ∴____________________________（__________________）． 又∵（已知）， ∴____________________________（__________________）． （__________________）． 20. 某同学解不等式出现了错误，解答过程如下： 解：移项，得：，（第一步） 合并同类项，得：，（第二步） 系数化为1，得：．（第三步） （1）该同学的解答过程在第______________步出现了错误； （2）该同学错误原因是，在不等式左右两边同时除以一个______________（选填“正数”或“负数”）时，不等号方向应该______________（选填“改变”或“不改变”）； （3）此不等式的正确解集为______________． 21. 某供暖部门为了解市民对2021年供暖情况的满意程度，随机对若干户市民进行了问卷调查，该部门把市民对供暖情况的满意程度分为三个层次（A层次：满意；B层次：比较满意；C层次：不满意），每户被调查的市民只选一个层次．将调查结果绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图． （1）请直接写出参加此次调查的市民户数； （2）在若干户市民对供暖情况满意程度扇形统计图中，最小的扇形表示满意程度是______________层次，占参加此次调查市民的______________，这个扇形对应的圆心角度数为______________； （3）求此次调查中满意程度是C层次的市民户数． 22. 小亮参加一次知识竞赛，共道题，每道题回答正确得分，回答错误或放弃回答扣分，此次竞赛要求分以上（不含分）的选手才能晋级，那么小亮至少答对多少道题才能顺利晋级？ 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，网格小正方形的边长为一个单位长度． （1）若把向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到，画出，并直接写出的坐标； （2）直接写出的面积． 24. 某学校组织七年级学生到水上公园游玩，可供租用的船只分为大小两种，七年级一班租用6只大船和4只小船共付租金260元；七年级二班租用7只大船和3只小船共付租金270元． （1）求每只大船和小船的租金分别为多少元． （2）若七年级三班共有46人，每只大船最多只能坐5人，每只小船最多只能坐3人，请你直接写出最省钱的租船方案． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 平行线性质的拓展学习片段： 老师：同学们，我们共同思考一个问题，如果一个角的两边和另外一个角的两边分别平行，那么这两个角有什么样的数量关系呢？请写出你的猜想，并说明理由． 小明思考后给出如下解答过程： 猜想：如果一个角的两边和另外一个角的两边分别平行，那么这两个角相等． 理由如下： 已知：如图，，，和相交于点G． 求证：． 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 小刚思考后给出如下解答过程： 猜想：如果一个角的两边和另外一个角的两边分别平行，那么这两个角互补． 理由如下： 已知：如图，，，和相交于点． 求证：． 证明： （1）请你把小刚同学的解答过程补充完整． （2）根据以上两名同学的解答，猜想老师提出的问题的答案是：如果一个角的两边和另外一个角的两边分别平行，那么这两个角______________． （3）根据（2）中结论解答下列问题：已知的两边和的两边分别平行． ①若，请直接写出的度数； ②若比的2倍少，请直接写出的度数． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，动点从坐标原点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向右运动，连接，设点运动的时间为秒，的面积为． （1）①当时，______________； ②当时，______________． （2）①当点在点左侧时，______________；（用含的式子表示） ②当点在点右侧时，______________．（用含的式子表示） （3）当时，求出此时的值． （4）如图点的坐标为，连接，当四边形的面积等于面积的倍时，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三开学摸底考试数学试题 （时间：120分钟 总分：120分） 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 为了描述我市昨天一天的气温变化情况，应选择（ ） A. 扇形统计图 B. 条形统计图 C. 折线统计图 D. 直方图 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图的特点：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；直方图表示同一个事件的结果在不同范围内的分布多少． 【详解】解：根据题意，要求直观描述我市昨天一天的气温变化情况，结合统计图的特点可知，应选择折线统计图． 故选：C 【点睛】此题主要考查了统计图的类型，解题关键是熟悉扇形统计图、条形统计图、折线统计图和直方图的特点来判断． 2. 若点M的坐标为，则点M在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限． 【详解】解：∵点M的坐标为， ∴点M的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点M在第二象限． 3. 下列调查中，适合用普查方法的是（ ） A. 军工厂对该厂生产的某种型号的炮弹爆炸范围的调查 B. 环保部门对长江水域的水污染情况的调查 C. 质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查 D. 学校在做校服前对八年级学生的衣服尺寸大小的调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查调查方式的选择，根据范围窄或者具有特殊意义的用普查，范围广或者具有破坏性的，用抽样调查，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、军工厂对该厂生产的某种型号的炮弹爆炸范围的调查，适合用抽样调查，不符合题意； B、环保部门对长江水域的水污染情况的调查，适合采用抽样调查，不符合题意； C、质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查，适合采用抽样调查，不符合题意； D、学校在做校服前对八年级学生的衣服尺寸大小的调查，适合用普查，符合题意； 故选D． 4. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数、有理数的定义即可判断． 【详解】解：A、是分数，是有理数，故选项不符合题意； B、是无限不循环小数，是无理数，故选项符合题意； C、是有限小数，是有理数，故选项不符合题意； D、是整数，是有理数，故选项不符合题意． 5. 如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 平行于同一条直线的两直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】根据同位角相等两直线平行；即可判断； 【详解】解：如图，上面三角形的另两个顶点为D、F， ∵∠FED和∠CAB在直线a，b的同一个方向，且在直尺的同一侧， ∴∠FED和∠CAB是同位角， ∵∠FED=∠CAB， ∴a∥b， 故选： A． 【点睛】本题考查了同位角的概念，平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题关键． 6. 估计的值（ ） A. 在1到2之间 B. 在2到3之间 C. 在3到4之间 D. 在4到5之间 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 25的平方根是_____． 【答案】±5 【解析】 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根． 【详解】∵（±5）2=25， ∴25的平方根是±5． 【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键． 8. 如图，直线，相交于点，若，则______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∴． 9. 如图，已知，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 如图所示，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是_____． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】根据垂线段的性质，可得答案． 【详解】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 【点睛】本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上所有点的连线：垂线段最短． 11. 命题“若，则”是______________命题．（选填“真”或“假”） 【答案】 假 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，，因此仅能推出，可举反例判断命题真假． 【详解】解：根据二次根式的性质，可得，， ∵若，可得，即或， 举反例：取，，此时，满足，但， ∴原命题不成立，是假命题． 12. 若x和y互为相反数，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】由和互为相反数得，利用立方根的性质即可求出结果． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∴， ∵ 对于任意实数，都有， ∴， ∴原式． 13. 若是关于、的方程的解，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】将给定的，的值代入原方程，即可计算得到的值． 【详解】解：∵是关于、的方程的解， ∴， ∴． 14. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据第一个不等式的解集判断的符号，得到与的数量关系，再代入第二个不等式求解，注意系数为负时不等号方向改变． 【详解】解：解不等式，移项得， ∵不等式的解集为， ∴，且，整理得， 将代入不等式，得，移项得， ∵，两边同时除以，不等号方向改变， ∴， 即不等式的解集为． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算各根式的值，再进行有理数加减运算． 【详解】解：． 16. 解方程组：． 【答案】． 【解析】 【分析】两方程相加消去，得到关于的一元一次方程，求解得的值，再代入任一方程求即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解是． 17. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、合并同类项，系数化为，即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得，． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，已知：，．求证：． 将下面证明过程补充完整： 证明：（已知）， ∴____________________________（__________________）． 又∵（已知）， ∴____________________________（__________________）． （__________________）． 【答案】；； 同位角相等，两直线平行；；；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等． 【解析】 【分析】先由，利用同位角相等，两直线平行得到；再结合已知，根据平行公理的推论得到；最后由两直线平行，内错角相等证得． 【详解】证明：（已知）， （同位角相等，两直线平行）． 又（已知）， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． （两直线平行，内错角相等）． 20. 某同学解不等式出现了错误，解答过程如下： 解：移项，得：，（第一步） 合并同类项，得：，（第二步） 系数化为1，得：．（第三步） （1）该同学的解答过程在第______________步出现了错误； （2）该同学错误原因是，在不等式左右两边同时除以一个______________（选填“正数”或“负数”）时，不等号方向应该______________（选填“改变”或“不改变”）； （3）此不等式的正确解集为______________． 【答案】（1）三 （2）负数；改变 （3） 【解析】 【分析】（1）第三步系数化为1时，不等号方向未改变，所以出现了错误； （2）根据不等式性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向必须改变即可求解； （3）解一元一次不等式，求出解集即可． 【小问1详解】 解：解不等式，其中第一步移项、第二步合并同类项都正确，但是第三步把两边同时除以时，没有改变不等号的方向，所以出错； 【小问2详解】 解：本题中不等式系数化为1时，依据不等式的性质：在不等式左右两边同时除以一个负数时，不等号方向要改变； 【小问3详解】 解：移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 21. 某供暖部门为了解市民对2021年供暖情况的满意程度，随机对若干户市民进行了问卷调查，该部门把市民对供暖情况的满意程度分为三个层次（A层次：满意；B层次：比较满意；C层次：不满意），每户被调查的市民只选一个层次．将调查结果绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图． （1）请直接写出参加此次调查的市民户数； （2）在若干户市民对供暖情况满意程度扇形统计图中，最小的扇形表示满意程度是______________层次，占参加此次调查市民的______________，这个扇形对应的圆心角度数为______________； （3）求此次调查中满意程度是C层次的市民户数． 【答案】（1）1000户 （2）C，15， （3）150户 【解析】 【分析】（1）用A层次的人数除以其对应的百分比可得出参加此次调查的市民户数； （2）由图可知最小的扇形表示满意程度是C层次，再求出C层次的户数除以总户数可得其所占百分比，用乘其占比可得圆心角度数； （3）用总人数减去A层次和B层次的户数，即可得出C层次的市民户数． 【小问1详解】 解：（户）， 答：参加此次调查的市民有1000户； 【小问2详解】 解：在若干户市民对供暖情况满意程度扇形统计图中，最小的扇形表示满意程度是C层次， ， 即占参加此次调查市民的， ， 即这个扇形对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：（户）， 答：此次调查中满意程度是C层次的市民有150户． 22. 小亮参加一次知识竞赛，共道题，每道题回答正确得分，回答错误或放弃回答扣分，此次竞赛要求分以上（不含分）的选手才能晋级，那么小亮至少答对多少道题才能顺利晋级？ 【答案】 小亮至少答对道题才能顺利晋级 【解析】 【分析】设小亮答对道题，则回答错误或放弃回答道题，列不等式求解，并取最小整数解即可． 【详解】解：设小亮答对道题，则回答错误或放弃回答道题， 根据题意可列不等式：， 解得， ∵为整数， ∴最小为． 答：小亮至少答对道题才能顺利晋级． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，网格小正方形的边长为一个单位长度． （1）若把向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到，画出，并直接写出的坐标； （2）直接写出的面积． 【答案】（1）如图，即为所求： ，， （2）4 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图，再由图可得的坐标； （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：由图可得，，，，图略； 【小问2详解】 解：的面积为． 24. 某学校组织七年级学生到水上公园游玩，可供租用的船只分为大小两种，七年级一班租用6只大船和4只小船共付租金260元；七年级二班租用7只大船和3只小船共付租金270元． （1）求每只大船和小船的租金分别为多少元． （2）若七年级三班共有46人，每只大船最多只能坐5人，每只小船最多只能坐3人，请你直接写出最省钱的租船方案． 【答案】（1）每只大船租金为30元，每只小船租金为20元 （2）最省钱的租船方案为租用8只大船，2只小船 【解析】 【分析】（1）设每只大船租金为元，每只小船租金为元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）设租大船只，小船只，由题意可得，列举出，取值情况，分别计算租金，即可求解． 【小问1详解】 解：设每只大船租金为元，每只小船租金为元， 由题意得，， 解得． 答：每只大船租金为30元，每只小船租金为20元． 【小问2详解】 解：设租大船只，小船只， 由题意得，， ∴， ∵，为非负整数， 当时，，租金至少为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 综上所述，最省钱的租船方案为租用8只大船，2只小船． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 平行线性质的拓展学习片段： 老师：同学们，我们共同思考一个问题，如果一个角的两边和另外一个角的两边分别平行，那么这两个角有什么样的数量关系呢？请写出你的猜想，并说明理由． 小明思考后给出如下解答过程： 猜想：如果一个角的两边和另外一个角的两边分别平行，那么这两个角相等． 理由如下： 已知：如图，，，和相交于点G． 求证：． 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 小刚思考后给出如下解答过程： 猜想：如果一个角的两边和另外一个角的两边分别平行，那么这两个角互补． 理由如下： 已知：如图，，，和相交于点． 求证：． 证明： （1）请你把小刚同学的解答过程补充完整． （2）根据以上两名同学的解答，猜想老师提出的问题的答案是：如果一个角的两边和另外一个角的两边分别平行，那么这两个角______________． （3）根据（2）中结论解答下列问题：已知的两边和的两边分别平行． ①若，请直接写出的度数； ②若比的2倍少，请直接写出的度数． 【答案】（1）证明：， ∴， ， ． ∴． （2）相等或互补 （3）① 或；② 或 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据两直线平行、同旁内角互补即可解答； （2）根据小明和小刚的证明结论即可解答； （3）①直接应用（2）所得结论即可解答；②先用表示出，再根据（2）的结论列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据小明和小刚的证明结论可得：如果一个角的两边和另外一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 【小问3详解】 解：①∵的两边和的两边分别平行， ∴与相等或互补， ∵， ∴或； ②∵比的2倍少， ∴， ∵的两边和的两边分别平行， ∴与相等或互补， ∴或， ∴或． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，动点从坐标原点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向右运动，连接，设点运动的时间为秒，的面积为． （1）①当时，______________； ②当时，______________． （2）①当点在点左侧时，______________；（用含的式子表示） ②当点在点右侧时，______________．（用含的式子表示） （3）当时，求出此时的值． （4）如图点的坐标为，连接，当四边形的面积等于面积的倍时，请直接写出此时的值． 【答案】（1）①； ② （2）①； ② （3）的值为或 （4）的值为或 【解析】 【分析】（1）①根据题意可得，，，即可求得，结合三角形面积公式求解即可． ②根据题意可得，，，即可求得，结合三角形面积公式求解即可． （2）①由题意可得，，当点在点左侧时，即可求得． ②由题意可得，，当点在点右侧时，即可求得． （3）根据题意可得，代入数据到中，求解即可． （4）根据题意可得，，分别代入数据到，，中，求得，四边形的面积为，结合四边形的面积等于面积的倍，列式求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，， ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴，， ∴， ∴． ②当时， ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由题意可得， ①当点在点左侧时，； ②当点在点右侧时，． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， 当时，即， 整理可得， 解得：，． 【小问4详解】 解：∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积为， 当四边形的面积等于面积的倍时，即， 整理可得， 解得：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $