精品解析：北京市师达中学2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题

北京市师达中学开学测试卷数学 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ） A. 36 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根 ∴ 解得 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 3. 将抛物线向左平移3个单位长度得到的抛物线是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度得到的抛物线是． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键． 4. 下图的图案绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形的性质，等边三角形的性质等知识，连接，根据是等边三角形，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：是等边三角形， ∴， ∵它们都是旋转角，而它们的和为， ∴图案绕其中心旋转后能与自身重合， 故选：D． 5. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，根据题意把常数项2移项后，应在左右两边分别同时加上一次项系数的一半的平方，即可求出答案． 【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选：A． 6. 随着科技的飞速发展，新能源汽车越来越多地走进人们的生活．北京市新能源汽车保有量从2022年的万辆到2024年的万辆，呈现出逐年增加的趋势．设新能源汽车的保有量从2022年到2024年的年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据年平均增长率的定义，每年增长相同的比例，故2024年的保有量等于2022年的保有量乘以． 【详解】解：设年平均增长率为x， ∵ 2022年保有量为万辆， ∴ 2023年保有量为万辆， ∴2024年保有量为万辆， 又∵2024年保有量为万辆， ∴． 故选：D． 7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．根据抛物线开口方向、与y轴交点位置、对称轴、与x轴的交点逐一判断可得答案． 【详解】解：A、由抛物线开口向上知，此选项错误； B、由抛物线与y轴交于负半轴知，则，此选项错误； C、由抛物线的对称轴位置得，此选项错误； D、由抛物线与x轴有两个交点，即关于的方程有两个不相等的实数根，则，此选项正确． 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ） A. 当时，， B. 当时，， C. 当时，， D. 当时，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和平移的性质，根据对称轴和抛物线与x轴交点的坐标位置，结合图象向上平移的特点，分和讨论即可． 【详解】解：当时，如图所示： 抛物线的对称轴为直线， ，且； 当时，如图所示： 抛物线的对称轴为直线， ，且． 故选：． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】（-2，-3） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点（2，3）关于原点对称的点的 坐标是（-2，-3）， 故答案为：（-2，-3）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键． 10. 请写出一个一元二次方程，使它的两个根互为相反数___． 【答案】答案不唯一．如：． 【解析】 【分析】由题意知：一个能直接开平方的式子就可以完成本题． 【详解】解：， ， ∴， 故答案为等． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，掌握直角开平方法及互为相反数的定义是解题的关键． 11. 在平面直角坐标系中，若点和点在二次函数的图象上，则___________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，比较函数值的大小，把函数值求出来是解题的关键．通过将点的横坐标代入二次函数解析式，分别求出a和b的值，再比较大小． 【详解】解：对于点，代入，得； 对于点，代入得． 因为，所以． 故答案为：<． 12. 二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象可得，的x的取值范围就是二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：根据函数图象可得，的x的取值范围就是二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围 由图像可知，时二次函数图象在一次函数图象上方． 故答案为 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键． 13. 已知的两个根分别为、，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求代数式通分变形后，代入数值计算即可． 【详解】解：∵ 方程的两个根分别为、， ∴ 由韦达定理可得，， ∴． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的定义可得，对应点连线的交点即为旋转中心，即可求得坐标． 【详解】解：如图，旋转中心的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的定义、坐标系中点的坐标，根据旋转的定义确定旋转中心的位置是解题的关键． 15. 如图，在菱形中，，．将一块边长足够长的三角板的角顶点与点重合，三角板的外侧边缘分别与，交于点，，则四边形的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，连接，过点作于，由菱形的性质可得，，则与均为等边三角形，证明，得出，从而可得，由此计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接，过点作于， ， ∵ 四边形为菱形，，， ∴，， ∴与均为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，是边的中点，是边上的动点（不与点，重合），以为中心，将线段逆时针旋转，得到线段．给出下面四个结论： ①； ②； ③两点间距离的最小值大于两点间距离的最小值； ④点到直线的距离相等． 上述结论中，写出所有正确结论的序号______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】利用同角的余角相等即可判断①；根据P点运动的任意性判断②；过点Q作于点H，构造全等三角形证明点Q在，的中点连线上，利用垂直平分线性质和平行线间的距离判断③④． 【详解】解：①由旋转可得， ∴． ∵在正方形中，， ∴， ∴．故①正确． ②∵点P是上的动点， ∴的长度在0和的长之间变化． ∵点E是的中点， ∴． 当点P在的中点右侧时，，故②错误． ③过点Q作于点H，则， ∴， ∵由旋转有， 又， ∴， ∴， ∴点Q到的距离为定值， ∴点Q在平行于且到距离为的直线上运动． 取、的中点M，N， 则，， ∵在正方形中，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，且与之间的距离为， ∴点Q在上运动． ∵在矩形中，， 即， ∵点N是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴D，Q两点间距离的最小值等于C，Q，两点间距离的最小值，故③错误； ④由③可知点Q在、的中点连线上运动，且， ∵到的距离为，到的距离为， ∴点Q到直线，的距离相等，故④正确； 综上所述，正确结论的序号是①④． 三、解答题（本题共68分，第17、25题每题8分，第18、21、23、26题每题7分，第19、20、22、24题每题6分） 17. 解方程： （1）． （2） 【答案】（1）， （2），. 【解析】 【分析】（1）对二次三项式因式分解，即可求解． （2）先将方程整理为一般形式，计算判别式后，利用求根公式求解． 【小问1详解】 解： 或， ∴，； 【小问2详解】 解： ， ∴， ∴， 即，． 18. 已知二次函数的解析式是． （1）写出该二次函数的顶点坐标； （2）在右图中画出该二次函数的图象（不需要列表），并写出该图象与x轴的交点； （3）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1） （2） 画出该二次函数的图象如图： 该图象与x轴的交点为， （3）当时，y的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、画二次函数图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将二次函数的解析式化为顶点式即可得解； （2）求出该图象与x轴的交点为，，再画出函数图象即可； （3）由函数图象即可得解． 【小问1详解】 解：， ∴该二次函数的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：令，则，解得，， ∴该图象与x轴的交点为，． 【小问3详解】 解：由图象可得：当时，y的取值范围为． 19. 已知是关于的方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程得到的值，化简所求代数式后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴ ． 20. 在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕点旋转得到线段（是点的对应点）． （1）在平面直角坐标系中画出线段； （2）若点在线段上，是点关于点的对称点． ①当点与点重合时，的面积等于___________； ②的面积的取值范围是___________． 【答案】（1） 解：如图，线段即为所求． （2）①6；② 【解析】 【分析】该题考查了中心对称，三角形面积计算，正确作出图形是解题的关键． （1）根据中心对称作图即可． （2）①根据的面积解答即可． ②根据题意的面积，，，即可求出的面积最大值和最小值，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当点与点重合时，如图， 此时 则的面积； ②根据题意的面积， ∵点在线段上，是点关于点的对称点， ∴，， ∴的面积， 则的面积最大，最小， 的面积的取值范围是． 21. 已知二次函数几组与的对应值如下表： … 1 3 4 … … 12 5 0 0 5 … （1）求此二次函数的表达式； （2）直接写出当时，的取值范围 （3）将此二次函数图象位于轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象其余部分不变，得到的新的图象记作．过点作垂直于轴的直线，若直线与图象有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用表格中二次函数与轴的两个交点，设交点式代入已知点求解解析式． （2）结合二次函数开口方向和与轴的交点，直接写出的解集． （3）先确定翻折后图象的组成与各部分的取值范围，再分类讨论直线与的交点个数，得到的取值范围． 【小问1详解】 解：设二次函数的表达式为，由表格可知，二次函数图象过点，， ∴， 解得， 二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：二次函数的图象开口向上，且与轴交于点，， 当时，的取值范围是或． 【小问3详解】 解：如图所示， 原二次函数可化为，顶点坐标为， ①当时，直线与图象没有交点，不符合题意； ②当时，直线与图象交于点和，共个公共点，符合题意； ③当时，直线与图象共4个公共点，不符合题意； ④当时，直线与图象共3个公共点，不符合题意； ⑤当时，直线与图象共个公共点，符合题意； 综上所述，或． 22. 已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：无论a取任何实数，此方程总有实数根； （2）若方程有一个根大于3，求a的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论a取任何实数，此方程总有实数根． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式证明即可； （2）求出方程两根，，因为方程有一个根大于3，所以，解得：a＜－2． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∴，， ∵方程有一个根大于3， ∴，解得：a＜－2． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式，公式法解一元二次方程． 23. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 24. 某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演，其表演队形随音乐节奏动态调整．在一次表演中，开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列，组成一个正方形方阵．当音乐推进至高潮部分，表演队形发生变化，首先有4个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人则迅速调整站位组成一个长方形方阵．该长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少4．求此次参加表演的机器人的总个数． 【答案】64个 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意设原正方形方阵每边有n个机器人，则总数为．进一步得到出列后剩余机器人数为．结合长方形方阵的列数和行数的变化列出等式求解，根据长方形的边长排除不合理根即可． 【详解】解：设原正方形方阵每边有n个机器人，则总数为． 出列4个机器人后，剩余机器人数为． 长方形方阵的列数为，行数为． 根据题意，有， 化简得，，解得或， ∵时，行数（不合理）， ∴． 总机器人数为． 答：此次参加表演的机器人的总个数为64． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）当时，比较的大小，并说明理由； （2）若抛物线与轴交于两点，且长度大于4，直接写出的取值范围； （3）若，当时，随的增大而减小，且的最大值与最小值的差为，求的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）求抛物线与轴的交点坐标，根据的长度列不等式求解的范围． （3）先求得对称轴为直线，根据抛物线的开口方向，进而求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和点，且， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：令，则，且， 因式分解得， 解得，， ， ， ，即， 或． 【小问3详解】 解：对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， 当时，抛物线开口向上，要使时，y随x增大而减小， 则对称轴； 当时：抛物线开口向上，对称轴，在时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，； 当时，y有最小值，； 则， ∵， ∴当时，h取得最小值， ∴； 26. 在正方形中，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交直线于点． （1）如图1，点与点重合，若，求的长； （2）如图2，点在的延长线上，用等式表示，和的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 解：连接，延长到点，使得，连接，过点作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∴，， 根据旋转可得，， ∴， ∴， ∵， ， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， ， ∵， ∴为等腰直角三角形，四边形为矩形， ∴， ∴， ． 【解析】 【分析】（1）根据四边形为正方形，得出，根据旋转可得，，从而得，证明为等腰直角三角形，四边形是矩形，得出，即可得． （2）连接，延长到点，使得，连接，过点作于点，根据四边形为正方形，得出，从而得，，根据旋转可得，，则，证明，得出，证明为等腰直角三角形，四边形为矩形，得出，即可得，从而得出． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， 根据旋转可得，， ， ， 于， 为等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴， ∴， ． 【小问2详解】 略 【点睛】该题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市师达中学开学测试卷数学 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ） A. 36 B. C. 9 D. 3. 将抛物线向左平移3个单位长度得到的抛物线是（　　） A. B. C. D. 4. 下图的图案绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 随着科技的飞速发展，新能源汽车越来越多地走进人们的生活．北京市新能源汽车保有量从2022年的万辆到2024年的万辆，呈现出逐年增加的趋势．设新能源汽车的保有量从2022年到2024年的年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ） A. 当时，， B. 当时，， C. 当时，， D. 当时，， 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是______． 10. 请写出一个一元二次方程，使它的两个根互为相反数___． 11. 在平面直角坐标系中，若点和点在二次函数的图象上，则___________（填“”“”或“”）． 12. 二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的x的取值范围是____________． 13. 已知的两个根分别为、，则______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心的坐标是____________． 15. 如图，在菱形中，，．将一块边长足够长的三角板的角顶点与点重合，三角板的外侧边缘分别与，交于点，，则四边形的面积是___________． 16. 如图，在正方形中，是边的中点，是边上的动点（不与点，重合），以为中心，将线段逆时针旋转，得到线段．给出下面四个结论： ①； ②； ③两点间距离的最小值大于两点间距离的最小值； ④点到直线的距离相等． 上述结论中，写出所有正确结论的序号______． 三、解答题（本题共68分，第17、25题每题8分，第18、21、23、26题每题7分，第19、20、22、24题每题6分） 17. 解方程： （1）． （2） 18. 已知二次函数的解析式是． （1）写出该二次函数的顶点坐标； （2）在右图中画出该二次函数的图象（不需要列表），并写出该图象与x轴的交点； （3）当时，直接写出y的取值范围． 19. 已知是关于的方程的一个根，求代数式的值． 20. 在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕点旋转得到线段（是点的对应点）． （1）在平面直角坐标系中画出线段； （2）若点在线段上，是点关于点的对称点． ①当点与点重合时，的面积等于___________； ②的面积的取值范围是___________． 21. 已知二次函数几组与的对应值如下表： … 1 3 4 … … 12 5 0 0 5 … （1）求此二次函数的表达式； （2）直接写出当时，的取值范围 （3）将此二次函数图象位于轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象其余部分不变，得到的新的图象记作．过点作垂直于轴的直线，若直线与图象有两个公共点，则的取值范围是 ． 22. 已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：无论a取任何实数，此方程总有实数根； （2）若方程有一个根大于3，求a的取值范围． 23. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 24. 某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演，其表演队形随音乐节奏动态调整．在一次表演中，开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列，组成一个正方形方阵．当音乐推进至高潮部分，表演队形发生变化，首先有4个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人则迅速调整站位组成一个长方形方阵．该长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少4．求此次参加表演的机器人的总个数． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）当时，比较的大小，并说明理由； （2）若抛物线与轴交于两点，且长度大于4，直接写出的取值范围； （3）若，当时，随的增大而减小，且的最大值与最小值的差为，求的最小值． 26. 在正方形中，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交直线于点． （1）如图1，点与点重合，若，求的长； （2）如图2，点在的延长线上，用等式表示，和的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $