4.1 数列的概念 专项检测-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

4.1 数列的概念 专项检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （时间：120分钟 满分：150分） 1、 单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。） 1．数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 2．数列，，，，……的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 3．已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 4．在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 5．记数列的前项和为，若，则当取最小值时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．3 7．在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 8．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 2、 多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．下列数列中，为递增数列的是（    ） A． B．C． D． 10．已知数列满足,,则（    ） A． B． C．数列为递增数列 D．数列为递减数列 11．已知数列的前n项和满足，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3、 填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分。） 12．若数列满足，，则________. 13．已知数列满足，，则_____. 14．已知数列的前项和为，且满足，，则______ 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．分别写出下列数列的一个递推关系，并求出各个数列的第7项： (1)1，2，4，7，11，…； (2)，2，5，8，11，…； (3)1，，4，，16，…． 16．已知数列的通项公式为． (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)问是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项？ 17．已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 18．设数列满足．写出这个数列的前5项． 19．数列满足，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 数列的概念 专项检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （时间：120分钟 满分：150分） 1、 单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。） 1．数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】数列 分子：，通项为； 分母：，通项为； 故数列通项为，第8项：. 2．数列，，，，……的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误； 对于B，的前两项依次为，不符合题意，故B错误； 对于C，即为，对应的余弦值为，符合题意，故C正确； 对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误； 3．已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则， 所以， 当时，， 当时，满足， 所以数列的通项公式为. 故选：C 4．在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， . 故答案为：B. 5．记数列的前项和为，若，则当取最小值时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】当时，，当时，， 所以取最小值时，. 6．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】，， ， 则数列为周期数列，周期为， 又， ． 7．在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，可得，解得， 由，得，，，…， 所以数列是周期为4的周期数列， 所以，，所以. 8．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 【答案】C 【详解】解：如图， 称为五边形数， 从第二项起，后项与前项的差依次为， 所以五边形数的第5项为， 故选：C. 2、 多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．下列数列中，为递增数列的是（    ） A． B．C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，，则有， 因此该数列是递增数列，故A正确； 对于B，，则有， 因此该数列是递减数列，故B错误； 对于C，，，， 因此该数列不是递增数列，故C错误； 对于D，，函数在上为增函数， 因此该数列是递增数列，故D正确； 10．已知数列满足,,则（    ） A． B． C．数列为递增数列 D．数列为递减数列 【答案】BC 【详解】因为数列满足，，， 则当时，，，……，， 所有的式子相乘得，即，当 时也符合通项， 故，数列为递增数列， 故选：BC 11．已知数列的前n项和满足，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，时，， 又，也适合，所以， 故AC正确；BD错误. 故选：AC 3、 填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分。） 12．若数列满足，，则________. 【答案】2 【详解】利用，结合，依次迭代可得： 数列的前项依次为 且从第3项起以3为周期，所以. 故答案为： 13．已知数列满足，，则_____. 【答案】 【详解】，，，，， ， ， ，. 故答案为：. 14．已知数列的前项和为，且满足，，则______ 【答案】1 【详解】已知，所以; 当时：，； 当时：，； 当时：. 故答案为：1 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．分别写出下列数列的一个递推关系，并求出各个数列的第7项： (1)1，2，4，7，11，…； (2)，2，5，8，11，…； (3)1，，4，，16，…． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）因为：，， ，， 所以，即． 从而． （2）因为， 所以3，即． 从而． （3）因为， 所以．即． 从而． 16．已知数列的通项公式为． (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)问是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项？ 【答案】(1) (2)是该数列的第7项，68不是该数列的项 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为， 令，解得或（舍去）， 所以是该数列的第7项； 令，解得或，均不合题意， 所以68不是该数列的项． 17．已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由且，得，解得， 由且，，得，解得， 由且，，，得，解得， 由且，，，，得，解得； （2）因，当时，， 两式相减可得，，即，所以， 所以，即，则， 因满足，故数列的通项公式为. 18．设数列满足．写出这个数列的前5项． 【答案】，，，， 【分析】由可得，将式子中的代入求出；代入求出，代入求出，代入求出即可得解. 【详解】，，， ，． 19．数列满足，求的值． 【答案】1 【详解】因为， 所以，， ，， …… 依次可得数列是一个以4为周期的数列，且， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $