精品解析：福建省福州第一中学2026-2027学年九年级上学期数学开门考试卷

福州一中2026-2027学年初三上开学适应性练习（数学） （考试时间：120分钟 满分150分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项） 1. 通过望远镜，人类在宇宙中已经发现近18600000亿个星系，每一个星系中又有约2000亿颗星球，但所有这些加起来仅占整个宇宙的4%．把18600000精确到十万位的近似数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断出18600000的十万位上的数是多少，根据四舍五入法，求出18600000精确到十万位是多少即可． 【详解】解：18600000≈， 故答案为：． 【点睛】本题考查了近似数与有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．解题的关键是：一般有精确到哪一位就保留几个有效数字的说法．还要注意正确理解科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用整式的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，多项式乘多项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 3. 如图，将绕点顺时针方向旋转得，若，则等于（ ）． A. B. C. D. 条件不足，无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得，再利用可计算，从而得出的度数． 【详解】解：设与交于点， ∵将绕点顺时针方向旋转得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4. 如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的性质逐一判断． 【详解】解：， ，故A正确； ，是的中点， ，平分，故B、C正确； 与的数量关系不确定，故D不正确，符合题意． 5. 下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 8，15，17 C. 14，48，49 D. 5，12，13 【答案】C 【解析】 【分析】通过比较每组线段中两较短线段的平方和与最长线段的平方是否相等，判断能否构成直角三角形. 【详解】解：，A、B、D均可以构成直角三角形. ，， ，C不可以构成直角三角形. 6. 如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求x的值，根据题意，可列得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别表示出底面长方形的长和宽，然后根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，底面长方形的长为，宽为， ∵要使长方体盒子的底面积为， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意表示出底面长方形的长和宽是解题的关键． 7. 已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（ ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差公式可从给出的方差表达式中得到数据个数与这组数据的平均数，再计算数据总和即可． 【详解】解：， ， 这组数据的总和为 ． 8. 在平面直角坐标系中，若点，则线段的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合点，由勾股定理可得，易知当时，有最小值，即可获得答案． 【详解】解：∵点， ∴ ， ∴当时，EF有最小值． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、运用完全平方公式进行运算、二次根式的性质与化简等知识，利用勾股定理及完全平方公式求得是解题关键． 9. 关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为 D. 两根之和为1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 【详解】解：解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故选项A错误， 设、是一元二次方程的两个实数根， ∴，，故选项C正确，选项D错误， ∴两根的符号相反，故选项B错误， 故选：C． 10. 已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是( ) A. 若， 则 B. 若， 则 C. 若， 则 D. 若， 则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，，进而根据选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵，，为直线上的三个点， ∴， ∵，， ∴ A. 若， 则，即同号，当时，，当时，，故该选项不正确，不符合题意； B. 若， 则异号，同理可得或 C. 若， 则同号，同理可得或 D. 若， 则异号，只能是，则， ∴，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分；请将正确答案填在答题卡相应位置） 11. 分解因式的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式．直接提取公因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接根据顶点式的特征得到顶点坐标. 【详解】解：抛物线的顶点坐标是. 13. 如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】由矩形的性质可证为等边三角形，可求的长，即可求的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，且， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是本题的关键，①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分． 14. 函数的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数开口向上，最小值在顶点处，利用交点式求对称轴后代入计算即可． 【详解】解：∵中二次项系数， ∴函数开口向上，顶点处取得最小值， ∵函数图象与轴交点横坐标为和， ∴对称轴为， 将代入函数得：， 因此函数的最小值为． 15. 七名学生投篮球，每人投了10个球后，统计他们每人投中球的个数，得到七个数据，并对数据进行整理和分析，得出如下信息： 最小值 中位数 众数 平均数 2 6 7 m 其中小陈同学投中了4个，下列判断：①可能有学生投中了9个；②投中6个的学生只有1人；③这七个数据之和不可能为42；④m的值可能为5．所有正确推断的序号是________． 【答案】 ①③④ 【解析】 【分析】将七个数据从小到大排列，根据中位数、众数的定义确定数据的基本规律，再逐个举例验证每个结论即可. 【详解】解：设七个数据从小到大排列为 ， ∵中位数为6，数据个数为奇数， ∴ ， ∵众数为7， ∴7的出现次数最多，且7只能出现在中，最多出现3次；已知最小值为2，且存在数据4，每人最多投中10个. ① 举例：数据为，满足所有条件，因此可能有学生投中9个，①正确. ② 举例：数据为，满足所有条件，此时投中6个的学生有2人，因此②错误. ③ 假设七个数据之和为42，分情况讨论：若7出现3次，可得，即； ∵，且数据含2和4，因此最大为，不可能；若7出现2次，要保证7是唯一众数，其他数据出现次数不能超过1次；最大和为，不符合题意；因此七个数据之和不可能为42，③正确. ④ 举例：数据为，总和为，平均数，满足所有条件，因此的值可能为5，④正确. 综上，正确推断的序号是①③④. 16. 如图，在中，，，，点是边的中点．将绕着点逆时针旋转到的位置，点恰好在边上，点是点的对应点，则、两点间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据旋转可知，可求，的长，在中，由勾股定理可求长，再根据中位线定理可求，即、两点间的距离． 【详解】解：连接， 在中，，，， ， 根据旋转可得， ，，， ，， 在中，，，， ， 点是边的中点， 点是边的中点， ， 即、两点间的距离为． 三、解答题（满分86分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置，作图或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 如图，，求证：． 【答案】见解答 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 直接利用直角三角形全等的判定方法证明即可． 【详解】证明： 在和中， ， ∴． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（）直接开平方法解一元二次方程即可； （）根据公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 20. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD， 求证：四边形OCED是菱形． 【答案】 证明：∵DE//AC，CE//BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD=AC=BD ∴四边形OCED是菱形． 【解析】 【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键 21. 如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15米，花圃一面利用墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米． （1）若围成的花圃面积为40平方米时，求的长； （2）围成的花圃面积能否为75平方米，如果能，请求的长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）BC的长为4米 （2）不能围成面积为75平方米的花圃．理由如下：                                      当时，                                 整理得，                                     ∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为75平方米的花圃． 【解析】 【分析】（1）设的长度为x米，根据矩形的面积公式，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，列出方程，利用判别式进行判断即可． 【小问1详解】 解：设的长度为x米，则的长度为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：． ∵， ∴舍去． 答：的长为4米． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 22. 某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．在市场调查中选取两类作品；原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． （1）成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． （2）建立模型，设计方案：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件（，且为整数），若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且为使总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】（1）制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元 （2）制作A品100件，B品200件时总利润最大 【解析】 【分析】（1）设制作一件B品的成本为a元，则制作一件B品的成本为元，根据“用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等．”列出方程，即可求解； （2）根据题意，列出w关于x的函数关系式，再求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：设制作一件B品的成本为a元，则制作一件A品的成本为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； 【小问2详解】 解：根据题意得：A品的销量为：件，B品的销量为：件， 则， ∵制作A品和B品的总成本不超过1400元， ∴， 解得：， ∵且， 解得：， ∴， ∵，且， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值为4800， 此时， 即制作A品100件，B品200件时总利润最大． 23. 如图，在边长为4的正方形中，请画出以为一个顶点，另外两个顶点在正方形的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形，并直接写出该三角形的底边长和腰长．（要求：每种情况画一个示意图表示，并在所画等腰三角形的长为3的边上标注数字3） 【答案】 该等腰三角形的底边长为，腰为3； 该等腰三角形的底边长为3，腰为； 该等腰三角形的底边长为，腰为3； 该等腰三角形的底边长为3，腰为； 该等腰三角形的底边长为3，腰为. 【解析】 【分析】根据题意，要画出所有大小不同的等腰三角形，如图①所示，首先能得到一个以A为顶点，其余两个顶点分别在、上的等腰三角形；如图②所示，取一个顶点在上，另一个顶点在上，得到一个不同的等腰三角形；如图③所示，取一个顶点在上，另一个顶点在上，得到一个不同的等腰三角形；如图④所示，取一个顶点在上，另一个顶点在上，得到一个不同的等腰三角形；如图⑤所示，取一个顶点在上，另一个顶点在上，得到一个不同的等腰三角形. 【详解】解：如图①，即为所求， 根据题意，得，， ∴， 即该等腰三角形的底边长为，腰为3； 如图②，即为所求， 根据题意，得，，， ∴， ∴， 该等腰三角形的底边长为3，腰为； 如图③，即为所求， 根据题意，得，，， ∴， ∴， 该等腰三角形的底边长为，腰为3； 如图④，即为所求， 根据题意，得，，， ∴， ∴， ∴，即， 同②可求， ∴ ， 该等腰三角形的底边长为3，腰为； 如图⑤，即为所求， 根据题意，得，，， 过F作于，则，四边形是矩形， ∴， ∴， 该等腰三角形的底边长为3，腰为. 24. 已知点A，B，P为二次函数图象上三点且满足． （1）若，在函数图象上， A、B是图象与轴交点，此时是等腰直角三角形，求二次函数的解析式； （2）若轴，设点与点的纵坐标之差为，抛物线顶点到的距离为．求证：为定值，并用含的式子写出的取值范围； 【答案】（1）二次函数的解析式为或 （2）设，则， ∵点与点的纵坐标之差为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵点A，B在抛物线上， ∴为方程的两根， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴，即为定值1； 的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得点A，B关于y轴对称，设点A的坐标为，则点B的坐标为，其中，则，再由，可得点P的坐标为，从而得到，然后根据在函数图象上，即可求解； （2）设，则，，根据，可得，整理得：，再由一元二次方程根与系数的关系，可得，从而得到，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴该函数解析式为， 此时点A，B关于y轴对称， ∴可设点A的坐标为，则点B的坐标为，其中，则， ∵，且是等腰直角三角形， ∴点P在y轴上，且， ∴点P的坐标为， ∴， ∵在函数图象上， ∴，即， ∴该函数解析式为， 若，此时，点， ∴， 解得：或， 当时，，不符合题意； 当时，， 此时该函数解析式为； 若，同理， 此时该函数解析式为； 综上所述，该函数解析式为或； 【小问2详解】 证明略； ∵为定值1， ∴， ∴点P到的距离为， ∵抛物线顶点到的距离为不小于点P到的距离， ∴． 25. 如图1，将绕着点C旋转，得到，且点E落在边上，与交于点H，连接． （1）求证：平分； （2）如图2，若B，E，F三点在同一条直线上，求证：H是的中点； （3）如图3，若是矩形，且平分．探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：由旋转得 ∵四边形是平行四边形 平分； （2） 证明：∵四边形是平行四边形 ， 是由旋转而得到的 ，， ∵B，E，F三点在同一条直线上 由（1）可知： 即H是的中点； （3） 解：，理由如下： 作于点I， 则 是矩形 ∴四边形是矩形 ， 由（1）可知 又 ， 又， ∵四边形是矩形 平分 设，，则，， 在中，由勾股定理得： ． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质、平行四边形的性质得出，进而得出结论即可； （2）根据全等三角形的判定方法，证得，根据全等三角形的性质证得，即可得出结论； （3）作于点I，则，证明，得出，，再证明，得出，设，，则，，，列出方程，证得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2026-2027学年初三上开学适应性练习（数学） （考试时间：120分钟 满分150分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项） 1. 通过望远镜，人类在宇宙中已经发现近18600000亿个星系，每一个星系中又有约2000亿颗星球，但所有这些加起来仅占整个宇宙的4%．把18600000精确到十万位的近似数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将绕点顺时针方向旋转得，若，则等于（ ）． A. B. C. D. 条件不足，无法确定 4. 如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 5. 下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 8，15，17 C. 14，48，49 D. 5，12，13 6. 如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求x的值，根据题意，可列得的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（ ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 6 8. 在平面直角坐标系中，若点，则线段的最小值为（　　） A. B. C. D. 9. 关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为 D. 两根之和为1 10. 已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是( ) A. 若， 则 B. 若， 则 C. 若， 则 D. 若， 则 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分；请将正确答案填在答题卡相应位置） 11. 分解因式的结果是________． 12. 抛物线的顶点坐标是________． 13. 如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为_________． 14. 函数的最小值为________． 15. 七名学生投篮球，每人投了10个球后，统计他们每人投中球的个数，得到七个数据，并对数据进行整理和分析，得出如下信息： 最小值 中位数 众数 平均数 2 6 7 m 其中小陈同学投中了4个，下列判断：①可能有学生投中了9个；②投中6个的学生只有1人；③这七个数据之和不可能为42；④m的值可能为5．所有正确推断的序号是________． 16. 如图，在中，，，，点是边的中点．将绕着点逆时针旋转到的位置，点恰好在边上，点是点的对应点，则、两点间的距离为________． 三、解答题（满分86分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置，作图或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，，求证：． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD， 求证：四边形OCED是菱形． 21. 如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15米，花圃一面利用墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米． （1）若围成的花圃面积为40平方米时，求的长； （2）围成的花圃面积能否为75平方米，如果能，请求的长；如果不能，请说明理由． 22. 某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．在市场调查中选取两类作品；原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． （1）成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． （2）建立模型，设计方案：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件（，且为整数），若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且为使总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 23. 如图，在边长为4的正方形中，请画出以为一个顶点，另外两个顶点在正方形的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形，并直接写出该三角形的底边长和腰长．（要求：每种情况画一个示意图表示，并在所画等腰三角形的长为3的边上标注数字3） 24. 已知点A，B，P为二次函数图象上三点且满足． （1）若，在函数图象上， A、B是图象与轴交点，此时是等腰直角三角形，求二次函数的解析式； （2）若轴，设点与点的纵坐标之差为，抛物线顶点到的距离为．求证：为定值，并用含的式子写出的取值范围； 25. 如图1，将绕着点C旋转，得到，且点E落在边上，与交于点H，连接． （1）求证：平分； （2）如图2，若B，E，F三点在同一条直线上，求证：H是的中点； （3）如图3，若是矩形，且平分．探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $